數(shù)學(xué)七年級(jí)下學(xué)期1.28 平行線-角度旋轉(zhuǎn)問題

專題1.28平行線-角度旋轉(zhuǎn)問題（培優(yōu)篇）（專項(xiàng)練習(xí)）1．為了安全起見在某段鐵路兩旁安置了兩座可旋轉(zhuǎn)探照燈．如圖1所示，燈射線從開始順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至便立即回轉(zhuǎn)，燈射線從開始順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交又照射巡視．若燈轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是每秒2度，燈轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即，且．（1）填空：_________；（2）若燈射線先轉(zhuǎn)動(dòng)30秒，燈射線才開始轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈射線到達(dá)之前，燈轉(zhuǎn)動(dòng)幾秒，兩燈的光束互相平行？（3）如圖2，若兩燈同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈射線到達(dá)之前．若射出的光束交于點(diǎn)，過作交于點(diǎn)，且，則在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，請?zhí)骄颗c的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？若不變，請求出其數(shù)量關(guān)系；若改變，請說明理由．2．將一副三角板中的兩個(gè)直角頂點(diǎn)疊放在一起（如圖①），其中，，.（1）若，求的度數(shù)；（2）試猜想與的數(shù)量關(guān)系，請說明理由；（3）若按住三角板不動(dòng)，繞頂點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)三角板，試探究等于多少度時(shí)，，并簡要說明理由.3．在數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)課上，老師讓同學(xué)們以“兩條平行直線，和一塊含45°的直角三角板（）”為背景，開展數(shù)學(xué)探究活動(dòng)．如圖，將三角板的頂點(diǎn)放置在直線上．（1）如圖①，在邊上任取一點(diǎn)（不同于點(diǎn)，），過點(diǎn)作，且，求的度數(shù)；（2）如圖②，過點(diǎn)作，請?zhí)剿鞑⒄f明與之間的數(shù)量關(guān)系；（3）將三角板繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，過點(diǎn)作，并保持點(diǎn)在直線的上方．在旋轉(zhuǎn)過程中，探索與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．4．如圖1，點(diǎn)O為直線上一點(diǎn)，過點(diǎn)O作射線，使，將一把直角三角尺的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，一邊在射線上，另一邊在直線的下方，其中．（1）將圖1中的三角尺繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2，使一邊在的內(nèi)部，且恰好平分，求的度數(shù)；（2）將圖1中的三角尺繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖3，使在的內(nèi)部，請?zhí)骄颗c之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（3）將圖1中三角尺繞點(diǎn)O按每秒的速度沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周，旋轉(zhuǎn)過程中，在第_____秒時(shí)，邊恰好與射線平行；在第_______秒時(shí)，直線恰好平分銳角．5．如圖1，PQ∥MN，點(diǎn)A，B分別在MN，QP上，∠BAM=2∠BAN，射線AM繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AN便立即逆時(shí)針回轉(zhuǎn)，射線BP繞B點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至BQ便立即逆時(shí)針回轉(zhuǎn)．射線AM轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是每秒2度，射線BP轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是每秒1度．（1）直接寫出的大小為_______；（2）射線AM、BP轉(zhuǎn)動(dòng)后對應(yīng)的射線分別為AE、BF，射線BF交直線MN于點(diǎn)F，若射線BP比射線AM先轉(zhuǎn)動(dòng)30秒，設(shè)射線AM轉(zhuǎn)動(dòng)的時(shí)間為t（0＜t＜180）秒，求t為多少時(shí)，直線BF∥直線AE？（3）如圖2，若射線BP、AM同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)m（0＜m＜90）秒，轉(zhuǎn)動(dòng)的兩條射線交于點(diǎn)C，作∠ACD=120°，點(diǎn)D在BP上，請?zhí)骄俊螧AC與∠BCD的數(shù)量關(guān)系．6．一副直角三角板按如圖1所示的方式放置在直線l上，已知AB=160，BC=80，點(diǎn)P以每秒2個(gè)單位長度的速度沿A→B→C的路線運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，三角板ADE（含45°）繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，速度為每秒3°，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)C時(shí)，全部停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．圖2是運(yùn)動(dòng)過程中某時(shí)刻的圖形．(1)當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，△ADE轉(zhuǎn)動(dòng)了°．(2)當(dāng)0＜t＜60時(shí)，若∠FAE與∠B互為余角，則t=．(3)在運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)t＝時(shí)，使得AE、AD、AB三條射線中，其中一條是另外兩條射線夾角（小于180°）的角平分線．(4)當(dāng)△ACP的面積大于△ABC面積的一半，且△ADE的邊所在直線與直線AB的夾角為90度時(shí)，直接寫出：所有滿足條件的t的取值之和為

．7．如圖1，把一塊含30°的直角三角板ABC的BC邊放置于長方形直尺DEFG的EF邊上．（1）填空：1＝_____°，2＝_____°；（2）現(xiàn)把三角板繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)n°．如圖2，當(dāng)0＜n＜90，且點(diǎn)C恰好落在DG邊上時(shí)，①請直接寫出2＝_____°（結(jié)果用含n的代數(shù)式表示）②若1與2怡好有一個(gè)角是另一個(gè)角的倍，求n的值（3）若把三角板繞B點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)n°．當(dāng)0＜n＜360時(shí)，是否會(huì)存在三角板某一邊所在的直線與直尺（有四條邊）某一邊所在的直線垂直？如果存在，請直接寫出所有n的值和對應(yīng)的那兩條垂線；如果不存在，請說明理由．8．錢塘江汛期來臨前，防汛指揮部準(zhǔn)備在一危險(xiǎn)地帶兩岸各安置了一探照燈，便于夜間查看江水及兩岸河堤的情況．如圖，燈A射線自AM順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AN便立即回轉(zhuǎn)，燈B射線自BP順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至BQ便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射巡視．若燈A轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是3度/秒，燈B轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是1度/秒．假定這一帶長江兩岸河堤是平行的，即PQMN．（1）當(dāng)A燈轉(zhuǎn)動(dòng)t秒時(shí)（0<t<60)，用t的代數(shù)式表示燈A射線轉(zhuǎn)動(dòng)的角度大小；（2）若燈B射線先轉(zhuǎn)動(dòng)30秒，燈A射線才開始轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈B射線到達(dá)BQ之前，A燈轉(zhuǎn)動(dòng)幾秒，兩燈的光束互相平行？9．已知直線AB//CD，點(diǎn)P、Q分別在AB、CD上，如圖所示，射線PB按逆時(shí)針方向以每秒12°的速度旋轉(zhuǎn)至PA便立即回轉(zhuǎn)，并不斷往返旋轉(zhuǎn)；射線QC按逆時(shí)針方向每秒3°旋轉(zhuǎn)至QD停止，此時(shí)射線PB也停止旋轉(zhuǎn)．（1）若射線PB、QC同時(shí)開始旋轉(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)時(shí)間10秒時(shí)，PB'與QC'的位置關(guān)系為；（2）若射線QC先轉(zhuǎn)15秒，射線PB才開始轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)射線PB旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為多少秒時(shí)，PB′//QC′．

10．長江汛期即將來臨，防汛指揮部在一危險(xiǎn)地帶兩岸各安置了一個(gè)探照燈，便于夜間查看江水及兩岸河堤的情況．如圖1，燈A射線自順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至便立即回轉(zhuǎn)，燈射線自順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射巡視．若燈A轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是3°/s，燈轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是1°/s，假定這一帶長江兩岸河堤是平行的，即，且．（1）若燈射線先轉(zhuǎn)動(dòng)s，燈射線才開始轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈射線到達(dá)之前，A燈轉(zhuǎn)動(dòng)幾秒時(shí)，兩燈的光束互相平行？（2）如圖2，兩燈同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈A射線到達(dá)之前．若A射出的光束與射出的光束交于點(diǎn)，過作交于點(diǎn)，則在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，與的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？若不變，請求出其數(shù)量關(guān)系；若改變，請求出其取值范圍．11．如圖1，O為直線AB上一點(diǎn)，過點(diǎn)O作射線OC，,將一直角三角板（∠M＝30°）的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，另一邊OM與OC都在直線AB的上方，將圖1中的三角板繞點(diǎn)O以每秒3°的速度沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周．（1）幾秒后ON與OC重合？（2）如圖2，經(jīng)過

秒后，MN∥AB；（3）若三角板在轉(zhuǎn)動(dòng)的同時(shí)，射線OC也繞O點(diǎn)以每秒6°的速度沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周，那么經(jīng)過多長時(shí)間OC與OM重合？請并說明理由．（4）在（3）的條件下，求經(jīng)過多長時(shí)間OC平分∠MOB？請說明理由．12．如圖，已知，是的平分線．（1）若平分，求的度數(shù)；（2）若在的內(nèi)部，且于，求證：平分；（3）在（2）的條件下，過點(diǎn)作，分別交、于點(diǎn)、，繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，但與、始終有交點(diǎn)，問：的值是否發(fā)生變化？若不變，求其值；若變化，求其變化范圍．13．如圖，直線，一副三角板（，，）按如圖①放置，其中點(diǎn)在直線上，點(diǎn)均在直線上，且平分．（1）求的度數(shù)．（2）如圖②，若將三角形繞點(diǎn)以每秒的速度按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（的對應(yīng)點(diǎn)分別為）．設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為秒．①在旋轉(zhuǎn)過程中，若邊，求的值；②若在三角形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的同時(shí)，三角形繞點(diǎn)以每秒的速度按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（的對應(yīng)點(diǎn)分別為）．請直接寫出當(dāng)邊時(shí)的值．14．某市為了美化亮化某景點(diǎn)，在兩條筆直的景觀道MN，QP上，分別放置了A、B兩盞激光燈，如圖所示，A燈發(fā)出的光束自AM逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AN便立即回轉(zhuǎn)，B燈發(fā)出的光束自BP逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至BQ便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不間斷照射，A燈每秒轉(zhuǎn)動(dòng)a度，燈每秒轉(zhuǎn)動(dòng)b度，且滿足，若這兩條票觀道的道路是平行的，即．（1）求a、b的值；（2）若B燈先轉(zhuǎn)動(dòng)10秒，A燈才開始轉(zhuǎn)動(dòng)；①當(dāng)A燈轉(zhuǎn)動(dòng)5秒時(shí)，兩燈的光束和，到達(dá)如圖①所示的位置，試問和是否平行？請說明理由；②當(dāng)B燈光束第一次達(dá)到BQ之前，兩燈的光束是否能互相垂直，如果能互相垂直，那么此時(shí)A燈旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為________秒．（不要求寫出解答過程）如圖1，點(diǎn)O在上，，射線交于點(diǎn)C，已知m，n滿足：．（1）試說明//的理由；（2）如圖2，平分，平分，直線、交于點(diǎn)E，則______；（3）若將繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，其余條件都不變，在旋轉(zhuǎn)過程中，的度數(shù)是否發(fā)生變化？請說明你的結(jié)論．16．如圖，，，分別在直線，上，且，若射線繞點(diǎn)以/秒速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，射線繞點(diǎn)以/秒速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)．（1）若射線和射線同時(shí)旋轉(zhuǎn)，至少旋轉(zhuǎn)多少秒時(shí)，射錢和射線互相垂直？（2）若射線繞點(diǎn)逆時(shí)針先轉(zhuǎn)動(dòng)6秒，至少再旋轉(zhuǎn)多少秒時(shí)，射線和射線互相平行？17．將兩塊三角板按如圖置，其中三角板邊，，，．（1）下列結(jié)論：正確的是_______．①如果，則有；②；③如果，則平分．（2）如果，判斷與是否相等，請說明理由．（3）將三角板繞點(diǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，直到邊與重合即停止，轉(zhuǎn)動(dòng)的過程中當(dāng)兩塊三角板恰有兩邊平行時(shí)，請直接寫出所有可能的度數(shù)．18．已知，將一副三角板中的兩塊直角三角板如圖1放置，，，，．（1）若三角板如圖1擺放時(shí)，則______，______．（2）現(xiàn)固定的位置不變，將沿方向平移至點(diǎn)E正好落在上，如圖2所示，與交于點(diǎn)G，作和的角平分線交于點(diǎn)H，求的度數(shù)；（3）現(xiàn)固定，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至與直線首次重合的過程中，當(dāng)線段與的一條邊平行時(shí)，請直接寫出的度數(shù)．19．如圖，已知，點(diǎn)E在直線之間．（1）求證：（2）若平分，將線段沿平移至．?。鐖D②，若平分，求的度數(shù)．ⅱ．如圖③，若平分，請直接寫出與的數(shù)量關(guān)系．20．如圖，已知是直線間的一點(diǎn)，于點(diǎn)交于點(diǎn)．（1）求的度數(shù)；（2）如圖2，射線從出發(fā)，以每秒的速度繞P點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)垂直時(shí)，立刻按原速返回至后停止運(yùn)動(dòng)：射線從出發(fā)，以每秒的速度繞E點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至后停止運(yùn)動(dòng)，若射線，射線同時(shí)開始運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)間為t秒．①當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)；②當(dāng)時(shí)，求t的值．21．梅溪湖公園某處湖道兩岸所在直線（AB∥CD）如圖所示，在湖道兩岸安裝探照燈P和Q，若燈P射線自PA逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至PB便立即回轉(zhuǎn)，燈Q射線自QD逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至OC便立即回轉(zhuǎn)，每天晚間兩燈同時(shí)開啟不停交叉照射巡視．設(shè)燈P轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是10度/秒，燈Q轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是4度/秒，湖面上點(diǎn)M是音樂噴泉的中心．（1）若把燈P自PA轉(zhuǎn)至PB，或者燈Q自QD轉(zhuǎn)至QC稱為照射一次，請求出P、Q兩燈照射一次各需要的時(shí)間；（2）12秒時(shí)，兩光束恰好在M點(diǎn)匯聚，求∠PMQ；（3）在兩燈同時(shí)開啟后的35秒內(nèi)，請問開啟多長時(shí)間后，兩燈的光束互相垂直？22．如圖1，為直線上一點(diǎn)，過點(diǎn)作射線，將一直角三角板（）的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)處，一邊在射線上，另一邊與都在直線的上方，將圖1中的三角板繞點(diǎn)以每秒3°的速度沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周．（1）幾秒后與重合？（2）如圖2，經(jīng)過秒后，，求此時(shí)的值．（3）若三角板在轉(zhuǎn)動(dòng)的同時(shí)，射線也繞點(diǎn)以每秒6°的速度沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周，那么經(jīng)過多長時(shí)間與重合？請畫圖并說明理由．（4）在（3）的條件下，求經(jīng)過多長時(shí)間平分？請畫圖并說明理由．23．如圖，兩個(gè)形狀，大小完全相同的含有30°、60°的三角板如圖放置，PA、PB與直線MN重合，且三角板PAC，三角板PBD均可以繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)．（1）①如圖1，∠DPC＝度．②我們規(guī)定，如果兩個(gè)三角形只要有一組邊平行，我們就稱這兩個(gè)三角形為“孿生三角形”，如圖1，三角板BPD不動(dòng)，三角板PAC從圖示位置開始每秒10°逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周（0°旋轉(zhuǎn)360°），問旋轉(zhuǎn)時(shí)間t為多少時(shí)，這兩個(gè)三角形是“孿生三角形”．（2）如圖3，若三角板PAC的邊PA從PN處開始繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速3°/秒，同時(shí)三角板PBD的邊PB從PM處開始繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速2°/秒，在兩個(gè)三角板旋轉(zhuǎn)過程中，（PC轉(zhuǎn)到與PM重合時(shí)，兩三角板都停止轉(zhuǎn)動(dòng)）．設(shè)兩個(gè)三角板旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒，以下兩個(gè)結(jié)論：①為定值；②∠BPN+∠CPD為定值，請選擇你認(rèn)為對的結(jié)論加以證明．24．如圖①，已知AB∥CD，一條直線分別交AB、CD于點(diǎn)E、F，∠EFB＝∠B，F(xiàn)H⊥FB，點(diǎn)Q在BF上，連接QH．(1)已知∠EFD＝70°，求∠B的度數(shù)；(2)求證：FH平分∠GFD．(3)在(1)的條件下，若∠FQH＝30°，將△FHQ繞著點(diǎn)F順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，如圖②，若當(dāng)邊FH轉(zhuǎn)至線段EF上時(shí)停止轉(zhuǎn)動(dòng)，記旋轉(zhuǎn)角為α，請直接寫出當(dāng)α為多少度時(shí)，QH與△EBF的某一邊平行?參考答案1．（1）72°；（2）30秒或110秒；（3）不變，∠BAC=2∠BCD【解析】【分析】（1）根據(jù)∠BAM+∠BAN=180°，∠BAM：∠BAN=3：2，即可得到∠BAN的度數(shù)；（2）設(shè)A燈轉(zhuǎn)動(dòng)t秒，兩燈的光束互相平行，分兩種情況進(jìn)行討論：當(dāng)0＜t＜90時(shí)，根據(jù)2t=1?（30+t），可得t=30；當(dāng)90＜t＜150時(shí)，根據(jù)1?（30+t）+（2t-180）=180，可得t=110；（3）設(shè)燈A射線轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間為t秒，根據(jù)∠BAC=2t-108°，∠BCD=126°-∠BCA=t-54°，即可得出∠BAC：∠BCD=2：1，據(jù)此可得∠BAC和∠BCD關(guān)系不會(huì)變化．【詳解】解：（1）∵∠BAM+∠BAN=180°，∠BAM：∠BAN=3：2，∴∠BAN=180°×=72°，故答案為：72；（2）設(shè)A燈轉(zhuǎn)動(dòng)t秒，兩燈的光束互相平行，①當(dāng)0＜t＜90時(shí)，如圖1，∵PQ∥MN，∴∠PBD=∠BDA，∵AC∥BD，∴∠CAM=∠BDA，∴∠CAM=∠PBD∴2t=1?（30+t），解得t=30；②當(dāng)90＜t＜150時(shí)，如圖2，∵PQ∥MN，∴∠PBD+∠BDA=180°，∵AC∥BD，∴∠CAN=∠BDA∴∠PBD+∠CAN=180°∴1?（30+t）+（2t-180）=180，解得

t=110，綜上所述，當(dāng)t=30秒或110秒時(shí)，兩燈的光束互相平行；（3）∠BAC和∠BCD關(guān)系不會(huì)變化．理由：設(shè)燈A射線轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間為t秒，∵∠CAN=180°-2t，∴∠BAC=72°-（180°-2t）=2t-108°，又∵∠ABC=108°-t，∴∠BCA=180°-∠ABC-∠BAC=180°-t，而∠ACD=126°，∴∠BCD=126°-∠BCA=126°-（180°-t）=t-54°，∴∠BAC：∠BCD=2：1，即∠BAC=2∠BCD，∴∠BAC和∠BCD關(guān)系不會(huì)變化．【點(diǎn)撥】本題主要考查了平行線的性質(zhì)以及角的和差關(guān)系的運(yùn)用，解決問題的關(guān)鍵是運(yùn)用分類思想進(jìn)行求解，解題時(shí)注意：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．2．（1）30°；（2）答案見解析；（3）答案見解析【解析】【分析】（1）由∠BCD＝150°，∠ACB＝90°，可得出∠DCA的度數(shù)，進(jìn)而得出∠ACE的度數(shù)；（2）根據(jù)（1）中的結(jié)論可提出猜想，再由∠BCD＝∠ACB＋∠ACD，∠ACE＝∠DCE?∠ACD可得出結(jié)論；（3）根據(jù)平行線的判定定理，畫出圖形即可求解．【詳解】解：（1）∵，，∴，∴；（2），理由如下：∵，，∴；（3）當(dāng)或時(shí)，．如圖②，根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；如圖③，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，當(dāng)時(shí)，．【點(diǎn)撥】本題考查了平行線的判定：同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行，解題的關(guān)鍵是熟練掌握定理并且能夠準(zhǔn)確識(shí)圖．3．（1）；（2）；（3）①當(dāng)點(diǎn)在直線的上方時(shí)，；②當(dāng)點(diǎn)在直線與直線之間時(shí)，；③當(dāng)點(diǎn)在直線的下方時(shí)，．【解析】【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)可知，依據(jù)，可求出的度數(shù)；（2）過點(diǎn)作，得到，通過平行線的性質(zhì)把和轉(zhuǎn)化到上即可；（3）分三種情形：①如圖中，當(dāng)點(diǎn)在直線的上方時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)在直線與直線之間時(shí)，．③當(dāng)點(diǎn)在直線的下方時(shí)，分別利用平行線的性質(zhì)解決問題即可．【詳解】解：（1）如圖1中，，，，，，解得．（2），理由如下：如圖，過點(diǎn)作，，，，，，，；（3）①如圖中，當(dāng)點(diǎn)在直線的上方時(shí)，過點(diǎn)作．，，，，，，．②當(dāng)點(diǎn)在直線與直線之間時(shí)，，如下圖：，，，；③當(dāng)點(diǎn)在直線的下方時(shí)，過點(diǎn)作．，，，，，，．綜上所述，①當(dāng)點(diǎn)在直線的上方時(shí)，．②當(dāng)點(diǎn)在直線與直線之間時(shí)，．③當(dāng)點(diǎn)在直線的下方時(shí)，．【點(diǎn)撥】本題屬于幾何變換綜合題，考查了平行線的性質(zhì)，特殊三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造平行線解決問題，需要用分類討論的思想思考問題．4．（1）150°；（2）∠BOM-∠CON=30°；（3）9秒或27秒，6秒或24秒【解析】【分析】（1）根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義求出∠AOC=120°，再根據(jù)角平分線的定義求出∠COM，然后根據(jù)∠CON=∠COM+90°解答；（2）用∠BOM和∠CON表示出∠BON，然后列出方程整理即可得解．（3）分別分兩種情況根據(jù)平行線的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出旋轉(zhuǎn)角，然后除以旋轉(zhuǎn)速度即可得解．【詳解】解：（1）∵∠AOC=120°，∴∠BOC=60°，又∵OM平分∠AOC，∴∠COM=∠BOC=60°，∴∠CON=∠COM+90°=150°；（2）∵∠MON=90°，∠BOC=60°，∴∠BON=90°-∠BOM，∠BON=60°-∠CON，∴90°-∠BOM=60°-∠CON，∴∠BOM-∠CON=30°，故∠BOM與∠CON之間的數(shù)量關(guān)系為：∠BOM-∠CON=30°．（3）∵∠OMN=30°，∴∠N=90°-30°=60°，∵∠BOC=60°，∴當(dāng)ON在直線AB上時(shí)，MN∥OC，如圖，則旋轉(zhuǎn)角為90°或270°，∵每秒順時(shí)針旋轉(zhuǎn)10°，∴時(shí)間為9秒或27秒；當(dāng)直線ON恰好平分銳角∠BOC時(shí)，則旋轉(zhuǎn)角為90°-30°=60°或90°+150°=240°，∵每秒順時(shí)針旋轉(zhuǎn)10°，∴時(shí)間為6秒或24秒．【點(diǎn)撥】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，讀懂題目信息并熟練掌握各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，難點(diǎn)在于（3）要分情況討論．5．（1）60°；（2）當(dāng)秒或秒時(shí)直線；（3）和關(guān)系不會(huì)變化，．【解析】【分析】（1）根據(jù)PQ∥MN，可得∠QBA=∠BAN，再根據(jù)平角定義和∠BAM=2∠BAN．即可得∠QBA的大??；（2）①當(dāng)0＜t＜90時(shí)，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，∠EAM=∠PBF，列出方程2t=1?（30+t），即可求解；②當(dāng)90＜t＜150時(shí)，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠PBF+∠EAN=180°，列出方程1?（30+t）+（2t-180）=180，即可求解；（3）作CH∥PQ，根據(jù)PQ∥MN，可得CH∥PQ∥MN，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，∠BCD=120°-∠BCA=120°-（180°-m°）=m°-60°，∠BAC=60°-（180°-2m°）=2m°-120°，可得∠BAC：∠BCD=2：1，即∠BAC=2∠BCD．【詳解】解：（1）∵PQ∥MN，∴∠QBA=∠BAN，∵∠BAM+∠BAN=180°，∠BAM=2∠BAN，∴3∠BAN=180°，∴∠BAN=60°，∴∠QBA=∠BAN=60°，故答案為：60°；（2）①當(dāng)0＜t＜90時(shí)，如圖1，∵PQ∥MN，∴∠PBF=∠BFA，∵AE∥BF，∴∠EAM=∠BFA，∴∠EAM=∠PBF，∴2t=1?（30+t），解得t=30；②當(dāng)90＜t＜150時(shí)，如圖2，∵PQ∥MN，∴∠PBF+∠BFA=180°，∵AE∥BF，∴∠EAN=∠BFA，∴∠PBF+∠EAN=180°，∴1?（30+t）+（2t-180）=180，解得t=110，綜上所述，當(dāng)t=30秒或110秒時(shí)BF∥直線AE；（3）∠BAC=2∠BCD，理由如下：如圖3，作CH∥PQ，∵PQ∥MN，∴CH∥PQ∥MN，∴∠QBC+∠2=180°，∠MAC+∠1=180°，∴∠QBC+∠2+∠MAC+∠1=360°，∵∠QBC=180°-m°，∠MAC=2m°，∴∠BCA=∠1+∠2=360°-（180°-m°）-2m°=180°-m°，而∠ACD=120°，∴∠BCD=120°-∠BCA=120°-（180°-m°）=m°-60°，∵∠CAN=180°-2m°，∴∠BAC=60°-（180°-2m°）=2m°-120°，∴∠BAC：∠BCD=2：1，即∠BAC=2∠BCD．【點(diǎn)撥】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是利用平行線的判定與性質(zhì)分情況討論．6．(1)240(2)10(3)20或42.5或65(4)195【解析】【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)可求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間，再根據(jù)路程=速度×?xí)r間可求解；（2）若∠FAE與∠B互余，則∠FAE=30°，由此可直接得出時(shí)間；（3）分三種情況分類討論，畫出圖形列出方程求解即可；（4）由于三角形有三條邊，分三種情況討論，分別求出t的值，再求和即可．(1)解：當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，所用時(shí)間t=160÷2=80（s），此時(shí)∠FAE=3°×80=240°，故答案為：240；(2)解：當(dāng)0＜t＜60時(shí)，點(diǎn)P在AB上，由題意可知∠BAC=30°，∠B=60°，若∠FAE與∠B互為余角，則∠FAE=30°，∴t=30°÷3°=10（s），故答案為：10；(3)解：根據(jù)題意可知，∠EAD=45°，若AE、AD、AB三條射線中，其中一條是另外兩條射線夾角（小于180°）的角平分線，需要分三種情況：①當(dāng)射線AD是∠BAE的平分線時(shí)，如圖1，此時(shí)∠EAD=∠BAD=45°，∴∠EAF=180°-∠BAC-∠EAD-∠BAD=60°，此時(shí)t=60°÷3°=20（s）；②當(dāng)射線AB是∠DAE的平分線時(shí)，如圖2，此時(shí)∠EAB=∠DAB=22.5°，∴∠EAF=180°-∠BAC-∠BAE=137.5°，∴t=137.5°÷3°=42.5（s）；③當(dāng)射線AE是∠BAD的平分線時(shí)，如圖3，此時(shí)∠DAE=∠BAE=45°，∴∠EAC=∠BAE-∠BAC=15°，∴t=（180°+15°）÷3°=65（s），故答案為：20或42.5或65．(4)解：當(dāng)△ACP的面積大于△ABC面積的一半時(shí)，點(diǎn)P在與AC平行的△ABC的中位線上方即可，此時(shí)t的取值范圍為：160÷2÷2＜t＜（160+80÷2）÷2，即40＜t＜100，∴120°＜∠FAE＜300°，根據(jù)題意可知，若△ADE的邊所在直線與直線AB的夾角為90度，需要分以下三種情況：①邊DE⊥AB時(shí)，如圖4，此時(shí)∠EAF=150°，∴t=150°÷3°=50（s）；②邊AD⊥AB時(shí)，如圖5，此時(shí)，射線AE旋轉(zhuǎn)的角度為：150°+90°-45°=195°，∴t=195°÷3°=65（s）；③邊AE⊥AB時(shí)，如圖6，此時(shí)，旋轉(zhuǎn)角度為：150°+90°=240°，∴t=240°÷3°=80（s），∴50+65+80=195（s），故答案為：195．【點(diǎn)撥】本題角度的計(jì)算，包括垂直的定義，角平分線的定義等，涉及考查幾何直觀能力，分類討論的數(shù)學(xué)思想，進(jìn)行正確的分類及對t的限制是解題關(guān)鍵．7．（1）120°，90°；（2）①90°＋n°；②n的值為或；（3）當(dāng)n＝30°時(shí)，AB⊥DG（EF）；當(dāng)n＝90°時(shí)，BC⊥DG（EF），AC⊥DE（GF）；當(dāng)n＝120°時(shí)，AB⊥DE（GF）；當(dāng)n＝180°時(shí)，AC⊥DG

（EF），BC⊥DE（GF）；當(dāng)n＝210°時(shí)，AB⊥DG

（EF）；當(dāng)n＝270°時(shí)，BC⊥DG

（EF），AC⊥DE（GF）；當(dāng)n＝300°時(shí)，AB⊥DE

（GF）．【解析】【分析】（1）根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義和平行線的性質(zhì)解答；（2）①根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)求出∠BCG，然后根據(jù)周角等于360°計(jì)算即可得到∠2；②根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義求出∠ABE，再根據(jù)兩直線平行，同位角相等可得∠1＝∠ABE，再分∠1=∠2和∠2=∠1分別求解即可；（3）結(jié)合圖形，分AB、BC、AC三條邊與直尺垂直討論求解．【詳解】解：（1）∠1＝180°?60°＝120°，∠2＝90°；故答案為：120，90；（2）①如圖2，∵DG∥EF，∴∠BCG＝180°?∠CBF＝180°?n°，∵∠ACB＋∠BCG＋∠2＝360°，∴∠2＝360°?∠ACB?∠BCG＝360°?90°?（180°?n°）＝90°＋n°；故答案為：90°＋n°；②∵∠ABC＝60°，∴∠ABE＝180°?60°?n°＝120°?n°，∵DG∥EF，∴∠1＝∠ABE＝120°?n°，若∠1=∠2，則120°?n°=（90°＋n°），解得n=；若∠2=∠1，則90°＋n°=（120°?n°），解得n=；所以n的值為或；（3）當(dāng)n＝30°時(shí)，AB⊥DG（EF）；當(dāng)n＝90°時(shí)，BC⊥DG（EF），AC⊥DE（GF）；當(dāng)n＝120°時(shí)，AB⊥DE（GF）；當(dāng)n＝180°時(shí)，AC⊥DG

（EF），BC⊥DE（GF）；當(dāng)n＝210°時(shí)，AB⊥DG

（EF）；當(dāng)n＝270°時(shí)，BC⊥DG

（EF），AC⊥DE（GF）；當(dāng)n＝300°時(shí)，AB⊥DE

（GF）．【點(diǎn)撥】本題考查了角的計(jì)算，垂線的定義，主要利用了平行線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，讀懂題目信息并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．8．（1）3t(0<t<60)；（2）15秒或82.5秒【解析】【分析】（1）根據(jù)燈A轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是3度/秒，A燈轉(zhuǎn)動(dòng)t秒，于是得到結(jié)論；（2）設(shè)A燈轉(zhuǎn)動(dòng)t秒，兩燈的光束互相平行，①當(dāng)0＜t＜60時(shí)，②當(dāng)60＜t＜120時(shí)，③當(dāng)120＜t＜150時(shí)，3t?360＝t＋30，根據(jù)平行線的性質(zhì)列方程即可得到結(jié)論．【詳解】解：（1）∵燈A轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是3度/秒，A燈轉(zhuǎn)動(dòng)t秒，∴燈A射線轉(zhuǎn)動(dòng)的角度大小為3t（0＜t＜60）；（2）設(shè)A燈轉(zhuǎn)動(dòng)t秒，兩燈的光束互相平行，①當(dāng)0＜t＜60時(shí)，∵PQ∥MN，∴∠PBD＝∠BDA，∵AC∥BD，∴∠CAM＝∠BDA，∴∠CAM＝∠PBD，∴3t＝（30＋t）×1，解得t＝15；②當(dāng)60＜t＜120時(shí)，∵PQ∥MN，∴∠PBD＋∠BDA＝180°，∵AC∥BD，∴∠CAN＝∠BDA，∴∠PBD＋∠CAN＝180°；∴3t?3×60＋（30＋t）×1＝180，解得t＝82.5；③當(dāng)120＜t＜150時(shí)，3t?360＝t＋30，解得t＝195＞150（不合題意），綜上所述，當(dāng)t＝15秒或82.5秒時(shí)，兩燈的光束互相平行．【點(diǎn)撥】本題主要考查了平行線的性質(zhì)和判定，角的和差關(guān)系，解決問題的關(guān)鍵是運(yùn)用分類思想進(jìn)行求解，解題時(shí)注意：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．9．（1）PB′⊥QC′；（2）當(dāng)射線PB旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為5秒或25秒或45秒時(shí)，PB′∥QC′【解析】【分析】（1）求出旋轉(zhuǎn)10秒時(shí)，∠BPB′和∠CQC′的度數(shù)，設(shè)PB′與QC′交于O，過O作OE∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)求得∠POE和∠QOE的度數(shù)，進(jìn)而得結(jié)論；（2）分三種情況：①當(dāng)0＜t≤15時(shí)，②當(dāng)15＜t≤30時(shí)，③當(dāng)30＜t＜45時(shí)，根據(jù)平行線的性質(zhì)，得出角的關(guān)系，列出t的方程便可求得旋轉(zhuǎn)時(shí)間．【詳解】解：（1）如圖1，當(dāng)旋轉(zhuǎn)時(shí)間30秒時(shí)，由已知得∠BPB′＝10°×12＝120°，∠CQC′＝3°×10=30°，過O作OE∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥OE∥CD，∴∠POE＝180°﹣∠BPB′＝60°，∠QOE＝∠CQC′＝30°，∴∠POQ＝90°，∴PB′⊥QC′，故答案為：PB′⊥QC′；（2）①當(dāng)0＜t≤15時(shí)，如圖，則∠BPB′＝12t°，∠CQC′＝45°+3t°，∵AB∥CD，PB′∥QC′，∴∠BPB′＝∠PEC＝∠CQC′，即12t＝45+3t，解得，t＝5；②當(dāng)15＜t≤30時(shí)，如圖，則∠APB′＝12t﹣180°，∠CQC'＝3t+45°，∵AB∥CD，PB′∥QC′，∴∠BPB′＝∠BEQ＝∠CQC′，即12t﹣180＝45+3t，解得，t＝25；③當(dāng)30＜t≤45時(shí)，如圖，則∠BPB′＝12t﹣360°，∠CQC′＝3t+45°，∵AB∥CD，PB′∥QC′，∴∠BPB′＝∠BEQ＝∠CQC′，即12t﹣360＝45+3t，解得，t＝45；綜上，當(dāng)射線PB旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為5秒或25秒或45秒時(shí)，PB′∥QC′．【點(diǎn)撥】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，第（1）題關(guān)鍵是作平行線，第（2）題關(guān)鍵是分情況討論，運(yùn)用方程思想解決幾何問題．10．（1）當(dāng)秒或85秒時(shí)，兩燈的光束互相平行；（2）不變，其數(shù)量關(guān)系為．【解析】【分析】(1)設(shè)A燈轉(zhuǎn)動(dòng)t秒，兩燈的光束互相平行，分兩種情況進(jìn)行討論：①在燈

A射線轉(zhuǎn)到AN之前，②在燈A射線轉(zhuǎn)到AN之后，分別求得t的值即可；(2)設(shè)燈A射線轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間為t秒，根據(jù)∠BAC

=

45°-(180°-

3t)=

3t

-

135°，∠BCD=

90°-∠BCA=

90°-(180°-

2t)=

2t

-90°，可得∠BAC與∠BCD的數(shù)量關(guān)系．【詳解】（1）設(shè)A燈轉(zhuǎn)動(dòng)秒，兩燈的光束互相平行，①在燈

A射線轉(zhuǎn)到AN之前，，如圖3，，，又，，，，燈A轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是3°/s，燈轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是1°/s，，解得；②在燈A射線轉(zhuǎn)到AN之后，又從AN轉(zhuǎn)到AM時(shí)，，如圖4，，同理，，，，解得；③同理，當(dāng)時(shí)，，解得，（不合題意）綜上所述，當(dāng)秒或85秒時(shí)，兩燈的光束互相平行；（2）設(shè)A燈轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間為秒，如圖5，∵，∴又∵，作，，，而，∴，∴，即．【點(diǎn)撥】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，角的和差關(guān)系的運(yùn)用，解決問題的關(guān)鍵是運(yùn)用分類思想進(jìn)行求解，解題時(shí)注意利用角的和差關(guān)系．11．（1）10秒；（2）20；（3）20秒，詳情見解析；（4）秒，詳情見解析【解析】【分析】（1）直接用的度數(shù)除以運(yùn)動(dòng)速度即可得出時(shí)間；（2）利用平行的性質(zhì)得到的度數(shù)，利用角的等量代換求出度數(shù)即可求解；（3）運(yùn)用含的式子分別表示出和，再根據(jù)鄰補(bǔ)角的性質(zhì)建立方程求解即可；（4）利用角的等量代換建立方程求解即可．【詳解】（1）∵∴秒后與重合；（2）∵∴∵∴∴∴∴經(jīng)過秒后，（3）當(dāng)與重合時(shí)，如圖3所示：∵，∵三角板在以每秒轉(zhuǎn)動(dòng)的同時(shí)，射線OC也繞O點(diǎn)以每秒的速度旋轉(zhuǎn)，設(shè),則∵∴解得：∴經(jīng)過秒后與重合（4）當(dāng)OC平分∠MOB時(shí)，如圖4所示：∵，∴,則∵∴∴解得：∴經(jīng)過秒后OC平分∠MOB【點(diǎn)撥】本題主要考查了角的計(jì)算，平行線的性質(zhì)，認(rèn)真審題并仔細(xì)觀察圖形，找到各個(gè)量之間的關(guān)系求出角的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．12．（1）90°；（2）見解析；（3）不變，180°【解析】【分析】（1）根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義及角平分線的定義即可得解；（2）根據(jù)垂直的定義及鄰補(bǔ)角的定義、角平分線的定義即可得解；（3），過，分別作，，根據(jù)平行線的性質(zhì)及平角的定義即可得解．【詳解】解（1），分別平分和，，，，；（2），，即，，是的平分線，，，又，，又在的內(nèi)部，平分；（3）如圖，不發(fā)生變化，，過，分別作，，則有，，，，，，，，，，，，不變．【點(diǎn)撥】此題考查了平行線的性質(zhì)，熟記平行線的性質(zhì)及作出合理的輔助線是解題的關(guān)鍵．13．（1）60°；（2）①6s；②s或s【解析】【分析】（1）利用平行線的性質(zhì)角平分線的定義即可解決問題．（2）①首先證明∠GBC=∠DCN=30°，由此構(gòu)建方程即可解決問題．②分兩種情形：如圖③中，當(dāng)BG∥HK時(shí)，延長KH交MN于R．根據(jù)∠GBN=∠KRN構(gòu)建方程即可解決問題．如圖③-1中，當(dāng)BG∥HK時(shí)，延長HK交MN于R．根據(jù)∠GBN+∠KRM=180°構(gòu)建方程即可解決問題．【詳解】解：（1）如圖①中，∵∠ACB=30°，∴∠ACN=180°-∠ACB=150°，∵CE平分∠ACN，∴∠ECN=∠ACN=75°，∵PQ∥MN，∴∠QEC+∠ECN=180°，∴∠QEC=180°-75°=105°，∴∠DEQ=∠QEC-∠CED=105°-45°=60°．（2）①如圖②中，∵BG∥CD，∴∠GBC=∠DCN，∵∠DCN=∠ECN-∠ECD=75°-45°=30°，∴∠GBC=30°，∴5t=30，∴t=6s．∴在旋轉(zhuǎn)過程中，若邊BG∥CD，t的值為6s．②如圖③中，當(dāng)BG∥HK時(shí)，延長KH交MN于R．∵BG∥KR，∴∠GBN=∠KRN，∵∠QEK=60°+4t，∠K=∠QEK+∠KRN，∴∠KRN=90°-（60°+4t）=30°-4t，∴5t=30°-4t，∴t=s．如圖③-1中，當(dāng)BG∥HK時(shí)，延長HK交MN于R．∵BG∥KR，∴∠GBN+∠KRM=180°，∵∠QEK=60°+4t，∠EKR=∠PEK+∠KRM，∴∠KRM=90°-（180°-60°-4t）=4t-30°，∴5t+4t-30°=180°，∴t=s．綜上所述，滿足條件的t的值為s或s．【點(diǎn)撥】本題考查幾何變換綜合題，考查了平行線的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換，角平分線的定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考?jí)狠S題．14．（1）a=3，b=1；（2）①平行，理由見解析；②50秒或65秒或110秒【解析】【分析】（1）由絕對值和平方的非負(fù)性可求出a，b的值；（2）①求出∠PBP'，∠MAM'，根據(jù)MN∥PQ得∠ACP=∠PBP'，故AM'∥BP；②設(shè)A燈旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒，分類討論列出一元一次方程，分別求解即可．【詳解】解：（1）∵，∴a-3=0，b-1=0，∴a=3，b=1；（2）①AM'與BP''平行，理由如下：∵∠PBP'=15×1°=15°，∠MAM'=5×3°=15°，MN∥PQ，∴∠MAM''=∠ACP=15°，∴∠ACP=∠PBP'，∴AM'’∥BP‘；②能，設(shè)A燈旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒，B燈光束第一次到達(dá)BQ需要180÷1=180（秒），∴t≤180-10，即t＜170，設(shè)AM′與BP′交于點(diǎn)C，過C作CD∥MN，則CD∥PQ，第一次垂直時(shí)，如圖，∠ACB=90°，∠NAC=∠ACD，∠PBC=∠BCD，∴180°-3t+10+t=90°，解得：t=50；第二次垂直時(shí)，如圖，同理可得：∠ACB=90°，∠NAC=∠ACD，∠PBC=∠BCD，∴3t-180°+10+t=90°，解得：t=65；第三次垂直時(shí)，如圖，同理可得：∠ACB=90°，∠MAC=∠ACD，∠QBC=∠BCD，∴3t-360°+10+t=90°，解得：t=110；綜上所述，滿足條件的t的值為50秒或65秒或110秒．【點(diǎn)撥】本題主要考查了絕對值和非負(fù)數(shù)的性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)，解決此題的關(guān)鍵是分類討論、由平行的性質(zhì)列出每種情況的等量關(guān)系．15．（1）見解析；（2）45；（3）不變，見解析；【解析】【分析】（1）由可求得m及n，從而可求得∠MOC=∠OCQ，則可得結(jié)論；（2）易得∠AON的度數(shù)，由兩條角平分線，可得∠DON，∠OCF的度數(shù)，也易得∠COE的度數(shù)，由三角形外角的性質(zhì)即可求得∠OEF的度數(shù)；（3）不變，分三種情況討論即可．【詳解】（1）∵，，且∴，∴m=20，n=70∴∠MOC=90゜－∠AOM=70゜∴∠MOC=∠OCQ=70゜∴MN∥PQ（2）∵∠AON=180゜－∠AOM=160゜又∵平分，平分∴，∵∴∴∠OEF=∠OCF+∠COE=35゜+10゜=45゜故答案為：45．（3）不變，理由如下：如圖，當(dāng)0゜<α<20゜時(shí)，∵CF平分∠OCQ∴∠OCF=∠QCF設(shè)∠OCF=∠QCF=x則∠OCQ=2x∵M(jìn)N∥PQ∴∠MOC=∠OCQ=2x∵∠AON=360゜－90゜—(180゜－2x)=90゜+2x，OD平分∠AON∴∠DON=45゜+x∵∠MOE=∠DON=45゜+x∴∠COE=∠MOE－∠MOC=45゜+x－2x=45゜－x∴∠OEF=∠COE+∠OCF=45゜－x+x=45゜當(dāng)α=20゜時(shí)，OD與OB共線，則∠OCQ=90゜，由CF平分∠OCQ知，∠OEF=45゜當(dāng)20゜<α<90゜時(shí)，如圖∵CF平分∠OCQ∴∠OCF=∠QCF設(shè)∠OCF=∠QCF=x則∠OCQ=2x∵M(jìn)N∥PQ∴∠NOC=180゜－∠OCQ=180゜－2x∵∠AON=90゜+(180゜－2x)=270゜－2x，OD平分∠AON∴∠AOE=135゜－x∴∠COE=90゜－∠AOE=90゜－(135゜－x)=x－45゜∴∠OEF=∠OCF－∠COE=x－(x－45゜)=45゜綜上所述，∠EOF的度數(shù)不變．【點(diǎn)撥】本題主要考查了角平分線的定義，平行線的判定與性質(zhì)，角的和差關(guān)系，注意分類討論，引入適當(dāng)?shù)牧勘阌谶\(yùn)算簡便．16．（1）18秒；（2）31.2秒【解析】【分析】（1）設(shè)至少旋轉(zhuǎn)t秒時(shí)，射線AN、射線BP互相垂直．設(shè)旋轉(zhuǎn)后的射線AN、射線BP交于點(diǎn)O，則BO⊥AO，證出∠OBP+∠OAN=90°，得出方程，解方程即可；（2）求出t＜120s，設(shè)射線AN再轉(zhuǎn)動(dòng)t秒時(shí)，射線AN、射線BP互相平行，由題意得出方程，解方程即可．【詳解】解：（1）設(shè)至少旋轉(zhuǎn)t秒時(shí)，射線AN、射線BP互相垂直．如圖1所示：設(shè)旋轉(zhuǎn)后的射線AN、射線BP交于點(diǎn)O，則BO⊥AO，∴∠ABO+∠BAO=90°，∵M(jìn)N∥PQ，∴∠ABP+∠BAN=180°，∴∠OBP+∠OAN=90°，又∵∠OBP=t，∠OAN=4t，∴t+4t=90°，∴t=18（s）；（2）∵∠BAN=60°，∴∠PBA=120°，∴t＜120s，設(shè)射線AN再轉(zhuǎn)動(dòng)t秒時(shí)，射線AN、射線BP互相平行，射線AN繞點(diǎn)A逆時(shí)針先轉(zhuǎn)動(dòng)6秒，AN轉(zhuǎn)動(dòng)了6×4=24°，則4t-60=120-（t+24），解得：t=31.2，綜上所述，在射線BP到達(dá)BA之前，射線AN至少再轉(zhuǎn)動(dòng)31.2秒，射線AN和射線BP互相平行．【點(diǎn)撥】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)、一元一次方程的應(yīng)用等知識(shí)；熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．17．（1）②③；（2）相等，理由見解析；（3）30°或45°或75°或120°或135°【解析】【分析】（1）根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)分別判定即可；（2）利用角的和差，結(jié)合∠CAB=∠DAE=90°進(jìn)行判斷；（3）依據(jù)這兩塊三角尺各有一條邊互相平行，分五種情況討論，即可得到∠EAB角度所有可能的值．【詳解】解：（1）①∵∠BFD=60°，∠B=45°，∴∠BAD+∠D=∠BFD+∠B=105°，∴∠BAD=105°-30°=75°，∴∠BAD≠∠B，∴BC和AD不平行，故①錯(cuò)誤；②∵∠BAC+∠DAE=180°，∴∠BAE+∠CAD=∠BAE+∠CAE+∠DAE=180°，故②正確；③若BC∥AD，則∠BAD=∠B=45°，∴∠BAE=45°，即AB平分∠EAD，故③正確；故答案為：②③；（2）相等，理由是：∵∠CAD=150°，∴∠BAE=180°-150°=30°，∴∠BAD=60°，∵∠BAD+∠D=∠BFD+∠B，∴∠BFD=60°+30°-45°=45°=∠C；（3）若AC∥DE，則∠CAE=∠E=60°，∴∠EAB=90°-60°=30°；若BC∥AD，則∠B=∠BAD=45°，∴∠EAB=45°；若BC∥DE，則∠E=∠AFB=60°，∴∠EAB=180°-60°-45°=75°；若AB∥DE，則∠D=∠DAB=30°，∴∠EAB=30°+90°=120°；若AE∥BC，則∠C=∠CAE=45°，∴∠EAB=45°+90°=135°；綜上：∠EAB的度數(shù)可能為30°或45°或75°或120°或135°．【點(diǎn)撥】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是理解題意，分情況畫出圖形，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題．18．（1）15°；150°；（2）67.5°；（3）30°或90°或120°【解析】【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)和三角板的角的度數(shù)解答即可；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義解答即可；（3）分當(dāng)BC∥DE時(shí)，當(dāng)BC∥EF時(shí)，當(dāng)BC∥DF時(shí)，三種情況進(jìn)行解答即可．【詳解】解：（1）作EI∥PQ，如圖，∵PQ∥MN，則PQ∥EI∥MN，∴∠α=∠DEI，∠IEA=∠BAC，∴∠DEA=∠α+∠BAC，∴α=DEA-∠BAC=60°-45°=15°，∵E、C、A三點(diǎn)共線，∴∠β=180°-∠DFE=180°-30°=150°；故答案為：15°；150°；（2）∵PQ∥MN，∴∠GEF=∠CAB=45°，∴∠FGQ=45°+30°=75°，∵GH，F(xiàn)H分別平分∠FGQ和∠GFA，∴∠FGH=37.5°，∠GFH=75°，∴∠FHG=180°-37.5°-75°=67.5°；（3）當(dāng)BC∥DE時(shí)，如圖1，∵∠D=∠C=90，∴AC∥DF，∴∠CAE=∠DFE=30°，∴∠BAM+∠BAC=∠MAE+∠CAE，∠BAM=∠MAE+∠CAE-∠BAC=45°+30°-45°=30°；當(dāng)BC∥EF時(shí)，如圖2，此時(shí)∠BAE=∠ABC=45°，∴∠BAM=∠BAE+∠EAM=45°+45°=90°；當(dāng)BC∥DF時(shí)，如圖3，此時(shí)，AC∥DE，∠CAN=∠DEG=15°，∴∠BAM=∠MAN-∠CAN-∠BAC=180°-15°-45°=120°．綜上所述，∠BAM的度數(shù)為30°或90°或120°．【點(diǎn)撥】本題考查了角平分線的定義，平行線性質(zhì)和判定：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用，理清各角度之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．19．（1）見解析；（2）ⅰ．45°；ⅱ．∠AHF=90°+∠AEC【解析】【分析】（1）過E作EF∥AB，可得∠A=∠AEF，利用平行于同一條直線的兩直線平行得到EF與CD平行，再得到一對內(nèi)錯(cuò)角相等，進(jìn)而得出答案；（2）?。瓾F平分∠DFG，設(shè)∠GFH=∠DFH=x，根據(jù)平行線的性質(zhì)可以得到∠AHF的度數(shù)；ⅱ．設(shè)∠GFD=2x，∠BAH=∠EAH=y，根據(jù)角平分線的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)即可得到∠AHF與∠AEC的數(shù)量關(guān)系．【詳解】解：（1）如圖1，過點(diǎn)E作直線EN∥AB，∵AB∥CD，∴EN∥CD，∴∠BAE=∠AEN，∠DCE=∠CEN，∴∠AEC=∠AEN+∠CEN=∠BAE+∠ECD；

（2）∵AH平分∠BAE，∴∠BAH=∠EAH，?。逪F平分∠DFG，設(shè)∠GFH=∠DFH=x，又CE∥FG，∴∠ECD=∠GFD=2x，又∠AEC=∠BAE+∠ECD，∠AEC=90°，∴∠BAH=∠EAH=45°-x，如圖2，過點(diǎn)H作l∥AB，同理可得：∠AHF=∠BAH+∠DFH=45°-x+x=45°；

ⅱ．設(shè)∠GFD=2x，∠BAH=∠EAH=y，∵HF平分∠CFG，∴∠GFH=∠CFH=90°-x，由（1）知∠AEC=∠BAE+∠ECD=2x+2y，如圖3，過點(diǎn)H作l∥AB，∴∠AHF-y+∠CFH=180°，即∠AHF-y+90°-x=180°，∠AHF=90°+（x+y），∴∠AHF=90°+∠AEC．【點(diǎn)撥】此題考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)作出輔助線是解本題的關(guān)鍵．20．（1）；（2）①或；②秒或或秒【解析】【分析】（1）通過延長作輔助線，根據(jù)平行線的性質(zhì)，得到，再根據(jù)外角的性質(zhì)可計(jì)算得到結(jié)果；（2）①當(dāng)時(shí)，分兩種情況，Ⅰ當(dāng)在和之間，Ⅱ當(dāng)在和之間，由，計(jì)算出的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，根據(jù)運(yùn)動(dòng)時(shí)間可計(jì)算出，由已知可計(jì)算出的度數(shù)；②根據(jù)題意可知，當(dāng)時(shí)，分三種情況，Ⅰ射線由逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，，根據(jù)題意可知，，再平行線的性質(zhì)可得，再根據(jù)三角形外角和定理可列等量關(guān)系，求解即可得出結(jié)論；Ⅱ射線垂直時(shí)，再順時(shí)針向運(yùn)動(dòng)時(shí)，，根據(jù)題意可知，，，，可計(jì)算射線的轉(zhuǎn)動(dòng)度數(shù)，再根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)可列等量關(guān)系，即可求出答案；Ⅲ射線垂直時(shí)，再順時(shí)針向運(yùn)動(dòng)時(shí)，，根據(jù)題意可知，，，根據(jù)（1）中結(jié)論，，，可計(jì)算出與代數(shù)式，再根據(jù)平行線的性質(zhì)，可列等量關(guān)系，求解可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）延長與相交于點(diǎn)，如圖1，，，，；（2）①Ⅰ如圖2，，，，射線運(yùn)動(dòng)的時(shí)間（秒，射線旋轉(zhuǎn)的角度，又，；Ⅱ如圖3所示，，，，射線運(yùn)動(dòng)的時(shí)間（秒，射線旋轉(zhuǎn)的角度，又，；的度數(shù)為或；②Ⅰ當(dāng)由運(yùn)動(dòng)如圖4時(shí)，與相交于點(diǎn)，根據(jù)題意可知，經(jīng)過秒，，，，，又，，解得（秒；Ⅱ當(dāng)運(yùn)動(dòng)到，再由運(yùn)動(dòng)到如圖5時(shí)，與相交于點(diǎn)，根據(jù)題意可知，經(jīng)過秒，，，，，運(yùn)動(dòng)的度數(shù)可得，，解得；Ⅲ當(dāng)由運(yùn)動(dòng)如圖6時(shí)，，根據(jù)題意可知，經(jīng)過秒，，，，，，，又，，，解得（秒），當(dāng)?shù)闹禐槊牖蚧蛎霑r(shí)，．【點(diǎn)撥】本題主要考查平行線性質(zhì)，合理添加輔助線和根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形時(shí)解決本題的關(guān)鍵．21．（1）P、Q兩燈照射一次各需要的時(shí)間分別為18秒、45秒；（2）；（3）當(dāng)開啟15s或s或s后，兩燈的光束互相垂直．【解析】【分析】（1）直接利用180除以兩燈的速度即可求得結(jié)果；（2）過點(diǎn)作，利用平行線的相關(guān)性質(zhì)求解即可；（3）分三種情況：①當(dāng)兩燈開啟時(shí)間小于18秒時(shí)，②當(dāng)兩燈開啟時(shí)間大于18秒，小于36秒時(shí)，返回時(shí)，第一次與相遇，③當(dāng)兩燈開啟時(shí)間大于18秒，小于35秒時(shí)，返回時(shí)，第二次與相遇，分別根據(jù)兩燈的光束互相垂直，利用平行線的相關(guān)性質(zhì)，找準(zhǔn)等量關(guān)系，列出方程求解即可．【詳解】解：（1）∵燈P轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是10度/秒，燈Q轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是4度/秒，∴P燈照射一次需要的時(shí)間是：（秒）Q燈照射一次需要的時(shí)間是：（秒）；（2）∵轉(zhuǎn)動(dòng)12秒時(shí)，兩光束恰好在M點(diǎn)匯聚，∴,，如下圖示，過點(diǎn)作，則有∴，，∴，∴；（3）①當(dāng)兩燈開啟時(shí)間小于18秒時(shí)，如圖1所示，過點(diǎn)作，則有∵，，∴，∵兩燈的光束互相垂直，∴依題意可得：解之得：；②當(dāng)兩燈開啟時(shí)間大于18秒，小于35秒時(shí)，返回時(shí)，第一次與相遇，則如圖2所示，過點(diǎn)作，則有∴，，∵兩燈的光束互相垂直，∴依題意可得：解之得：；③當(dāng)兩燈開啟時(shí)間大于18秒，小于35秒時(shí)，返回時(shí)，第二次與相遇，則如圖3所示，過點(diǎn)作，則有∵，，∴，∵兩燈的光束互相垂直，∴依題意可得：解之得：；綜上所述，當(dāng)開啟15s或s或s后，兩燈的光束互相垂直．【點(diǎn)撥】本題主要考查了平行線的性質(zhì)以及角的和差關(guān)系的運(yùn)用，解決問題的關(guān)鍵是運(yùn)用分類思想進(jìn)行求解，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．22．（1）10秒；（2）20秒；（3）20秒，畫圖見解析；（4）秒，畫圖見解析【解析】【分析】（1）用角的度數(shù)除以轉(zhuǎn)動(dòng)速度即可得；（2）求出∠AON=60°，結(jié)合旋轉(zhuǎn)速度可得時(shí)間t；（3）設(shè)∠AON=3t，則∠AOC=30°+6t，由題意列出方程，解方程即可；（4）根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)速度關(guān)系和OC平分∠MOB，由題意列出方程，解方程即可．【詳解】解：（1）∵30÷3=10，∴10秒后ON與OC重合；（2）∵M(jìn)N∥AB∴∠BOM=∠M=30°，∵∠AON+∠BOM=90°，∴∠AON=60°，∴t=60÷3=20∴經(jīng)過t秒后，MN∥AB，t=20秒．（3）如圖3所示：∵∠AON+∠BOM=90°，∠BOC=∠BOM，∵三角板繞點(diǎn)O以每秒3°的速度，射線OC也繞O點(diǎn)以每秒6°的速度旋轉(zhuǎn)，設(shè)∠AON=3t，則∠AOC=30°+6t，∵OC與OM重合，∵∠AOC+∠BOC=180°，可得：（30°+6t）+（90°-3t）=180°，解得：t=20秒；即經(jīng)過20秒時(shí)間OC與OM重合；（4）如圖4所示：∵∠AON+∠BOM=90°，∠BOC=∠COM，∵三角板繞點(diǎn)O以每秒3°的速度，射線OC也繞O點(diǎn)以每秒6°的速度旋轉(zhuǎn)，設(shè)∠AON=3t，∠AOC=30°+6t，∵∠BOM+∠AON=90°，∴∠BOC=∠COM=∠BOM=（90°-3t），由題意得：180°-（30°+6t）=（90°-3t），解得：t=秒，即經(jīng)過秒OC平分∠MOB．【點(diǎn)撥】此題考查了平行線的判定與性質(zhì)，角的計(jì)算以及方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是應(yīng)該認(rèn)真審題并仔細(xì)觀察圖形，找到各個(gè)量之間的關(guān)系求出角的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．23．（1）①90；②t為或或或或或或；（2）①正確，②錯(cuò)誤，證明見解析．【解析】【分析】（1）①由平角的定義，結(jié)合已知條件可得：從而可得答案；②當(dāng)時(shí)，有兩種情況，畫出符合題意的圖形，利用平行線的性質(zhì)與角的和差求解旋轉(zhuǎn)角，可得旋轉(zhuǎn)時(shí)間；當(dāng)時(shí)，有兩種情況，畫出符合題意的圖形，利用平行線的性質(zhì)與角的和差關(guān)系求解旋轉(zhuǎn)