關于與方劑可交換矩陣可交換矩陣空間的討論

關于與方劑可交換矩陣可交換矩陣空間的討論

在線性代數(shù)和矩陣理論中，矩陣法通常不符合交換律，即ab=ba。若AB=BA,則稱A與B可交換;求與矩陣A可交換的B的矩陣相當于求解矩陣方程AX=XA。文獻從方陣可同時對角化方面給出了方陣乘積可交換的若干充分必要條件,文獻討論了可交換愛爾米特矩陣乘積的特征值。本文證明了與某一方陣A乘積可交換的矩陣全體構成線性空間,給出方陣A的可交換矩陣空間概念,討論了該矩陣空間的維數(shù)、基等概念,以及與方陣A的關系;進而給出求與方陣A乘積可交換的全體矩陣的方法。由文獻可得AX=XA是一般Lyapunov矩陣方程AX+XB=C當B=-A,C=0時的特殊情況。1sa與nain-in-at定義1若AB=BA,則稱A、B為可交換矩陣,或稱A與B可交換。定義2n×n階復矩陣的全體{(aij)|aij∈C}按照矩陣的加法與數(shù)乘,構成一個復線性空間,稱為n×n階矩陣空間。記為Cn×n。定義3由所有與矩陣A可交換的矩陣構成的集合,稱為矩陣A的可交換矩陣集合。記為SA?{B|AB=BA,A∈Cn×n}。定理1矩陣A的可交換矩陣集合SA是矩陣空間Cn×n的子空間。證明:SA為Cn×n的非空子集,且對矩陣的加法及數(shù)量乘法是封閉的,所以SA是Cn×n的子空間。定義4矩陣空間SA={B|AB=BA,A∈Cn×n},稱為A的可交換矩陣空間。推論1設A為n階方陣,則SA?Cn×n。當A為零陣、單位陣、純量陣時,有SA=Cn×n。定義5Ν(A)={?X∈Rn|A?X=?0}5N(A)={X?∈Rn|AX?=0?}稱為A的零空間(或核)。亦即齊次線性方程組A?X=?0的解(向量)空間。定理2設SA為A的可交換矩陣空間,則SA與N(A?In-In?AT)同構。證明:?B∈SA,有AB=BA,即AB-BA=0,將等號兩端(按行)拉直,有(A?Ιn-Ιn?AΤ)?B=?0?因此求所有與A可交換的矩陣B相當于求解齊次線性方程組(A?Ιn-Ιn?AΤ)?x=?0?所以SA與N(A?In-In?AT)同構。定義6設SA為A在復數(shù)域C上的可交換矩陣空間。如果SA中的矩陣B1,B2,…,Bd滿足:(1)B1,B2,…,Bd線性無關;(2)?B∈SA,B可由B1,B2,…,Bd線性表示。則稱B1,B2,…,Bd為SA的一個基,數(shù)d稱為SA的維數(shù),記為dimSA=d。定理3設n階方陣A的約當標準形為J=diag(J1,J2,…,Js),其中約當塊互不相同,則dimSA=s∑i=1mi=n。證明:已知A的約當標準形為J,即存在可逆陣P,使A=PJP-1;由AX=XA,有PJP-1X=XPJP-1,即JP-1XP=P-1XPJ。記Y?P-1XP,得JY=YJ。已知J=diag(J1?J2???Js)?Ji=[λi10?000λi1?00??????000?λi1000?0λi]mi?i=1?2???S。易得(J?Ιn-Ιn?JΤ)?Y=?0??(1)的解?Y使得Y=[Y1Y2?Ys]??(2)是一個與J分法相同的分塊對角陣。其中Yi=[y(i)1y(i)2y(i)3?y(i)mi-1y(i)mi0y(i)1y(i)2?y(i)mi-2y(i)mi-1??????000?y(i)1y(i)2000?0y(i)1]mi?i=1?2???S;y(i)1,y(i)2,…,y(i)mi∈R。由(2)可得(1)的解空間的維數(shù)為d=s∑i=1mi=n,即dimSA=d=s∑i=1mi=n,證畢。推論2若定理中λk=λl(k≠l),則dimSA=∑i≠k?lmi+m2k+m2l。推論3設A的相似對角形為∧=diag(λ1Im1,λ2Im2,…,λsIms),其中λi為A的mi重特征值,i=1,2,…,S;λ1,λ2,…,λs互不相同,s∑i=1mi=n,則dimSA=s∑i=1m2i。定理4若B1,B2,…,Bd為SA的一個基,則矩陣方程AX=XA的通解為X=k1B1+k2B2+…+kdBd,(k1,k2,…,kd∈R)。即SA={X|X=k1B1+k2B2+…+kdBd,k1,k2,…,kd∈R}推論4設SA為A在復數(shù)域C上的可交換矩陣空間,則rank(A?In-In?AT)=n2-d,其中d=dimSA。2計算約當相關性公式方法一由定理4可知,只要求得SA的一個基,既可求得所有與A可交換的矩陣。求與矩陣A可交換的矩陣X,即解矩陣方程AX-XA=0,相當于求解齊次線性方程組(A?Ιn-Ιn?A)?X=?0?其中?X為X的按行拉直,將n×n維向量?X還原為n階矩陣X,即得與A可交換的矩陣。例1設A=(1234),求矩陣B使AB=BA。解:A?Ιn-Ιn?AΤ=[0-320-2-302303-303-20]→[101-101-2/3000000000],得?X=k1[-3230]Τ+k2Τ?(k1?k2∈R)所以B=k1(-3230)+k2(1001)?(k1?k2∈R)方法二先化簡后求解。(1)若n階方陣A不與對角陣相似,設J為A的約當標準形,相似變換矩陣為P,解齊次線性方程組(J?Ιn-Ιn?JΤ)?Y=?0?則X=PYP-1。其中?Y為Y的按行拉直。(2)若n階方陣與對角陣∧相似,相似變換矩陣為P,解齊次線性方程組(∧?Ιn-Ιn?∧)?Y=?0?則X=PYP-1,其中?Y為Y的按行拉直。例2設A=[22-1-1-11-1-22],且AB=BA,求矩陣B。解:可得A的約當標準形及相似變換矩陣分別為J=?Ρ=[111-100-101]?Ρ-1=[0-1012-10-11]由推論2可得dimSA=22+1=5,解齊次線性方程組(J?Ιn-Ιn?JΤ)?Y=?0(ki∈R,i=1,2,3,4,5)B=ΡYΡ-1=k1[12-1-1-21-1-21]+k2[0-1101-101-1]+k3[11-1010010]+k4[12-100012-1]+k5[0-110000-11](ki∈R,i=1,2,3,4,5)3碳高上分配空間本文論述了矩陣乘法雖然