專題02 矩形的性質(zhì)與判定（八大類型）（解析版）

專題02矩形的性質(zhì)與判定（八大類型）【題型1矩形的性質(zhì)】【題型2直角三角形斜邊上的中線】【題型3矩形的判定】【題型4矩形的性質(zhì)與判定綜合運(yùn)用】【題型5矩形形中最小值問題】【題型6梯子模型運(yùn)用】【題型7矩形中折疊問題】【題型8矩形中動點(diǎn)問題】【題型1矩形的性質(zhì)】1．（2023?榕城區(qū)一模）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC、BD交于點(diǎn)O．若∠BOC＝120°，AB＝4，則AD的長為（）A．8 B． C． D．4【答案】B【解答】解：∵∠BOC＝120°，∴∠BOA＝60°，在矩形ABCD中，對角線AC、BD交于點(diǎn)O，∴AO＝BO＝OD＝OC，∴△ABO是等邊三角形，∴∠ABD＝60°，∵AB＝4，∴BO＝OD＝4，∴BD＝8，∴Rt△ABD中，．故選：B．2．（2023春?西湖區(qū)校級期中）如圖，矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作OE⊥AC交AD于點(diǎn)E，若AB＝6，BC＝8，則AE的長為（）A． B．6 C． D．5【答案】C【解答】解：如圖，連接CE，∵矩形ABCD，AB＝6，BC＝8，∴AD＝BC＝8，AB＝CD＝6，∠ADC＝90°，OA＝OC，∵OE⊥AC，∴AE＝CE，設(shè)AE＝x，則CE＝x，DE＝8﹣x，在Rt△DEC中，CE2＝DE2+CD2，∴x2＝（8﹣x）2+62，∴，∴，故選：C．3．（2023春?洪山區(qū)期中）如圖，將5個大小相同的長方形置于平面直角坐標(biāo)系中，若頂點(diǎn)A（2，9），B（6，3），則頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是（）A．（4，5） B．（3，5） C．（4，7） D．（5，6）【答案】A【解答】解：如圖，∵A（2，9），B（6，3），∴D（6，9），∴AD＝6﹣2＝4，BD＝9﹣3＝6，∴每個長方形的長為6÷3＝2，寬為4÷4＝1，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為：（2+1×2，9﹣2×2），即（4，5），故選：A．4．（2023春?河北區(qū)期中）一個長方形在平面直角坐標(biāo)系中三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣1，﹣1），（﹣1，2），（3，﹣1），則第四個頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A．（2，2） B．（2，3） C．（3，3） D．（3，2）【答案】D【解答】解：如圖所示：過（﹣1，2）、（3，﹣1）兩點(diǎn)分別作x軸、y軸的平行線，交點(diǎn)為（3，2），即為第四個頂點(diǎn)坐標(biāo)．故選：D．5．（2023春?新市區(qū)期中）如圖，已知在矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，AE⊥BD于點(diǎn)E．若∠DAE：∠BAE＝3：1，則∠EAC的度數(shù)是（）A．18° B．36° C．45° D．72°【答案】C【解答】解：∵四邊形ABCD矩形，∴∠BAD＝90°，OA＝AC，OB＝BD，AC＝BD，∴OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO，∵∠DAE：∠BAE＝3：1，∴∠BAE＝×90°＝22.5°∵AE⊥BO，∴∠ABO+∠BAE＝90°，∴∠BAO＝∠ABO＝90﹣22.5°＝67.5°，∴∠EAO＝∠BAO﹣∠BAE＝67.5°﹣22.5°＝45°．故選：C．6．（2023?灞橋區(qū)校級模擬）如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，AE平分∠BAD交BC于點(diǎn)E，點(diǎn)F、G分別是AD、AE的中點(diǎn)，則FG的長為（）A． B．5 C．4 D．【答案】D【解答】解：連接DE，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠DAB＝∠B＝∠C＝90°，BC＝AD＝8，DC＝AB＝6，∵AE平分∠DAB，∴∠BAE＝∠DAB＝45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴BE＝AB＝6，∴EC＝BC﹣BE＝2，∴DE＝＝＝2，∵點(diǎn)F、G分別是AD、AE的中點(diǎn)，∴FG是△ADE的中位線，∴FG＝DE＝．故選：D．7．（2023春?南川區(qū)期中）如圖，在矩形OABC中，點(diǎn)B的坐標(biāo)是（3，6），則A，C兩點(diǎn)間的距離是（）A． B． C． D．6【答案】B【解答】解：如圖，連接AC，OB，∵四邊形AOCB是矩形，∴AC＝OB，∵點(diǎn)B的坐標(biāo)是（3，6），點(diǎn)O（0，0），∴OB＝＝3，∴A，C兩點(diǎn)間的距離為3，故選：B．8．（2023春?天河區(qū)校級期中）如圖，已知矩形ABCD，AD＝24，CD＝16，點(diǎn)R、P分別是CD，BC上的定點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別是AP，RP的中點(diǎn)，若CR＝9，則EF＝（）?A．12 B．8 C．12.5 D．不能確定【答案】C【解答】解：如圖，連接AR，∵CR＝9，CD＝16，∴DR＝7，∵AD＝24，∠D＝90°，∴AR＝＝＝25，∵點(diǎn)E、F分別是AP，RP的中點(diǎn)，∴EF＝AR＝12.5，故選：C．9．（2023春?珠海校級期中）已知：如圖，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)P是線段AD上任意一點(diǎn)，且PE⊥AC于點(diǎn)E，PF⊥BD于點(diǎn)F，則PE+PF等于（）A．6 B．5 C． D．【答案】C【解答】解：連接PO，∵矩形ABCD的兩邊AB＝5，BC＝12，∴S矩形ABCD＝AB?BC＝60，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，AC＝＝＝13，∴S△AOD＝S矩形ABCD＝15，OA＝OD＝AC＝，∴S△AOD＝S△AOP+S△DOP＝OA?PE+OD?PF＝OA（PE+PF）＝××（PE+PF）＝15，∴PE+PF＝，故選：C．10．（2023春?廬陽區(qū)校級期中）如圖，在矩形ABCD中，M為BC邊上一點(diǎn)，連接AM，過點(diǎn)D作DE⊥AM于E，若，AE＝2EM，則CM的長為（）A． B． C．1 D．2【答案】C【解答】解：∵四邊形ABCD是長方形，∴AB＝CD，AD＝BC，∠B＝∠C＝90°，AD∥BC，∴∠DAE＝∠AMB，∵，∴，∵DE⊥AM，∴∠DEA＝∠DEM＝90°，在△ABM和△DEA中，，∴△ABM≌△DEA（AAS），∴AM＝AD，BM＝AE，∵AE＝2EM，∴BC＝AD＝AM＝3EM，連接DM，如下圖所示，在Rt△DEM和Rt△DCM中，，∴Rt△DEM≌Rt△DCM（HL），∴EM＝CM，設(shè)EM＝CM＝x，則BM＝AE＝2x，AM＝AE+EM＝3x，在Rt△ABM中，由勾股定理得AB2+BM2＝AM2，即，解得x1＝1，x2＝﹣1（舍去），∴CM＝1．故選：C．11．（2023春?甌海區(qū)期中）如圖，長方形ABCD的長AB為8，寬AD為6，將這個長方形向上平移3個單位，再向左平移2個單位，得到長方形EFGH，則陰影部分的面積為（）A．30 B．32 C．36 D．40【答案】A【解答】解：過點(diǎn)A作AN⊥EF于N，由平移可得：HM＝2，AN＝3，∴MG＝HG﹣HM＝8﹣2＝6，AM＝EH﹣AN＝3，∴陰影部分的面積＝8×6﹣6×3＝30，故選：A．12．（2023春?江南區(qū)校級期中）下列性質(zhì)中，菱形具有而矩形不一定具有的是（）A．有一個內(nèi)角等于90° B．對角線互相平分 C．鄰邊相等 D．對角線相等【答案】C【解答】解：∵菱形的鄰邊相等，但矩形的鄰邊不一定相等，∴菱形具有而矩形不一定具有的是鄰邊相等，故選：C．13．（2023春?廬江縣期中）如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝6，對角線AC的垂直平分線分別交AD、AC于點(diǎn)M，N，則AM的長為（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：連接CM，如圖所示：在矩形ABCD中，AD＝BC＝6，CD＝AB＝3，∠D＝90°，∵對角線AC的垂直平分線分別交AD、AC于點(diǎn)M，N，∴CM＝AM，設(shè)AM＝CM＝x，則DM＝6﹣x，在Rt△CDM中，根據(jù)勾股定理，得32+（6﹣x）2＝x2，解得x＝，∴AM＝，故選：A．【題型2直角三角形斜邊上的中線】14．（2023春?海淀區(qū)校級期中）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，D為線段AB的中點(diǎn)，則∠BCD＝（）A．40° B．45° C．50° D．60°【答案】C【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，D為線段AB的中點(diǎn)，則CD＝AB＝AD，∴∠ACD＝∠A，∵∠A＝40°，∴∠ACD＝40°，∴∠BCD＝90°﹣∠ACD＝50°，故選：C．15．（2023春?張北縣校級期中）如圖，一架3m長的梯子AB斜靠在一豎直的墻上，M為AB中點(diǎn)，當(dāng)梯子的上端沿墻壁下滑時，OM的長度將（）A．變大 B．變小 C．不變 D．先變大后變小【答案】C【解答】解：∵∠AOB＝90°，M為AB的中點(diǎn)，AB＝3，∴OM是Rt△AOB的中線，∴，∵梯子的上端沿墻壁下滑時，梯子的長度不變，∴OM的長度也不變，故選：C．16．（2023?安康一模）如圖，在Rt△ABC中，CD為斜邊AB上的中線，過點(diǎn)D作DE⊥AB，連接AE、BE，若CD＝4，AE＝5，則DE的長為（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解答】解：在Rt△ABC中，CD為斜邊AB上的中線，CD＝4，∴，∵DE⊥AB，AE＝5，∴，故選：B．17．（2022秋?競秀區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜邊AB上的中線，若CD＝3，AB的長為（）A．6 B．5 C．3 D．1.5【答案】A【解答】解：Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，D是AB的中點(diǎn)，∴，∴AB＝6．故選：A．【題型3矩形的判定】18．（2023春?徐匯區(qū)期中）已知四邊形ABCD是平行四邊形，下列結(jié)論中不正確的（）A．當(dāng)AB＝BC時，它是菱形 B．當(dāng)AD⊥CD時，它是菱形 C．當(dāng)∠ABC＝90°時，它是矩形 D．當(dāng)AC＝BD時，它是矩形【答案】D【解答】解：A、∵四邊形ABCD是平行四邊形，又∵AB＝BC，∴四邊形ABCD是菱形，故本選項不符合題意；B、∵四邊形ABCD是平行四邊形，又∵AC⊥BD，∴四邊形ABCD是菱形，故本選項不符合題意；C、∵四邊形ABCD是平行四邊形，又∵∠ABC＝90°，∴四邊形ABCD是矩形，故本選項不符合題意；D、∵四邊形ABCD是平行四邊形，又∵AC＝BD，∴四邊形ABCD是矩形，也可能是正方形，故本選項符合題意；故選：D．19．（2023春?南崗區(qū)期中）下列說法正確的是（）A．一組對邊平行且一組鄰角相等的四邊形是平行四邊形 B．對角線垂直且互相平分的四邊形是矩形 C．對角線互相垂直的四邊形是菱形 D．對角線相等且互相平分的四邊形是矩形【答案】D【解答】解：A、一組對邊平行且一組鄰角相等的四邊形不一定是平行四邊形，故選項A不符合題意，反例：等腰梯形；B、∵對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，對角線垂直的平行四邊形是菱形，∴對角線垂直且互相平分的四邊形是菱形，不一定是矩形，故選項B不符合題意；C、對角線互相垂直平分的四邊形是菱形，故選項C不符合題意；D、∵對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，對角線相等的平行四邊形是矩形，∴對角線相等且互相平分的四邊形是矩形，故選項D符合題意；故選：D．20．（2023春?青山區(qū)期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，添加下列條件不能判定平行四邊形ABCD為矩形的是（）A.∠BAD＝90° B．∠BAD＝∠ABC C．∠BAO＝∠OBA D．∠BOA＝90°【答案】D【解答】解：A、∠BAD＝90°，由一個角為直角的平行四邊形是矩形知，平行四邊形ABCD為矩形，故此選項不符合題意；B、∵在平行四邊形ABCD中，∠BAD+∠ABC＝180°，又∠BAD＝∠ABC，則∠BAD＝∠ABC＝90°，則平行四邊形ABCD為矩形，故此選項不符合題意；C、∵∠BAO＝∠OBA，∴OA＝OB，又，則AC＝BD，根據(jù)對角線相等的平行四邊形是矩形知，平行四邊形ABCD為矩形，故此選項不符合題意；D、∠BOA＝90°能判定平行四邊形平行四邊形ABCD為菱形，不能判定它為矩形，故此選項符合題意．故選：D．21．（2023?咸陽一模）如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，AO＝CO，BO＝DO．添加下列條件，可以判定四邊形ABCD是矩形的是（）A．AB＝AD B．AC＝BDC．AC⊥BDD．∠ABO＝∠CBO【答案】B【解答】解：∵AO＝CO，BO＝DO，∴四邊形ABCD是平行四邊形，當(dāng)AB＝AD或AC⊥BD時，可判定四邊形ABCD是菱形；當(dāng)∠ABO＝∠CBO時，由AD∥BC知∠CBO＝∠ADO，∴∠ABO＝∠ADO，∴AB＝AD，∴四邊形ABCD是菱形；當(dāng)AC＝BD時，可判定四邊形ABCD是矩形；故選：B．22．（2023春?宿豫區(qū)期中）如圖，在菱形ABCD中的對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，OE∥CD，DE∥AC．求證：四邊形AODE是矩形．【答案】見解析．【解答】證明：∵AE∥BD，DE∥AC，∴四邊形AODE是平行四邊形，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠AOD＝90°，∴平行四邊形AODE是矩形．23．（2023?朝陽區(qū)一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)在BD上，AE∥CF，連接AF，CE．（1）求證：四邊形AECF為平行四邊形；（2）若∠EAO+∠CFD＝180°，求證：四邊形AECF是矩形．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC，∵AE∥CF，∴∠EAO＝∠FCO，∵∠AOE＝∠COF，∴△AEO≌△CFO（ASA），∴OE＝OF，∴四邊形AECF為平行四邊形；（2）∵∠EAO+∠CFD＝180°，∠CFO+∠CFD＝180°，∴∠EAO＝∠CFO，∵∠EAO＝∠FCO，∴∠FCO＝∠CFO，∴OC＝OF，由（1）可知，OA＝OC，OE＝OF，∴AC＝EF，∴平行四邊形AECF是矩形．24．（2023春?東莞市校級月考）如圖，將?ABCD的邊AB延長至點(diǎn)E，使BE＝AB，連接DE，EC，BD，DE交BC于點(diǎn)O．（1）求證：△ABD≌△BEC；（2）若∠BOD＝2∠A，求證：四邊形BECD是矩形．【答案】（1）見解析；（2）見解析．【解答】證明：（1）在平行四邊形ABCD中，AD＝BC，AB＝CD，AB∥CD，則BE∥CD．又∵AB＝BE，∴BE＝DC，∴四邊形BECD為平行四邊形，∴BD＝EC．在△ABD與△BEC中，，∴△ABD≌△BEC（SSS）；（2）由（1）知，四邊形BECD為平行四邊形，則OD＝OE，OC＝OB．∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴∠A＝∠BCD，即∠A＝∠OCD．又∵∠BOD＝2∠A，∠BOD＝∠OCD+∠ODC，∴∠OCD＝∠ODC，∴OC＝OD，∴OC+OB＝OD+OE，即BC＝ED，∴平行四邊形BECD為矩形．25．（2023?順義區(qū)一模）如圖，?ABCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，將對角線BD向兩個方向延長，分別至點(diǎn)E和點(diǎn)F，且使BE＝DF．（1）求證：四邊形AECF是平行四邊形；（2）若OF＝OA，求證：四邊形AECF是矩形．【答案】證明見解析．【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC，OB＝OD，又∵BE＝DF，∴OE＝OF．∴四邊形AECF是平行四邊形．（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OF＝，OA＝AC，∵OF＝OA，∴EF＝AC，∵四邊形AECF是平行四邊形，∴四邊形AECF是矩形．【題型4矩形的性質(zhì)與判定綜合運(yùn)用】26．（2023春?長沙期中）如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E為菱形ABCD外一點(diǎn)，連接CE、DE，且CE∥BD，DE∥AC．（1）求證：四邊形OCED為矩形；（2）若菱形ABCD的邊長為4，∠BCD＝60°，求△ADE的面積．【答案】（1）證明見解析；（2）2．【解答】（1）證明：∵CE∥BD，DE∥AC，∴四邊形OCED是平行四邊形，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴AC⊥CE，∴∠ECO＝90°，∴四邊形OCED是矩形；（2）∵四邊形ABCD是菱形，∴CD＝CB，CO⊥BD，∵∠BCD＝60°，∴△BCD是等邊三角形，∴DO＝BD＝×4＝2，OC＝BC＝×4＝2，∵四邊形OCED是矩形，∴ED＝OC＝2，∴△ADE的面積＝DE?OD＝×2×2＝2．27．（2023春?武昌區(qū)校級期中）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD交于點(diǎn)O，過點(diǎn)A作BC的垂線，垂足為點(diǎn)E，延長BC到點(diǎn)F，使CF＝BE，連接DF．（1）求證：四邊形AEFD是矩形；（2）連接OE，若AD＝25，OE＝7，求AE的長．【答案】（1）見解答；（2）．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AD∥BC且AD＝BC，∵BE＝CF，∴BC＝EF，∴AD＝EF，∵AD∥EF，∴四邊形AEFD是平行四邊形，∵AE⊥BC，∴∠AEF＝90°，∴四邊形AEFD是矩形；（2）解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝CO，BC＝AD＝25，∵AE⊥BC，∴∠AEB＝∠AEC＝90°，∴AC＝2OE＝14，∵AB2﹣BE2＝AC2﹣CE2＝AE2∴252﹣BE2＝142﹣（25﹣BE）2，∴BE＝，∴AE＝＝＝．28．（2023?延慶區(qū)一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，連接AC，∠BAC＝90°．點(diǎn)M為邊AD的中點(diǎn)，連接CM并延長，交BA的延長線于點(diǎn)E，連接DE．（1）求證：四邊形ACDE是矩形；（2）若BE＝10，DE＝12，求四邊形BCDE的面積．【答案】（1）證明見解答；（2）四邊形BCDE的面積是90．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠MAE＝∠MDC，∵點(diǎn)M為邊AD的中點(diǎn)，∴MA＝MD，在△MAE和△MDC中，，∴△MAE≌△MDC（ASA），∴ME＝MC，∴四邊形ACDE是平行四邊形，∵∠ACD＝∠BAC＝90°，∴四邊形ACDE是矩形．（2）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，四邊形ACDE是矩形，∴AE＝CD，AB＝CD，∠AED＝90°，∴DE⊥BE，∵BE＝10，DE＝12，∴AE＝AB＝CD＝BE＝×10＝5，∵BE∥CD，∴S四邊形BCDE＝×（5+10）×12＝90，∴四邊形BCDE的面積是90．29．（2023?豐臺區(qū)一模）如圖，在?ABCD中，∠ACB＝90°，過點(diǎn)D作DE⊥BC交BC的延長線于點(diǎn)E，連接AE交CD于點(diǎn)F．（1）求證：四邊形ACED是矩形；（2）連接BF，若∠ABC＝60°，CE＝2，求BF的長．【答案】（1）證明見解答；（2）BF的長是2．【解答】（1）證明：∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，∵DE⊥BC，∴AC∥DE，∵四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E在BC的延長線上，∴AD∥CE，∴四邊形ACED是平行四邊形，∵∠ACE＝90°，∴四邊形ACED是矩形．（2）解：∵四邊形ACED是矩形，四邊形ABCD是平行四邊形，∴AE＝CD＝AB，AF＝EF，AD＝CE＝CB＝2，∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∴BF⊥AE，AB＝AE＝BE＝2CE＝2×2＝4，∴∠AFB＝90°，AF＝AE＝×4＝2，∴BF＝＝＝2，∴BF的長是2．30．（2023春?麒麟?yún)^(qū)校級期中）如圖，四邊形ABCD的對角線AC垂直BD于點(diǎn)O，O、F分別為AC、AE中點(diǎn)，分別過點(diǎn)C、D作CE∥BD，DE∥AC，CE和DE交于點(diǎn)E．（1）求證：四邊形ODEC是矩形；（2）若OF＝1，∠CAE＝30°時，求AC的長．【答案】（1）見解析；（2）2．【解答】（1）證明：∵CE∥BD，DE∥AC，∴四邊形ODEC是平行四邊形，又∵AC⊥BD，∴∠DOC＝90°，∴四邊形ODEC是矩形；（2）解：∵四邊形ODEC是矩形，∴∠ACE＝90°，∵O、F分別為AC、AE中點(diǎn)，∴OF是△ACE的中位線，∴CE＝2OF＝2，∵∠CAE＝30°，∴AE＝2CE＝4，∴AC＝＝＝2．31．（2023春?鄂城區(qū)期中）如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，E是AD的中點(diǎn)，EF⊥AB于F點(diǎn)，OG∥EF交AB于點(diǎn)G．（1）求證：四邊形OEFG是矩形；（2）若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的長．【答案】（1）證明見解析；（2）5，2．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴OB＝OD，∵E是AD的中點(diǎn)，∴OE是△ABD的中位線，∴OE∥FG，∵OG∥EF，∴四邊形OEFG是平行四邊形，∵EF⊥AB，∴∠EFG＝90°，∴平行四邊形OEFG是矩形；（2）解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝10，AC⊥BD，∴∠AOD＝90°，∵E是AD的中點(diǎn)，∴OE＝AD＝AE＝5，由（1）可知，四邊形EFCO是矩形，∴FG＝OE＝5，∵EF⊥AB，∴∠EFA＝90°，∴AF＝＝＝3，∴BG＝AB﹣AF﹣FG＝10﹣3﹣5＝2，故答案為：2．32．（2023春?思明區(qū)校級期中）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O．過點(diǎn)A作AE∥BD，過點(diǎn)D作DE∥AC交AE于點(diǎn)E．（1）求證：四邊形AODE是矩形；（2）若AB＝2，∠ABC＝60°，求四邊形AODE的面積．【答案】（1）見解答；（2）．【解答】（1）證明：∵AE∥BD，DE∥AC，∴四邊形AODE是平行四邊形，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠AOD＝90°，∴平行四邊形AODE為矩形；（2）解：∵四邊形ABCD是菱形，∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，AB＝BC，∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∴AC＝AB＝2，∴OA＝AC＝1，∴OD＝OB＝＝，由（1）可知，四邊形AODE是矩形，∴矩形AODE的面積＝OA×OD＝1×＝．33．（2023春?雨花區(qū)校級月考）如圖，已知點(diǎn)E是?ABCD中BC邊的中點(diǎn)，連接AE并延長交DC的延長線于點(diǎn)F，連接AC，BF，且AF＝BC．（1）求證：四邊形ABFC為矩形；（2）若△AFD是等邊三角形，且邊長為，求四邊形ABFC的面積．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB//CD，即AB//DF，∴∠BAE＝∠CFE，∠ABE＝∠FCE．∵點(diǎn)E是BC邊中點(diǎn)，∴BE＝CE．∴△BAE≌△CFE（AAS），∴AB＝CF，∴四邊形ABFC是平行四邊形．∵AF＝BC，∴平行四邊形ABFC是矩形；（2）解：∵AB＝CF，AB＝CD，∴，即點(diǎn)C為DF中點(diǎn)．∵△AFD是等邊三角形，且邊長為，∴，∴，∴，∴．34．（2023春?邗江區(qū)月考）如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是BC中點(diǎn)、F是AC中點(diǎn)，AN是∠ABC的外角∠MAC的平分線，延長DF交AN于點(diǎn)E．連接CE．（1）求證：四邊形ADCE是矩形；（2）若AB＝BC＝3，求四邊形ADCE的面積．【答案】（1）見解析；（2）．【解答】（1）證明：∵AN是△ABC外角∠CAM的平分線，∴∠MAE＝∠MAC，∵∠MAC＝∠B+∠ACB，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∴∠MAE＝∠B，∴AN∥BC，∵F為AC的中點(diǎn)，D為BC的中點(diǎn)，∴FD∥AB，∴四邊形ABDE為平行四邊形，∴AE＝BD，∵BD＝CD，∴AE＝CD，∴四邊形ADCE為平行四邊形，∵AB＝AC，點(diǎn)D為BC中點(diǎn)，∴AD⊥BC，∴AD⊥AE，∴∠DAE＝90°，∴四邊形ADCE為矩形；（2）解：由（1）知四邊形ADCE是矩形，∵BC＝AB＝3，AB＝AC，∴△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC＝BC＝3，∵D為BC的中點(diǎn)，∴∠ADC＝90°，BD＝CD＝，∴AD＝＝，∴四邊形ADCE的面積為CD?AD＝3×＝．【題型5矩形形中最小值問題】35．（2023春?河?xùn)|區(qū)期中）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝6，AC＝8，點(diǎn)D是斜邊BC上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)D分別作DM⊥AB于點(diǎn)M，DN⊥AC于點(diǎn)N，連接MN，則線段MN的最小值為（）A．5 B．3.6 C．2.4 D．4.8【答案】D【解答】解：如圖，連接AD．∵∠BAC＝90°，且BA＝6，AC＝8，∴．∵DM⊥AB，DN⊥AC，∴四邊形AMDN為矩形，∴AD＝MN，∴當(dāng)AD最小時，MN最小．當(dāng)AD⊥BC時，AD最小，此時S△ABC＝AB?AC＝AD?BC，∴6×8＝10AD，∴AD＝4.8，∴線段MN的最小值為4.8．故選：D．36．（2023?淳安縣一模）如圖，矩形ABCD中，AD＝6，AB＝8，M為線段BD上一動點(diǎn)，MP⊥CD于點(diǎn)P，MQ⊥BC于點(diǎn)Q，則PQ的最小值是（）?A． B．3 C． D．【答案】C【解答】解：如圖，連接CM，∵M(jìn)P⊥CD于點(diǎn)P，MQ⊥BC于點(diǎn)Q，∴∠CPM＝∠CQM＝90°，∵四邊形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝6，CD＝AB＝8，∠BCD＝90°，∴四邊形PCQM是矩形，∴PQ＝CM，由勾股定理得：BD＝＝＝10，當(dāng)CM⊥BD時，CM最小，則PQ最小，此時，S△BCD＝BD?CM＝BC?CD，∴CM＝＝＝，∴PQ的最小值為，故選：C．37．（2023春?滑縣期中）如圖，點(diǎn)P是Rt△ABC中斜邊AC（不與A，C重合）上一動點(diǎn)，分別作PM⊥AB于點(diǎn)M，作PN⊥BC于點(diǎn)N，點(diǎn)O是MN的中點(diǎn)，若AB＝3，AC＝5．當(dāng)點(diǎn)P在AC上運(yùn)動時，則BO的最小值是（）A．1 B．1.2 C． D．【答案】B【解答】解：連接OP，如圖所示：∵∠ABC＝90°，PM⊥AB于點(diǎn)M，PN⊥BC于點(diǎn)N，∴BC＝4，四邊形BMPN是矩形，∴BP＝MN，BP與MN互相平分，∵點(diǎn)O是MN的中點(diǎn)，∴BO＝MN，當(dāng)BP⊥AC時，BP最?。剑?.4，∴MN＝2.4，∴BO＝MN＝1.2，故選：B．38．（2023春?海淀區(qū)校級期中）如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，點(diǎn)P是對角線AC上一個動點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)A，C不重合），過點(diǎn)P分別作PE⊥AD于點(diǎn)E，PF∥BC交CD于點(diǎn)F，連接EF，則EF的最小值為．【答案】．【解答】解：如圖，連接DP．∵∠B＝∠D＝90°，AB＝4，BC＝3，∴AC＝5，∵PF⊥DC于點(diǎn)E，PE∥DC，∠D＝90°，∴四邊形DEPF是矩形；∴EF＝DP，由垂線段最短可得DP⊥AC時，線段EF的值最小，此時，S△ADC＝DC?AD＝AC?DP，即×4×3＝×5?DP，解得DP＝．故答案為：．【題型6梯子模型運(yùn)用】39．（2022春?曲阜市期中）如圖，∠MON＝90°，矩形ABCD的頂點(diǎn)A、B分別在邊OM，ON上，當(dāng)B在邊ON上運(yùn)動時，A隨之在邊OM上運(yùn)動，矩形ABCD的形狀保持不變，其中AB＝8，BC＝3，運(yùn)動過程中，點(diǎn)D到點(diǎn)O的最大距離為．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：如圖，取AB的中點(diǎn)E，連接OE、DE、OD，∵OD≤OE+DE，∴當(dāng)O、D、E三點(diǎn)共線時，點(diǎn)D到點(diǎn)O的距離最大，此時，∵AB＝8，BC＝3，∴OE＝AE＝AB＝4，∴DE＝＝＝5，∴OD的最大值為：5+4＝9；故答案為：9．40．（2020?惠山區(qū)一模）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝4．如圖，將直角頂點(diǎn)B放在原點(diǎn)，點(diǎn)A放在y軸正半軸上，當(dāng)點(diǎn)B在x軸上向右移動時，點(diǎn)A也隨之在y軸上向下移動，當(dāng)點(diǎn)A到達(dá)原點(diǎn)時，點(diǎn)B停止移動，在移動過程中，點(diǎn)C到原點(diǎn)的最大距離為．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：如圖所示：取A1B1的中點(diǎn)E，連接OE，C1E，當(dāng)O，E，C1在一條直線上時，點(diǎn)C到原點(diǎn)的距離最大，在Rt△A1OB1中，∵A1B1＝AB＝8，點(diǎn)OE為斜邊中線，∴OE＝B1E＝A1B1＝4，又∵B1C1＝BC＝4，∴C1E＝＝4，∴點(diǎn)C到原點(diǎn)的最大距離為：OE+C1E＝4+4．故答案為：4+4．【題型7矩形中折疊問題】41．（2023春?江陰市月考）數(shù)學(xué)老師要求學(xué)生用一張長方形的紙片ABCD折出一個45°的角，甲、乙兩人的折法如下，下列說法正確的是（）甲：如圖1，將紙片沿折痕AE折疊，使點(diǎn)B落在AD上的點(diǎn)B'處，∠EAD即為所求．乙：如圖2，將紙片沿折痕AE，AF折疊，使B，D兩點(diǎn)分別落在點(diǎn)B'，D'處，且AB'與AD'在同一直線上，∠EAF即為所求．A．甲和乙的折法都正確 B．只有甲的折法正確 C．只有乙的折法正確 D．甲和乙的折法都不正確【答案】A【解答】解：甲：將紙片沿折痕AE折疊，使B點(diǎn)落在AD上的B'點(diǎn)，得到∠EAB＝∠EAD＝45°；乙：將紙片沿折痕AE，AF折疊，使B，D兩點(diǎn)落在AC上的點(diǎn)B'，D'，得到∠EAF＝∠EAB'+∠FAB'＝（∠DAC+∠BAC）＝×90°＝45°；故選：A．42．（2023春?普陀區(qū)期中）如圖①，已知長方形紙帶ABCD，AB∥CD，AD∥BC，∠C＝90°，點(diǎn)E、F分別在邊AD、BC上，∠1＝25°，如圖②，將紙帶先沿直線EF折疊后，點(diǎn)C、D分別落在H、G的位置，如圖③，將紙帶再沿FS折疊一次，使點(diǎn)H落在線段EF上點(diǎn)M的位置，那么∠2＝52.5°．【答案】52.5．【解答】解：在矩形ABCD中，AD∥BC，∵∠1＝25°，∴∠BFE＝∠1＝25°，∴∠EFC＝180°﹣25°＝155°，根據(jù)第一次折疊，可得∠EFH＝∠EFC＝155°，根據(jù)第二次折疊，可知∠MFS＝∠HFS＝77.5°，∴∠2＝∠MFS﹣∠EFB＝77.5°﹣25°＝52.5°，故答案為：52.5．43．（2023春?義烏市月考）如圖，把一張長方形紙片ABCD沿EF折疊后，點(diǎn)C，D分別落在C′、D′的位置上，EC′交AD于點(diǎn)G，已知∠EFG＝58°，那么∠BEG＝度．【答案】64．【解答】解：∵AD∥BC，∴∠CEF＝∠EFG＝58°，由折疊的性質(zhì)得：∠GEF＝∠CEF＝58°，∴∠BEG＝180°﹣∠GEF﹣∠CEF＝64°．故答案為：64．44．（2022春?濰坊期中）如圖，將矩形ABCD沿AE折疊，使點(diǎn)D落在邊BC的點(diǎn)F處，已知AB＝6cm，BC＝10cm，則EC的長為cm．【答案】．【解答】解：設(shè)CE＝xcm，∵四邊形ABCD是矩形，AB＝6cm，BC＝10cm，∴DC＝AB＝6cm，AD＝BC＝10cm，∠B＝∠C＝90°，∵將矩形ABCD沿AE折疊，使點(diǎn)D落在邊BC的點(diǎn)F處，∴AF＝AD＝10cm，DE＝EF＝（6﹣x）cm，∴BF＝＝＝8（cm），∴FC＝BC﹣BF＝2cm，在Rt△ECF中，由勾股定理得：EF2＝CE2+CF2，即（6﹣x）2＝x2+22，解得：x＝，即CE＝cm，故答案為：．45．（2022春?灌南縣期中）如圖，把長方形ABCD的兩角折疊，折痕分別為EF、HG，點(diǎn)B、D折疊后的對應(yīng)點(diǎn)分別是B'、D'，并且使HD'與B'F在同一直線上，已知長方形的兩組對邊分別平行，試說明兩條折痕EF、GH也相互平行．【答案】見解答．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DHF＝∠BFH，由折疊知：∠FHG＝∠DHG＝∠DHF，∠HFE＝∠BFE＝∠BFH，∴∠FHG＝∠HFE，∴EF∥HG，即兩條折痕也相互平行．46．（2022?蘇州）如圖，將矩形ABCD沿對角線AC折疊，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E，AE與CD交于點(diǎn)F．（1）求證：△DAF≌△ECF；（2）若∠FCE＝40°，求∠CAB的度數(shù)．【答案】（1）證明見解析部分；（2）25°．【解答】（1）證明：將矩形ABCD沿對角線AC折疊，則AD＝BC＝EC，∠D＝∠B＝∠E＝90°，在△DAF和△ECF中，，∴△DAF≌△ECF（AAS）；（2）∵△DAF≌△ECF，∴∠DAF＝∠ECF＝40°，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠DAB＝90°，∴∠EAB＝∠DAB﹣∠DAF＝90°﹣40°＝50°，∵∠EAC＝∠CAB，∴∠CAB＝25°．47．（2022?麗水）如圖，將矩形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，點(diǎn)A落在點(diǎn)P處，折痕為EF．（1）求證：△PDE≌△CDF；（2）若CD＝4cm，EF＝5cm，求BC的長．【答案】（1）證明見解答；（2）cm．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ADC＝∠B＝∠C＝90°，AB＝CD，由折疊得：AB＝PD，∠A＝∠P＝90°，∠B＝∠PDF＝90°，∴PD＝CD，∵∠PDF＝∠ADC，∴∠PDE＝∠CDF，在△PDE和△CDF中，，∴△PDE≌△CDF（ASA）；（2）解：如圖，過點(diǎn)E作EG⊥BC于G，∴∠EGF＝90°，EG＝CD＝4，在Rt△EGF中，由勾股定理得：FG＝＝3，設(shè)CF＝x，由（1）知：PE＝AE＝BG＝x，∵AD∥BC，∴∠DEF＝∠BFE，由折疊得：∠BFE＝∠DFE，∴∠DEF＝∠DFE，∴DE＝DF＝x+3，在Rt△CDF中，由勾股定理得：DF2＝CD2+CF2，∴x2+42＝（x+3）2，∴x＝，∴BC＝2x+3＝+3＝（cm）．48．（2021秋?吉安縣期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將矩形AOCD沿直線AE折疊（點(diǎn)E在邊DC上），折疊后頂點(diǎn)恰好落在邊OC上的點(diǎn)F處，若點(diǎn)D的坐標(biāo)為（10，8）．（1）求CE的長；（2）寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）∵四邊形AOCD為矩形，D的坐標(biāo)為（10，8），∴AD＝OC＝10，DC＝AO＝8，∵矩形沿AE折疊，使D落在BC上的點(diǎn)F處，∴AD＝AF＝10，DE＝EF，在Rt△AOF中，OF＝＝6，∴FC＝10﹣6＝4，設(shè)EC＝x，則DE＝EF＝8﹣x，在Rt△CEF中，EF2＝EC2+FC2，即（8﹣x）2＝x2+42，解得x＝3，即EC的長為3．（2）∵EC的長為3，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（10，3）．49．（2022?運(yùn)城二模）如圖，將矩形ABCD對折，使AD與BC重合，得到折痕EF，展開后再一次折疊，使點(diǎn)A落在EF上的點(diǎn)A′處，并使得折痕經(jīng)過點(diǎn)B，得到折痕BG，連接AA′，如圖1問題解決：（1）試判斷圖1中△ABA′是什么特殊的三角形？并說明理由；（2）如圖2，在圖1的基礎(chǔ)上，AA′與BG相交于點(diǎn)N，點(diǎn)P是BN的中點(diǎn)，連接AP并延長交BA′于點(diǎn)Q，求的值．【答案】（1）等邊三角形；（2）．【解答】解：（1）等邊三角形．理由：由折疊可知：EF垂直平分AB，AB＝A'B，∴AA'＝A'B，∴AB＝A'B＝AA'，∴△ABA'為等邊三角形．（2）取A'Q的中點(diǎn)M，連接MN，則A'M＝QM，由折疊可知：AN＝A'N，∴MN是△AA'Q的中位線，∴MN∥AQ，∴BP：PN＝BQ：QM，∵P為BN的中點(diǎn)，∴BP＝PN，∴BQ＝QM，∴．50．（2021春?鼓樓區(qū)校級期中）已知，如圖，四邊形ABCD中，∠D＝90°，AB＝AC，∠DAC＝∠B，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)．（1）求證：四邊形AECD是矩形；（2）若AD＝8，CD＝6，點(diǎn)F是AD上的點(diǎn)，連接CF，把∠D沿CF折疊，使點(diǎn)D落在點(diǎn)G處．當(dāng)△AFG為直角三角形時，求CF的長度．【答案】（1）證明見解析；（2）6或3．【解答】解：（1）證明：∵AB＝AC,∴∠B＝∠ACB．∵∠DAC＝∠B,∴∠DAC＝∠ACB．∴AD∥EC．∵AB＝AC,E是BC的中點(diǎn)，∴AE⊥BC．∴∠AEC＝90°．∴∠EAD＝180°﹣∠AEC＝90°．∵∠D＝90°,∴四邊形AECD為矩形．(2)當(dāng)∠AGF＝90°時，G在AC上，如圖，∵AD＝8,CD＝6,∴AC＝．∵CG＝CD,∴AG＝AC﹣CG＝4．設(shè)DF＝x,則AF＝8﹣x,GF＝DF＝x,由勾股定理得：AG2+GF2＝AF2．∴42+x2＝(8﹣x)2．解得：x＝3．∴．當(dāng)∠AFC＝90°時，G在CE上，此時四邊形CDFG為正方形，如圖：∴CF＝6；當(dāng)∠FAG＝90°時，G在AB上，此時CG＝CD＝6,而CE＝AD＝8,∵斜邊大于直角邊，∴G不可能在AB邊上．綜上，CF＝6或3【題型8矩形中動點(diǎn)問題】51．（2023春?江津區(qū)期中）已知直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC是長方形，點(diǎn)A，C的坐標(biāo)分別為A（10，0），C（0，4），點(diǎn)D是OA的中點(diǎn)，點(diǎn)P是BC邊上的一個動點(diǎn)，當(dāng)△POD是腰長為5的等腰三角形時，則點(diǎn)P坐標(biāo)為（）A．（2，4）（3，4） B．（2，4）（8，4） C．（2，4）（3，4）（8，4） D．（2，4）（2.5，4）（3，4）（8，4）【答案】C【解答】解：（1）OD是等腰三角形的底邊時，P就是OD的垂直平分線與CB的交點(diǎn)，此時OP＝PD≠5；（2）OD是等腰三角形的一條腰時：若點(diǎn)O是頂角頂點(diǎn)時，P點(diǎn)就是以點(diǎn)O為圓心，以5為半徑的弧與CB的交點(diǎn)，在直角△OPC中，CP＝＝＝3，則P的坐標(biāo)是（3，4）；若D是頂角頂點(diǎn)時，P點(diǎn)就是以點(diǎn)D為圓心，以5為半徑的弧與CB的交點(diǎn)，過D作DM⊥BC于點(diǎn)M，在直角△PDM中，PM＝＝＝3，當(dāng)P在M的左邊時，CP＝CM﹣PM＝5﹣3＝2，則P的坐標(biāo)是（2，4）；當(dāng)P在M的右側(cè)時，CP＝CM+PM＝5+3＝8，則P的坐標(biāo)是（8，4）．所以滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（3，4）或（2，4）或（8，4）．故選：C．52．（2022秋?巴中期末）如圖，在長方形ABCD中，AB＝8，AD＝12，延長BC到點(diǎn)E，使CE＝6，連接DE．（1）動點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿BC→CD→DA向終點(diǎn)A運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的時間為t秒，求當(dāng)t為何值時，△ABP和△DCE全等？（2）若動點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度僅沿著BE向終點(diǎn)E運(yùn)動，連接DP，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的時間為t秒，是否存在t，使△PDE為等腰三角形？若存在，請求出t的值；若不存在，說明理由．【答案】（1）當(dāng)t＝3或13時，△ABP與△DCE全等；（2）當(dāng)t＝3或4或時，△PDE為等腰三角形．【解答】解：（1）當(dāng)△ABP≌△DCE，即BP＝CE＝6時，則t＝6÷2＝3，當(dāng)△ABP≌△DCE，即AP＝CE＝6時，則．∴當(dāng)t＝3或13時，△ABP與△DCE全等．（2）若△PDE為等腰三角形，則PD＝DE或PE＝DE或PD＝PE，當(dāng)PD＝DE時，∵PD＝DE，DC⊥BE，∴PC＝CE＝6，∴．當(dāng)PE＝DE＝10時，∵BP＝BC+CE﹣PE＝12+6﹣10＝8，∴．當(dāng)PD＝PE時，∴PE＝PC+CE＝6+PC，∴PD＝6+PC，在Rt△PDC中，PD2＝CD2+PC2，∴（6+PC）2＝64+PC2，∴，∵BP＝BC﹣PC，∴，∴．綜上所述，當(dāng)t＝3或4或時，△PDE為等腰三角形．53．（2022秋?巴州區(qū)期末）如圖，在長方形ABCD中，AB＝8，AD＝12，延長BC到點(diǎn)E，使CE＝6，連接DE．（1）動點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿BC→CD→DA向終點(diǎn)A運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的時間為t秒，求當(dāng)t為何值時，△ABP和△DCE全等？（2）若動點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度僅沿著BE向終點(diǎn)E運(yùn)動，連接DP，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的時間為t秒，是否存在t，使△PDE為等腰三角形？若存在，請求出t的值；若不存在，說明理由．【答案】（1）t＝3或13；（2）存在，t＝3或4或．【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝8，AD＝BC＝12，若△ABP與△DCE全等，則BP＝CE或AP＝CE，當(dāng)△ABP≌△DCE，即BP＝CE＝6時，則t＝6÷2＝3；當(dāng)△ABP≌△CDE，即AP＝CE＝6時，則．∴當(dāng)t＝3或13時，△ABP與△DCE全等．；（2）∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝8，AD＝BC＝12，CD⊥BC，在Rt△DCE中，CE＝6，∴，若△PDE為等腰三角形，則PD＝DE或PE＝DE或PD＝PE，當(dāng)PD＝DE時，∵PD＝DE，DC⊥BE，∴PC＝CE＝6，∴；當(dāng)PE＝DE＝10時，∵BP＝BC+CE﹣PE＝12+6﹣10＝8，∴，當(dāng)PD＝PE時，∴PE＝PC+CE＝6+PC，∴PD＝6+PC，在Rt△PDC中，PD2＝CD2+PC2，∴（6+PC）2＝64+PC2，∴，∵BP＝BC﹣PC，∴，∴．綜上所述，當(dāng)t＝3或4或時，△PDE為等腰三角形．54．（2022秋?鄭州期末）如圖，平行四邊形ABCD中，AB＝6cm，BC＝10cm，∠B＝60°，點(diǎn)G是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)E是邊AD上的動點(diǎn)，EG的延長線與BC的延長線交于點(diǎn)F，連接CE，DF．（1）求證：四邊形CEDF是平行四邊形；（2）①直接寫出：當(dāng)AE＝4cm時，四邊形CEDF是菱形（不需要說明理由）；②當(dāng)AE＝7cm時，四邊形CEDF是矩形，請說明理由．【答案】（1）見解析；（2）①4；②7．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BC∥AD，∴∠FCG＝∠EDG，∵G是CD的中點(diǎn)，∴CG＝DG，在△CFG和△DEG中，，∴△CFG和△DEG（ASA），∴FG＝EG，又∵CG＝DG，∴四邊形CEDF是平行四邊形．（2）解：①當(dāng)AE＝4cm時，四邊形CEDF是菱形，理由如下：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝10cm，CD＝AB＝6cm，∠CDE＝∠B＝60°，∵AE＝4cm，∴DE＝AD﹣AE＝6cm，∴DE＝CD，∴△CDE是等邊三角形，∴CE＝DE，∵四邊形CEDF是平行四邊形，∴平行四邊形CEDF是菱形，故答案為：4；②當(dāng)AE＝7時，平行四邊形CEDF是矩形，理由如下：如圖，過A作AM⊥BC于M，∵∠B＝60°，AB＝6cm，∴BM＝AB＝3cm，∵AE＝7cm，∴DE＝AD﹣AE＝3cm＝BM，在△MBA和△EDC中，，∴△MBA≌△EDC（SAS），∴∠CED＝∠AMB＝90°，∵四邊形CEDF是平行四邊形，∴平行四邊形CEDF是矩形，故答案為：7．55．（2022春?江門校級期中）如圖，在矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝10cm，點(diǎn)P在AD邊上以每秒1cm的速度從點(diǎn)A向點(diǎn)D運(yùn)動，點(diǎn)Q在BC邊上，以每秒4cm的速度從點(diǎn)C出發(fā)，在CB之間往返運(yùn)動，兩個動點(diǎn)同時出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)D時停止（同時點(diǎn)Q也停止運(yùn)動），設(shè)運(yùn)動時間為t秒（t＞0）．（1）用含t的式子表示線段的長度：PD＝（10﹣t）cm，（2）當(dāng)0＜t＜2.5時，運(yùn)動時間t為