新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)7.6 空間向量求空間距離（精講）（基礎(chǔ)版）（解析版）

7.6空間向量求空間距離（精講）（基礎(chǔ)版）思維導(dǎo)圖思維導(dǎo)圖考點(diǎn)呈現(xiàn)考點(diǎn)呈現(xiàn)例題剖析例題剖析考點(diǎn)一點(diǎn)線距【例1】（2022·福建）在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離為_(kāi)__．【答案】SKIPIF1<0【解析】依題意得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0則SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0故答案為：SKIPIF1<0【一隅三反】1（2022·北京·二模）如圖，已知正方體SKIPIF1<0的棱長(zhǎng)為1，則線段SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)P到直線SKIPIF1<0的距離的最小值為（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，∴動(dòng)點(diǎn)P到直線SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)取等號(hào)，即線段SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)P到直線SKIPIF1<0的距離的最小值為SKIPIF1<0.故選：D.2．（2022·浙江紹興）如圖，在正三棱柱SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，則C到直線SKIPIF1<0的距離為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】由題意知，SKIPIF1<0，取AC的中點(diǎn)O，則SKIPIF1<0，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影的長(zhǎng)度為SKIPIF1<0，故點(diǎn)C到直線SKIPIF1<0的距離為：SKIPIF1<0.故選：D3．（2022·廣東）如圖，在棱長(zhǎng)為4的正方體SKIPIF1<0中，E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段SKIPIF1<0上，點(diǎn)Р到直線SKIPIF1<0的距離的最小值為_(kāi)______.【答案】SKIPIF1<0【解析】在正方體SKIPIF1<0中，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因點(diǎn)P在線段SKIPIF1<0上，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，向量SKIPIF1<0在向量SKIPIF1<0上投影長(zhǎng)為SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，則點(diǎn)Р到直線SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)取“=”，所以點(diǎn)Р到直線SKIPIF1<0的距離的最小值為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0考點(diǎn)二點(diǎn)面距【例2】（2022·江蘇常州）已知正方體SKIPIF1<0的棱長(zhǎng)為2，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為上底面SKIPIF1<0和側(cè)面SKIPIF1<0的中心，則點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】如圖，以SKIPIF1<0為原點(diǎn)，SKIPIF1<0所在直線為SKIPIF1<0軸建立空間直角坐標(biāo)系，易知SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0的法向量SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0.故選：A.【一隅三反】1．（2022·哈爾濱）在長(zhǎng)方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離等于_____.【答案】SKIPIF1<0【解析】如圖，以SKIPIF1<0為原點(diǎn)，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0的法向量SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離：SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0.2．（2022·江蘇）將邊長(zhǎng)為SKIPIF1<0的正方形SKIPIF1<0沿對(duì)角線SKIPIF1<0折成直二面角，則點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為_(kāi)__．【答案】SKIPIF1<0【解析】記AC與BD的交點(diǎn)為O，圖1中，由正方形性質(zhì)可知SKIPIF1<0，所以在圖2中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0如圖建立空間直角坐標(biāo)系，易知SKIPIF1<0則SKIPIF1<0則SKIPIF1<0設(shè)SKIPIF1<0為平面ABC的法向量，則SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0所以點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0故答案為：SKIPIF1<03．（2022·福建福州）如圖，在正四棱柱SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，E，F(xiàn)分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上的點(diǎn)，且SKIPIF1<0．(1)求證：SKIPIF1<0平面ACF：(2)求點(diǎn)B到平面ACF的距離．【答案】(1)證明見(jiàn)詳解.(2)SKIPIF1<0.【解析】（1）以SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：則SKIPIF1<0,設(shè)面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，不妨令SKIPIF1<0則SKIPIF1<0,SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.（2）SKIPIF1<0，則點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0.考點(diǎn)三線線距【例3】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在長(zhǎng)方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0之間的距離是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】如圖所示，以SKIPIF1<0為原點(diǎn)，SKIPIF1<0所在直線為SKIPIF1<0軸如圖建立空間直角坐標(biāo)系則SKIPIF1<0SKIPIF1<0設(shè)直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的公垂線的方向向量為SKIPIF1<0則SKIPIF1<0不妨令SKIPIF1<0又SKIPIF1<0則異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0之間的距離SKIPIF1<0故選：D【一隅三反】1．（2022·山東）定義：兩條異面直線之間的距離是指其中一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線距離的最小值.在長(zhǎng)方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0之間的距離是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的公垂線的方向向量SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故選：D.【點(diǎn)睛】2．（2022·江蘇）長(zhǎng)方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0之間的距離是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的公垂線的一個(gè)方向向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0之間的距離為SKIPIF1<0．故選：D．3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）定義：兩條異面直線之間的距離是指其中一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線距離的最小值．在棱長(zhǎng)為1的正方體SKIPIF1<0中，直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0之間的距離是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】設(shè)SKIPIF1<0為直線SKIPIF1<0上任意一點(diǎn)，過(guò)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，垂足為SKIPIF1<0，可知此時(shí)SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0距離最短設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0取得最小值SKIPIF1<0，故直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0之間的距離是SKIPIF1<0.故選：B.考點(diǎn)四線面距【例4】（2022廣西）如圖，已知斜三棱柱SKIPIF1<0在底面SKIPIF1<0上的射影恰為SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0又知SKIPIF1<0.(1)求證:SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0;(2)求SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)SKIPIF1<0【解析】（1）證明：∵SKIPIF1<0在底面SKIPIF1<0上的射影為SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0，∴平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，且平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．（2）解：取SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0軸建立空間直角坐標(biāo)系，∵SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴四邊形SKIPIF1<0是菱形，∵SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0的法向量SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0

SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離等于SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0.【一隅三反】1．（2022·山西）如圖，在正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)．(1)證明：SKIPIF1<0平面AD1E(2)求直線SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離；【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)SKIPIF1<0【解析】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．（2）如圖建立空間直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0直線SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離即為點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0直線SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0.2．（2022·海南）如圖，在正方體SKIPIF1<0中，棱長(zhǎng)為2，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn).(1)求SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離.(2)若SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【解析】(1)如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，SKIPIF1<0分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則SKIPIF1<0,因?yàn)檎襟wSKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離即為SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離，而SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0,由題意可得SKIPIF1<0.3．（2022·北京）圖1是直角梯形SKIPIF1<0，四邊形SKIPIF1<0是邊長(zhǎng)為2的菱形，并且SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0為折痕將SKIPIF1<0折起，使點(diǎn)SKIPIF1<0到達(dá)SKIPIF1<0的位置，且SKIPIF1<0，如圖2.(1)求證：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)在棱SKIPIF1<0上是否存在點(diǎn)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0？若存在，求出直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值.【答案】(1)詳見(jiàn)解析；(2)存在點(diǎn)SKIPIF1<0且為SKIPIF1<0的中點(diǎn)；SKIPIF1<0.【解析】(1)證明：如圖所示：在圖1中連接AC，交BE于O，因?yàn)樗倪呅蜸KIPIF1<0是邊長(zhǎng)為2的菱形，并且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，在圖2中，相交直線SKIPIF1<0均與BE垂直，所以SKIPIF1<0是二面角SKIPIF1<0的平面角，因?yàn)镾KIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)由（1）分別以SKIPIF1<0為x，y，z建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，設(shè)直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值為：SKIPIF1<0.考點(diǎn)五面面距【例5】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知正方體SKIPIF1<0的棱長(zhǎng)為a，則平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0的距離為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】由正方體的性質(zhì)，SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0,SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，易得平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則兩平面間的距離可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)B到平面SKIPIF1<0的距離．以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，SKIPIF1<0所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．連接SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，得平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量為SKIPIF1<0，則兩平面間的距離SKIPIF1<0．故選：D【一隅三反】1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在棱長(zhǎng)為SKIPIF1<0的正方體SKIPIF1<0中，則平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0之間的距離為A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，顯然平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0之間的距離SKIPIF1<0．2．（2022山西）兩平行平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)SKIPIF