數(shù)學(xué)七年級(jí)下學(xué)期1.6 平行線的判定_第1頁(yè)
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專題1.6平行線的判定(知識(shí)講解)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解平行線的概念,會(huì)用作圖工具畫平行線,了解在同一平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系;2.掌握平行公理及其推論;3.掌握平行線的判定方法,并能運(yùn)用“平行線的判定方法”,判定兩條直線是否平行.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、判定方法1:同位角相等,兩直線平行.如上圖,幾何語(yǔ)言:∵∠3=∠2∴AB∥CD(同位角相等,兩直線平行)要點(diǎn)二、判定方法2:內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行.如上圖,幾何語(yǔ)言:∵∠1=∠2∴AB∥CD(內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行)要點(diǎn)三、判定方法3:同旁內(nèi)角互補(bǔ),兩直線平行.如上圖,幾何語(yǔ)言:∵∠4+∠2=180°∴AB∥CD(同旁內(nèi)角互補(bǔ),兩直線平行)要點(diǎn)四、判定方法4:垂直于同一直線的兩直線平行幾何語(yǔ)言:∵∴∠4=∠2=90°∴AB∥CD(垂直于同一直線的兩直線平行)特別說(shuō)明:平行線的判定是由角相等或互補(bǔ),得出平行,即由數(shù)推形.【典型例題】類型一、同位角相等,兩直線平行 1.如圖,已知,,試說(shuō)明.請(qǐng)將過(guò)程填寫完整.證明:∵又(_____________)∴_______(______________)∴(______________)又∵∴______________.【答案】對(duì)頂角相等;∠2;等量代換;同位角相等兩直線平行;EF【分析】若能得到,再由,則可得結(jié)論,由,可得,從而可證得,因而問(wèn)題解決.解:∵又(對(duì)頂角相等)∴∠2(等量代換)∴(同位角相等兩直線平行)又∵∴EF(平行于同一條直線的兩條直線平行)故答案分別為:對(duì)頂角相等;∠2;等量代換;同位角相等兩直線平行;EF【點(diǎn)撥】本題考查了平行線的判定、平行于同一直線的兩條直線平行這一性質(zhì).舉一反三:【變式1】如圖,直線a、b被直線c所截,,直線a與直線b平行嗎?為什么?(寫出每一步的理由依據(jù))【答案】平行,見解析【分析】先根據(jù)對(duì)頂角相等得出,再由可得出,由此得出結(jié)論.解:.理由:與是對(duì)頂角,(兩個(gè)角有公共頂點(diǎn),并且一個(gè)角的兩邊分別是另一個(gè)角的兩邊的方向延長(zhǎng)線).(對(duì)頂角相等),(已知),(等量代換).(同位角相等,兩直線平行)【點(diǎn)撥】本題考查的是平行線的判定定理,解題的關(guān)鍵是用到的知識(shí)點(diǎn)為:同位角相等,兩直線平行.【變式2】如圖,∠1=70°,∠2=70°.說(shuō)明:AB∥CD.【分析】根據(jù)對(duì)頂角相等得到∠1=∠3,推出∠2=∠3,根據(jù)平行線的判定即可推出答案.解:如圖:∵∠1=70°,∴∠3=∠1=70°,又∵∠2=70°,∴∠3=∠2=70°,∴AB∥CD.【點(diǎn)撥】考查對(duì)平行線的判定,對(duì)頂角的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握,能熟練地運(yùn)用平行線的判定進(jìn)行證明是解題的關(guān)鍵.類型二、內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行 2.已知,如圖,∠ABC=∠ADC,BF,DE分別平分∠ABC與∠ADC,且∠1=∠3.求證:AB∥DC,請(qǐng)根據(jù)條件進(jìn)行推理,得出結(jié)論,并在括號(hào)內(nèi)注明理由.證明:∵BF,DE分別平分∠ABC與∠ADC(已知),∴∠1=∠ABC,∠2=∠ADC().∵∠ABC=∠ADC(),∴∠=∠(等量代換).∵∠1=∠3(),∴∠2=∠().∴AB∥DC().【答案】角平分線的定義;已知;1,2;已知;3,等量代換;內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行.【分析】根據(jù)題目中的證明過(guò)程,可以寫出相應(yīng)的推理依據(jù),本題得以解決.證明:∵BF,DE分別平分∠ABC與∠ADC(已知),∴∠1=∠ABC,∠2=∠ADC(角平分線的定義),∵∠ABC=∠ADC(已知),∴∠1=∠2(等量代換),∵∠1=∠3(已知),∴∠2=∠3(等量代換),∴AB∥DC(內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行).故答案為:角平分線的定義;已知;1,2;已知;3,等量代換;內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行.【點(diǎn)撥】本題考查平行線的判定,解答本題的關(guān)鍵是明確題意,利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.舉一反三:【變式1】如圖,已知平分,點(diǎn)D在射線上,且.判斷與的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由.【答案】BC∥DE;理由見解析【分析】根據(jù)角平分線的定義和已知條件可得∠CBE=∠BED,再根據(jù)平行線的判定即得結(jié)論.解:BC∥DE;理由如下:∵平分,∴∠ABE=∠CBE,∵,∴∠CBE=∠BED,∴BC∥DE.【點(diǎn)撥】本題考查了角平分線的定義和平行線的判定,屬于基礎(chǔ)題目,熟練掌握基本知識(shí)是解題的關(guān)鍵.【變式2】在四邊形中,于點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作,分別交,于點(diǎn),,若,求證:.【分析】本題先利用垂直性質(zhì)求證AG與CF平行,繼而利用平行性質(zhì)以及角的等量代換證明∠DAG與∠AGB相等,最后利用內(nèi)錯(cuò)角相等求證AD與BC平行.證明:∵,,∴,∴,∴.∵,∴,∴.【點(diǎn)撥】本題考查平行線的證明,難度較低,通常利用同位角或者內(nèi)錯(cuò)角相等求證平行,反之用平行性質(zhì)求證角等.類型三、同旁內(nèi)角互補(bǔ),兩直線平行 3.完成下面的證明:如圖,平分,平分,且,求證.

證明:∵平分(已知),∴().∵平分(已知),∴________().∴().∵(已知),∴________().∴().【答案】角的平分線的定義;;角的平分線的定義;等式性質(zhì);;等量代換;同旁內(nèi)角互補(bǔ),兩直線平行.【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì),等式性質(zhì),等量代換,平行線判定逐個(gè)求解即可.解:平分(已知)∴(角平分線的定義)平分(已知)∴2∠β(角平分線的定義)∴(等式性質(zhì))(已知)∴180°(等量代換)∴(同旁內(nèi)角互補(bǔ),兩直線平行).故答案為:角的平分線的定義;;角的平分線的定義;等式性質(zhì);;等量代換;同旁內(nèi)角互補(bǔ),兩直線平行.【點(diǎn)撥】本題考查平行線的判定、角平分線的定義,等式性質(zhì)等,熟練掌握平行線的判定是解決本題的關(guān)鍵.舉一反三:【變式1】如圖,,平分,平分,.(1)求證:;(2)與平行嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)見解析;(2),理由見解析.【分析】(1)根據(jù)平分的性質(zhì)可得,,等角代換可得∠1=∠CDF,根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行求證結(jié)論;(2)由(1)得AB∥BC,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠C+∠ABC=180°,可得∠C+∠ADC=180°,接根據(jù)平行線的判定定理即可求證結(jié)論.(1)證明:∵BE平分,平分,∴,,∵∠ABC=∠ADC,∴∠2=∠CDF,∵∠1=∠2,∴∠1=∠CDF,,∴AB∥CD;(2)AD∥BC,理由如下:∵AB∥CD,∴,∵∠ABC=∠ADC,∴∠ADC+∠C=180°,∴AD∥BC,.【點(diǎn)撥】本題考查平行線的判定及其性質(zhì),解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的判定方法及其性質(zhì)定理.【變式2】完成下面的證明:已知:如圖,平分平分,且.求證:,證明:平分(已知)()平分(已知)()()(已知)()()【答案】角平分線的定義;;等式的基本性質(zhì);180°;同旁內(nèi)角互補(bǔ),兩直線平行【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)及平行線的判定解決即可.解:平分(已知)(角平分線的定義)平分(已知)(2∠β)(等式的基本性質(zhì))(已知)(180°)(同旁內(nèi)角互補(bǔ),兩直線平行).故答案為:角平分線的定義;;等式的基本性質(zhì);180°;同旁內(nèi)角互補(bǔ),兩直線平行.【點(diǎn)撥】本題考查了角平分線的性質(zhì),平行線的性質(zhì)及判定等,熟練掌握角平分線的性質(zhì)及平行線的判定和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.類型四、垂直于同一直線的兩直線平行4.如圖,∠AEF=∠B,∠FEC=∠GHB,HG⊥AB于G,求證:CE⊥AB.【解析】由條件可證明FE∥BC,得到角之間的關(guān)系,從而可證得HG∥CE,可得出結(jié)論.證明:∵∠AEF=∠B,∴EF∥BC,∴∠FEC=∠BCE=∠GHB,∴GH∥CE,∴∠CEB=∠BGH,∵HG⊥AB,∴∠CEB=∠BGH,∴CE⊥AB舉一反三:【變式1】在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)課上,老師讓同學(xué)們用兩個(gè)大小、形狀都相同的三角板畫平行線、,并說(shuō)出自己做法的依據(jù)。小琛、小萱、小冉三位同學(xué)的做法如下:

小琛說(shuō):“我的做法的依據(jù)是內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行”小琛說(shuō)的是否正確?______(回答正確或錯(cuò)誤)小萱做法的依據(jù)是__________________小冉做法的依據(jù)是__________________.【答案】正確;同位角相等,兩直線平行;內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行或(垂直于同一直線的兩條直線平行)【分析】根據(jù)平行線的判定定理:同位角相等,兩直線平行;內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行;同旁內(nèi)角互補(bǔ),兩直線平行去判定即可.解:小琛的說(shuō)法正確,理由如下小琛的做法的依據(jù)是內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行,故正確;小萱做法的依據(jù)是同位角相等兩直線平行;

小冉做法的依據(jù)是內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行(垂直于同一條直線的兩直線平行);

故答案為:正確;同位角相等兩直線平行或同旁內(nèi)角互補(bǔ)兩直線平行;內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行(垂直于同一條直線的兩直線平行).【點(diǎn)撥】本題考查平行線的判定,解題的關(guān)鍵是理解題意,靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題,屬于中考??碱}型.【變式2】在四邊形ABCD中,CF⊥BD于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)A作AG⊥BD,分別交BD,BC于點(diǎn)E,G,

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