重難點(diǎn)07函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用問(wèn)題（四大題型）

重難點(diǎn)07函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用問(wèn)題【題型歸納目錄】題型一：零點(diǎn)問(wèn)題題型二：函數(shù)嵌套問(wèn)題題型三：共零點(diǎn)問(wèn)題題型四：等高線問(wèn)題【典型例題】題型一：零點(diǎn)問(wèn)題例1．函數(shù)，，的零點(diǎn)分別為a，b，c，則（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】令，可得，因?yàn)?，所以，，可得，所以；令，可得，因?yàn)椋?，，可得，所以；令，可得，因?yàn)?，所以，，可得，所以；綜上，．故選：A．例2．已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，函數(shù)是滿足的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，若函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以，則當(dāng)時(shí)，，因?yàn)楹瘮?shù)是滿足的偶函數(shù)，所以函數(shù)的一個(gè)周期為，所以函數(shù)的圖像如下：函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)即為的圖像有個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)顯然不符合題意；當(dāng)時(shí)，與函數(shù)的圖像如圖：有且只有個(gè)交點(diǎn)，與題意不符；當(dāng)時(shí)，若滿足題意，則與函數(shù)的圖像如圖：即，解得．故選：D．例3．已知，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】由題設(shè)，當(dāng)時(shí)且遞減，當(dāng)時(shí)且遞減，令，則，可得或，如下圖示：由圖知：時(shí)有一個(gè)零點(diǎn)，時(shí)有兩個(gè)零點(diǎn)，故共有3個(gè)零點(diǎn)．故選：C變式1．已知定義在上的偶函數(shù)的圖像是連續(xù)的，，在區(qū)間上是增函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的一個(gè)周期為6 B．在區(qū)間上單調(diào)遞增C．的圖像關(guān)于直線對(duì)稱 D．在區(qū)間上共有100個(gè)零點(diǎn)【答案】C【解析】因?yàn)?，所以令，得，故，又為偶函?shù)，所以，所以，即，故，所以的一個(gè)周期為12，故A錯(cuò)誤；又在區(qū)間上是增函數(shù)，所以在區(qū)間上是減函數(shù)，由周期性可知在區(qū)間上單調(diào)遞減，故B錯(cuò)誤；因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，由周期性可知圖像關(guān)于直線對(duì)稱，故C正確；因?yàn)樵趨^(qū)間上是增函數(shù)，所以在區(qū)間上是減函數(shù)，又，所以由周期性可知，在區(qū)間上，，而區(qū)間上有168個(gè)周期，故在區(qū)間上有336個(gè)零點(diǎn)，又，所以在區(qū)間上有337個(gè)零點(diǎn)，由于為偶函數(shù)，所以在區(qū)間上有674個(gè)零點(diǎn)，故D錯(cuò)誤；故選：C．變式2．若函數(shù)滿足，且時(shí)，，已知函數(shù)則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．14 B．13 C．12 D．11【答案】C【解析】因?yàn)?，則，所以是周期為2函數(shù)，因?yàn)闀r(shí)，則、的圖象如下：時(shí)且遞增，時(shí)且遞減，時(shí)且遞增，又，，，由圖知：區(qū)間上函數(shù)交點(diǎn)共有12個(gè)．故選：C．變式3．已知函數(shù)在恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)為減函數(shù)，且，若，此時(shí)當(dāng)時(shí)，無(wú)零點(diǎn)，所以當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)，由，得，此時(shí)滿足條件，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，只有一個(gè)零點(diǎn)，要使恰有2個(gè)零點(diǎn)，則只需當(dāng)時(shí)，只有一個(gè)零點(diǎn)即可，由，得，當(dāng)時(shí)，由，得，只有一個(gè)零點(diǎn)，滿足條件，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以要使?dāng)時(shí)只有一個(gè)零點(diǎn)，則且，得，此時(shí)或，綜上，或，即實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選：D變式4．已知函數(shù)恰有3個(gè)不相等的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，且，若，此時(shí)當(dāng)時(shí)，沒(méi)有零點(diǎn)，則必須當(dāng)時(shí)，有3個(gè)零點(diǎn)，由，得，，不滿足；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，只有1個(gè)零點(diǎn)，要使恰有3個(gè)零點(diǎn)，則需當(dāng)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)，由得或，∴要使當(dāng)時(shí)有2個(gè)零點(diǎn)，且，得，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選：A．變式5．函數(shù)，若有個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由，可得，解得或，如下圖所示：由圖可知，直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，又因?yàn)楹瘮?shù)有四個(gè)零點(diǎn)，故直線與函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，且，所以，且，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選：D．題型二：函數(shù)嵌套問(wèn)題例4．已知函數(shù)若方程有4個(gè)不同的零點(diǎn)，且，則（

）A．10 B．8 C．6 D．4【答案】A【解析】由題意，方程有4個(gè)不同的零點(diǎn)，即曲線與直線有4個(gè)不同的交點(diǎn)，如下圖因?yàn)椋杂蓤D知，且，可得：，∴，解得：，則，∴.故選：A.例5．設(shè)函數(shù)，若函數(shù)有且只有2個(gè)不同的零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由題意知函數(shù)，有2個(gè)不同的零點(diǎn)；令，得，有2個(gè)對(duì)應(yīng)的根，根據(jù)判別式法則有與兩種情況：當(dāng)時(shí)，即，得，即，解得，即，此時(shí)無(wú)解，所以此種情況不符題意；當(dāng)時(shí)，即，得；設(shè)的實(shí)根為：和，不妨設(shè)，則，則方程與一共有兩個(gè)不等實(shí)根．進(jìn)一步可知：方程和有且僅有一個(gè)方程有兩個(gè)不等實(shí)根．即和中一個(gè)方程有兩不等實(shí)根，另一個(gè)方程無(wú)實(shí)根．因?yàn)?，所以，即，即，則，設(shè)，則，則，所以，解得，，，即．故選：B.例6．已知函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】C【解析】函數(shù)的零點(diǎn)，即方程和的根，函數(shù)的圖象，如下圖所示：由圖可得方程和的根，共有4個(gè)根，即函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn)．故選：C．變式6．已知函數(shù)，若函數(shù)有6個(gè)不同的零點(diǎn)，且最小的零點(diǎn)為，則（

）A．6 B． C．2 D．【答案】B【解析】由函數(shù)的圖象，經(jīng)過(guò)沿軸翻折變換，可得函數(shù)的圖象，再經(jīng)過(guò)向右平移1個(gè)單位，可得的圖象，最終經(jīng)過(guò)沿軸翻折變換，可得的圖象，如下圖：則函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，令，則，由圖可知，當(dāng)時(shí)，有個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，有個(gè)零點(diǎn)，因?yàn)楹瘮?shù)有6個(gè)不同的零點(diǎn)，所以函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，一個(gè)等于，一個(gè)大于，又因?yàn)榈淖钚〉牧泓c(diǎn)為，且，所以函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，一個(gè)等于，一個(gè)等于，根據(jù)韋達(dá)定理得，，即，，則．故選：B．變式7．已知函數(shù)，則函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)最多是（

）A．10 B．12 C．14 D．16【答案】B【解析】畫(huà)出的圖像，如圖所示，由，令，得，設(shè)，由圖像可知，則，得的圖像，如圖所示，由圖像可知，，①當(dāng)時(shí)，即，沒(méi)有根；②當(dāng)時(shí)，即，此時(shí)有3個(gè)根，，，當(dāng)時(shí)，即，有3個(gè)根，當(dāng)時(shí)，即，有4個(gè)根，當(dāng)時(shí)，即，有4個(gè)根，故時(shí)，有11個(gè)根；③當(dāng)時(shí)，，此時(shí)有三個(gè)根，，當(dāng)時(shí)，即，有4個(gè)根，當(dāng)時(shí)，即，有4個(gè)根，當(dāng)時(shí)，即，有4個(gè)根，故時(shí)，有12個(gè)根；綜上所述，最多有12個(gè)根，故選：B．變式8．函數(shù)，則函數(shù)的所有零點(diǎn)之和為（

）A．0 B．3 C．10 D．13【答案】D【解析】令，由得或，所以或，當(dāng)時(shí)，或，當(dāng)時(shí)，則或，解得，所以函數(shù)的所有零點(diǎn)之和為.故選：D.變式9．已知函數(shù)，若函數(shù)恰有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由已知得，所以或，作出函數(shù)的圖象，得的圖象與直線恰有2個(gè)交點(diǎn)，所以由題意知直線與的圖象沒(méi)有交點(diǎn)，所以或，故選：B．變式10．已知函數(shù)，若函數(shù)有七個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】令，解得或，作出函數(shù)的圖象，如圖所示，與有4個(gè)交點(diǎn)，即方程有4個(gè)不相等的實(shí)根，由題意可得：方程有3個(gè)不相等的實(shí)根，即與有3個(gè)交點(diǎn)，故實(shí)數(shù)t的取值范圍是.故選：D.變式11．已知函數(shù)，若恰有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)，則恰有3個(gè)零點(diǎn)，即的圖象與的圖象恰有3個(gè)不同的交點(diǎn).的圖象如圖所示.不妨設(shè)，所以，所以，即，即，所以，所以，故選：A.題型三：共零點(diǎn)問(wèn)題例7．若關(guān)于的方程有三不等的實(shí)數(shù)根，，，且滿足其中兩根，，則的取值范圍是A． B．， C． D．【解析】解：設(shè)，滿足其中兩根，，，（1），，，即，，，當(dāng)時(shí)，有一個(gè)根，不滿足題意，故，，即，解得，故選：．例8．（2023?永州校級(jí)月考）已知函數(shù)，且（1）（2）（3），則的取值范圍是A． B． C． D．【解析】解：由（1）（2）（3），得，解得，則，由（1），得．即．故選：．例9．在下列各圖中，與的圖象只可能是A． B． C． D．【解析】解：在中，由二次函數(shù)開(kāi)口向上，故故此時(shí)一次函數(shù)應(yīng)為單調(diào)遞增，故不正確；在中，由，則二次函數(shù)圖象必過(guò)原點(diǎn)故也不正確；在中，由二次函數(shù)開(kāi)口向下，故故此時(shí)一次函數(shù)應(yīng)為單調(diào)遞減，故不正確；故選：．變式12．（2023?浙江）已知，且，對(duì)于任意均有，則A． B． C． D．【解析】解：設(shè)，可得的圖象與軸有三個(gè)交點(diǎn)，即有三個(gè)零點(diǎn)，，且，由題意知，在上恒成立，則，，，可得，恒成立，排除，；我們考慮零點(diǎn)重合的情況，即中間和右邊的零點(diǎn)重合，左邊的零點(diǎn)在負(fù)半軸上．則有或或三種情況，此時(shí)顯然成立；若，則不成立；若，即，可得，且和都在正半軸上，符合題意，綜上恒成立．故選：．變式13．（2023?海南）若定義在的奇函數(shù)在單調(diào)遞減，且（2），則滿足的的取值范圍是A．，， B．，， C．，， D．，，【解析】解：定義在的奇函數(shù)在單調(diào)遞減，且（2），的大致圖象如圖：在上單調(diào)遞減，且；故；當(dāng)時(shí)，不等式成立，當(dāng)時(shí)，不等式成立，當(dāng)或時(shí)，即或時(shí)，不等式成立，當(dāng)時(shí)，不等式等價(jià)為，此時(shí)，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，不等式等價(jià)為，即，得，綜上或，即實(shí)數(shù)的取值范圍是，，，故選：．變式14．（2023?長(zhǎng)沙期末）設(shè)，若時(shí)，均有，則．【解析】解：當(dāng)時(shí)，均有，（1）時(shí)，代入題中不等式，明顯不成立．（2），構(gòu)造函數(shù)，，它們都過(guò)定點(diǎn)．考查函數(shù)：令，得，，．考查函數(shù)，時(shí)均有，故的圖象經(jīng)過(guò)，代入得，，解之得：，或（舍去）．故答案為：．變式15．（2023?杭州期末）若不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，則A． B．0 C．1 D．2【解析】解：不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，由于的解集為，，可得在，恒成立，可得，且，即且，解得，又的解集為，，，可得在，，恒成立，可得，或，即或，解得，綜上可得，故選：．題型四：等高線問(wèn)題例10．已知函數(shù)，若存在四個(gè)實(shí)數(shù)a，b，c，d，滿足，，則的取值范圍為（

）A．(0，+∞) B． C． D．【答案】C【解析】依題意，可得的圖象如圖所示：所以時(shí)，與的圖象有四個(gè)交點(diǎn)，又因?yàn)?，由圖象及函數(shù)性質(zhì)知:，易知:，，所以，又因?yàn)?，所以，則.故選：C.例11．已知函數(shù)，若存在四個(gè)實(shí)數(shù)，，，，滿足，，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖所示，由的圖象可知所以時(shí)，與的圖象有四個(gè)交點(diǎn)，不妨假設(shè)，由圖象及函數(shù)性質(zhì)知：，易知：，，所以，，則．故選：C例12．函數(shù)若,且,則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】解:由題知,所以,畫(huà)出圖象如下:由圖象可知:,且有即,因?yàn)?所以,即,所以,因?yàn)?所以,因?yàn)?所以,由可得,即,所以,即.故選:B變式16．已知函數(shù)，若方程有四個(gè)不同的解且，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由題意作函數(shù)與的圖象，∵方程有四個(gè)不同的解且，∴關(guān)于對(duì)稱，即，當(dāng)?shù)没?，則，由題知，，故，所以，故，因?yàn)?，設(shè)，則由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知，在單調(diào)遞增，所以，的取值范圍是故選：B.變式17．已知函數(shù)，若且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】畫(huà)出函數(shù)的圖象如圖，若，由，即，即，即，所以，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，且，令，則，所以，.故選：D.變式18．已知函數(shù)，若??均不相等且，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】作出函數(shù)的圖象如圖，不妨設(shè)，則所以，則．故選：．變式19．已知函數(shù)，若a，b，c互不相等，且，則abc的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)已知畫(huà)出函數(shù)圖象：不妨設(shè)，（a）（b）（c），，，解得，，．故選：B變式20．已知函數(shù)，若（)，則的取值范圍是A． B．C． D．【答案】C【解析】畫(huà)出圖像,結(jié)合圖像即可推出,,從而可得結(jié)論.畫(huà)出圖像如下圖所示:由圖可知,,即,又,所以,故選:C.變式21．已知，若存在三個(gè)不同實(shí)數(shù)，，使得，則的取值范圍是（

）A．(0,1) B．[2,0) C． D．（0,1）【答案】C【解析】，畫(huà)出函數(shù)圖像，如圖所示：根據(jù)圖像知：，，故，故.故選：.變式22．函數(shù)，若且，，互不相等，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】作出函數(shù)的圖象（如圖所示），∵且，，互不相等，不妨令，∴，∴由得，即，即，∴，由函數(shù)