截長補短與半角模型

PAGEPAGE4截長補短與半角模型（一）雙角平分線模型一、雙角平分線模型原題呈現(xiàn)：如圖，BA⊥AD，CD⊥AD，垂足分別為A.

D，BE，CE分別平分∠ABC、∠BCD，交點E恰好在AD上.BC=AB+CD是否成立?請說明理由。解法一：延長BE、CD相交于點G解法二：在BC上截取BF=AB二、方法歸納：雙角平分線模型證線段和差關(guān)系一般是用截長補短法，多用截長更簡單。三、問題一般化：變式1：（保留雙角平分線，改變特殊角為一般角）如圖，AD∥BC，∠ABC和∠BAD的平分線相交于點E，過點E的直線分別交AD、BC于點D、C。求證：AB=AD+BC.變式2：（改變圖形位置）如圖,已知AC∥BD，EA、EB分別平分∠CAB和∠DBA，CD過點E，則AB與AC+BD相等嗎?請說明理由。變式3：（改變條件和結(jié)論，方法是否相同）如圖,四邊形ABCD中，點E是邊CD的中點，BE平分∠CBA，AD=AB-BC，求證：AD∥BC。變式4：改變圖形形狀如圖，在△ABC中，∠A=60°，BE、CF分別是∠ABC、∠ACB的平分線，BE、CF相交于點D.（1）求∠FDE的度數(shù)；（2）求證：FD=ED（3）求證：BF+CE=BC（二）半角模型1、（1）問題背景：如圖1:在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°.E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點。且∠EAF=60°.探究圖中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系。小王同學(xué)探究此問題的方法是，延長FD到點G.使DG=BE.連結(jié)AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是___________________.（2）探索延伸：如圖2，若在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°.E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點，且∠EAF=∠BAD，上述結(jié)論是否仍然成立，并說明理由。（3）實際運用：如圖3，在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西30°的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動指令后，艦艇甲向正東方向以60海里/小時的速度前進，艦艇乙沿北偏東50°的方向以80海里/小時的速度前進，1.5小時后，指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達E、F處，且兩艦艇之間的夾角為70°，試求此時兩艦艇之間的距離。二、方法歸納：半角模型：在四邊形中，有一組對角滿足互補關(guān)系且其中一個角是另一個角的一半或其中一個大角的一部分等于這個大角的一半，具備這樣的關(guān)系的四邊形常叫做半角模型，在這類問題中，多用補短的方式構(gòu)造輔助線，證線段的和差關(guān)系較為簡便三、問題一般化：變式1：模型變異如圖,四邊形ABCD中,∠A=∠C=90°,∠ADC=60°,AB=BC,若E.

F分別在AD、DC的延長線上,且∠EBF=60°，求證：AE=EF+CF.變式2：圖形變異，結(jié)論變異2、如圖，∠A=∠CBF=90°，CA=CB=4，∠ACB=120°，∠ECF=60°，AE=3，BF=2，求五邊形ACBFE的面積。變式3：綜合運用（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分別是邊BC、CD上的點，且∠EAF=∠BAD.求證：EF=BE+FD.(2)類比探究：如圖2，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分別是邊BC、CD上的點，且∠EAF=∠BAD，(1)中的結(jié)論是否仍然成立?若成立，請證明；若不成立，請寫出線段EF、BE、FD它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明。(3)拓展探究：如圖3，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分