專題04 一元二次方程壓軸題型專訓（解析版）

專題04一元二次方程壓軸題型專訓【一元二次方程30道壓軸題型專訓】1．（2023·浙江溫州·?？家荒＃╆P(guān)于x的一元二次方程（ab≠0）有兩個相等的實數(shù)根，則下列選項成立的是（

）A．若﹣1＜a＜0，則 B．若，則0＜a＜1C．若0＜a＜1，則 D．若，則-1＜a＜0【答案】B【分析】根據(jù)一元二次方程的根的情況利用判別式求得a與b的數(shù)量關(guān)系，再代入方程求k的值，然后結(jié)合a的取值范圍和分式加減法運算法則計算求解．【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程（ab≠0）有兩個相等的實數(shù)根k，∴，，又∵，∴a-b-1=0，即a=b+1，∴ax2-2ax+a=0，解得：x1=x2=1，∴k=1，當時，即，即，∴a（a-1）<0，即或解得0<a<1當時，即，即，∴a（a-1）>0，即或解得：a>1或a<0．故選：B．【點睛】本題考查一元二次方程的根的判別式，根據(jù)一元二次方程根的情況求得a與b之間的等量關(guān)系是解題關(guān)鍵．2．（2023春·八年級課時練習）方程x3+x﹣1＝0的實數(shù)根所在的范圍是（）A．＜x＜0 B．0＜x＜ C．＜x＜1 D．1＜x＜【答案】C【分析】當時，方程無解，可知，方程兩邊都除以x，得，根據(jù)可得的范圍，從而得到縮小的x的范圍，進一步根據(jù)，再得到縮小的的范圍，進而可確定x的更小范圍．【詳解】解：將代入方程得，∴x≠0，∴原方程可化為，∵，∴，∴，當時，，∴，∴，∴，故選C．【點睛】本題考查了高次方程根的估計方法．兩邊除以x，得到降次的方程是本題的關(guān)鍵．3．（2023春·八年級課時練習）已知，是方程的兩根，則代數(shù)式的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由根與系數(shù)的關(guān)系可得：a+b=1，再由a與b是方程的兩根可得a2=a+1，b2=b+1，把a3與b3采用降次的方法即可求得結(jié)果的值．【詳解】∵a與b是方程的兩根∴a+b=1，a2-a-1=0，b2-b-1=0∴a2=a+1，b2=b+1∵，同理：∴故選：D．【點睛】本題考查了一元二次方程的解的概論、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，求代數(shù)式的值，靈活進行整式的運算是解題的關(guān)鍵．4．（2022秋·全國·九年級專題練習）若四個互不相等的正實數(shù)a，b，c，d滿足，，則的值為（

）A． B． C．2012 D．2011【答案】A【分析】根據(jù)題意可將a2012與b2012看做方程（x-c2012）（x-d2012）=2012的兩個解，把所求的式子被減數(shù)利用積的乘方逆運算變形后換為x1x2，把方程整理后，利用根與系數(shù)的關(guān)系表示出x1x2，代入整理后的式子中，即可求出所求式子的值．【詳解】解：設(shè)a2012與b2012看做方程（x-c2012）（x-d2012）=2012的兩個解，方程整理得：x2-（c2012+d2012）x+（cd）2012-2012=0，則（ab）2012-（cd）2012=x1x2?(cd)2012，又x1x2=（cd）2012-2012，則（ab）2012-（cd）2012=x1x2?(cd)2012=（cd）2012-2012-（cd）2012=-2012．故選：A．【點睛】此題考查了根與系數(shù)的關(guān)系的運用，利用了方程的思想，其中當一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有解，即b2-4ac≥0時，設(shè)方程的兩個根分別為x1，x2，則有x1+x2=，x1x2=．5．（2023春·福建南平·九年級專題練習）兩個關(guān)于的一元二次方程和，其中，，是常數(shù)，且，如果是方程的一個根，那么下列各數(shù)中，一定是方程的根的是（

）A．2020 B． C．-2020 D．【答案】C【分析】根據(jù)一元二次方程的定義以及一元二次方程的解法即可求出答案．【詳解】∵，，a+c=0∴，∵ax2+bx+c=0和cx2+bx+a=0，∴，，∴，，∵是方程的一個根，∴是方程的一個根，∴是方程的一個根，即是方程的一個根故選：C．【點睛】本題考查了一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練運用一元二次方程的定義以及方程的解的概念．6．（2022秋·九年級課時練習）要使關(guān)于x的一元二次方程有兩個實數(shù)根，且使關(guān)于x的分式方程的解為非負數(shù)的所有整數(shù)的個數(shù)為（

）A．5個 B．6個 C．7個 D．8個【答案】B【分析】根據(jù)一元二次方程根的情況得到且解得：且，再把分式方程化簡求值得：，因為解為非負數(shù)，且即且，所以且，即可得出滿足題意的整數(shù)解．【詳解】解：關(guān)于x的一元二次方程有兩個實數(shù)根則且關(guān)于x的分式方程去分母得：解得：分式方程的解為非負數(shù)且即且且滿足題意的整數(shù)的值為故答案為：B．【點睛】本題考查一元二次方程根的情況、分式方程的解，注意二次項系數(shù)不為0及分式方程的解要有意義，這是此題的易錯點．7．（2022秋·全國·九年級專題練習）對于一元二次方程，有下列說法：①若，則方程必有一個根為1；②若方程有兩個不相等的實根，則方程必有兩個不相等的實根；③若是方程的一個根，則一定有成立；④若是一元二次方程的根，則．其中正確的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】A【分析】按照方程的解的含義、一元二次方程的實數(shù)根與判別式的關(guān)系、等式的性質(zhì)、一元二次方程的求根公式等對各選項分別討論，可得答案．【詳解】解：①若x=1時，方程ax2+bx+c=0，則a+b+c=0，∵無法確定a-b+c=0．故①錯誤；②∵方程ax2+c=0有兩個不相等的實根，∴△=0-4ac＞0∴-4ac＞0則方程ax2+bx+c=0的判別式，△=b2-4ac＞0∴方程ax2+bx+c=0必有兩個不相等的實根，故②正確；③∵c是方程ax2+bx+c=0的一個根，則ac2+bc+c=0∴c（ac+b+1）=0若c=0，等式仍然成立，但ac+b+1=0不一定成立，故③錯誤；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，則由求根公式可得：或，∴或∴b2?4ac＝(2ax0+b)2，故④錯誤．故選：A．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的實數(shù)根與判別式的關(guān)系，牢固掌握二者的關(guān)系并靈活運用，是解題的關(guān)鍵．8．（2023春·浙江·八年級期末）若方程的兩個不相等的實數(shù)根滿足，則實數(shù)p的所有值之和為（

）A．0 B． C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)一元二次方程解的定義和根與系數(shù)的關(guān)系得到，，進而推出，則，，即可推出，然后代入，得到，再根據(jù)判別式求出符號題意的值即可得到答案．【詳解】解：∵是方程的兩個相等的實數(shù)根，∴，，∴，∴，∴，∴，同理得，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，解得，∵，∴，∴，∴不符合題意，∴∴符合題意，故選B．【點睛】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，根的判別式，一元二次方程解的定義，熟知一元二次方程的解是使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是解題的關(guān)鍵．9．（2022秋·重慶·九年級西南大學附中?？茧A段練習）對于多項式記為，即；若令，，即；下面幾個結(jié)論正確的個數(shù)有（

）個．（1）存在實數(shù)x使成立，則k的取值范圍是；（2）若，則；（3）若，則或；（4）存在整數(shù)，使成立．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】由，得，根據(jù)，得，可判斷①正確；由，得同號，可判斷②錯誤；由，則可得或，當時，，當時，3，可判斷③錯誤；若，可得，由y為整數(shù)，知x不是整數(shù)，可判斷④錯誤．【詳解】解：若，則，即，∵存在實數(shù)x使成立，∴有實數(shù)根，即，∴，解得，故①正確，符合題意；若，∴，∴同號，∴或，故②錯誤，不符合題意；若；∴，∴或，當時，，當時，3，∴③錯誤，不符合題意；若，則，∴，∴，∴，即，若y為整數(shù)，則x不是整數(shù)，∴不存在整數(shù)x、y，使成立，故④錯誤，不符合題意；∴正確的有①，共1個；故選：A．【點睛】本題考查不等式的解集，涉及一元二次方程根的判別式，不等式，代數(shù)式的值等知識，解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程根的判別式及代數(shù)式的變形．10．（2022春·湖南長沙·八年級?？计谀τ谝辉畏匠蹋邢铝姓f法：①若，則方程必有一個根為1；②若方程有兩個不相等的實根，則方程必有兩個不相等的實根；③若是方程的一個根，則一定有成立．其中正確的有（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】B【分析】按照方程的解的含義、一元二次方程的實數(shù)根與判別式的關(guān)系、等式的性質(zhì)、因式分解法解一元二次方程等知識對各選項分別討論，可得答案．【詳解】解：①當時，，所以方程必有一個根為，故①錯誤．②方程有兩個不相等的實根，則，那么，故方程必有兩個不相等的實根，故②正確．③由是方程的一個根，得．當，則；當，則不一定等于0，故③不一定正確．故選：B．【點睛】本題主要考查一元二次方程的根、一元二次方程的根的判別式、因式分解法解一元二次方程、等式的性質(zhì)，熟練掌握一元二次方程的根、一元二次方程的根的判別式、等式的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．11．（2023春·浙江·七年級專題練習）已知關(guān)于x的方程的兩根均大于1且小于2，則的取值范圍是_____.【答案】【分析】先化簡分式方程得一元二次方程，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系列出兩個根與a，b，的關(guān)系式，最后根據(jù)根的范圍，求出的取值范圍.【詳解】解：，去分母得，，設(shè)的兩個根為，，由根與系數(shù)的關(guān)系可知，，，∴，∵，，均大于1且小于2，∴，，∴．∴．∴．故答案為：【點睛】本題考查根與系數(shù)的關(guān)系和代數(shù)式取值范圍問題，熟練進行解方程，解不等式，正確運算是解題的關(guān)鍵.12．（2023春·浙江·七年級專題練習）已知，為實數(shù)，且滿足，記的最大值為，最小值為，則___________．【答案】【分析】根據(jù)題意得出，進而根據(jù)關(guān)于的方程有實數(shù)解，得出，即可求解．【詳解】解：∵，∴，∴，∵已知，為實數(shù)，且滿足，∴關(guān)于的方程有實數(shù)解，∴，∴，的最大值為，的最大值為：，即，當時，的最小值為：，即，．故答案為：．【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，熟練掌握一元二次方程的根的判別式是解題的關(guān)鍵．13．（2023秋·浙江寧波·八年級?？计谀┮阎叫兴倪呅危?，，點在邊上，將平行四邊形沿翻折，使點落在邊的處，且滿足，則______．【答案】/【分析】過點作于點，交的延長線于點，得出是等腰直角三角形，設(shè)，則，在中，，求得，在中，，得出，即可求解．【詳解】解：如圖，過點作于點，交的延長線于點，設(shè)，則，∵，四邊形是平行四邊形，∴，，，，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴∴，在中，，即解得：或（舍去）在中，，∴解得：∴，故答案為：．【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，解一元二次方程，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．14．（2023春·八年級單元測試）對于實數(shù)a，b，定義運算“*”：，例如：4*2，因為，所以，若、是一元二次方程的兩個根，則的值是______．【答案】或【分析】求出一元二次方程的解，代入新定義對應(yīng)的表達式即可求解．【詳解】∵，∴，∴，或，∴，，或，，當，時根據(jù)，∴，當，時根據(jù)，∴，故答案為：或【點睛】此題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系，對新定義的正確理解是解題的關(guān)鍵．15．（2022秋·江蘇宿遷·九年級統(tǒng)考階段練習）對于實數(shù)a、b，定義運算“*”；，關(guān)于的方程恰好有三個不相等的實數(shù)根，則的取值范圍是___________．【答案】/【分析】根據(jù)新定義的運算，分兩種情況得出兩個關(guān)于的一元二次方程，再由關(guān)于的方程恰好有三個實數(shù)根，得到關(guān)于的兩個一元二次方程的根的情況，然后分情況討論，確定t的取值范圍．【詳解】解：由新定義的運算可得關(guān)于的方程為：當時，即時，有，即：，其根為：是負數(shù)，當時，即，時，有，即：，要使關(guān)于的方程恰好有三個不相等的實數(shù)根，則和都必須有解，∴，∴，（1）當時，即時，方程只有一個根，∵當時，，∴，，∴此時方程只有一個根符合題意，∴不符合題意；（2）當時，方程的兩個根都符合題題意，∵當時，，∴，，∴方程只有一個根符合題意，∴當時，恰好有三個不相等的實數(shù)根；（3）∵當時，方程的一個根，另外一個根，∴此時方程只有一個根符合題意，∵，，∴當時，方程最多有一個根符合題意，∴當時不可能有三個不相等的實根；綜上分析可知，的取值范圍是．故答案為：．【點睛】本題考查了新運算及利用一元二次方程根的情況求字母的取值范圍，讀懂題意，進行分類討論，是解題的關(guān)鍵．16．（2022秋·北京西城·九年級北京四中?？茧A段練習）已知雙曲線與直線交于點，.（1）若，則______；（2）若時，，則k______0，b______0（填“”、“”或“”）.【答案】0【分析】（1）聯(lián)立兩個函數(shù)解析式，整理為：再由根與系數(shù)的關(guān)系求解從而得到：，關(guān)于原點對稱，從而可得答案；（2）由（1）的結(jié)論，結(jié)合，可得：＞，由可得結(jié)合：，可得＞，從而可得答案．【詳解】解：（1）由題意得：，且兩函數(shù)的交點為：，．，，為與的交點，由兩函數(shù)的交點的性質(zhì)可得：，關(guān)于原點對稱，，互為相反數(shù)，故答案為：（2）由（1）得：同理可得：，當時，，且＞，，故答案為：，．【點睛】本題考查的是一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)，同時考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，不等式的性質(zhì)，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．17．（2023·山東棗莊·統(tǒng)考一模）將關(guān)于x的一元二次方程變形為，就可以將表示為關(guān)于x的一次多項式，從而達到“降次”的目的，又如…，我們將這種方法稱為“降次法”，通過這種方法可以化簡次數(shù)較高的代數(shù)式．根據(jù)“降次法”，已知：，且．則的值為_______．【答案】【分析】先將變形為，再利用“降次法”將轉(zhuǎn)化為，然后解一元二次方程，求出，再代入求值即可．【詳解】解：，∴．∴，，，，，，．∵，，∴∴，∵，；∴原式．故答案為：．【點睛】本題考查代數(shù)式求值和解一元二次方程．理解并掌握“降次法”，是解題的關(guān)鍵．18．（2022秋·江蘇鹽城·九年級統(tǒng)考期中）對于一切不小于2的自然數(shù)n，關(guān)于x的一元二次方程的兩個根為，則__________．【答案】【分析】由根與系數(shù)的關(guān)系得，，所以，則，然后代入即可求解．【詳解】由根與系數(shù)的關(guān)系得，，所以，則，則．故答案為：．【點睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，難度較大，關(guān)鍵是根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出一般形式再進行代入求值．19．（2022春·陜西西安·八年級高新一中?？计谀?）若，且有，則的值是______．（2）如果方程的三個根可以作為一個三角形的三邊之長，那么實數(shù)k的取值范圍是______．【答案】【分析】（1）根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)可得再變形可得可得是方程的兩個根，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得答案；（2）先解方程可得或設(shè)的兩根分別為可得再利用列不等式，再解不等式即可得到答案．【詳解】解：（1）∵，∴則則是方程的兩個根，（2），∴或設(shè)的兩根分別為解得：由三角形的三邊關(guān)系可得：而所以解得：綜上：k的取值范圍是故答案為：（1）；（2）【點睛】本題考查的是非負數(shù)的性質(zhì)，高次方程的解法，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，一元一次不等式組的解法，三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用，構(gòu)建新的一元二次方程，再利用根的判別式與根與系數(shù)的關(guān)系解題是關(guān)鍵．20．（2023春·江蘇·八年級期末）韋達是法國杰出的數(shù)學家，其貢獻之一是發(fā)現(xiàn)了多項式方程根與系數(shù)的關(guān)系，如一元二次方程的兩實數(shù)根分別為，則方程可寫成，即，容易發(fā)現(xiàn)根與系數(shù)的關(guān)系：．設(shè)一元三次方程三個非零實數(shù)根分別，現(xiàn)給出以下結(jié)論：①，②；③；④，其中正確的是__________（寫出所有正確結(jié)論的序號）．【答案】①③【分析】仿照題意所給的方法，得到原方程為，由此求解即可．【詳解】解；∵一元三次方程三個非零實數(shù)根分別，∴，∴，∴，∴，∴，，，∴①③正確，②不正確；∵，∴④不正確，故答案為：①③．【點睛】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，分式的化簡，多項式乘法的應(yīng)用，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．21．（2022春·八年級單元測試）對于任意實數(shù)k，方程總有一個根是1(1)求實數(shù)a，b；(2)求另一個根的范圍．【答案】(1)，；(2)方程的另一個根的范圍是．【分析】（1）將代入方程有，根據(jù)題意知對于任意實數(shù)k恒成立，據(jù)此可得；（2）將a、b的值代入方程，并將方程變形為，據(jù)此可得方程的另一個根為，再結(jié)合的取值范圍可得答案．【詳解】（1）解：將代入方程有，根據(jù)題意知對于任意實數(shù)k恒成立，∴，即，則；（2）解：由（1）知方程為，即，所以方程的另一個實數(shù)根為，當時，∵，∴，；當時，∵，，∴，；∴方程的另一個根的范圍是．【點睛】本題主要考查估算一元二次方程的近似解，解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程的解的定義和解一元二次方程的能力．22．（2023·四川南充·統(tǒng)考一模）關(guān)于的一元二次方程中，、、是的三條邊，其中．(1)求證此方程有兩個不相等的實數(shù)根；(2)若方程的兩個根是、，且，求．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)求根公式，寫出一元二次方程的，再根據(jù)、、是的三條邊，結(jié)合，即可解答。（2）根據(jù)韋達定理得，，再用完全平方公式化簡得，代入即可解答。【詳解】（1）解：關(guān)于的一元二次方程去括號，整理為一般形式為：，，、、是的三條邊，其中，，，，此方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）方程的兩個根是、，，，，，即，，，，，，，，，．【點睛】本題考查了一元二次方程的根的判別式,根與系數(shù)的關(guān)系以及勾股定理的應(yīng)用，掌握當，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當，方程有兩個相等的實數(shù)根；當，方程沒有實數(shù)根是解題的關(guān)鍵．23．（2023春·浙江·八年級期中）相傳，大禹治水時，洛水中出現(xiàn)了一個“神龜背上有妙的圖案，史稱“洛書”，用現(xiàn)在的數(shù)字翻譯出來，就是三級幻方．三階幻方是最簡單的幻方，又叫九宮格，它是由九個數(shù)字組成的一個三行三列的矩陣其對角線、橫行、縱向的數(shù)字之和均相等，這個和叫做幻和，正中間那個數(shù)叫中心數(shù)．如圖1，是由1、2、3、4、5、6、7、8、9所組成的一個三階幻方，其幻和為15，中心數(shù)為5．(1)如圖2也是由1、2、3、4、5、6、7、8、9所組成的一個三階幻方，則x的值為______．(2)由1、2、3、4、5、6、7、8、9生成的幻方稱為基本三階幻方，在此基礎(chǔ)上各數(shù)再加或減一個相同的數(shù)，可組成新三階幻方，新三階幻方的幻和也隨之變化，如圖3，是由基本三階幻方中各數(shù)加上m后生成的新三階幻方，該新三階幻方的幻和為的4倍，且，求的值．(3)由1、2、3、4、5、6、7、8、9生成的基本三階幻方中每個數(shù)都乘以或除以一個不為0的數(shù)也可組成一個新三階幻方，如圖4，是由基本三階幻方中各數(shù)乘以p再減2后生成的新三階幻方，其中為9個數(shù)中的最大數(shù)，且滿足求P及的值．【答案】(1)(2)15(3)，【分析】（1）由題意可知，，解方程即可．（2）由題意新三階幻方是由圖1生成的，可得中心數(shù)，幻和為：，進而可得，解方程即可．（3）由數(shù)中最大的數(shù)，可得，，，，根據(jù)，可得，由，得，可得②由，得，進而得，則帶入②得，求得，進而可求得，，可得，．【詳解】（1）由題意可知，，解得，故答案為：4；（2）解：由題意得：中心數(shù)，幻和為：，又∵新三階幻方的幻和為的4倍，∴，∴，又∵，∴∴，即，∴，∴（3）∵數(shù)中最大的數(shù)，∴，，，∴，∵，∴，即：，又∵，∴又∵①∴②又∵，∴即∴，∴帶入②得∴，∴，∴，∴，，∴，∴，．【點睛】本題考查規(guī)律型問題，幻方圖等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學會構(gòu)建方程解決問題，屬于中考?？碱}型．24．（2023春·浙江·八年級期中）正月十五是中華民族傳統(tǒng)的節(jié)日——元宵節(jié)，家家掛彩燈、戶戶吃湯圓已成為世代相沿的習俗．位于北關(guān)古城內(nèi)的盼盼手工湯圓店，計劃在元宵節(jié)前用21天的時間生產(chǎn)袋裝手工湯圓，已知每袋湯圓需要0.3斤湯圓餡和0.5斤湯圓粉，而湯圓店每天能生產(chǎn)450斤湯圓餡或300斤湯圓粉（每天只能生產(chǎn)其中一種）．(1)若這21天生產(chǎn)的湯圓餡和湯圓粉恰好配套，且全部及時加工成湯圓，則總共生產(chǎn)了多少袋手工湯圓？(2)為保證手工湯圓的最佳風味，湯圓店計劃把達21天生產(chǎn)的湯圓在10天內(nèi)銷售完畢．據(jù)統(tǒng)計，每袋手工湯圓的成本為13元，售價為25元時每天可售出225袋，售價每降低2元，每天可多售出75袋．湯圓店按售價25元銷售2天后，余下8天進行降價促銷，第10天結(jié)束后將還未售出的手工湯圓以15元/袋的價格全部賣給古城小吃店，若最終獲利40500元，則促銷時每袋應(yīng)降價多少元？【答案】(1)總共生產(chǎn)了袋手工湯圓(2)促銷時每袋應(yīng)降價3元【分析】（1）設(shè)總共生產(chǎn)了袋手工湯圓，利用這21天生產(chǎn)的湯圓餡和湯圓粉恰好配套做等量關(guān)系列出方程即可；（2）設(shè)促銷時每袋應(yīng)降價元，利用最終獲利40500元做等量關(guān)系列出方程即可．【詳解】（1）設(shè)總共生產(chǎn)了袋手工湯圓，依題意得，解得，經(jīng)檢驗是原方程的解，答：總共生產(chǎn)了袋手工湯圓（2）設(shè)促銷時每袋應(yīng)降價元，當剛好10天全部賣完時，依題意得，整理得：，∴方程無解∴10天不能全部賣完∴第10天結(jié)束后將還未售出的手工湯圓以15元/袋的價格全部賣給古城小吃店的利潤為∴依題意得，解得∵要促銷∴即促銷時每袋應(yīng)降價3元．【點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用以及一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵：（1）找準等量關(guān)系，正確列出一元一次方程；（2）找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程，需要注意分情況討論．25．（2023春·福建南平·九年級專題練習）已知關(guān)于的方程有實數(shù)根．(1)若方程的兩根之和為整數(shù)，求的值；(2)若方程的根為有理根，求整數(shù)的值．【答案】(1)(2)0或10或或12【分析】（1）根據(jù)關(guān)于的方程有兩個根，且為實數(shù)根，先利用一元二次方程的根的判別式確定的取值范圍，再根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，可知，若方程的兩根之和為整數(shù)，即為整數(shù)，即可確定的值；（2）分兩種情況討論：當時，此時關(guān)于的方程為，求解可得，符合題意；當時，對于關(guān)于的方程可有，若方程的根為有理根，且為整數(shù)，則為某一有理數(shù)的平方，據(jù)此分析即可獲得答案．【詳解】（1）解：∵關(guān)于的方程有兩個根，且為實數(shù)根，∴，且，根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，可知，若方程的兩根之和為整數(shù)，即為整數(shù)，∵，∴是整數(shù)，∴，當時，，不符合題意；當時，，，為整數(shù)，符合題意；∴的值為；（2）當時，此時關(guān)于的方程為，解得；當時，對于關(guān)于的方程的根為：，若方程的根為有理根，且為整數(shù)，則為完全平方數(shù)，設(shè)（為正整數(shù)），則：，∵為整數(shù)，設(shè)（為正整數(shù)），∴，∴或或或，解得：或或（不合題意，舍去）或（不合題意，舍去）∴或；當時，解得或（舍去）；當時，解得或，綜上所述，若方程的根為有理根，則整數(shù)的值為0或10或或12．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系以及公式法解一元二次方程等知識，熟練掌握并靈活運用相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．26．（2023春·四川南充·九年級閬中中學?？茧A段練習）已知方程的兩根是、．(1)求的值；(2)求的值；(3)求作一個新的一元二次方程，使其兩根分別等于、的倒數(shù)的立方．（參考公式：．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得，再求得的值，進而求得的值．（2）先根據(jù)二次根式的性質(zhì)將化為，然后通分化簡可得，最后將代入計算即可；（3）由題意可得新一元二次方程的兩個根為和，然后求得和的值，然后根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系即可解答．【詳解】（1）解：∵方程的兩根是、∴∴∴；（2）解：由（1）可知：，，∴（負值舍去）；（3）解：由題意可得新一元二次方程的兩個根為和則所以新的一元二次方程．【點睛】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、完全平方公式的應(yīng)用、二次根式的混合運算等知識點，靈活運用相關(guān)運算法則成為解答本題的關(guān)鍵．27．（2023春·浙江·八年級期末）（1）是關(guān)于的一元二次方程的兩實根，且，求的值．（2）已知：，是一元二次方程的兩個實數(shù)根，設(shè)，，…，．根據(jù)根的定義，有，，將兩式相加，得，于是，得．根據(jù)以上信息，解答下列問題：①直接寫出，的值．②經(jīng)計算可得：，，，當時，請猜想，，之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并給出證明．【答案】（1）1；（2）①，；②，證明見解析【分析】（1）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得出，．由，可得，即得出關(guān)于k的一元二次方程，解出k的值，再根據(jù)一元二次方程根的判別式驗證，舍去不合題意的值即可；（2）①根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得出，，進而可求出，；②由一元二次方程的解的定義可得出，兩邊都乘以，得：①，同理可得：②，再由①+②，得：．最后結(jié)合題意即可得出，即．【詳解】解：（1）∵是關(guān)于的一元二次方程的兩實根，∴，，∴，整理，得：，解得：，．當時，，∴此時原方程沒有實數(shù)根，∴不符合題意；當時，，∴此時原方程有兩個不相等的實數(shù)根，∴符合題意，∴的值為1；（2）①∵，∴．∵，是一元二次方程的兩個實數(shù)根，∴，，∴，；②猜想：．證明：根據(jù)一元二次方程根的定義可得出，兩邊都乘以，得：①，同理可得：②，由①+②，得：，∵，，，∴，即．【點睛】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程根的判別式，一元二次方程的解的定義．掌握一元二次方程的根的判別式為，且當時，該方程有兩個不相等的實數(shù)根；當時，該方程有兩個相等的實數(shù)根；當時，該方程沒有實數(shù)根．熟記一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：和是解題關(guān)鍵．28．（2023秋·重慶北碚·九年級重慶市兼善中學?？计谀θ我庖粋€三位數(shù)，如果滿足各個數(shù)位上的數(shù)字都不為零，且十位上的數(shù)字等于百位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字的平均數(shù)，那么稱這個數(shù)為“快樂數(shù)”．例如：，因為，所以是“快樂數(shù)”．(1)請通過計算判斷是不是“快樂數(shù)”，并直接寫出最大的“快樂數(shù)”；(2)已知一個“快樂數(shù)”（、、，、、為自然數(shù)），且使關(guān)于的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，若，求滿足條件的所有的值．【答案】(1)不是“快樂數(shù)”；最大的“快樂數(shù)”為(2)【分析】（1）根據(jù)“快樂數(shù)”的定義解答即可；（2）根據(jù)“快樂數(shù)”可得出，根據(jù)一元二次方程根的情況可得，再結(jié)合及、、，、、為自然數(shù)可得出、、的值，最后結(jié)合“快樂數(shù)”的定義即可得出答案．【詳解】（1）解：∵，∴不是“快樂數(shù)”，∵各個數(shù)位上的數(shù)字都不為零，且十位上的數(shù)字等于百位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字的平均數(shù)，各個數(shù)位上的數(shù)字最大為，又∵，∴最大的“快樂數(shù)”為．（2）∵為“快樂數(shù)”，∴，∵關(guān)于的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，∴，即，∴，解得：，，，∴，綜上