池州市高三下學(xué)期月教學(xué)質(zhì)量統(tǒng)監(jiān)測數(shù)學(xué)（理）試題含解析

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2020年池州市普通高中高三教學(xué)質(zhì)量統(tǒng)一監(jiān)測數(shù)學(xué)試卷（理科）一、選擇題：本題共12小題,每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的．1.已知為虛數(shù)單位，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為（）A。 B. C. D。【答案】C【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)除法運算計算求得，由此得到對應(yīng)點坐標(biāo)?！驹斀狻浚瑢?yīng)的點為.故選：?！军c睛】本題考查復(fù)數(shù)對應(yīng)點的坐標(biāo)的求解，涉及到復(fù)數(shù)的除法運算，屬于基礎(chǔ)題。2。已知集合,，則（）A. B。 C. D?！敬鸢浮緽【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)定義域和值域分別求得集合,由交集定義可得結(jié)果?！驹斀狻?，。故選：.【點睛】本題考查集合運算中的交集運算,關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)定義域和值域的求法求得兩集合.3.已知數(shù)列為等差數(shù)列，,為數(shù)列前項和，則(）A.10 B。12 C.14 D。16【答案】A【解析】【分析】由等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)可求得，代入等差數(shù)列求和公式可求得結(jié)果.【詳解】,，。故選：。【點睛】本題考查等差數(shù)列前項和的求解問題,關(guān)鍵是能夠熟練應(yīng)用等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)來簡化運算。4.若,則有(）．A。 B. C。 D.【答案】B【解析】【分析】首先化簡，再比較真數(shù)的大小即可。【詳解】由題意得故選B【點睛】本題主要考查了對數(shù)大小的比較，屬于基礎(chǔ)題.5.太極圖是以黑白兩個魚形紋組成的圓形圖案，展現(xiàn)了一種相互轉(zhuǎn)化，相對統(tǒng)一的形式美．按照太極圖的構(gòu)圖方法，在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中,圓被函數(shù)的圖象分割為兩個對稱的魚形圖案，其中小圓的半徑均為1，現(xiàn)在大圓內(nèi)隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率為（)A. B。 C。 D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)正弦型函數(shù)最小正周期可得圓半徑，利用幾何概型面積型公式計算可得結(jié)果.【詳解】的最小正周期為,圓半徑為;在大圓內(nèi)隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率。故選：.【點睛】本題考查幾何概型面積型的概率問題的求解，關(guān)鍵是能夠利用正弦型函數(shù)的最小正周期求得大圓半徑.6.函數(shù)的部分圖象可能是（）A。 B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先由奇偶性的概念,判斷是偶函數(shù)，排除C、D；再由,的正負(fù)，排除B，進(jìn)而可得出結(jié)果.【詳解】因為，所以是偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對稱，故排除C、D;當(dāng)時，，，，即,故排除B，選A．【點睛】本題主要考查函數(shù)圖像的識別，熟記函數(shù)的奇偶性，三角函數(shù)的圖象及其性質(zhì)，對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)等，即可，屬于常考題型。7.2020年春節(jié)期間，因新冠肺炎疫情防控工作需要，、兩社區(qū)需要招募義務(wù)宣傳員，現(xiàn)有、、、、、六位大學(xué)生和甲、乙、丙三位黨員教師志愿參加,現(xiàn)將他們分成兩個小組分別派往、兩社區(qū)開展疫情防控宣傳工作，要求每個社區(qū)都至少安排1位黨員教師及3位大學(xué)生，且由于工作原因只能派往社區(qū)，則不同的選派方案種數(shù)為（）A.60 B.90C.120 D。150【答案】A【解析】【分析】將問題分為社區(qū)選派人和人兩種情況，分別計算出兩種情況下的選派方案種數(shù)，根據(jù)分類加法計數(shù)原理可求得結(jié)果?！驹斀狻繉⑦x派方案分為社區(qū)選派人和人兩種情況,當(dāng)社區(qū)選派人時，必由名黨員教師，位大學(xué)生構(gòu)成，共有：種選派方案；當(dāng)社區(qū)選派人時，必由名黨員教師，位大學(xué)生構(gòu)成，共有：種選派方案；由分類加法計數(shù)原理可知：不同的選派方案種數(shù)有種。故選：.【點睛】本題考查分類加法計數(shù)原理的應(yīng)用,關(guān)鍵是能夠?qū)⑺o問題進(jìn)行準(zhǔn)確分類;本題易錯點是忽略每個社區(qū)大學(xué)生人數(shù)的最低要求，造成求解錯誤.8.“斐波那契數(shù)列”是數(shù)學(xué)史上一個著名數(shù)列,最初是由意大利數(shù)學(xué)家斐波那契于1202年通過兔子繁殖問題提出來的．在斐波那契數(shù)列中,，，．某同學(xué)設(shè)計了一個如圖所示的求斐波那契數(shù)列前項和的程序框圖，若，那么內(nèi)填入（）A. B. C。 D.【答案】B【解析】【分析】按照程序框圖運行程序,直到輸出值為時，根據(jù)滿足的條件補充判斷框內(nèi)容即可.【詳解】按照程序框圖運行程序，輸入，，,則，，，,，滿足所填條件，循環(huán);，,，,，滿足所填條件,循環(huán)；，，，，,滿足所填條件，循環(huán)；，,,，,滿足所填條件，循環(huán);，，,，，滿足所填條件，循環(huán)；，，，，,滿足所填條件，循環(huán)；,，,，，不滿足所填條件，輸出結(jié)果,所填條件應(yīng)為。故選：.【點睛】本題考查根據(jù)程序框圖循環(huán)結(jié)構(gòu)輸出結(jié)果補全框圖的問題,屬于常考題型。9.已知拋物線：的焦點為，其準(zhǔn)線與軸交于點，若拋物線上存在一點使,則（）A. B.8 C。 D。4【答案】A【解析】【分析】過作準(zhǔn)線的垂線，垂足為,結(jié)合拋物線定義、長度和平行關(guān)系可得，在中,利用余弦定理可構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】過作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則由拋物線定義可知：，，又，，軸，,在中，由余弦定理得：，由拋物線方程知:,，解得：，.故選：.【點睛】本題考查拋物線中的線段長度的求解問題，涉及到拋物線定義和余弦定理的應(yīng)用；解題關(guān)鍵是能夠根據(jù)拋物線定義和長度關(guān)系確定角的大小。10。已知是正方體內(nèi)切球的一條直徑，點在正方體表面上運動，正方體的棱長是2，則的取值范圍為（）A. B。 C. D。【答案】B【解析】分析】利用向量的線性運算和數(shù)量積運算律可將所求數(shù)量積化為,根據(jù)正方體的特點可確定的最大值和最小值，代入即可得到所求范圍.【詳解】設(shè)正方體內(nèi)切球的球心為，則，，為球的直徑，,，，又在正方體表面上移動,當(dāng)為正方體頂點時，最大，最大值為；當(dāng)為內(nèi)切球與正方體的切點時，最小，最小值為，，即的取值范圍為。故選：.【點睛】本題考查向量數(shù)量積的取值范圍的求解問題，關(guān)鍵是能夠通過向量的線性運算將問題轉(zhuǎn)化為向量模長的取值范圍的求解問題。11.在正三棱錐中，、分別是、中點，，，則三棱錐的外接球的表面積為(）A。 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由線面垂直的判定方法可證得平面，由線面垂直性質(zhì)和正三棱錐的特點可知兩兩互相垂直，由此可將三棱錐補為正方體,求解正方體的外接球表面積即為所求結(jié)果?！驹斀狻咳≈悬c,連接，分別為中點，，又，，三棱錐為正三棱錐，，，又為中點,，，又平面,平面，平面，，平面,，平面，平面，，，則由正三棱錐特點得，可將三棱錐補成以為棱的正方體，則正方體的外接球即為三棱錐的外接球，外接球半徑，外接球的表面積。故選：.【點睛】本題考查三棱錐外接球表面積的求解問題，關(guān)鍵是能夠根據(jù)垂直關(guān)系得到三棱錐頂點處的兩兩垂直關(guān)系,進(jìn)而通過補為正方體的方式來進(jìn)行求解。12。已知定義在上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，若，且當(dāng)時，，則不等式的解集為（）A. B。 C。 D.【答案】C【解析】【分析】令,可根據(jù)已知等式驗證出為偶函數(shù)，同時根據(jù)導(dǎo)數(shù)得到的單調(diào)性；將所求不等式轉(zhuǎn)化為,根據(jù)單調(diào)性可得到，解不等式求得結(jié)果.【詳解】令，則，，，，為定義在上的偶函數(shù)；當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，又為偶函數(shù)，在上單調(diào)遞增.由得：,即,,解得：，即不等式的解集為。故選:.【點睛】本題考查利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性求解函數(shù)不等式的問題，涉及到構(gòu)造函數(shù)、利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性等知識；解題關(guān)鍵是能夠通過構(gòu)造函數(shù)的方式將不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)值的比較，再根據(jù)單調(diào)性轉(zhuǎn)化為自變量之間的大小關(guān)系.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分,共20分．13.已知數(shù)列的前項和為，且滿足,則數(shù)列通項公式______．【答案】【解析】【分析】當(dāng)時求得；當(dāng)時，利用可知數(shù)列為等比數(shù)列，利用等比數(shù)列通項公式可求得結(jié)果?！驹斀狻慨?dāng)時，,解得：;當(dāng)且時,，，則數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，.故答案為：?！军c睛】本題考查等比數(shù)列通項公式的求解，解題關(guān)鍵是能夠利用與的關(guān)系證明數(shù)列為等比數(shù)列.14.已知的展開式中二項式系數(shù)之和為512，則展開式中常數(shù)項為______．【答案】【解析】【分析】利用二項式系數(shù)和可求得,令二項展開式通項中的的冪指數(shù)為零，可求得，代入通項公式可求得常數(shù)項.【詳解】由題意得：，解得:，展開式的通項公式為，當(dāng)，即時，，常數(shù)項為.故答案為：.【點睛】本題考查二項展開式指定項的求解問題，涉及到利用二項式系數(shù)和求解參數(shù)值的問題；關(guān)鍵是能夠熟練應(yīng)用二項展開式的通項公式的形式.15.過雙曲線的右支上一點,分別向圓：和圓:作切線，切點分別為，,則的最小值為______．【答案】25【解析】【分析】根據(jù)雙曲線和圓的方程可確定雙曲線焦點與圓的圓心重合,利用勾股定理表示出切線長,將問題轉(zhuǎn)化為的最小值的求解問題,利用雙曲線定義和三角形三邊關(guān)系可求得最小值.【詳解】由雙曲線方程知其焦點坐標(biāo)為，由圓的方程知:圓圓心為，半徑；圓圓心，半徑;分別為兩圓切線，，,，為雙曲線右支上的點，且雙曲線焦點為，，又（當(dāng)為雙曲線右頂點時取等號），，即最小值為.故答案為：.【點睛】本題考查雙曲線中最值問題的求解問題，涉及到雙曲線定義的應(yīng)用、圓的切線長的求解等知識；關(guān)鍵是能夠?qū)栴}轉(zhuǎn)化為雙曲線上的點到焦點的距離之和的最值的求解問題.16。已知函數(shù)滿足,，且在區(qū)間上單調(diào)，則取值的個數(shù)有______個．【答案】3【解析】【分析】根據(jù)最大值點和零點可確定，由此得到；根據(jù)單調(diào)性可知,解出，由此得到所有可能的取值?！驹斀狻?，解得：，即，；在上單調(diào)，,即,,解得：，，或，取值的個數(shù)有個。故答案為：.【點睛】本題考查根據(jù)正弦型函數(shù)的單調(diào)性、周期性求解參數(shù)值的問題;關(guān)鍵是能夠通過最值點和零點確定周期、根據(jù)單調(diào)性確定周期所處的范圍.三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一)必考題：60分17。在中,是中點，，，．（Ⅰ）求及；（Ⅱ）求角的余弦值．【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ)．【解析】【分析】（Ⅰ）利用同角三角函數(shù)平方關(guān)系可化簡已知等式得到，利用正弦定理角化邊可得，從而求得；（Ⅱ)設(shè)，在和中利用余弦定理可構(gòu)造方程求得，在中利用余弦定理可求得結(jié)果.【詳解】(Ⅰ）由題意得：，，,,，，即，由正弦定理得:，即,；（Ⅱ）設(shè)，則，在中，…①，在中，…②，①+②得：,解得：，即，在中，．【點睛】本題考查解三角形的相關(guān)問題的求解，涉及到余弦定理解三角形、正弦定理角化邊的應(yīng)用等知識,屬于常考題型.18。如圖，在斜三棱柱中，側(cè)面，，，，．（Ⅰ）求證：平面平面；(Ⅱ）若為中點，求二面角的正切值．【答案】(Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）．【解析】【分析】（Ⅰ）根據(jù)勾股定理、線面垂直性質(zhì)和線面垂直的判定定理可證得平面,由面面垂直的判定定理可證得結(jié)論；（Ⅱ）以為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)二面角的向量求法可求得結(jié)果?！驹斀狻浚á?證明：,，，由余弦定理可得：，，，即,又面,平面，,又，平面，平面,平面，平面平面；（Ⅱ）由(Ⅰ）知，直線、、兩兩垂直，則以為坐標(biāo)原點可建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系：則，，，，,，，，設(shè)平面的一個法向量為,則,令，則,,，側(cè)面，平面的一個法向量為，，，二面角為鈍二面角，二面角的正切值為.【點睛】本題考查立體幾何中面面垂直關(guān)系的證明、空間向量法求解二面角的問題，涉及到勾股定理、線面垂直的判定與性質(zhì)定理、面面垂直的判定定理等知識的應(yīng)用；易錯點是忽略二面角為鈍二面角,造成所求三角函數(shù)值的符號出現(xiàn)錯誤.19。某市教學(xué)研究室為了對今后所出試題的難度有更好的把握,提高命題質(zhì)量，對該市高三理科數(shù)學(xué)試卷的得分情況進(jìn)行了調(diào)研．從全市參加考試的理科考生中隨機抽取了100名考生的數(shù)學(xué)成績（滿分150分），將數(shù)據(jù)分成9組：，,，，，，，，,并整理得到如圖所示的頻率分布直方圖．用統(tǒng)計的方法得到樣本標(biāo)準(zhǔn)差,以頻率值作為概率估計值．(Ⅰ）根據(jù)頻率分布直方圖，求抽取的100名理科考生數(shù)學(xué)成績的平均分及眾數(shù);(Ⅱ）用頻率估計概率，從該市所有高三理科考生的數(shù)學(xué)成績中隨機抽取3個，記理科數(shù)學(xué)成績位于區(qū)間內(nèi)的個數(shù)為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望；（Ⅲ）從該市高三理科數(shù)學(xué)考試成績中任意抽取一份，記其成績?yōu)?，依?jù)以下不等式評判(表示對應(yīng)事件的概率）：①，②，③，其中．評判規(guī)則：若至少滿足以上兩個不等式，則給予這套試卷好評，否則差評．試問：這套試卷得到好評還是差評？【答案】（Ⅰ）平均分，眾數(shù)；(Ⅱ）分布列詳見解析，；（Ⅲ)得到好評．【解析】【分析】(Ⅰ）利用頻率分布直方圖估計平均數(shù)和眾數(shù)的方法可直接求得結(jié)果；（Ⅱ）根據(jù)頻率分布直方圖計算可知理科數(shù)學(xué)成績位于內(nèi)的概率為,則，由此計算出的每個取值對應(yīng)的概率,由此得到分布列；由二項分布數(shù)學(xué)期望計算公式計算可得；(Ⅲ）計算每個區(qū)間取值所對應(yīng)的概率與原則所對應(yīng)的概率之間的大小關(guān)系，從而得到結(jié)論?！驹斀狻?Ⅰ)；眾數(shù):；（Ⅱ)用頻率估計概率，可得從該市所有高三考生的理科數(shù)學(xué)成績中隨機抽取個，理科數(shù)學(xué)成績位于內(nèi)的概率為，則隨機變量服從二項分布，故．由題意知：所有可能的取值為，；;；；的分布列為：數(shù)學(xué)期望；（Ⅲ）記該市高三考生的理科數(shù)學(xué)成績?yōu)椋桑á瘢┛芍?，，又，則，，，，，，，，,符合②③，不符合①，這套試卷得到好評．【點睛】本題考查利用頻率分布直方圖估計總體數(shù)據(jù)特征、二項分布的分布列與數(shù)學(xué)期望的求解、正態(tài)分布的實際應(yīng)用等知識；求解分布列和數(shù)學(xué)期望的關(guān)鍵是能夠明確隨機變量所服從的分布類型,進(jìn)而計算出每個取值對應(yīng)的概率.20.如圖,已知的兩頂點坐標(biāo)，，圓是的內(nèi)切圓，在邊，，上的切點分別為，,，．(Ⅰ）求證：為定值，并求出動點的軌跡的方程；（Ⅱ)過的斜率不為零直線交曲線于、兩點,求證：為定值．【答案】（Ⅰ）證明詳見解析,曲線的方程為；（Ⅱ）詳見解析．【解析】【分析】（Ⅰ）利用切線長相等可求得；根據(jù)橢圓定義可知動點的軌跡是以，為焦點,長軸長為的橢圓(不含橢圓與軸的交點）,進(jìn)而求得結(jié)果；（Ⅱ)設(shè)的方程為，與橢圓方程聯(lián)立得到韋達(dá)定理的形式，利用弦長公式求得，根據(jù)平面向量數(shù)量積運算求得，進(jìn)而求得.【詳解】（Ⅰ）由題意得:,，,，動點的軌跡是以，為焦點，長軸長為的橢圓(不含橢圓與軸的交點），設(shè)曲線方程為：，則，解得：,又，,曲線的方程為;（Ⅱ)證明:由（Ⅰ）得：，設(shè)，，直線的斜率不為零，可設(shè)的方程為,聯(lián)立消去并整理得:，則,，，，，，，綜上可得:為定值．【點睛】本題考查動點軌跡方程的求解、橢圓中的定值問題的求解；求解動點軌跡方程的關(guān)鍵是能夠確定動點滿足橢圓的定義,進(jìn)而得到軌跡方程；求解定值問題的常用方法是將直線與橢圓方程聯(lián)立,得到韋達(dá)定理的形式,將韋達(dá)定理代入所求式中,化簡得到定值.21.已知函數(shù)，．(Ⅰ）若，討論函數(shù)的單調(diào)性；（Ⅱ)若對任意,都有，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(Ⅰ）分類討論，詳見解析;（Ⅱ)．【解析】【分析】（Ⅰ）求導(dǎo)后，分別在、和三種情況下求得的正負(fù)，由此可確定單調(diào)性；（Ⅱ）令，分別在、和三種情況下，利用導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)性和最值,進(jìn)而確定符合題意的取值范圍.【詳解】（Ⅰ）由題意得:定義域為，則，①當(dāng)時，由可得:或;由可得：；的單調(diào)增區(qū)間為，,單調(diào)遞減區(qū)間為；②當(dāng)時，則，此時的單調(diào)遞增區(qū)間為；③當(dāng)時，由可得：或；由可得：;的單調(diào)增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為;綜上所述：當(dāng)時,在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時,在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在,上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減．（Ⅱ)令,則,，①當(dāng)時，令,解得：,，，，當(dāng)時,，在上單調(diào)遞增,，滿足題意;②當(dāng)時，由①知:,當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減,則當(dāng)時，，不合題意;③當(dāng)時,,則，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，不合題意；綜上所述：實數(shù)的取值范圍為。【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用，涉及到利用導(dǎo)數(shù)討論含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、恒成立問題的求解；求解恒成立問題的關(guān)鍵是能夠通過討論導(dǎo)函數(shù)零點的位置確定函數(shù)在所給區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性,進(jìn)而得到函數(shù)最值。（二）選考