考研數(shù)學(xué)二(一元函數(shù)微分學(xué))-試卷11

考研數(shù)學(xué)二（一元函數(shù)微分學(xué)）-試卷11(總分：62.00，做題時(shí)間：90分鐘)一、選擇題(總題數(shù)：16，分?jǐn)?shù)：32.00)1.選擇題下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求。（分?jǐn)?shù)：2.00）__________________________________________________________________________________________解析：2.設(shè)函數(shù)則f(x)在(一∞，+∞)內(nèi)()

（分?jǐn)?shù)：2.00）

A.處處可導(dǎo)

B.恰有一個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn)

C.恰有兩個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn)

√

D.至少有三個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn)解析：解析：本題可以先求出f(x)的表達(dá)式，再討論其不可導(dǎo)點(diǎn)。｜x｜＜1時(shí),｜x｜=1時(shí),｜x｜＞1時(shí),即f(x)的表達(dá)式為可見f(x)僅在x=±1兩點(diǎn)處不可導(dǎo)，故應(yīng)選C。3.設(shè)f(x)=|(x一1)(x一2)2(x一3)3|，則導(dǎo)數(shù)f"(x)不存在的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是()

（分?jǐn)?shù)：2.00）

A.0

B.1

√

C.2

D.3解析：解析：設(shè)φ(x)=(x一1)(x一2)2(x一3)3，則f(x)=｜φ(x)｜。使φ(x)=0的點(diǎn)x=1，x=2，x=3可能是f(x)的不可導(dǎo)點(diǎn)，還需考慮φ"(x)在這些點(diǎn)的值。φ"(x)=(x一2)2(x一3)3+2(x一1)(x一2)(x一3)3+3(x一1)(x一2)2(x一3)3，顯然，φ"(1)≠0，φ"(2)=0，φ"(3)=0，所以只有一個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn)x=1。故選B。4.設(shè)f(x)=3x2+x2｜x｜，則使f(n)(0)存在的最高階數(shù)n為()

（分?jǐn)?shù)：2.00）

A.0

B.1

C.2

√

D.3解析：解析：由3x3任意階可導(dǎo)，本題實(shí)質(zhì)上是考查分段函數(shù)x2｜x｜在x=0處的最高階導(dǎo)數(shù)的存在性。事實(shí)上，由可立即看出f(x)在x=0處的二階導(dǎo)數(shù)為零，三階導(dǎo)數(shù)不存在，故選C。5.函數(shù)f(x)=(x2+x一2)｜sin2π｜在區(qū)間上不可導(dǎo)點(diǎn)的個(gè)數(shù)是()

（分?jǐn)?shù)：2.00）

A.3

B.2

√

C.1

D.0解析：解析：設(shè)g(x)=x2+x一2，φ(x)=｜sin2πx｜，顯然g(x)處處可導(dǎo)，φ(x)處處連續(xù)但有不可導(dǎo)點(diǎn)。所以只需考查φ(x)不可導(dǎo)點(diǎn)處g(x)是否為零。φ(x)=｜sin2πx｜的圖形如圖1—2-3所示，在內(nèi)的不可導(dǎo)點(diǎn)為因?yàn)?，所以g(x)=g(x)φ(x)在x=0，處不可導(dǎo)，在x=1可導(dǎo)，且其余點(diǎn)均可導(dǎo)。故選B。6.設(shè)f(x)在x=0的某鄰域內(nèi)連續(xù)，在x=0處可導(dǎo)，且f(0)=0。則φ(x)在x=0處()

（分?jǐn)?shù)：2.00）

A.不連續(xù)

B.連續(xù)但不可導(dǎo)

C.可導(dǎo)但φ"(x)在x=0處不連續(xù)

D.可導(dǎo)且φ"(x)在x=0處連續(xù)

√解析：解析：因?yàn)樗驭?x)在x=0處連續(xù)。故φ"(x)在x=0連續(xù)。故選D。7.設(shè)函數(shù)則f(x)在x=0處()

（分?jǐn)?shù)：2.00）

A.極限不存在

B.極限存在但不連續(xù)

C.連續(xù)但不可導(dǎo)

D.可導(dǎo)解析：解析：顯然f(0)=0，對于極限是無窮小量，為有界變量，故由無窮小量的運(yùn)算性質(zhì)可知，因此f(x)在x=0處連續(xù)，排除A、B。又因?yàn)椴淮嬖冢詅(x)在x=0處不可導(dǎo)，故選C。8.則f(x)在x=0處()

（分?jǐn)?shù)：2.00）

A.極限不存在

B.極限存在，但不連續(xù)

C.連續(xù)但不可導(dǎo)

√

D.可導(dǎo)解析：解析：由f+"(0),f-"(0)都存在可得f(x)在x=0右連續(xù)和左連續(xù)，所以f(x)在x=0連續(xù)；f+"(0)≠f+"(0)，所以f(x)在x=0處不可導(dǎo)。所以選C。9.設(shè)函數(shù)f(x)對任意的x均滿足等式f(1+x)=af(x)，且有f"(0)=b，其中a，b為非零常數(shù)，則()

（分?jǐn)?shù)：2.00）

A.f(x)在x=1處不可導(dǎo)。

B.f(x)在x=1處可導(dǎo)，且f"(1)=a。

C.f(x)在x=1處可導(dǎo)，且f"(1)=b。

D.f(x)在x=1處可導(dǎo)，且f"(1)=ab。

√解析：解析：因且由f"(0)=b可知，10.設(shè)函數(shù)f(x)在x=a的某鄰域內(nèi)有定義，則f(x)在x=a處可導(dǎo)的一個(gè)充分條件是()

（分?jǐn)?shù)：2.00）

A.

B.

C.

D.

√解析：解析：因如果此極限存在，則由導(dǎo)數(shù)定義可知，函數(shù)f(x)在x=a處可導(dǎo)，即該極限存在是f(x)在x=a處可導(dǎo)的一個(gè)充分條件。故選D。11.設(shè)f(x)=｜x｜sin2x，則使導(dǎo)數(shù)存在的最高階數(shù)n=()

（分?jǐn)?shù)：2.00）

A.0

B.1

C.2

D.3解析：解析：12.設(shè)f(x)在[a，b]可導(dǎo)，則()

（分?jǐn)?shù)：2.00）

A.f+"(a)=0

B.f+"(a)≥0

C.f+"(a)＜0

D.f+"(a)≤0

√解析：解析：由導(dǎo)數(shù)定義及題設(shè)得故選D。13.設(shè)f(x)可導(dǎo)，F(xiàn)(x)=f(x)(1+｜sinx｜)，則f(0)=0是F(x)在x=0處可導(dǎo)的()．

（分?jǐn)?shù)：2.00）

A.充分必要條件

√

B.充分條件但非必要條件

C.必要條件但非充分條件

D.既非充分條件也非必要條件解析：解析：令φ(X)=f(x)｜sinx｜，顯然φ(0)=0。由于而由φ(x)在x=0處可導(dǎo)的充分必要條件是φ+"(0)與φ+"(0)都存在且相等可知，若f(0)=0，則必有φ+"(0)=φ-"(0)；若φ+"(0)=-"(0)，即有f(0)=一f(0)，從而f(0)=0。因此f(0)=0是φ(x)在x=0處可導(dǎo)的充分必要條件，也是F(x)在x=0處可導(dǎo)的充分必要條件。故選A。14.設(shè)F(x)=g(x)φ(x)，x=a是φ(x)的跳躍間斷點(diǎn)，g"(a)存在，則g(a)=0，g"(a)=0是F(x)在x=a處可導(dǎo)的()

（分?jǐn)?shù)：2.00）

A.充分必要條件

√

B.充分非必要條件

C.必要非充分條件

D.非充分非必要條件解析：解析：因φ(x)在x=a處不可導(dǎo)，所以不能對F(x)用乘積的求導(dǎo)法則，需用定義求F"(a)。題設(shè)φ(x)以x=a為跳躍間斷點(diǎn)，則存在當(dāng)g(a)=0時(shí)，下面證明若F’（A）存在，則g（a）=0。反證法，若由商的求導(dǎo)法則，φ(x)在x=a可導(dǎo)，這與題設(shè)矛盾，則g（a）=0，g（a）=0是F(x)在x=a處可導(dǎo)的充要條件。故選A。15.設(shè)f(x)在點(diǎn)x=a處可導(dǎo)，則函數(shù)｜f(x)｜在點(diǎn)x=a處不可導(dǎo)的充分必要條件是()

（分?jǐn)?shù)：2.00）

A.f（A）=0且f"(a)（a）=0

B.f（A）=0且f"(a)≠0

√

C.f(A)＞0且f"(a)＞0

D.f（A）＜0且f"(a)＜0解析：解析：若f（A）≠0，由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則有因此排除C和D。當(dāng)f(x)在x=a可導(dǎo)，且f（A）≠0時(shí)，｜f(x)｜在x=a點(diǎn)可導(dǎo)。當(dāng)f（A）=0時(shí)，上兩式分別是｜f(x)｜在x=a點(diǎn)的左、右導(dǎo)數(shù)，因此，當(dāng)f（A）=0時(shí)，｜f(x)｜在x=a點(diǎn)不可導(dǎo)的充要條件是上兩式不相等，即f’（a）≠0，故選B。16.設(shè)函數(shù)f(x)在x=0外連續(xù)，下列命題錯(cuò)誤的是()

（分?jǐn)?shù)：2.00）

A.若存在，則f(0)=0

B.若存在，則f(0)=0

C.若存在，則f"(0)存在

D.若存在，則f"(0)存在

√解析：解析：本題主要考查的是導(dǎo)數(shù)的極限定義及函數(shù)連續(xù)與可導(dǎo)的關(guān)系。由于已知條件中含有抽象函數(shù)，因此本題最簡便的方法是用賦值法，可以選取符合題設(shè)條件的特殊函數(shù)f(x)判斷。取特殊函數(shù)，但f(x)在x=0不可導(dǎo)，故選D。二、填空題(總題數(shù)：10，分?jǐn)?shù)：20.00)17.為奇函數(shù)且在x=0處可導(dǎo)，則f"(0)=1。

（分?jǐn)?shù)：2.00）填空項(xiàng)1:__________________

（正確答案：正確答案：2g"(0)）解析：解析：由g(x)在x=0處可導(dǎo)可知，g(x)在x=0處連續(xù)。又因?yàn)間(x)是奇函數(shù)，所以g(0)=0。根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義可得18.設(shè)函數(shù)則f"(x)=1。

（分?jǐn)?shù)：2.00）填空項(xiàng)1:__________________

（正確答案：正確答案：[*]）解析：解析：當(dāng)x≠0時(shí)，當(dāng)x=0時(shí)，19.設(shè)348可導(dǎo)，則349=1。

（分?jǐn)?shù)：2.00）填空項(xiàng)1:__________________

（正確答案：正確答案：[*]）解析：解析：先考察φ(x)的可導(dǎo)性并求導(dǎo)。φ(x)在x=0處的左導(dǎo)數(shù)為20.設(shè)函數(shù)y=f(x)由方程y一x=ex(1-y)確定，則=1。

（分?jǐn)?shù)：2.00）填空項(xiàng)1:__________________

（正確答案：正確答案：1）解析：解析：當(dāng)x=0時(shí)，y=1。對方程兩邊求導(dǎo)得y"一1=ex(1-y)(1一y—xy")，將x=0，y=1代入上式，可得y"(0)=1。所以21.設(shè)y=(1+sinx)x，則dy｜x-π=1。

（分?jǐn)?shù)：2.00）填空項(xiàng)1:__________________

（正確答案：正確答案：一πdx）解析：解析：運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)換y=(1+sinx)x=exln(1+sinx)，于是因此dy｜x=π=y"(π)dx=一πdx。22.已知，則y"=1。

（分?jǐn)?shù)：2.00）填空項(xiàng)1:__________________

（正確答案：正確答案：[*]）解析：解析：等式兩邊取對數(shù)，則有23.設(shè)函數(shù)=1。

（分?jǐn)?shù)：2.00）填空項(xiàng)1:__________________

（正確答案：正確答案：4）解析：解析：由已知而x＜1時(shí)f"(x)=2，所以f"(一1)=f"(0)=2，代入可得24.設(shè)，則f"(x)=1。

（分?jǐn)?shù)：2.00）填空項(xiàng)1:__________________

（正確答案：正確答案：(1+3x)e3x）解析：解析：先求出函數(shù)的表達(dá)式，即[*]于是有f"(x)=e3x+x.e3x.3=(1+3x)e3x25.已知?jiǎng)ty""=1。

（分?jǐn)?shù)：2.00）填空項(xiàng)1:__________________

（正確答案：正確答案：[*]）解析：解析：易知26.設(shè)f(x)=x(x+1)(x+2)…(x+n)，則f"(0)=1。

（分?jǐn)?shù)：2.00）填空項(xiàng)1:__________________

（正確答案：正確答案：n!）解析：解析：由于d"(x)=(x+1)(x+2)…(x+n)+x[(x+2)…(x+n)+…+(x+1)(x+2)…(x+n—1)]，所以f"(0)=n!。三、解答題(總題數(shù)：5，分?jǐn)?shù)：10.00)27.解答題解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。__________________________________________________________________________________________解析：設(shè)其中f(x)在x=0處二階可導(dǎo)，且f(0)=f"(0)=1。（分?jǐn)?shù)：4.00）(1).a、b為何值時(shí)，g(x)在x=0處連續(xù)。（分?jǐn)?shù)：2.00）__________________________________________________________________________________________

正確答案：(正確答案：由題意若要g(x)在x=0處連續(xù)，必須故b=一1，a為任意實(shí)數(shù)時(shí)，g(x)在x=0處連續(xù)。)解析：(2).a、b為何值時(shí)，g(x)在x=0處可導(dǎo)。（分?jǐn)?shù)：2.00）__________________________________________________________________________________________

正確答案：(正確答案：若要g(x)在x=0處可導(dǎo)，則必須g(x)在x=0處連續(xù)(b=一1)，且g+"(0)=g+"(0)，所以)解析：28.設(shè)f(x)在(一∞，+∞)內(nèi)有定義，且對于任意x與y均有f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex，又設(shè)f"(0)存在且等于a(a≠0)，試證明對任意的x∈(一∞，+∞)f"(x)都存在，并求f(x)。

（分?jǐn)?shù)：2.00）__________________________________________________________________________________________

正確答案：(正確答案：將x=y=0代入f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex，得f(0)=0，為證明f"(x)存在，則由導(dǎo)數(shù)定義)解析：29.設(shè)y=xx2(x＞0)，求

（分?jǐn)?shù)：2.00）________________________________