數(shù)列在分期付款中的應(yīng)用

數(shù)列在分期付款中的應(yīng)用CONTENTSPart2Part3Part4Part1數(shù)

列

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分

期

付

款

中

的

應(yīng)

用教材分析教法分析教學(xué)程序教學(xué)評(píng)價(jià)1教材分析

本節(jié)課是試驗(yàn)修訂版的全日制普通高中數(shù)學(xué)教材中第三章數(shù)列的最后一節(jié)，是等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式在購(gòu)物方式上的應(yīng)用。此外，新教材將研究性課題列為必修內(nèi)容，是為迎接知識(shí)經(jīng)濟(jì)的挑戰(zhàn)而培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神和創(chuàng)新能力的一項(xiàng)開(kāi)創(chuàng)性工作——注重的是讓學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)和研究，關(guān)注的是研究過(guò)程，其核心是創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)。而本課題，又是所學(xué)知識(shí)的實(shí)際應(yīng)用，因此對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)也具有很高的價(jià)值。但是，受傳統(tǒng)學(xué)科教學(xué)目標(biāo)、內(nèi)容、時(shí)間和教學(xué)方式、教學(xué)條件等的局限，在進(jìn)行研究性教學(xué)上尚有一定的困難。因此，我將重點(diǎn)放在題型的講解與研究上。一方面，這能面向全體學(xué)生,另一方面,與高考緊密相關(guān).本研究性學(xué)習(xí)課題，是屬數(shù)列的應(yīng)用題，這是數(shù)列中的重點(diǎn)題型，也是高考中的常見(jiàn)題型。因此，其地位不容忽視?！罱滩牡牡匚慌c作用

此前學(xué)生已掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式,并學(xué)習(xí)了教材中P124的閱讀材料:有關(guān)儲(chǔ)蓄的計(jì)算(單利計(jì)息問(wèn)題),也就是說(shuō)學(xué)生在知識(shí)和應(yīng)用能力方面都有了一定基礎(chǔ)。

☆學(xué)情分析1教材分析

我將本課題分成兩至三課時(shí)講解。第一課時(shí),引入課題并探究分期付款問(wèn)題的求解方法,同時(shí)為下節(jié)課的學(xué)習(xí)作好鋪墊；第二課時(shí),在第一課時(shí)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上,理解遞推關(guān)系an+1=pan+q轉(zhuǎn)化為bn+1=pbn的方法和思路,會(huì)用待定系數(shù)法求遞推關(guān)系an+1=pan+q給出的遞推數(shù)列的通式;能把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題,掌握與遞推關(guān)系an+1=pan+q有關(guān)的一類(lèi)數(shù)學(xué)應(yīng)用型問(wèn)題的解法。分期付款問(wèn)題an+1=pan+qan+1=pan+f(n){an+c}是等比數(shù)列成果應(yīng)用1教材分析☆內(nèi)容的選擇與處理

針對(duì)學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)和研究性課題教學(xué)的特點(diǎn),我確定本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)如下：了解分期付款的有關(guān)知識(shí)，掌握銀行在存款和貸款兩方面利息的計(jì)算方法，使學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上掌握等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式在分期付款中的應(yīng)用;會(huì)應(yīng)用數(shù)列知識(shí)建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題,并且獲得研究問(wèn)題的一般方法.發(fā)展學(xué)生獨(dú)立探究和解決問(wèn)題的能力,提高學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新能力。☆教學(xué)目標(biāo)的確定1教材分析

為切實(shí)實(shí)現(xiàn)以上教學(xué)目標(biāo)，我將本節(jié)課的重點(diǎn)放在利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式,建立相應(yīng)的方程進(jìn)行求解.如何將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型是難點(diǎn)。如何突破難點(diǎn)？首先,教師要適時(shí)恰當(dāng)?shù)囊龑?dǎo),并給學(xué)生以充足時(shí)間探討。其次，之前認(rèn)真復(fù)習(xí)有關(guān)知識(shí)，為突破難點(diǎn)及進(jìn)一步探究打下基礎(chǔ)。再次，充分利用網(wǎng)絡(luò)等多媒體技術(shù)。1教材分析☆教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)2教法分析

根據(jù)本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生的實(shí)際水平,我采用的是引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法和CAI輔助教學(xué)。

(1)引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法是通過(guò)教師的引導(dǎo)、啟發(fā),調(diào)動(dòng)學(xué)生參與教學(xué)活動(dòng)的積極性,充分發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用和學(xué)生的主體作用.在教學(xué)中通過(guò)設(shè)置疑問(wèn),創(chuàng)造出思維情境,然后引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)腦,動(dòng)手,動(dòng)口,使學(xué)生在開(kāi)放、民主、和諧的教學(xué)氛圍中獲取知識(shí),提高能力,促進(jìn)思維的發(fā)展。

(2)借助CAI輔助教學(xué),增大教學(xué)的容量和直觀性,增強(qiáng)學(xué)習(xí)興趣,從而達(dá)到提高教學(xué)效果和教學(xué)質(zhì)量的目的.(這也符合教學(xué)論中的直觀性原則和可接受性原則)關(guān)于教學(xué)方法與教學(xué)手段的選用

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3教學(xué)程序

我們常說(shuō),問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟.愛(ài)因斯坦曾指出：提出一個(gè)問(wèn)題往往比解決一個(gè)問(wèn)題更重要——它體現(xiàn)的是一種創(chuàng)新。這樣,在研究課題之前就很有必要讓學(xué)生了解課題的產(chǎn)生背景。所以課上先通過(guò)一個(gè)小故事,并展示一些有關(guān)分期付款的應(yīng)用方面的資料,用來(lái)說(shuō)明分期付款問(wèn)題已經(jīng)深入到我們的生活中。這樣切實(shí)將學(xué)生帶入問(wèn)題情境,使學(xué)生了解到問(wèn)題不是憑空編造出來(lái)的,而是客觀存在的,是與我們生活緊密相關(guān)的,在突出課題的實(shí)踐性的同時(shí),也引起了學(xué)生的認(rèn)知沖突。創(chuàng)設(shè)情境提出課題一次性付出大筆現(xiàn)金購(gòu)買(mǎi)心意本本是不是很心疼啊?現(xiàn)在不用擔(dān)心了，聯(lián)想筆記本與招商銀行進(jìn)行合作，消費(fèi)者可以登陸招商銀行網(wǎng)上商城，只要擁有了一張招商銀行的信用卡，就可以采用分期付款的方式，分三到二十四期，每期只需要還款給銀行幾百到一千元左右就可以擁有一臺(tái)您期待已久的聯(lián)想筆記本電腦了。聯(lián)想筆記本負(fù)責(zé)分期付款事宜的相關(guān)人士表示，或許動(dòng)輒上千元的東西在有錢(qián)人看來(lái)并不算什么，但是對(duì)于普通的工薪階層來(lái)說(shuō)，一次性就需要付出好幾個(gè)月的薪水，還是比較困難，聯(lián)想筆記本之所以與招商銀行網(wǎng)上商城合作，就是希望可以通過(guò)這種方式讓更多的人能夠盡快的、更輕松的擁有筆記本。而且，目前消費(fèi)者使用招商銀行信用卡在招商銀行網(wǎng)上商城購(gòu)買(mǎi)聯(lián)想筆記本是不收取任何手續(xù)費(fèi)，并完全免息的

/156/3262656.shtml研究課題1．引入課題2．教師引導(dǎo)3．復(fù)習(xí)回顧，知識(shí)準(zhǔn)備4．探究求解方法5．自主探究，解決問(wèn)題3教學(xué)程序方案類(lèi)別付款次數(shù)付款方法每期所付款額付款總額與一次性付款差額16次購(gòu)買(mǎi)2個(gè)月第1次付款，再過(guò)2個(gè)月第2次付款……購(gòu)買(mǎi)后12個(gè)月第6次付款212次購(gòu)買(mǎi)后1個(gè)月第1次付款，再過(guò)1個(gè)月第2次付款……購(gòu)買(mǎi)后12個(gè)月第12次付款33次購(gòu)買(mǎi)后4個(gè)月第1次付款，再過(guò)4個(gè)月第2次付款，再過(guò)4個(gè)月第3次付款注規(guī)定月利率為1%，每月利息按復(fù)利計(jì)算。1．引入課題

某大學(xué)生欲買(mǎi)一臺(tái)售價(jià)為10000元的筆記本電腦.除一次性付款方式外,

商家還提供在1年內(nèi)將款全部還清的前提下三種分期付款方案(月利率為1%)：⑴購(gòu)買(mǎi)后2個(gè)月第1次付款,再過(guò)2個(gè)月第2次付款…

…購(gòu)買(mǎi)后12個(gè)月第6次付款；⑵購(gòu)買(mǎi)后1個(gè)月第1次付款,過(guò)1個(gè)月第2次付款…

…購(gòu)買(mǎi)后12個(gè)月第12次付款；⑶購(gòu)買(mǎi)后4個(gè)月第1次付款,再過(guò)4個(gè)月第2次付款,再過(guò)4個(gè)月第3次付款。3教學(xué)程序2．教師引導(dǎo)

學(xué)生自然會(huì)有疑問(wèn):讓我們選擇,但沒(méi)告訴各種方案每次付款額分別是多少啊.這恰恰給老師將問(wèn)題進(jìn)行分解提供了一個(gè)好機(jī)會(huì).于是,我可以引導(dǎo)學(xué)生,不妨以方案1為例,每次付款額是不是等于售價(jià)10000元的平均數(shù)呢?顯然要比這多.那么究竟要付多少?能不能根據(jù)已有的條件計(jì)算出來(lái)呢?這里教師對(duì)學(xué)生提出的問(wèn)題給以肯定——指出這正是我們要探究的問(wèn)題的關(guān)鍵所在——既明確研究方向,又使學(xué)生感覺(jué)自己是個(gè)發(fā)現(xiàn)者,探究者,就變“要我學(xué)”為“我要學(xué)”,形成了強(qiáng)烈的認(rèn)知趨向。3教學(xué)程序3．復(fù)習(xí),知識(shí)準(zhǔn)備

教師指出:要解決該課題，先要復(fù)習(xí)有關(guān)知識(shí)。還必須明確分期付款的含義,此處又遇到一個(gè)金融專(zhuān)業(yè)術(shù)語(yǔ)“復(fù)利”，對(duì)它的理解是解決本課題的前提條件,所以我在這里設(shè)了兩個(gè)練習(xí)，由學(xué)生獨(dú)立解答，鍛煉學(xué)生將實(shí)際問(wèn)題語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言,其實(shí)是教師隱形的點(diǎn)撥，為突破難點(diǎn)，進(jìn)一步探究打下了基礎(chǔ).3教學(xué)程序3教學(xué)程序4．探究解法思路一：設(shè)每月應(yīng)付款x元，則購(gòu)買(mǎi)1個(gè)月后的欠款數(shù)為5000·1.008-x購(gòu)買(mǎi)2個(gè)月后的欠款數(shù)為

(5000·1.008-x)·1.008-x，即

5000·1.0082-1.008x-x購(gòu)買(mǎi)3個(gè)月后的欠款數(shù)為(5000·1.0082-1.008x-x)·1.008-x

，即

5000·1.0083-1.0082x-1.008x–x

………………購(gòu)買(mǎi)5個(gè)月后的欠款數(shù)為:

5000·1.0085-1.0084x–1.0083x-1.0082x-1.008x–x由題意

5000·1.0085-1.0084x–1.0083x-1.0082x-1.008x–x=0即x+1.008x+1.0082x+1.0083x+1.0084x=5000·1.00853教學(xué)程序4．探究解法5000元商品在購(gòu)買(mǎi)5個(gè)月后(即貨款全部付清時(shí))連同利息之和第4次付款x元后到款全部付清時(shí)連同利息之和第3次付款x元后到款全部付清時(shí)連同利息之和第2次付款x元后到款全部付清時(shí)連同利息之和第1次付款x元后到款全部付清時(shí)連同利息之和各次(期)所付的款以及各次(期)所付款到最后一次付款時(shí)所生的利息之和商品的售價(jià)及從購(gòu)買(mǎi)到最后一次付款時(shí)的利息之和。第5次付款(即最后一次付款)x元。(由于款已全部付清，因此這一期付款沒(méi)有利息)x+1.008x+1.0082x+1.0083x+1.0084x=5000·1.0085思路二:3教學(xué)程序4．探究解法若從貸款時(shí)(即購(gòu)買(mǎi)商品時(shí))的角度來(lái)看：第1個(gè)月償還的x元，貸款時(shí)值第2個(gè)月償還的x元，貸款時(shí)值………………

第5個(gè)月償還的x元，貸款時(shí)值

貸款5000元購(gòu)買(mǎi)商品時(shí)值5000元。由此可列出方程：思路三:3教學(xué)程序

通過(guò)教師的引導(dǎo),從三個(gè)不同的角度,得到三種解法.解法1通過(guò)逐月計(jì)算欠款來(lái)處理，由第5個(gè)月后的欠款為零可得等量關(guān)系，這種解法思路自然,容易想到,但過(guò)程較長(zhǎng).解法2從最后一次付款(即款全部付清時(shí))的角度上來(lái)看問(wèn)題,即按分期付款中的規(guī)定直接列出等式,過(guò)程較簡(jiǎn)潔.而解法2與解法3,一種是將各期付款都折合成結(jié)清時(shí)的值來(lái)考慮問(wèn)題,另一種是將各期付款都折合成剛貸款時(shí)的值來(lái)考慮問(wèn)題.很明顯在按復(fù)利計(jì)息的情況下,由剛貸款時(shí)和最后全部付清時(shí)兩種不同角度得到的兩個(gè)方程是等價(jià)的,兩種思考方法,殊途同歸.相比較方程而言,還是從最后全部付清的角度來(lái)看更簡(jiǎn)單些。4．探究解法3教學(xué)程序5．解決問(wèn)題當(dāng)同學(xué)們都完成了有關(guān)計(jì)算后，每組指定一名代表，展示其結(jié)果。第一組代表：方案1中，x=1785.86元，付款總額6x=10721.16元；第二組代表：方案2中，x=888.49元，付款總額12x=10661.85元;第三組代表：方案3中，x=3607.62元，付款總額3x=10822.85元.方案類(lèi)別付款次數(shù)付款方法每期所付款表達(dá)式每期付款付款總額16每隔2個(gè)月付款1次，付6次1785.8610721.16212每月付款1次，付12次888.4910661.8533每隔4個(gè)月付款1次，付3次3607.6210822.85(讓學(xué)生先談他的體會(huì)，然后教師在學(xué)生小結(jié)的基礎(chǔ)上,教師作必要的補(bǔ)充)1.所涉及的知識(shí):等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式，根據(jù)等價(jià)交換原則列方程解未知數(shù)。

2.事實(shí)上按復(fù)利增長(zhǎng)問(wèn)題都可以類(lèi)似解決——促進(jìn)學(xué)生知識(shí)遷移。課題小結(jié)3教學(xué)程序1.一般地，購(gòu)買(mǎi)一件售價(jià)為a元的商品，采用上述分期付款時(shí)要求在m