數列微專題一等差數列證明與應用專題高三數學二輪復習

等差數列的證明與應用【學習目標】1.掌握等差數列判定與證明的常用五種方法。用等差數列定義和等差中項證明等差數列?！局攸c難點】用等差數列定義和等差中項證明等差數列【高考鏈接】(2022年甲卷·第17題)(2022年Ⅰ卷第22題；函數綜合)(2021年Ⅰ卷第17題)(2021年乙卷第19題)(2021年甲卷第18題)(2020年Ⅲ卷第17題，猜想歸納；目前為選學內容)【方法回顧】等差數列的判斷與證明方法解讀適合題型定義法為同一常數?是等差數列解答題中的證明問題等差中項法成立?是等差數列通項公式法為常數）對任意的正整數都成立?是等差數列選擇、填空題中的判定問題前項和公式法驗證為常數）對任意的正整數都成立?是等差數列數學歸納法先求前幾項猜想數列通項，然后歸納證明少用，慎用【學習過程】一．課前熱身：等差數列的判斷(1)【多選】已知數列{an}，{bn}均為無窮等差數列，則下列說法正確的是()A.數列{－an}是等差數列B.數列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是等差數列C.{an－bn}是等差數列D.若km≠0，則{kan＋mbn}為等差數列(2)【多選】設{an}是無窮數列，An＝an＋an＋1(n＝1，2，…)，則下列判斷中，正確的有()A.若{an}是等差數列，則{An}是等差數列B.若{An}是等差數列，則{an}是等差數列C.若{an}是等差數列，則{a3n}是等差數列D.若{An}是等差數列，則{a2n}是等差數列解：對于A，若{an}是等差數列，設公差為d，則An＝an＋an＋1＝a1＋(n－1)d＋a1＋nd＝2a1＋2nd－d，則n≥2時，An－An－1＝(2a1＋2nd－d)－[2a1＋2(n－1)d－d]＝2d，所以{An}是等差數列，故A正確；對于B，若{An}是等差數列，設公差為d′，當n≥2時，An－An－1＝an＋an＋1－(an－1＋an)＝an＋1－an－1＝d′，即數列{an}的偶數項成等差數列，奇數項成等差數列，故B不正確，D正確；C顯然正確.故選ACD.(1)【多選題】(2020－2021學年江蘇海頭高中高二上月考)已知數列{an}，{bn}均為無窮等差數列，則下列說法正確的是()A.數列{－an}是等差數列B.數列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是等差數列C.{an－bn}是等差數列D.若km≠0，則{kan＋mbn}為等差數列解：由等差數列概念知A對，B錯，C對，D對.故選ACD.知識點一定義法證明等差數列(2021年高考全國甲卷理科·第18題)已知數列的各項均為正數，記為的前n項和，從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立．①數列是等差數列：②數列是等差數列；③．注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分．【答案】答案見解析解析：選①②作條件證明③：設，則，當時，；當時，；因為也是等差數列，所以，解得；所以，所以．選①③作條件證明②：因為，是等差數列，所以公差，所以，即，因為，所以是等差數列．選②③作條件證明①：設，則，當時，；當時，；因為，所以，解得或；當時，，當時，滿足等差數列的定義，此時為等差數列；當時，，不合題意，舍去．綜上可知為等差數列．練習1.(2021年Ⅰ卷·第17題)已知數列滿足，(1)記，寫出，，并求數列的通項公式；(2)求的前20項和．【答案】；．解析:(1)由題設可得又，，故即即所以為等差數列，故．【解析】：（1）因為，，所以，，，所以，，，所以數列是以為首項，以3為公差的等差數列，所以．(2)設的前項和為，則，因為，所以．練習2.(2022·煙臺模擬)已知在數列{an}中，a1＝1，an＝2an－1＋1(n≥2，n∈N*)，記bn＝log2(an＋1)．(1)判斷{bn}是否為等差數列，并說明理由；(2)求數列{an}的通項公式．解(1){bn}是等差數列，理由如下：b1＝log2(a1＋1)＝log22＝1，當n≥2時，bn－bn－1＝log2(an＋1)－log2(an－1＋1)＝log2eq\f(an＋1,an－1＋1)＝log2eq\f(2an－1＋2,an－1＋1)＝1，∴{bn}是以1為首項，1為公差的等差數列．(2)由(1)知，bn＝1＋(n－1)×1＝n，∴an＋1＝＝2n，∴an＝2n－1.思維升華判斷數列{an}是等差數列的常用方法(1)定義法：對任意n∈N*，an＋1－an是同一常數．(2)等差中項法：對任意n≥2，n∈N*，滿足2an＝an＋1＋an－1.(3)通項公式法：對任意n∈N*，都滿足an＝pn＋q(p，q為常數)．(4)前n項和公式法：對任意n∈N*，都滿足Sn＝An2＋Bn(A，B為常數)．練習3.已知數列{an}滿足a1＝1，且nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n.(1)求a2，a3；(2)證明數列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,n)))是等差數列，并求{an}的通項公式．解(1)由題意可得a2－2a1＝4，則a2＝2a1＋4，又a1＝1，所以a2＝6.由2a3－3a2＝12，得2a3＝12＋3a2，所以a3＝15.(2)由已知得eq\f(nan＋1－n＋1an,nn＋1)＝2，即eq\f(an＋1,n＋1)－eq\f(an,n)＝2，所以數列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,n)))是首項為eq\f(a1,1)＝1，公差為d＝2的等差數列，則eq\f(an,n)＝1＋2(n－1)＝2n－1，所以an＝2n2－n.知識點二等差中項法證明等差數列例1．（2022·遼寧實驗中學模擬預測）已知數列的前n項和為，滿足：(1)求證：數列為等差數列；(2)若，令，數列的前n項和為，若不等式對任意恒成立，求實數m的取值范圍．【解析】(1)由題設，，則，所以，整理得，則，所以，即，，所以，故數列為等差數列，得證.(2)由，可得，又，結合（1）結論知：公差，所以，故，則，所以，且，所以，即，所以，在且上遞減，則，要使對任意恒成立，即，所以.知識點三等差數列綜合證明例1．(2018年高考數學課標Ⅲ卷(理)·第20題)已知斜率為的直線與橢圓交于兩點，線段的中點為()．(1)證明：；(2)設為的右焦點，為上一點，且，證明：，，成等差數列，并求該數列的公差．【答案】【官方解析】(1)設，，則有，兩式相減，并由，得由題設知，，于是①由題設，故(2)由題意得，設，則由(1)及題設得，又點在上，所以，從而，于是同理所以故，即成等差數列設該數列的公差為，則②將代入①得所以的方程為，代入的方程，并整理得故，，代入②解得所以該數列的公差為或．【民間解析】(1)法一：設直線，交點，則有，聯立方程，消去并整理可得所以所以，代入可得所以，所以，所以或①又即②由①②可知法二：設，，則有③，④兩式相減可得所以依題意，，所以又點在橢圓內，所以，而，所以所以．(2)由橢圓的方程可知，，設因為，所以，所以所以，故又因為點在橢圓上，所以，解得，所以此時直線的方程為：即聯立方程，消去并整理可得所以，又，所以所以同理所以而所以，故，，成等差數列設公差為，則有所以【課堂小結】【當堂檢測】1.[2022·?？谀M]已知數列{an}的各項均為正整數且互不相等,記Sn為{an}的前n項和,從下面①②③中選取兩個作為條件,證明另外一個成立.①數列{an}是等比數列;②數列{Sn+1}是等比數列;③a2=a1(a1+1).1.解:選①②為條件,③為結論,即已知數列{an}是等比數列,數列{Sn+1}是等比數列,求證:a2=a1(a1+1).證明:設等比數列{an}的公比為q,由題意知q>0且q≠1,則S1+1=a1+1,S2+1=a1+a1q+1,S3+1=a1+a1q+a1q2+1,∵{Sn+1}是等比數列,∴(S1+1)(S3+1)=(S2+1)2,∴(a1+1)(a1+a1q+a1q2+1)=(a1+a1q+1)2,展開整理得a1q2=a12q+a1∴a1q=a12+a1,∴a2=a1(a1+選擇①③為條件,②為結論,即已知數列{an}是等比數列,a2=a1(a1+1),求證:數列{Sn+1}是等比數列.證明:設等比數列{an}的公比為q,由題意知q>0且q≠1,∵a2=a1(a1+1),∴a1q=a1(a1+1),∵a1>0,∴q=a1+1,∴Sn=a1(1-qn)1-q=a1∵S1+1=q,Sn+1+1S∴數列{Sn+1}是首項為q,公比為q的等比數列.選擇②③為條件,①為結論,即已知數列{Sn+1}是等比數列,a2=a1(a1+1),求證:數列{an}是等比數列.證明:設數列{Sn+1}的公比為q,由題意得q>0,且q≠1,則Sn+1=(S1+1)qn1=(a1+1)qn1,∴a2=S2+1(S1+1)=(a1+1)(q1),∵a2=a1(a1+1),且a1+1>0,∴a1=q1,∴Sn+1=qn,當n≥2時,an=Sn+1(Sn1+1)=qnqn1=(q1)qn1,∴anan-∴數列{an}是首項為q1,公比為q的等比數列.2．（2022·山東濟寧·二模）已知數列滿足，(1)設，證明：數列為等差數列；(2)求數列的前2n項和.【解析】(1)由題意，，當時，，所以，則是以1為公差，為首項的等差數列.(2)由題設，，由（1）知：，則.其中，即，所以，兩式相減得，所以，綜上，.3．（2022·安徽淮南·一模）已知數列滿足，．(1)求的值并證明數列是等差數列；(2)求數列的通項公式并證明：．【解析】(1)解：當時，，，當時，；，兩式相除得，整理為：，即，∴為等差數列，公差；(2)證明：由（1）得，整理得：，∵，又∵單調遞增，∴，所以.【課后作業(yè)】1．(2022年全國甲卷理科·第17題)記為數列的前n項和．已知．(1)證明：是等差數列；(2)若成等比數列，求的最小值．【答案】(1)證明見解析：；(2)．解析：(1)解：因為，即①，當時，②，①②得，，即，即，所以，且，所以是以為公差的等差數列．(2)解：由(1)可得，，，又，，成等比數列，所以，即，解得，所以，所以，所以，當或時．2．(2020年高考數學課標Ⅲ卷理科·第17題)設數列{an}滿足a1=3，．(1)計算a2，a3，猜想{an}的通項公式并加以證明；(2)求數列{2nan}的前n項和Sn．【答案】(1)，，，證明見解析；(2)．解析：(1)由題意可得，，由數列的前三項可猜想數列是以為首項，2為公差的等差數列，即，證明如下：當時，成立；假設時，成立．那么時，也成立．則對任意的，都有成立；(2)由(1)可知，，①，②由①②得：，即．3．(2019年高考數學課標全國Ⅱ卷理科·第19題)已知數列和滿足，，，．證明：是等比數列，是等差數列；求和的