河北省金科大聯(lián)考2024屆高三上學期10月質(zhì)量檢測數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1河北省金科大聯(lián)考2024屆高三上學期10月質(zhì)量檢測數(shù)學試題一、單項選擇題1.設(shè)（），若，則（）A. B.1 C. D.2〖答案〗A〖解析〗依題，所以，.故選：A.2.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意可知，而，所以.故選：B.3.設(shè)，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由于，且，故，故選：C.4.設(shè)為的導(dǎo)函數(shù)，若，則曲線在點處的切線方程為（）A B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為，所以，令，，，所以曲線在點處的切線方程為：，即.故選：D.5.設(shè)，若，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意，則，即，故，即，由于，所以，則，即，故，故選：B6.在平行四邊形中，是的中點，是的中點，與相交于點，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)，由題意可知：為的重心，且為的中點，可知四點共線，且，所以.故選：A.7.記的內(nèi)角的對邊分別為，且，若的面積為，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗在中，由余弦定理得，，因為，則即，因為的面積為，所以，即，所以，即，又因為，代入化簡得，，則或（，舍去），故選：C.8.已知函數(shù)則函數(shù)的所有零點之和為（）A.2 B.3 C.0 D.1〖答案〗D〖解析〗由函數(shù)，令，則，令，可得，當時，由，可得，即，解得；當時，由，可得，即，解得或（舍去），所以，即，當時，令或（舍去），解得或；當時，令，解得或，所以函數(shù)的零點之和為.故選：D.二、多項選擇題9.已知，為平面上的單位向量，且，則（）A.向量與的夾角的余弦值為B.CD.向量在向量上的投影向量為〖答案〗ABD〖解析〗由題意知，且，故，即，故，A正確；，故，B正確；，故不垂直，C錯誤；向量在向量上的投影向量為，D正確，故選：ABD.10.已知函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示，則（）A.的最小正周期為B.C.將曲線向右平移個單位長度后得到的圖象關(guān)于軸對稱D.若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則〖答案〗AD〖解析〗由于，故，A正確，由于，則，故，即，而，故，B錯誤；由于，故將曲線向右平移個單位長度后得到的圖象，該圖象關(guān)于原點對稱，不關(guān)于軸對稱，C錯誤；當時，，當時，由于在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故由在區(qū)間上單調(diào)遞增，得，D正確，故選：AD.11.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且，則（）A.的一個周期為3 B.的圖象關(guān)于直線對稱C. D.〖答案〗AD〖解析〗由題意可知，所以，即的一個周期為3，故A正確；因為函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，故有，即的圖象關(guān)于對稱，故B錯誤；由上，但不能確定的大小，故C錯誤；由上有，故D正確；故選：AD.12.已知，設(shè)函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.當時，在定義域上單調(diào)遞增B.當時，有兩個極值點C.若為的極值點，則D.若為的極值點，則〖答案〗ACD〖解析〗當時，，即在定義域上單調(diào)遞增，故A正確；易知，當時，令，即無解，所以無極值點，故B錯誤；若為的極值點，則由上可知是方程的兩根，即，故C正確；，由上可知，故D正確.故選：ACD.三、填空題13.在中，內(nèi)角所對的邊分別為，若，，，則______．〖答案〗3〖解析〗在中，由余弦定理得，，因為，，，所以，化簡得，，所以或（負值舍去）.故〖答案〗為：3.14.寫出同時滿足如下三個條件的一個函數(shù)〖解析〗式______．①為偶函數(shù)；②的定義域為；③的值域為〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗由于的定義域為，值域為，故可聯(lián)想到三角函數(shù)，又因為為偶函數(shù)，結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)得：函數(shù)可以為、等，故〖答案〗：（〖答案〗不唯一）.15.已知正實數(shù)，滿足，則的最小值為______．〖答案〗12〖解析〗因為正實數(shù)，滿足，故，當且僅當時等號成立，故，當且僅當，即時取等號，符合題意，故的最小值為12，故〖答案〗為：12.16.設(shè)，若，則的取值范圍是______．〖答案〗〖解析〗由題意得，，，則，即，令，則，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，所以，由，即，令，則恒成立，則在單調(diào)遞減，所以，所以.故〖答案〗為：.四、解答題17.記的內(nèi)角A，，的對邊分別為，，，，．（1）求；（2）若，求的外接圓的面積．解：（1）由正弦定理及已知可得：，化簡得；（2）由，在中，，，所以，設(shè)外接圓半徑為R，由正弦定理可得，所以外接圓的面積為.18.設(shè)命題：“對任意，恒成立”．且命題為真命題．（1）求實數(shù)的取值集合；（2）在（1）的條件下，設(shè)非空集合，若“”是“”的充分條件，求實數(shù)的取值范圍．解：（1）對任意，恒成立，即，即對任意恒成立，而，即，故，當且僅當，即時取等號，故，則實數(shù)的取值集合.（2）解，即，得或，由于“”是“”的充分條件，故,故，即，所以實數(shù)的取值范圍為或.19.已知函數(shù)，其中.（1）討論的單調(diào)性；（2）當時，設(shè)，分別為的極大值點和極小值點，且點，，若直線在軸上的截距大于，求的取值范圍.解：（1）因為，所以，當時，，函數(shù)在R上單調(diào)遞增；當時，令得，或，則，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當時，，函數(shù)單調(diào)遞減；當時，，函數(shù)單調(diào)遞增綜上，當時，函數(shù)在R上單調(diào)遞增；當時，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）由（1）及極值點的概念知，當時，，，且，則直線：，令，則，依題意，，由可化為，解得，所以的取值范圍為.20.記函數(shù)，的最小正周期為．（1）若，且直線為的圖像的一條對稱軸，求；（2）若為一個零點，且在區(qū)間上至多有兩個零點，求．解：（1）因為，所以，又因為，所以，則，因為直線為的圖像的一條對稱軸，所以，即，所以（2）由為的一個零點，可知，則因為在區(qū)間上至多有兩個零點，所以，因為，所以，則，又因為，所以或.①當時，代入，得，因為，所以，此時在只有一個零點，符合題意；②當時，代入，得，因為，所以不符合題意；綜上，，21.已知函數(shù)（），．（1）求的最小值；（2）設(shè)不等式的解集為集合，若對任意，存在，使得，求實數(shù)的值．解：（1）當時，，故，當且僅當，即時，等號成立，故的最小值為；（2）由，即，即，解得，即，故，設(shè)，則當時，，對于函數(shù)，時為增函數(shù)，故，則，設(shè)，由題意知為時的值域的子集，當，即時，在上單調(diào)遞增，故，即得；當，即時，在上的最大值為中的較大者，令；令，則，不合題意；當，即時，在上單調(diào)遞減，則，解得，綜合上述，實數(shù)a的值為.22.（1）證明：當時，；（2）已知函數(shù)，，，為的導(dǎo)函數(shù)．①當時，證明：在區(qū)間上存在唯一的極大值點；②若有且僅有兩個零點，求的取值范圍．（1）證明：設(shè)，則恒成立，所以在上單調(diào)遞增，故，即成立；（2）解：①當時，，令，則，因為當時，令，單調(diào)遞增，且，所以，故也單調(diào)遞增，故當時，單調(diào)遞減，單調(diào)遞減，單調(diào)遞減，所以單調(diào)遞減，又，所以存在，使得，所以當時，單調(diào)遞增，當時，單調(diào)遞減，所以在區(qū)間上存在唯一的極大值點；②