人教A版高中數(shù)學必修第二冊同步講義第32講 直線與平面垂直（原卷版）

第32講直線與平面垂直目標導航目標導航課程標準課標解讀了解直線與平面垂直的定義；了解直線與平面所成角的概念.2.掌握直線與平面垂直的判定定理，并會用定理判定線面垂直.3.掌握直線與平面垂直的性質定理，并會用定理證明相關問題．1.本節(jié)主要內容是在直觀認識和理解空間點、線、面的位置關系的基礎上，抽象出空間直線與平而垂直的定義:通過直觀感知、操作確認，歸納出直線與平面垂直的判定定理與性質定理:能運用直線與平面垂直的定義、判定定理和性質定理證明一些空間位置關系的簡單命題教學重點是通過直觀感知、操作確認，歸納出直線與平面垂直的判定定理、性質定理的過程，其核心是理解判定定理、性質定理的條件由內容所反映的數(shù)學思想是轉化與化歸思想，體現(xiàn)在不同語言之間的轉化，把線面垂首問題轉化為線線垂直問題2.直線與平面重直的研究是直線與直線垂直研究的繼續(xù)，世為平面與平面重直的研究做了灘各線公全屏面垂直是在學生掌握了線在面內、線面平行之后緊接著研究的線面相交位置關系中的行中，我們研究了定義、判定定理以及性質定理，為本節(jié)課提供了研究內容和研究方“下一篇面垂直的判定定理、性質定理的教學，盡管新課標在必修課程中不要求證明，但通過5A程，培養(yǎng)和發(fā)展學生的幾何直覺以及運用圖形語言進行交流的能力，是本節(jié)課的重要任務知識精講知識精講知識點01直線與平面垂直的定義定義如果直線l與平面α內的任意直線都垂直，我們就說直線l與平面α互相垂直記法有關概念直線l叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的，它們唯一的公共點P叫做圖示畫法畫直線與平面垂直時，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直【即學即練1】如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，與AD1垂直的平面是()A．平面DD1C1C B．平面A1DB1C．平面A1B1C1D1 D．平面A1DB知識點02直線與平面垂直的判定定理文字語言如果一條直線與一個平面內的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直符號語言l⊥a，l⊥b，a?α，b?α，＝P?l⊥α圖形語言【即學即練2】如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中點，M，N分別在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.證明：AE∥MN.反思感悟證明線線平行的常用方法(1)利用線線平行定義：證共面且無公共點．(2)利用基本事實4：證兩線同時平行于第三條直線．(3)利用線面平行的性質定理：把證線線平行轉化為證線面平行．(4)利用線面垂直的性質定理：把證線線平行轉化為證線面垂直.(5)利用面面平行的性質定理：把證線線平行轉化為證面面平行．知識點03直線與平面所成的角有關概念對應圖形斜線一條直線與一個平面相交，但不與這個平面，這條直線叫做這個平面的斜線，如圖中斜足斜線和平面的交點，如圖中點A射影過斜線上斜足以外的一點向平面引，過垂足和斜足的直線叫做斜線在這個平面上的射影，如圖中斜線PA在平面α上的射影為直線與平面所成的角定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角，如圖中規(guī)定：一條直線垂直于平面，它們所成的角是90°；一條直線和平面平行，或在平面內，它們所成的角是取值范圍設直線與平面所成的角為θ，則【即學即練3】如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中．(1)求A1B與平面AA1D1D所成的角；(2)求A1B與平面BB1D1D所成的角．反思感悟(1)求直線與平面所成角的關鍵是尋找過直線上一點與平面垂直的垂線、垂足與斜足的連線即為直線在平面內的射影，直線與直線在平面內射影所成的角即為線面角．(2)通過作輔助線找垂線，確定線面角，提升直觀想象、邏輯推理的素養(yǎng)．知識點04直線與平面垂直的性質定理文字語言垂直于同一個平面的兩條直線平行符號語言eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α，,b⊥α))?a∥b圖形語言反思感悟一條直線與一個平面平行時，這條直線上任意一點到這個平面的距離，叫做這條直線到這個平面的距離，如果兩個平面平行，那么其中一個平面內的任意一點到另一個平面的距離都相等，我們把它叫做這兩個平行平面間的距離．【即學即練4】如圖所示，四邊形ABCD是正方形，DE⊥平面ABCD，DE＝DA＝2.(1)求證：AC⊥平面BDE；(2)求AE與平面BDE所成角的大?。芰ν卣鼓芰ν卣箍挤?1直線與平面垂直的定義以及判定定理的理解【典例1】(多選)下列命題中，不正確的是()A．若直線l與平面α內的一條直線垂直，則l⊥αB．若直線l不垂直于平面α，則α內沒有與l垂直的直線C．若直線l不垂直于平面α，則α內也可以有無數(shù)條直線與l垂直D．若直線l與平面α內的無數(shù)條直線垂直，則l⊥α反思感悟對于線面垂直的定義要注意“直線垂直于平面內的所有直線”說法與“直線垂直于平面內無數(shù)條直線”不是一回事．【變式訓練】如果一條直線垂直于一個平面內的：①三角形的兩邊；②梯形的兩邊；③圓的兩條直徑；④正五邊形的兩邊．能保證該直線與平面垂直的是________．(填序號)考法02直線與平面垂直的判定【典例2】如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M為CC1的中點，AC與BD交于點O，求證：A1O⊥平面MBD.反思感悟證明線面垂直的方法(1)由線線垂直證明線面垂直：①定義法(不常用)；②判定定理(最常用)，要著力尋找平面內的兩條相交直線(有時需要作輔助線)，使它們與所給直線垂直．(2)平行轉化法(利用推論)：①a∥b，a⊥α?b⊥α；②α∥β，a⊥α?a⊥β.【變式訓練】如圖，AB為⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面，M為圓周上任意一點，AN⊥PM，N為垂足．(1)求證：AN⊥平面PBM；(2)若AQ⊥PB，垂足為Q，求證：NQ⊥PB.考法03直線與平面垂直的性質【典例3】在四面體P－ABC中，若PA＝PB＝PC，則點P在平面ABC內的射影一定是△ABC的()A．外心 B．內心C．垂心 D．重心【變式訓練】如圖所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB∶BB1＝eq\r(2)∶1，則AB1與平面BB1C1C所成角的大小為()A．45° B．60°C．30° D．75°分層提分分層提分題組A基礎過關練一、單選題1．已知SKIPIF1<0所在的平面為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是兩條不同的直線，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的位置關系是（）A．相交 B．異面 C．平行 D．不確定2．設l，m是兩條不同的直線，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是兩個不同的平面，則下面命題中正確的是（）A．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0 B．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0 D．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<03．下列命題為真命題的是（）A．若直線l與平面α上的兩條直線垂直，則直線l與平面α垂直B．若兩條直線同時垂直于一個平面，則這兩條直線平行C．若兩個平面同時垂直于第三個平面，則這兩個平面垂直D．若直線l上的不同兩點到平面α的距離相等，則直線l與平面α平行4．已知SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是兩條不同的直線，SKIPIF1<0是一個平面，則（）A．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0B．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<05．如圖，正方體SKIPIF1<0中，E?F是線段A1C1上的兩個動點，且EF長為定值，下列結論中不正確的是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0面CEFC．三角形BEF和三角形CEF的面積相等 D．三棱錐B-CEF的體積為定值6．已知四面體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則四面體的外接球的表面積為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、多選題7．設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為不重合的兩條直線，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為不重合的兩個平面，下列命題正確的是（）A．若SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0； B．若SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；C．若SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0； D．若SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.8．如圖，在正方體中，O為底面的中心，P為所在棱的中點，M，N為正方體的頂點．則滿足SKIPIF1<0的是（）A． B．C． D．三、填空題9．在正四面體SKIPIF1<0中，直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的大小為________．10．若SKIPIF1<0，線段SKIPIF1<0所在直線和平面SKIPIF1<0成30°角，且SKIPIF1<0，則點SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離=___________11．對于任意給定的兩條異面直線，存在______條直線與這兩條直線都垂直．12．如圖（1）平行六面體容器SKIPIF1<0盛有高度為SKIPIF1<0的水，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.固定容器底面一邊SKIPIF1<0于地面上，將容器傾斜到圖（2）時，水面恰好過SKIPIF1<0四點，則SKIPIF1<0的值為___________.四、解答題13．如圖，在三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．14．如圖所示，在SKIPIF1<0中，側棱SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，且底面是邊長為2的正三角形，側棱長為1，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點.（Ⅰ）求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（Ⅱ）求直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值；（Ⅲ）求二面角SKIPIF1<0的大小.15．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，△PCD為等邊三角形，平面PAC⊥平面PCD，PA⊥CD，CD＝2，AD＝3．(1)求證：PA⊥平面PCD；(2)求直線AD與平面PAC所成角的正弦值．16．如圖，在三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0（SKIPIF1<0與SKIPIF1<0、SKIPIF1<0不重合）分別在棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．求證：（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0．題組B能力提升練一、單選題1．在正方體SKIPIF1<0中，直線SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0（l與直線SKIPIF1<0不重合），則（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0與l異面但不垂直 D．SKIPIF1<0與l相交但不垂直2．上海海關大樓的頂部為逐級收攏的四面鐘樓，如圖，四個大鐘分布在四棱柱的四個側面，則每天0點至12點（包含0點，不含12點）相鄰兩鐘面上的時針相互垂直的次數(shù)為（）A．0 B．2 C．4 D．123．已知點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0的兩側，且點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距離分別為3和5，則AB的中點到SKIPIF1<0的距離為（）A．4 B．3 C．2 D．14．如圖，在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0為棱SKIPIF1<0的中點，則下列結論不正確的是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0//平面SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0//平面SKIPIF1<05．已知平面SKIPIF1<0內的SKIPIF1<0，射線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角均為135°，則SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角SKIPIF1<0的余弦值是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．如圖，在SKIPIF1<0中，點Р在SKIPIF1<0所在平面外，點O是P在平面ABC上的射影，且點O在SKIPIF1<0的內部．若PA，PB，PC兩兩垂直，那么點О是SKIPIF1<0的（）A．外心 B．內心 C．垂心 D．重心二、多選題7．已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為1，E是DD1的中點，則下列選項中正確的是（）A．AC⊥B1EB．B1C∥平面A1BDC．三棱錐C1﹣B1CE的體積為SKIPIF1<0D．異面直線B1C與BD所成的角為45°8．如圖所示，在三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0的中點.則（）A．SKIPIF1<0與SKIPIF1<0垂直B．SKIPIF1<0與SKIPIF1<0平行C．點SKIPIF1<0到點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的距離相等D．SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角可能相等三、填空題9．在三棱錐SKIPIF1<0中，點Р在底面ABC內的射影為Q，若SKIPIF1<0，則點Q定是SKIPIF1<0的______心．10．菱形ABCD的對角線AC、BD的交點為O，P是菱形所在平面外一點，SKIPIF1<0平面ABCD，則異面直線AC與PD所成角大小為______．【答案】SKIPIF1<0##SKIPIF1<011．在三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0中的射影是SKIPIF1<0的垂心，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面積之和為4，則三棱錐SKIPIF1<0的外接球表面積的最小值為______．12．在三棱錐SKIPIF1<0中，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則該三棱錐外接球的表面積是___________.【答案】SKIPIF1<0##SKIPIF1<0四、解答題13．如圖，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，四邊形SKIPIF1<0為矩形，