2022年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)習(xí)題-3.4第2課時(shí)二次函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用

第2課時(shí)二次函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用1.已知二次函數(shù)y=3ax2-6ax+c(a>0)的圖象上有兩個(gè)不重合的點(diǎn)A(m,y1),B(n,y2).若y1=y2,則點(diǎn)P(m,n)可能在下列哪個(gè)一次函數(shù)圖象上 (B)【解析】若y1=y2,則3am2-6am+c=3an2-6an+c,整理得a(m+n)(m-n)=2a(m-n).∵a>0,且點(diǎn)A,B不重合,∴m≠n,∴m+n=2,即n=-m+2,∴點(diǎn)P(m,n)可能在第一、二、四象限.2.(2021·合肥蜀山區(qū)三模)下列關(guān)于二次函數(shù)y=ax2-2ax+1(a>1)的圖象與x軸交點(diǎn)的判斷,正確的是 (D)A.只有一個(gè)交點(diǎn),且它位于y軸的右側(cè)B.只有一個(gè)交點(diǎn),且它位于y軸的左側(cè)C.有兩個(gè)交點(diǎn),且它們位于y軸的兩側(cè)D.有兩個(gè)交點(diǎn),且它們位于y軸的右側(cè)3.(2021·合肥蜀山區(qū)二模)在平面直角坐標(biāo)系中,直線y=mx+n與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)A(-10,0),B(0,5),已知拋物線y=ax2+bx經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,且頂點(diǎn)C在直線y=mx+n的上方,則a的取值范圍是 (A)A.a<-0.1 B.a>-0.1且a≠0C.a<0.1且a≠0 D.a>0.1【解析】將點(diǎn)A(-10,0),B(0,5)代入y=mx+n,可得直線為y=12x+5.∵拋物線y4.已知二次函數(shù)y=x2與一次函數(shù)y=2x+1相交于A,B兩點(diǎn),C是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),D是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且CD平行于y軸.在移動(dòng)過(guò)程中,CD的最大值為2.

5.已知二次函數(shù)y=x2-2(m-1)x+m2-2m-3的圖象與函數(shù)y=-x2+6x的圖象相交于y軸上一點(diǎn),則m=-1或3.

6.如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)圖象的一部分,x=-1是對(duì)稱軸,有下列判斷:①b-2a=0;②4a-2b+c<0;③a-b+c=-9a;④若(-3,y1),(-4,y2)是拋物線上兩點(diǎn),則y1>y2.其中正確的判斷是 (B)A.①②③ B.①③④ C.①②④ D.②③④7.如圖,直線y=kx+b(k≠0)與拋物線y=ax2(a≠0)交于A,B兩點(diǎn),且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是-2,點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是3,則以下結(jié)論:①拋物線y=ax2(a≠0)的圖象的頂點(diǎn)一定是原點(diǎn);②當(dāng)x>0時(shí),直線y=kx+b(k≠0)與拋物線y=ax2(a≠0)的函數(shù)值都隨著x的增大而增大;③AB的長(zhǎng)度可以等于5;④△OAB有可能成為等邊三角形;⑤當(dāng)-3<x<2時(shí),ax2+kx<b.其中正確的結(jié)論是 (B)A.①② B.①②⑤ C.②③④ D.①②④⑤8.如圖,拋物線y=x2-2x-3與x軸交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)B,C作一條直線l.(1)∠ABC的度數(shù)是45°;

(2)點(diǎn)P在線段OB上,且點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,0),過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸,交直線l于點(diǎn)N,交拋物線于點(diǎn)M,則線段MN的長(zhǎng)為2.

【解析】(1)當(dāng)y=0時(shí),x2-2x-3=0,解得x1=-1,x2=3,∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè),∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-1,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,0),當(dāng)x=0時(shí),y=-3,∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,-3),∴OB=OC,∴∠ABC=45°;(2)設(shè)直線l的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b,根據(jù)題意得3k+b=0,b=-3,解得k=1,b=-3,∴直線l的函數(shù)表達(dá)式為y=x-3.當(dāng)x=2時(shí),y=x-3=-1,∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為(2,-1);當(dāng)x=2時(shí),y=x2-2x-3=29.如圖,已知拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于A(-1,0),B(3,0)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,P是拋物線上在第一象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t.(1)求拋物線的表達(dá)式;(2)連接BC,PB,PC,設(shè)△PBC的面積為S,求S關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式,并求當(dāng)S最大時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).解:(1)將點(diǎn)A(-1,0),B(3,0)代入y=-x2+bx+c,得0=-1-∴拋物線的表達(dá)式為y=-x2+2x+3.(2)連接OP.∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t,∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為-t2+2t+3,由(1)知點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,3),∴OC=3.∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,0),∴OB=3,∴S=S△BOP+S△OCP-S△OBC=12∴當(dāng)t=32∴當(dāng)S最大值,點(diǎn)P的坐標(biāo)為3210.在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=tx2-(2t+1)x+t-5與x軸有交點(diǎn).(1)求t的取值范圍.(2)若t為取值范圍內(nèi)的最小的整數(shù),①直接寫出該拋物線的表達(dá)式;②將此拋物線平移,使平移后的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,0),設(shè)平移后的拋物線對(duì)應(yīng)的表達(dá)式為y=a(x-h)2+k,當(dāng)x<3時(shí),y隨x的增大而減小,求k的取值范圍.解:(1)∵拋物線y=tx2-(2t+1)x+t-5與x軸有交點(diǎn),∴關(guān)于x的方程tx2-(2t+1)x+t-5=0有實(shí)數(shù)根,∴t解得t≥-124且t≠0(2)由題意得t=1.①該拋物線的表達(dá)式為y=x2-3x-4.②由題意得a=1.∵當(dāng)x<3時(shí),y隨x的增大而減小,∴h≥3.∵平移后的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,0),∴0=(0-h)2+k,即k=-h2,∴k≤-9.11.拋物線y=(x-k)2-2(k-1)2(k>0)的對(duì)稱軸為直線l,拋物線的頂點(diǎn)為A.(1)判斷拋物線y=(x-k)2-2(k-1)2(k>0)與x軸的交點(diǎn)情況;(2)直線y=k2x與拋物線交于P,Q兩點(diǎn),與拋物線的對(duì)稱軸l交于點(diǎn)D,D恰好是OQ的中點(diǎn),M為直線y=k2x下方拋物線上一點(diǎn),求△PQM解:(1)y=(x-k)2-2(k-1)2=x2-2kx-k2+4k-2,Δ=8(k-1)2,當(dāng)k=1時(shí),Δ=0,拋物線與x軸有一個(gè)交點(diǎn);當(dāng)k≠1時(shí),Δ>0,拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn).(2)∵拋物線的表達(dá)式為y=(x-k)2-2(k-1)2(k>0),∴點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為k.∵D是OQ的中點(diǎn),∴點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為2k.∵點(diǎn)Q在直線y=k2x上,∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2k,k2)把點(diǎn)Q(2k,k2)代入y=(x-k)2-2(k-1)2,得k2=(2k-k)2-2(k-1)2,解得k1=k2=1,∴y=x2-2x+1,則x2-2x+1=12如圖,過(guò)點(diǎn)M作MN⊥x軸,交PQ于N,設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(m,m2-2m+1)12∴MN=12m∴S△PQM=12∵-3412.[一題多解]在平面直角坐標(biāo)系中,將拋物線C1:y=ax2(a>0)平移到頂點(diǎn)P恰好落在直線y=-x-3上,得到拋物線C2,且拋物線C2過(guò)直線與y軸的交點(diǎn)A.設(shè)此時(shí)拋物線頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為h(h>0).(1)用含h的代數(shù)式表示a.(2)如圖,矩形OBCD的頂點(diǎn)D,B分別在x軸和y軸上,與拋物線交于E,F,G三點(diǎn).若GE=2,CF=2EC=2t,連接FG得到△EFG的面積為2,求拋物線C2的表達(dá)式.解:(1)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(h,-h-3),∴拋物線C2的表達(dá)式為y=a(x-h)2-h-3.∵拋物線C2過(guò)直線y=-x-3與y軸的交點(diǎn)A(0,-3),∴a(0-h)2-h-3=-3,∴a=1h(2)解法1:∵GE=2,CF=2EC=2t,△EFG的面積為2,∴12GE·FC=12×2·∵拋物線C2的對(duì)稱軸為直線x=h,∴可設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(h+1,y0),則點(diǎn)C的坐標(biāo)為(h+2,y0),點(diǎn)F的坐標(biāo)為(h+2,y0+2).由(1)知拋物線C2的表達(dá)式為y=a(x-h)2-h-3,將點(diǎn)E,F代入,得y解得a∴拋物線C2的表達(dá)式為y=23解法2:由(1)可知a=1h∴可設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=1h(x-h)2-h-3∵