反比例函數(shù)的圖象為什么是雙曲線

PAGEPAGE5反比例函數(shù)的圖象為什么是雙曲線浙江龍泉一中李好孺前段日子，我化了一個(gè)月的時(shí)間，讀完了劉鴻坤編著的《解析幾何基礎(chǔ)》一書，頗多感慨，其中之一就是反比例函數(shù)的圖象為什么是雙曲線。這一個(gè)問題，是我從教三十年以來，第一次生出這樣的疑問，并通過閱讀全書得到析疑。以往，在初中反比例函數(shù)的教學(xué)當(dāng)中，總是提“反比例函數(shù)y=（k≠0）的圖象叫做雙曲線，”注意這里的“叫做”二字，至于“為什么是雙曲線，”直到今日才得以知曉。內(nèi)心的深處實(shí)在是先慚愧于讀書既少又遲，后慚愧于筆頭既懶又疏。1．回顧先回顧初中數(shù)學(xué)的反比例函數(shù)的教學(xué)過程：（1）反比例函數(shù)的定義函數(shù)y=（k是不等于零的常數(shù)）叫做反比例函數(shù)。k叫做反比例系數(shù)，這里x是自變量。例如函數(shù)t=，h=，y=，y=，它們都是反比例函數(shù)，比例系數(shù)分別為200，50，-，。（2）反比例函數(shù)的圖象以函數(shù)y=為例，畫出它的圖象，總結(jié)出它的畫法。①選取自變量x的一些值，算出y的對(duì)應(yīng)值，列表如下：x…-6-5-4-3-2-1123456…y…-1-1.2-1.5-2-3-66321.51.21…y=圖1xOy=圖1xOy的坐標(biāo)，先描出在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，并按照自變量由小到大的順序用光滑曲線把它們連結(jié)起來，得到圖象的一個(gè)分支；③用與②相同的方法，在第三象限畫出圖象的另一個(gè)分支。這兩個(gè)分支合起來，就是反比例函數(shù)y=圖象（圖1）。從上述畫法中，我們可以看到，畫反比例函數(shù)的圖象，要經(jīng)過列表、描點(diǎn)、連線三個(gè)步驟，這種描圖象的方法叫做描點(diǎn)法。顯然，用描點(diǎn)法所畫的圖象一般是近似的。若要使畫出的圖象越精確，需要畫出圖象上的點(diǎn)也就越多。反比例函數(shù)y=（k≠0）的圖象叫做雙曲線。（3）反比例函數(shù)的性質(zhì)反比例函數(shù)y=有下列性質(zhì)：①當(dāng)k＞0時(shí)，函數(shù)圖象的兩個(gè)分支分別位于第一、三象限內(nèi)，在每一個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減少；當(dāng)k＜0時(shí)，函數(shù)圖象的兩個(gè)分支分別位于第二、四象限內(nèi)，在每一個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大。②兩個(gè)分支都無限接近但永遠(yuǎn)不能達(dá)到x軸和y軸。再來回顧高中解析幾何有關(guān)雙曲線的教學(xué)過程：（1）雙曲線的定義平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F、F的距離的差的絕對(duì)值是常數(shù)（小于|FF|）的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線。這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做焦距。（2）雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程-=1，這個(gè)方程叫做雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，它所表示的雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，焦點(diǎn)是F（-c，0）、F（c，0），這里c=a+b。（3）雙曲線的幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程-=1圖形xxOy頂點(diǎn)坐標(biāo)（a，0）（-a，0）對(duì)稱軸x軸，實(shí)軸長(zhǎng)2ay軸，虛軸長(zhǎng)2b焦點(diǎn)坐標(biāo)（c，0），（-c，0），這里c=a+b離心率e