彈性力學(xué)模擬題

模擬試題一、解答題：（15分）1.簡(jiǎn)述圣維南原理，舉例說(shuō)明其應(yīng)用。（5分）2.什么是平面應(yīng)力問(wèn)題？什么是平面應(yīng)變問(wèn)題？分別寫(xiě)出彈性力學(xué)平面應(yīng)力問(wèn)題和平面應(yīng)變問(wèn)題的物理方程。（5分）3.什么是逆解法？什么是半逆解法？敘述解題路徑。（5分）二、寫(xiě)出下列受力體的應(yīng)力邊界條件（固定端不必寫(xiě)）（20分）1.圖1、2所示懸臂梁（用直角坐標(biāo)形式）。（10分）2.圖3所示三角形懸臂梁（用極坐標(biāo)形式）。（5分）3.圖4所示楔形體（用極坐標(biāo)形式）。（5分）模擬試題11/16/20231圖3圖4圖2圖1模擬試題11/16/20232三、已求得一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，試求主應(yīng)力與主應(yīng)力方向，并圖示。(15分）（1）已知見(jiàn)圖5所示。（2）已知見(jiàn)圖6所示。圖5圖6模擬試題11/16/20233圖7四、設(shè)圖7所示簡(jiǎn)支梁只受重力作用。梁的密度為ρ，試求應(yīng)力分量。（15分）圖8五、設(shè)有一剛體，如圖8所示，具有半徑為b的圓柱形孔道，孔道內(nèi)放置外半徑為b、內(nèi)半徑為a的圓筒，圓筒受內(nèi)壓力q，試求圓筒的應(yīng)力。（20分）模擬試題11/16/20234六、試用虛位移原理求圖9所示梁的撓曲線(xiàn)，并求出處的撓度值(忽略剪切變形的影響)。設(shè)撓度曲線(xiàn)為：aPoxz圖9（15分）模擬試題11/16/20235模擬試題答案一、解答題：1.答：如果把物體的一小部分邊界上的面力，變換為分布不同但靜力等效的面力（主矢量相同，對(duì)于同一點(diǎn)的主矩也相同），那么，近處的應(yīng)力分布將有顯著的改變，但是遠(yuǎn)處所受的影響可以不計(jì)。這就是圣維南原理。如圖a所示柱形構(gòu)件，在兩端截面的形心受到大小相等而方向相反的拉力P。如果把一端的拉力變換為靜力等效的力，如圖b，只有虛線(xiàn)劃出的部分的應(yīng)力分布有顯著的改變，而其余部分所受的影響是可以不計(jì)的。圖a

圖b模擬試題11/16/202362.答：等厚度薄板，承受平行于板面并且不沿厚度變化的面力，同時(shí)體力也平行于板面并且不沿厚度變化。這種問(wèn)題稱(chēng)為平面應(yīng)力問(wèn)題。很長(zhǎng)的柱體，在柱面上承受平行于板面并且不沿長(zhǎng)度變化的面力，同時(shí)體力也平行于板面并且不沿長(zhǎng)度變化。這種問(wèn)題稱(chēng)為平面應(yīng)變問(wèn)題。平面應(yīng)變問(wèn)題的物理方程模擬試題平面應(yīng)力問(wèn)題的物理方程11/16/202373.逆解法：先設(shè)定各種形式的、滿(mǎn)足相容方程的應(yīng)力函數(shù)，用公式求出應(yīng)力分量，然后根據(jù)應(yīng)力邊界條件來(lái)考察，在各種形狀的彈性體上，這些應(yīng)力分量對(duì)應(yīng)于什么樣的面力，從而得知所設(shè)定的應(yīng)力函數(shù)可以解決什么問(wèn)題。逆解法基本步驟：設(shè)定求出應(yīng)力分量求出面力（合力）解決什么問(wèn)題代入代入應(yīng)力分量公式應(yīng)力邊界條件確定模擬試題半逆解法：針對(duì)所要求解的問(wèn)題，根據(jù)彈性體的邊界形狀和受力情況，假設(shè)部分和全部應(yīng)力分量為某種形式的函數(shù)，從而推出應(yīng)力函數(shù)，然后來(lái)考察，這個(gè)應(yīng)力函數(shù)是否滿(mǎn)足相容方程，11/16/20238以及，原來(lái)所假設(shè)的應(yīng)力分量和由這個(gè)應(yīng)力函數(shù)求出的其余應(yīng)力分量，是否滿(mǎn)足應(yīng)力邊界條件和位移單值條件。如果相容方程和各方面的條件都能滿(mǎn)足，自然就得出正確的解答；如果某一方面不能滿(mǎn)足，就要另作假設(shè)，重新考察。半逆解法基本步驟：設(shè)定導(dǎo)出應(yīng)力表達(dá)式得到正確解答滿(mǎn)足邊界條件滿(mǎn)足是是否否應(yīng)力分量公式應(yīng)力邊界條件二、（1）模擬試題11/16/20239（2）（3）（4）三、（1）主應(yīng)力和主應(yīng)力方向?yàn)椋褐鲬?yīng)力方向如圖c。模擬試題11/16/202310（2）主應(yīng)力和主應(yīng)力方向?yàn)椋褐鲬?yīng)力方向如圖d。圖d圖c模擬試題11/16/202311四、解：1.用半逆解法，設(shè)，則：代入雙調(diào)和方程后得：（2）（1）模擬試題11/16/2023122.應(yīng)力分量的表達(dá)式為：其中，特解取,而。由對(duì)稱(chēng)性可知，正應(yīng)力（剪應(yīng)力）應(yīng)是的偶（奇）函數(shù)，因此，。式（3）簡(jiǎn)化為：（3）（4）3.由邊界條件確定常數(shù)，進(jìn)而求出應(yīng)力解答：模擬試題11/16/202313將式（4）代入以上各式，可求得：模擬試題11/16/202314五、解：由題可知本題為一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題，故環(huán)向位移。另外還要考慮位移的單值條件，因此，應(yīng)力分量和位移分量分別如下：1.應(yīng)力分量為：2.平面應(yīng)變問(wèn)題的位移分量為：3.確定常數(shù)A、C：利用邊界條件則有：當(dāng)時(shí)，即得：當(dāng)時(shí)，（1）模擬試題11/16/202315（2）由（1）得：（3）（2）、（3）聯(lián)立解得：4.筒壁應(yīng)力：模擬試題11/16/202316而：六、解：應(yīng)變能：使撓曲線(xiàn)級(jí)數(shù)中任一個(gè)系數(shù)有一變分,就可得到一個(gè)從真實(shí)位移算起的虛位移：模擬試題11/16/202317與之相應(yīng)的應(yīng)變能的變化為：外力P在虛位移過(guò)程中所作的功為：