中考數(shù)學(xué)壓軸題(含答案)

PAGE1-第一部分函數(shù)圖象中點的存在性問題§1．1因動點產(chǎn)生的相似三角形問題課前導(dǎo)學(xué)相似三角形的判定定理有3個，其中判定定理1和判定定理2都有對應(yīng)角相等的條件，因此探求兩個三角形相似的動態(tài)問題，一般情況下首先尋找一組對應(yīng)角相等．判定定理2是最常用的解題依據(jù)，一般分三步：尋找一組等角，分兩種情況列比例方程，解方程并檢驗．如果已知∠A＝∠D，探求△ABC與△DEF相似，只要把夾∠A和∠D的兩邊表示出來，按照對應(yīng)邊成比例，分和兩種情況列方程．應(yīng)用判定定理1解題，先尋找一組等角，再分兩種情況討論另外兩組對應(yīng)角相等．應(yīng)用判定定理3解題不多見，根據(jù)三邊對應(yīng)成比例列連比式解方程（組）．還有一種情況，討論兩個直角三角形相似，如果一組銳角相等，其中一個直角三角形的銳角三角比是確定的，那么就轉(zhuǎn)化為討論另一個三角形是直角三角形的問題．求線段的長，要用到兩點間的距離公式，而這個公式容易記錯．理解記憶比較好．如圖1，如果已知A、B兩點的坐標，怎樣求A、B兩點間的距離呢？我們以AB為斜邊構(gòu)造直角三角形，直角邊與坐標軸平行，這樣用勾股定理就可以求斜邊AB的長了．水平距離BC的長就是A、B兩點間的水平距離，等于A、B兩點的橫坐標相減；豎直距離AC就是A、B兩點間的豎直距離，等于A、B兩點的縱坐標相減．圖1

例12014年湖南省衡陽市中考第28題二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的圖象與x軸交于A(－3,0)、B(1,0)兩點，與y軸交于點C(0,－3m)（m＞0），頂點為D．（1）求該二次函數(shù)的解析式（系數(shù)用含m的代數(shù)式表示）；（2）如圖1，當(dāng)m＝2時，點P為第三象限內(nèi)拋物線上的一個動點，設(shè)△APC的面積為S，試求出S與點P的橫坐標x之間的函數(shù)關(guān)系式及S的最大值；（3）如圖2，當(dāng)m取何值時，以A、D、C三點為頂點的三角形與△OBC相似？圖1圖2動感體驗請打開幾何畫板文件名“14衡陽28”，拖動點P運動，可以體驗到，當(dāng)點P運動到AC的中點的正下方時，△APC的面積最大．拖動y軸上表示實數(shù)m的點運動，拋物線的形狀會改變，可以體驗到，∠ACD和∠ADC都可以成為直角．思路點撥1．用交點式求拋物線的解析式比較簡便．2．連結(jié)OP，△APC可以割補為：△AOP與△COP的和，再減去△AOC．3．討論△ACD與△OBC相似，先確定△ACD是直角三角形，再驗證兩個直角三角形是否相似．4．直角三角形ACD存在兩種情況．圖文解析（1）因為拋物線與x軸交于A(－3,0)、B(1,0)兩點，設(shè)y＝a(x＋3)(x－1)．代入點C(0,－3m)，得－3m＝－3a．解得a＝m．所以該二次函數(shù)的解析式為y＝m(x＋3)(x－1)＝mx2＋2mx－3m．（2）如圖3，連結(jié)OP．當(dāng)m＝2時，C(0,－6)，y＝2x2＋4x－6，那么P(x,2x2＋4x－6)．由于S△AOP＝＝(2x2＋4x－6)＝－3x2－6x＋9，S△COP＝＝－3x，S△AOC＝9，所以S＝S△APC＝S△AOP＋S△COP－S△AOC＝－3x2－9x＝．所以當(dāng)時，S取得最大值，最大值為．圖3圖4圖5（3）如圖4，過點D作y軸的垂線，垂足為E．過點A作x軸的垂線交DE于F．由y＝m(x＋3)(x－1)＝m(x＋1)2－4m，得D(－1,－4m)．在Rt△OBC中，OB∶OC＝1∶3m．如果△ADC與△OBC相似，那么△ADC是直角三角形，而且兩條直角邊的比為1∶3m．①如圖4，當(dāng)∠ACD＝90°時，．所以．解得m＝1．此時，．所以．所以△CDA∽△OBC．②如圖5，當(dāng)∠ADC＝90°時，．所以．解得．此時，而．因此△DCA與△OBC不相似．綜上所述，當(dāng)m＝1時，△CDA∽△OBC．考點伸展第（2）題還可以這樣割補：如圖6，過點P作x軸的垂線與AC交于點H．由直線AC：y＝－2x－6，可得H(x,－2x－6)．又因為P(x,2x2＋4x－6)，所以HP＝－2x2－6x．因為△PAH與△PCH有公共底邊HP，高的和為A、C兩點間的水平距離3，所以S＝S△APC＝S△APH＋S△CPH＝(－2x2－6x)＝．圖6

例22014年湖南省益陽市中考第21題如圖1，在直角梯形ABCD中，AB//CD，AD⊥AB，∠B＝60°，AB＝10，BC＝4，點P沿線段AB從點A向點B運動，設(shè)AP＝x．2·1·c·n·j·y（1）求AD的長；（2）點P在運動過程中，是否存在以A、P、D為頂點的三角形與以P、C、B為頂點的三角形相似？若存在，求出x的值；若不存在，請說明理由；（3）設(shè)△ADP與△PCB的外接圓的面積分別為S1、S2，若S＝S1＋S2，求S的最小值.動感體驗圖1請打開幾何畫板文件名“14益陽21”，拖動點P在AB上運動，可以體驗到，圓心O的運動軌跡是線段BC的垂直平分線上的一條線段．觀察S隨點P運動的圖象，可以看到，S有最小值，此時點P看上去象是AB的中點，其實離得很近而已．思路點撥1．第（2）題先確定△PCB是直角三角形，再驗證兩個三角形是否相似．2．第（3）題理解△PCB的外接圓的圓心O很關(guān)鍵，圓心O在確定的BC的垂直平分線上，同時又在不確定的BP的垂直平分線上．而BP與AP是相關(guān)的，這樣就可以以AP為自變量，求S的函數(shù)關(guān)系式．圖文解析（1）如圖2，作CH⊥AB于H，那么AD＝CH．在Rt△BCH中，∠B＝60°，BC＝4，所以BH＝2，CH＝．所以AD＝．（2）因為△APD是直角三角形，如果△APD與△PCB相似，那么△PCB一定是直角三角形．①如圖3，當(dāng)∠CPB＝90°時，AP＝10－2＝8．所以＝＝，而＝．此時△APD與△PCB不相似．圖2圖3圖4②如圖4，當(dāng)∠BCP＝90°時，BP＝2BC＝8．所以AP＝2．所以＝＝．所以∠APD＝60°．此時△APD∽△CBP．綜上所述，當(dāng)x＝2時，△APD∽△CBP．（3）如圖5，設(shè)△ADP的外接圓的圓心為G，那么點G是斜邊DP的中點．設(shè)△PCB的外接圓的圓心為O，那么點O在BC邊的垂直平分線上，設(shè)這條直線與BC交于點E，與AB交于點F．設(shè)AP＝2m．作OM⊥BP于M，那么BM＝PM＝5－m．在Rt△BEF中，BE＝2，∠B＝60°，所以BF＝4．在Rt△OFM中，F(xiàn)M＝BF－BM＝4－(5－m)＝m－1，∠OFM＝30°，所以O(shè)M＝．所以O(shè)B2＝BM2＋OM2＝．在Rt△ADP中，DP2＝AD2＋AP2＝12＋4m2．所以GP2＝3＋m2．于是S＝S1＋S2＝π(GP2＋OB2)＝＝．所以當(dāng)時，S取得最小值，最小值為．圖5圖6考點伸展關(guān)于第（3）題，我們再討論個問題．問題1，為什么設(shè)AP＝2m呢？這是因為線段AB＝AP＋PM＋BM＝AP＋2BM＝10．這樣BM＝5－m，后續(xù)可以減少一些分數(shù)運算．這不影響求S的最小值．問題2，如果圓心O在線段EF的延長線上，S關(guān)于m的解析式是什么？如圖6，圓心O在線段EF的延長線上時，不同的是FM＝BM－BF＝(5－m)－4＝1－m．此時OB2＝BM2＋OM2＝．這并不影響S關(guān)于m的解析式．

例32015年湖南省湘西市中考第26題如圖1，已知直線y＝－x＋3與x軸、y軸分別交于A、B兩點，拋物線y＝－x2＋bx＋c經(jīng)過A、B兩點，點P在線段OA上，從點O出發(fā)，向點A以每秒1個單位的速度勻速運動；同時，點Q在線段AB上，從點A出發(fā)，向點B以每秒個單位的速度勻速運動，連結(jié)PQ，設(shè)運動時間為t秒．（1）求拋物線的解析式；（2）問：當(dāng)t為何值時，△APQ為直角三角形；（3）過點P作PE//y軸，交AB于點E，過點Q作QF//y軸，交拋物線于點F，連結(jié)EF，當(dāng)EF//PQ時，求點F的坐標；（4）設(shè)拋物線頂點為M，連結(jié)BP、BM、MQ，問：是否存在t的值，使以B、Q、M為頂點的三角形與以O(shè)、B、P為頂點的三角形相似？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．圖1動感體驗請打開幾何畫板文件名“15湘西26”，拖動點P在OA上運動，可以體驗到，△APQ有兩個時刻可以成為直角三角形，四邊形EPQF有一個時刻可以成為平行四邊形，△MBQ與△BOP有一次機會相似．思路點撥1．在△APQ中，∠A＝45°，夾∠A的兩條邊AP、AQ都可以用t表示，分兩種情況討論直角三角形APQ．2．先用含t的式子表示點P、Q的坐標，進而表示點E、F的坐標，根據(jù)PE＝QF列方程就好了．3．△MBQ與△BOP都是直角三角形，根據(jù)直角邊對應(yīng)成比例分兩種情況討論．圖文解析（1）由y＝－x＋3，得A(3,0)，B(0,3)．將A(3,0)、B(0,3)分別代入y＝－x2＋bx＋c，得解得所以拋物線的解析式為y＝－x2＋2x＋3．（2）在△APQ中，∠PAQ＝45°，AP＝3－t，AQ＝t．分兩種情況討論直角三角形APQ：①當(dāng)∠PQA＝90°時，AP＝AQ．解方程3－t＝2t，得t＝1（如圖2）．②當(dāng)∠QPA＝90°時，AQ＝AP．解方程t＝(3－t)，得t＝1.5（如圖3）．圖2圖3（3）如圖4，因為PE//QF，當(dāng)EF//PQ時，四邊形EPQF是平行四邊形．所以EP＝FQ．所以yE－yP＝y(tǒng)F－yQ．因為xP＝t，xQ＝3－t，所以yE＝3－t，yQ＝t，yF＝－(3－t)2＋2(3－t)＋3＝－t2＋4t．因為yE－yP＝y(tǒng)F－yQ，解方程3－t＝(－t2＋4t)－t，得t＝1，或t＝3（舍去）．所以點F的坐標為(2,3)．圖4圖5（4）由y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，得M(1,4)．由A(3,0)、B(0,3)，可知A、B兩點間的水平距離、豎直距離相等，AB＝3．由B(0,3)、M(1,4)，可知B、M兩點間的水平距離、豎直距離相等，BM＝．所以∠MBQ＝∠BOP＝90°．因此△MBQ與△BOP相似存在兩種可能：①當(dāng)時，．解得（如圖5）．②當(dāng)時，．整理，得t2－3t＋3＝0．此方程無實根．考點伸展第（3）題也可以用坐標平移的方法：由P(t,0)，E(t,3－t)，Q(3－t,t)，按照P→E方向，將點Q向上平移，得F(3－t,3)．再將F(3－t,3)代入y＝－x2＋2x＋3，得t＝1，或t＝3．§1．2因動點產(chǎn)生的等腰三角形問題課前導(dǎo)學(xué)我們先回顧兩個畫圖問題：1．已知線段AB＝5厘米，以線段AB為腰的等腰三角形ABC有多少個？頂點C的軌跡是什么？2．已知線段AB＝6厘米，以線段AB為底邊的等腰三角形ABC有多少個？頂點C的軌跡是什么？已知腰長畫等腰三角形用圓規(guī)畫圓，圓上除了兩個點以外，都是頂點C．已知底邊畫等腰三角形，頂角的頂點在底邊的垂直平分線上，垂足要除外．在討論等腰三角形的存在性問題時，一般都要先分類．如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三種情況．解等腰三角形的存在性問題，有幾何法和代數(shù)法，把幾何法和代數(shù)法相結(jié)合，可以使得解題又好又快．幾何法一般分三步：分類、畫圖、計算．哪些題目適合用幾何法呢？如果△ABC的∠A（的余弦值）是確定的，夾∠A的兩邊AB和AC可以用含x的式子表示出來，那么就用幾何法．①如圖1，如果AB＝AC，直接列方程；②如圖2，如果BA＝BC，那么；③如圖3，如果CA＝CB，那么．代數(shù)法一般也分三步：羅列三邊長，分類列方程，解方程并檢驗．如果三角形的三個角都是不確定的，而三個頂點的坐標可以用含x的式子表示出來，那么根據(jù)兩點間的距離公式，三邊長（的平方）就可以羅列出來．圖1圖2圖3

例92014年長沙市中考第26題如圖1，拋物線y＝ax2＋bx＋c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）的對稱軸為y軸，且經(jīng)過(0,0)和兩點，點P在該拋物線上運動，以點P為圓心的⊙P總經(jīng)過定點A(0,2)．（1）求a、b、c的值；（2）求證：在點P運動的過程中，⊙P始終與x軸相交；（3）設(shè)⊙P與x軸相交于M(x1,0)、N(x2,0)兩點，當(dāng)△AMN為等腰三角形時，求圓心P的縱坐標．圖1動感體驗請打開幾何畫板文件名“14長沙26”，拖動圓心P在拋物線上運動，可以體驗到，圓與x軸總是相交的，等腰三角形AMN存在五種情況．思路點撥1．不算不知道，一算真奇妙，原來⊙P在x軸上截得的弦長MN＝4是定值．2．等腰三角形AMN存在五種情況，點P的縱坐標有三個值，根據(jù)對稱性，MA＝MN和NA＝NM時，點P的縱坐標是相等的．圖文解析（1）已知拋物線的頂點為(0,0)，所以y＝ax2．所以b＝0，c＝0．將代入y＝ax2，得．解得（舍去了負值）．（2）拋物線的解析式為，設(shè)點P的坐標為．已知A(0,2)，所以＞．而圓心P到x軸的距離為，所以半徑PA＞圓心P到x軸的距離．所以在點P運動的過程中，⊙P始終與x軸相交．（3）如圖2，設(shè)MN的中點為H，那么PH垂直平分MN．在Rt△PMH中，，，所以MH2＝4．所以MH＝2．因此MN＝4，為定值．等腰△AMN存在三種情況：①如圖3，當(dāng)AM＝AN時，點P為原點O重合，此時點P的縱坐標為0．圖2圖3②如圖4，當(dāng)MA＝MN時，在Rt△AOM中，OA＝2，AM＝4，所以O(shè)M＝2．此時x＝OH＝2．所以點P的縱坐標為．如圖5，當(dāng)NA＝NM時，根據(jù)對稱性，點P的縱坐標為也為．圖4圖5③如圖6，當(dāng)NA＝NM＝4時，在Rt△AON中，OA＝2，AN＝4，所以O(shè)N＝2．此時x＝OH＝2．所以點P的縱坐標為．如圖7，當(dāng)MN＝MA＝4時，根據(jù)對稱性，點P的縱坐標也為．圖6圖7考點伸展如果點P在拋物線上運動，以點P為圓心的⊙P總經(jīng)過定點B(0,1)，那么在點P運動的過程中，⊙P始終與直線y＝－1相切．這是因為：設(shè)點P的坐標為．已知B(0,1)，所以．而圓心P到直線y＝－1的距離也為，所以半徑PB＝圓心P到直線y＝－1的距離．所以在點P運動的過程中，⊙P始終與直線y＝－1相切．

例102014年湖南省張家界市中考第25題如圖1，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，拋物線y＝ax2＋bx＋c（a≠0）過O、B、C三點，B、C坐標分別為(10,0)和，以O(shè)B為直徑的⊙A經(jīng)過C點，直線l垂直x軸于B點．（1）求直線BC的解析式；（2）求拋物線解析式及頂點坐標；（3）點M是⊙A上一動點（不同于O、B），過點M作⊙A的切線，交y軸于點E，交直線l于點F，設(shè)線段ME長為m，MF長為n，請猜想mn的值，并證明你的結(jié)論；（4）若點P從O出發(fā)，以每秒1個單位的速度向點B作直線運動，點Q同時從B出發(fā)，以相同速度向點C作直線運動，經(jīng)過t（0＜t≤8）秒時恰好使△BPQ為等腰三角形，請求出滿足條件的t值．圖圖1動感體驗請打開幾何畫板文件名“14張家界25”，拖動點M在圓上運動，可以體驗到，△EAF保持直角三角形的形狀，AM是斜邊上的高．拖動點Q在BC上運動，可以體驗到，△BPQ有三個時刻可以成為等腰三角形．思路點撥1．從直線BC的解析式可以得到∠OBC的三角比，為討論等腰三角形BPQ作鋪墊．2．設(shè)交點式求拋物線的解析式比較簡便．3．第（3）題連結(jié)AE、AF容易看到AM是直角三角形EAF斜邊上的高．4．第（4）題的△PBQ中，∠B是確定的，夾∠B的兩條邊可以用含t的式子表示．分三種情況討論等腰三角形．圖文解析（1）直線BC的解析式為．（2）因為拋物線與x軸交于O、B(10,0)兩點，設(shè)y＝ax(x－10)．代入點C，得．解得．所以．拋物線的頂點為．（3）如圖2，因為EF切⊙A于M，所以AM⊥EF．由AE＝AE，AO＝AM，可得Rt△AOE≌Rt△AME．所以∠1＝∠2．同理∠3＝∠4．于是可得∠EAF＝90°．所以∠5＝∠1．由tan∠5＝tan∠1，得．所以ME·MF＝MA2，即mn＝25．圖2（4）在△BPQ中，cos∠B＝，BP＝10－t，BQ＝t．分三種情況討論等腰三角形BPQ：①如圖3，當(dāng)BP＝BQ時，10－t＝t．解得t＝5．②如圖4，當(dāng)PB＝PQ時，．解方程，得．③如圖5，當(dāng)QB＝QP時，．解方程，得．圖3圖4圖5考點伸展在第（3）題條件下，以EF為直徑的⊙G與x軸相切于點A．如圖6，這是因為AG既是直角三角形EAF斜邊上的中線，也是直角梯形EOBF的中位線，因此圓心G到x軸的距離等于圓的半徑，所以⊙G與x軸相切于點A．圖6

例112014年湖南省邵陽市中考第26題在平面直角坐標系中，拋物線y＝x2－(m＋n)x＋mn（m＞n）與x軸相交于A、B兩點（點A位于點B的右側(cè)），與y軸相交于點C．（1）若m＝2，n＝1，求A、B兩點的坐標；（2）若A、B兩點分別位于y軸的兩側(cè)，C點坐標是(0,－1)，求∠ACB的大?。唬?）若m＝2，△ABC是等腰三角形，求n的值．動感體驗請打開幾何畫板文件名“14邵陽26”，點擊屏幕左下方的按鈕（2），拖動點A在x軸正半軸上運動，可以體驗到，△ABC保持直角三角形的形狀．點擊屏幕左下方的按鈕（3），拖動點B在x軸上運動，觀察△ABC的頂點能否落在對邊的垂直平分線上，可以體驗到，等腰三角形ABC有4種情況．思路點撥1．拋物線的解析式可以化為交點式，用m，n表示點A、B、C的坐標．2．第（2）題判定直角三角形ABC，可以用勾股定理的逆定理，也可以用銳角的三角比．3．第（3）題討論等腰三角形ABC，先把三邊長（的平方）羅列出來，再分類解方程．圖文解析（1）由y＝x2－(m＋n)x＋mn＝(x－m)(x－n)，且m＞n，點A位于點B的右側(cè)，可知A(m,0)，B(n,0)．若m＝2，n＝1，那么A(2,0)，B(1,0)．．（2）如圖1，由于C(0,mn)，當(dāng)點C的坐標是(0,－1)，mn＝－1，OC＝1．若A、B兩點分別位于y軸的兩側(cè)，那么OA·OB＝m(－n)＝－mn＝1．所以O(shè)C2＝OA·OB．所以．所以tan∠1＝tan∠2．所以∠1＝∠2．又因為∠1與∠3互余，所以∠2與∠3互余．所以∠ACB＝90°．圖1圖2圖3（3）在△ABC中，已知A(2,0)，B(n,0)，C(0,2n)．討論等腰三角形ABC，用代數(shù)法解比較方便：由兩點間的距離公式，得AB2＝(n－2)2，BC2＝5n2，AC2＝4＋4n2．①當(dāng)AB＝AC時，解方程(n－2)2＝4＋4n2，得（如圖2）．②當(dāng)CA＝CB時，解方程4＋4n2＝5n2，得n＝－2（如圖3），或n＝2（A、B重合，舍去）．③當(dāng)BA＝BC時，解方程(n－2)2＝5n2，得（如圖4），或（如圖5）．圖4圖5考點伸展第（2）題常用的方法還有勾股定理的逆定理．由于C(0,mn)，當(dāng)點C的坐標是(0,－1)，mn＝－1．由A(m,0)，B(n,0)，C(0,－1)，得AB2＝(m－n)2＝m2－2mn＋n2＝m2＋n2＋2，BC2＝n2＋1，AC2＝m2＋1．所以AB2＝BC2＋AC2．于是得到Rt△ABC，∠ACB＝90°．第（3）題在討論等腰三角形ABC時，對于CA＝CB的情況，此時A、B兩點關(guān)于y軸對稱，可以直接寫出B(－2,0)，n＝－2．

例122014年湖南省婁底市中考第27題如圖1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm．如果點P由點B出發(fā)沿BA方向向點A勻速運動，同時點Q由點A出發(fā)沿AC方向向點C勻速運動，它們的速度均為1cm/s．連結(jié)PQ，設(shè)運動時間為t（s）（0＜t＜4），解答下列問題：（1）設(shè)△APQ的面積為S，當(dāng)t為何值時，S取得最大值？S的最大值是多少？（2）如圖2，連結(jié)PC，將△PQC沿QC翻折，得到四邊形PQP′C，當(dāng)四邊形PQP′C為菱形時，求t的值；（3）當(dāng)t為何值時，△APQ是等腰三角形？圖1圖2動感體驗請打開幾何畫板文件名“14婁底27”，拖動點Q在AC上運動，可以體驗到，當(dāng)點P運動到AB的中點時，△APQ的面積最大，等腰三角形APQ存在三種情況．還可以體驗到，當(dāng)QC＝2HC時，四邊形PQP′C是菱形．思路點撥1．在△APQ中，∠A是確定的，夾∠A的兩條邊可以用含t的式子表示．2．四邊形PQP′C的對角線保持垂直，當(dāng)對角線互相平分時，它是菱形，．圖文解析（1）在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，所以AB＝5，sinA＝，cosA＝．作QD⊥AB于D，那么QD＝AQsinA＝t．所以S＝S△APQ＝＝＝＝．當(dāng)時，S取得最大值，最大值為．（2）設(shè)PP′與AC交于點H，那么PP′⊥QC，AH＝APcosA＝．如果四邊形PQP′C為菱形，那么PQ＝PC．所以QC＝2HC．解方程，得．圖3圖4（3）等腰三角形APQ存在三種情況：①如圖5，當(dāng)AP＝AQ時，5－t＝t．解得．②如圖6，當(dāng)PA＝PQ時，．解方程，得．③如圖7，當(dāng)QA＝QP時，．解方程，得．圖5圖6圖7考點伸展在本題情境下，如果點Q是△PP′C的重心，求t的值．如圖8，如果點Q是△PP′C的重心，那么QC＝HC．解方程，得．圖8例132015年湖南省懷化市中考第22題如圖1，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，點P以每秒1個單位的速度從A向C運動，同時點Q以每秒2個單位的速度從A→B→C方向運動，它們到C點后都停止運動，設(shè)點P、Q運動的時間為t秒．（1）在運動過程中，求P、Q兩點間距離的最大值；（2）經(jīng)過t秒的運動，求△ABC被直線PQ掃過的面積S與時間t的函數(shù)關(guān)系式；（3）P，Q兩點在運動過程中，是否存在時間t，使得△PQC為等腰三角形．若存在，求出此時的t值，若不存在，請說明理由．（，結(jié)果保留一位小數(shù)）圖1動感體驗請打開幾何畫板文件名“15懷化22”，拖動點P在AC上運動，可以體驗到，PQ與BD保持平行，等腰三角形PQC存在三種情況．思路點撥1．過點B作QP的平行線交AC于D，那么BD的長就是PQ的最大值．2．線段PQ掃過的面積S要分兩種情況討論，點Q分別在AB、BC上．3．等腰三角形PQC分三種情況討論，先羅列三邊長．圖文解析（1）在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，所以AB＝10．如圖2，當(dāng)點Q在AB上時，作BD//PQ交AC于點D，那么．所以AD＝5．所以CD＝3．如圖3，當(dāng)點Q在BC上時，．又因為，所以．因此PQ//BD．所以PQ的最大值就是BD．在Rt△BCD中，BC＝6，CD＝3，所以BD＝．所以PQ的最大值是．圖2圖3圖4（2）①如圖2，當(dāng)點Q在AB上時，0＜t≤5，S△ABD＝15．由△AQP∽△ABD，得．所以S＝S△AQP＝＝．②如圖3，當(dāng)點Q在BC上時，5＜t≤8，S△ABC＝24．因為S△CQP＝＝＝，所以S＝S△ABC－S△CQP＝24－(t－8)2＝－t2＋16t－40．（3）如圖3，當(dāng)點Q在BC上時，CQ＝2CP，∠C＝90°，所以△PQC不可能成為等腰三角形．當(dāng)點Q在AB上時，我們先用t表示△PQC的三邊長：易知CP＝8－t．如圖2，由QP//BD，得，即．所以．如圖4，作QH⊥AC于H．在Rt△AQH中，QH＝AQsin∠A＝，AH＝．在Rt△CQH中，由勾股定理，得CQ＝＝．分三種情況討論等腰三角形PQC：（1）①當(dāng)PC＝PQ時，解方程，得≈3.4（如圖5所示）．②當(dāng)QC＝QP時，．整理，得．所以(11t－40)(t－8)＝0．解得≈3.6（如圖6所示），或t＝8（舍去）．③當(dāng)CP＝CQ時，．整理，得．解得＝3.2（如圖7所示），或t＝0（舍去）．綜上所述，當(dāng)t的值約為3.4，3.6，或等于3.2時，△PQC是等腰三角形．圖5圖6圖7考點伸展第（1）題求P、Q兩點間距離的最大值，可以用代數(shù)計算說理的方法：①如圖8，當(dāng)點Q在AB上時，PQ＝＝＝．當(dāng)Q與B重合時，PQ最大，此時t＝5，PQ的最大值為．②如圖9，當(dāng)點Q在BC上時，PQ＝＝＝．當(dāng)Q與B重合時，PQ最大，此時t＝5，PQ的最大值為．綜上所述，PQ的最大值為．圖8圖9

§1．3因動點產(chǎn)生的直角三角形問題課前導(dǎo)學(xué)我們先看三個問題：1．已知線段AB，以線段AB為直角邊的直角三角形ABC有多少個？頂點C的軌跡是什么？2．已知線段AB，以線段AB為斜邊的直角三角形ABC有多少個？頂點C的軌跡是什么？3．已知點A(4,0)，如果△OAB是等腰直角三角形，求符合條件的點B的坐標．圖1圖2圖3如圖1，點C在垂線上，垂足除外．如圖2，點C在以AB為直徑的圓上，A、B兩點除外．如圖3，以O(shè)A為邊畫兩個正方形，除了O、A兩點以外的頂點和正方形對角線的交點，都是符合題意的點B，共6個．解直角三角形的存在性問題，一般分三步走，第一步尋找分類標準，第二步列方程，第三步解方程并驗根．一般情況下，按照直角頂點或者斜邊分類，然后按照三角比或勾股定理列方程．有時根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半列方程更簡便．解直角三角形的問題，常常和相似三角形、三角比的問題聯(lián)系在一起．如果直角邊與坐標軸不平行，那么過三個頂點作與坐標軸平行的直線，可以構(gòu)造兩個新的相似直角三角形，這樣列比例方程比較簡便．如圖4，已知A(3,0)，B(1,－4)，如果直角三角形ABC的頂點C在y軸上，求點C的坐標．我們可以用幾何的方法，作AB為直徑的圓，快速找到兩個符合條件的點C．如果作BD⊥y軸于D，那么△AOC∽△CDB．設(shè)OC＝m，那么．這個方程有兩個解，分別對應(yīng)圖中圓與y軸的兩個交點．圖4例192015年湖南省益陽市中考第21題如圖1，已知拋物線E1：y＝x2經(jīng)過點A(1,m)，以原點為頂點的拋物線E2經(jīng)過點B(2,2)，點A、B關(guān)于y軸的對稱點分別為點A′、B′．（1）求m的值及拋物線E2所表示的二次函數(shù)的表達式；（2）如圖1，在第一象限內(nèi)，拋物線E1上是否存在點Q，使得以點Q、B、B′為頂點的三角形為直角三角形？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由；（3）如圖2，P為第一象限內(nèi)的拋物線E1上與點A不重合的一點，連結(jié)OP并延長與拋物線E2相交于點P′，求△PAA′與△P′BB′的面積之比．圖1圖2動感體驗請打開幾何畫板文件名“15益陽21”，拖動點P在拋物線E1上運動，可以體驗到，點P始終是線段OP′的中點．還可以體驗到，直角三角形QBB′有兩個．思路點撥1．判斷點P是線段OP′的中點是解決問題的突破口，這樣就可以用一個字母表示點P、P′的坐標．2．分別求線段AA′∶BB′，點P到AA′的距離∶點P′到BB′的距離，就可以比較△PAA′與△P′BB′的面積之比．圖文解析（1）當(dāng)x＝1時，y＝x2＝1，所以A(1,1)，m＝1．設(shè)拋物線E2的表達式為y＝ax2，代入點B(2,2)，可得a＝．所以y＝x2．（2）點Q在第一象限內(nèi)的拋物線E1上，直角三角形QBB′存在兩種情況：圖3圖4①如圖3，過點B作BB′的垂線交拋物線E1于Q，那么Q(2,4)．②如圖4，以BB′為直徑的圓D與拋物線E1交于點Q，那么QD＝＝2．設(shè)Q(x,x2)，因為D(0,2)，根據(jù)QD2＝4列方程x2＋(x2－2)2＝4．解得x＝．此時Q．（3）如圖5，因為點P、P′分別在拋物線E1、E2上，設(shè)P(b,b2)，P′(c,)．因為O、P、P′三點在同一條直線上，所以，即．所以c＝2b．所以P′(2b,2b2)．如圖6，由A(1,1)、B(2,2)，可得AA′＝2，BB′＝4．由A(1,1)、P(b,b2)，可得點P到直線AA′的距離PM′＝b2－1．由B(2,2)、P′(2b,2b2)，可得點P′到直線BB′的距離P′N′＝2b2－2．所以△PAA′與△P′BB′的面積比＝2(b2－1)∶4(2b2－2)＝1∶4．圖5圖6考點延伸第（2）中當(dāng)∠BQB′＝90°時，求點Q(x,x2)的坐標有三種常用的方法：方法二，由勾股定理，得BQ2＋B′Q2＝B′B2．所以(x－2)2＋(x2－2)2＋(x＋2)2＋(x2－2)2＝42．方法三，作QH⊥B′B于H，那么QH2＝B′H·BH．所以(x2－2)2＝(x＋2)(2－x)．例202015年湖南省湘潭市中考第26題如圖1，二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c的圖象與x軸交于A(－1,0)、B(3,0)兩點，與y軸交于點C，連結(jié)BC．動點P以每秒1個單位長度的速度從點A向點B運動，動點Q以每秒個單位長度的速度從點B向點C運動，P、Q兩點同時出發(fā)，連結(jié)PQ，當(dāng)點Q到達點C時，P、Q兩點同時停止運動．設(shè)運動的時間為t秒．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）如圖1，當(dāng)△BPQ為直角三角形時，求t的值；（3）如圖2，當(dāng)t＜2時，延長QP交y軸于點M，在拋物線上是否存在一點N，使得PQ的中點恰為MN的中點，若存在，求出點N的坐標與t的值；若不存在，請說明理由．圖1圖2動感體驗請打開幾何畫板文件名“15湘潭26”，拖動點P在AB上運動，可以體驗到，△BPQ有兩次機會可以成為直角三角形．還可以體驗到，點N有一次機會可以落在拋物線上．思路點撥1．分兩種情況討論等腰直角三角形BPQ．2．如果PQ的中點恰為MN的中點，那么MQ＝NP，以MQ、NP為直角邊可以構(gòu)造全等的直角三角形，從而根據(jù)直角邊對應(yīng)相等可以列方程．．圖文解析（1）因為拋物線y＝x2＋bx＋c與x軸交于A(－1,0)、B(3,0)兩點，所以y＝(x＋1)(x－3)＝x2－2x－3．（2）由A(－1,0)、B(3,0)、C(0,－3)，可得AB＝4，∠ABC＝45°．在△BPQ中，∠B＝45°，BP＝4－t，BQ＝t．直角三角形BPQ存在兩種情況：①當(dāng)∠BPQ＝90°時，BQ＝BP．解方程t＝(4－t)，得t＝2（如圖3）．②當(dāng)∠BQP＝90°時，BP＝BQ．解方程4－t＝2t，得t＝（如圖4）．圖3圖4圖5（3）如圖5，設(shè)PQ的中點為G，當(dāng)點G恰為MN的中點時，MQ＝NP．作QE⊥y軸于E，作NF⊥x軸于F，作QH⊥x軸于H，那么△MQE≌△NPF．由已知條件，可得P(t－1,0)，Q(3－t,－t)．由QE＝PF，可得xQ＝xN－xP，即3－t＝xN－(t－1)．解得xN＝2．將x＝2代入y＝(x＋1)(x－3)，得y＝－3．所以N(2,－3)．由QH//NF，得，即．整理，得t2－9t＋12＝0．解得．因為t＜2，所以取．考點伸展第（3）題也可以應(yīng)用中點坐標公式，得．所以xN＝2xG＝2．§1．4因動點產(chǎn)生的平行四邊形問題課前導(dǎo)學(xué)我們先思考三個問題：1．已知A、B、C三點，以A、B、C、D為頂點的平行四邊形有幾個，怎么畫？2．在坐標平面內(nèi)，如何理解平行四邊形ABCD的對邊AB與DC平行且相等？3．在坐標平面內(nèi)，如何理解平行四邊形ABCD的對角線互相平分？圖1圖2圖3如圖1，過△ABC的每個頂點畫對邊的平行線，三條直線兩兩相交，產(chǎn)生三個點D．如圖2，已知A(0,3)，B(－2,0)，C(3,1)，如果四邊形ABCD是平行四邊形，怎樣求點D的坐標呢？點B先向右平移2個單位，再向上平移3個單位與點A重合，因為BA與CD平行且相等，所以點C(3,1)先向右平移2個單位，再向上平移3個單位得到點D(5,4)．如圖3，如果平行四邊形ABCD的對角線交于點G，那么過點G畫任意一條直線（一般與坐標軸垂直），點A、C到這條直線的距離相等，點B、D到這條直線的距離相等．關(guān)系式xA＋xC＝xB＋xD和yA＋yC＝y(tǒng)B＋yD有時候用起來很方便．我們再來說說壓軸題常常要用到的數(shù)形結(jié)合．如圖4，點A是拋物線y＝－x2＋2x＋3在x軸上方的一個動點，AB⊥x軸于點B，線段AB交直線y＝x－1于點C，那么點A的坐標可以表示為(x,－x2＋2x＋3)，點C的坐標可以表示為(x,x－1)，線段AB的長可以用點A的縱坐標表示為AB＝y(tǒng)A＝－x2＋2x＋3，線段AC的長可以用A、C兩點的縱坐標圖4表示為AC＝y(tǒng)A－yC＝(－x2＋2x＋3)－(x－1)＝－x2＋x＋2．通俗地說，數(shù)形結(jié)合就是：點在圖象上，可以用圖象的解析式表示點的坐標，用點的坐標表示點到坐標軸的距離．

例242014年湖南省岳陽市中考第24題如圖1，拋物線經(jīng)過A(1,0)、B(5,0)、C三點．設(shè)點E(x,y)是拋物線上一動點，且在x軸下方，四邊形OEBF是以O(shè)B為對角線的平行四邊形．（1）求拋物線的解析式；（2）當(dāng)點E(x,y)運動時，試求平行四邊形OEBF的面積S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出面積S的最大值；（3）是否存在這樣的點E，使平行四邊形OEBF為正方形？若存在，求點E、F的坐標；若不存在，請說明理由．圖1動感體驗請打開幾何畫板文件名“14岳陽24”，拖動點E運動，可以體驗到，當(dāng)點E運動到拋物線的頂點時，S最大．當(dāng)點E運動到OB的垂直平分線上時，四邊形OEBF恰好是正方形．思路點撥1．平行四邊形OEBF的面積等于△OEB面積的2倍．2．第（3）題探究正方形OEBF，先確定點E在OB的垂直平分線上，再驗證EO＝EB．圖文解析（1）因為拋物線與x軸交于A(1,0)、B(5,0)兩點，設(shè)y＝a(x－1)(x－5)．代入點C，得．解得．所以拋物線的解析式為．（2）因為S＝S平行四邊形OEBF＝2S△OBE＝OB·(－yE)＝＝＝．所以當(dāng)x＝3時，S取得最大值，最大值為．此時點E是拋物線的頂點（如圖2）．（3）如果平行四邊形OEBF是正方形，那么點E在OB的垂直平分線上，且EO＝EB．當(dāng)x＝時，．此時E．如圖3，設(shè)EF與OB交于點D，恰好OB＝2DE．所以△OEB是等腰直角三角形．所以平行四邊形OEBF是正方形．所以當(dāng)平行四邊形OEBF是正方形時，E、F．圖2圖3考點伸展既然第（3）題正方形OEBF是存在的，命題人為什么不讓探究矩形OEBF有幾個呢？如圖4，如果平行四邊形OEBF為矩形，那么∠OEB＝90°．根據(jù)EH2＝HO·HB，列方程．或者由DE＝OB＝，根據(jù)DE2＝，列方程．這兩個方程整理以后都是一元三次方程4x3－28x2＋53x－20＝0，這個方程對于初中畢業(yè)的水平是不好解的．事實上，這個方程可以因式分解，．如圖3，x＝；如圖4，x＝4；如圖5，x＝，但此時點E在x軸上方了．這個方程我們也可以用待定系數(shù)法解：設(shè)方程的三個根是、m、n，那么4x3－28x2＋53x－20＝．根據(jù)恒等式對應(yīng)項的系數(shù)相等，得方程組解得圖4圖5

例252014年湖南省益陽市中考第20題如圖1，直線y＝－3x＋3與x軸、y軸分別交于點A、B，拋物線y＝a(x－2)2＋k經(jīng)過A、B兩點，并與x軸交于另一點C，其頂點為P．（1）求a，k的值；（2）拋物線的對稱軸上有一點Q，使△ABQ是以AB為底邊的等腰三角形，求點Q的坐標；（3）在拋物線及其對稱軸上分別取點M、N，使以A、C、M、N為頂點的四邊形為正方形，求此正方形的邊長．】圖1動感體驗請打開幾何畫板文件名“14益陽20”，可以體驗到，點Q在線段AB的垂直平分線上．還可以體驗到，正方形的對角線為AC，有一個頂點恰為拋物線的頂點．思路點撥1．第（2）題的等腰三角形只考慮QA＝QB的情形．2．第（3）題的正方形不可能AC為邊，只存在AC為對角線的情形．圖文解析（1）由y＝－3x＋3，得A(1,0)，B(0,3)．將A(1,0)、B(0,3)分別代入y＝a(x－2)2＋k，得解得a＝1，k＝－1．（2）如圖2，拋物線的對稱軸為直線x＝2，設(shè)點Q的坐標為(2,m)．已知A(1,0)、B(0,3)，根據(jù)QA2＝QB2，列方程12＋m2＝22＋(m－3)2．解得m＝2．所以Q(2,2)．（3）點A(1,0)關(guān)于直線x＝2的對稱點為C(3,0)，AC＝2．如圖3，如果AC為正方形的邊，那么點M、N都不在拋物線或?qū)ΨQ軸上．如圖4，當(dāng)AC為正方形的對角線時，M、N中恰好有一個點是拋物線的頂點(2,－1)．因為對角線AC＝2，所以正方形的邊長為．圖2圖3圖4考點伸展如果把第（3）題中的正方形改為平行四邊形，那么符合條件的點M有幾個？①如果AC為對角線，上面的正方形AMCN是符合條件的，M(2,－1)．②如圖5，如果AC為邊，那么MN//AC，MN＝AC＝2．所以點M的橫坐標為4或0．此時點M的坐標為(4,3)或(0,3)．第（2）題如果沒有限制等腰三角形ABQ的底邊，那么符合條件的點Q有幾個？①如圖2，當(dāng)QA＝QB時，Q(2,2)．②如圖6，當(dāng)BQ＝BA＝時，以B為圓心，BA為半徑的圓與直線x＝2有兩個交點．根據(jù)BQ2＝10，列方程22＋(m－3)2＝10，得．此時Q或．③如圖7，當(dāng)AQ＝AB時，以A為圓心，AB為半徑的圓與直線x＝2有兩個交點，但是點(2,－3)與A、B三點共線，所以Q(2,3)．圖5圖6圖7

例262014年湖南省邵陽市中考第25題準備一張矩形紙片（如圖1），按如圖2操作：將△ABE沿BE翻折，使點A落在對角線BD上的點M，將△CDF沿DF翻折，使點C落在對角線BD上的點N．（1）求證：四邊形BFDE是平行四邊形；（2）若四邊形BFDE是菱形，AB＝2，求菱形BFDE的面積．圖1 圖2動感體驗請打開幾何畫板文件名“14邵陽25”，拖動點D可以改變矩形ABCD的形狀，可以體驗到，當(dāng)EM與FN在同一條直線上時，四邊形BFDE是菱形，此時矩形的直角被三等分．思路點撥1．平行四邊形的定義和4個判定定理都可以證明四邊形BFDE是平行四邊形．2．如果平行四邊形BFDE是菱形，那么對角線平分一組對角，或者對角線互相垂直．用這兩個性質(zhì)都可以解答第（2）題．圖文解析（1）如圖3，因為AB//DC，所以∠ABD＝∠CDB．又因為∠1＝∠2，∠3＝∠4，所以∠1＝∠3．所以BE//FD．又因為ED//BF，所以四邊形BFDE是平行四邊形．圖3圖4（2）如圖4，如果四邊形BFDE是菱形，那么∠1＝∠5．所以∠1＝∠2＝∠5．由于∠ABC＝90°，所以∠1＝∠2＝∠5＝30°．所以BD＝2AB＝4，AE＝．所以ME＝．所以S菱形BFDE＝2S△BDE＝BD·ME＝．考點伸展第（1）題的解法，我們用平行四邊形的定義作為判定的依據(jù)，兩組對邊分別平行的四邊形叫平行四邊形．還可以這樣思考：證明四邊形BFDE的兩組對邊分別相等；證明ED與BF平行且相等；證明四邊形BFDE的兩組對角分別相等．這三種證法，都要證明三角形全等，而全等的前提，要證明∠1＝∠2＝∠3＝∠4．這樣其實就走了彎路，因為由∠1＝∠3，直接得到BE//FD，根據(jù)平行四邊形的定義來得快．能不能根據(jù)BD與EF互相平分來證明呢？也是可以的：如圖5，設(shè)EF與BD交于點O，根據(jù)“角角邊”證明△EMO≌△FNO，得到EF與MN互相平分．又因為BM＝DN，于是得到EF與BD互相平分．圖5圖6第（2）題的解法，我們用了菱形的性質(zhì)：對角線平分每組對角，得到30°的角．我們也可以根據(jù)菱形的對角線互相垂直平分來解題：如圖6，如果四邊形BFDE是菱形，那么對角線EF⊥BD，此時垂足M、N重合．因此BD＝2DC．這樣就得到了∠5＝30°．事實上，當(dāng)四邊形BFDE是菱形時，矩形ABCD被分割為6個全等的直角三角形．由AB＝2，得AD＝．矩形ABCD的面積為．菱形面積占矩形面積的，所以菱形面積為．§1．5因動點產(chǎn)生的面積問題課前導(dǎo)學(xué)面積的存在性問題常見的題型和解題策略有兩類：第一類，先根據(jù)幾何法確定存在性，再列方程求解，后檢驗方程的根．第二類，先假設(shè)關(guān)系存在，再列方程，后根據(jù)方程的解驗證假設(shè)是否正確．如圖1，如果三角形的某一條邊與坐標軸平行，計算這樣“規(guī)則”的三角形的面積，直接用面積公式．如圖2，圖3，三角形的三條邊沒有與坐標軸平行的，計算這樣“不規(guī)則”的三角形的面積，用“割”或“補”的方法．圖1圖2圖3計算面積長用到的策略還有：如圖4，同底等高三角形的面積相等．平行線間的距離處處相等．如圖5，同底三角形的面積比等于高的比．如圖6，同高三角形的面積比等于底的比．圖4圖5圖6

例322014年湖南省常德市中考第25題如圖1，．（1）求此二次函數(shù)的解析式；（2）x（3）將拋物線在軸下方的部分沿軸向上翻折，得曲線OB′A（B′為B關(guān)于x軸的對稱點），在原拋物線x軸的上方．圖1動感體驗請打開幾何畫板文件名“14常德25”，拖動點P在拋物線上運動，可以體驗到，當(dāng)四邊形PQAM是平行四邊形時，也恰好是菱形．拖動點C在拋物線上運動，還可以體驗到，△MCA與△MDA是同底三角形，它們的面積比等于對應(yīng)高的比．思路點撥1．設(shè)交點式或頂點式求拋物線的解析式都比較簡便．2．先確定四邊形PQAM是平行四邊形，再驗證它是菱形．3．，進而轉(zhuǎn)化為點C與點D的縱坐標的比．圖文解析（1）因為拋物線與x軸交于兩點，設(shè)y＝ax(x－4)．代入點，得．解得．所以．（2）如圖2，OAMAM．如果PQOAPQMP因為拋物線的對稱軸是直線x＝2，P、Q關(guān)于x＝2對稱，所以點P的橫坐標為1，故點P的坐標為．由MPMP所以當(dāng)為（3）如圖3，作CE⊥x軸于E，作DF⊥x軸于F．我們把面積進行兩次轉(zhuǎn)換：CEDF即yC∶yD＝3∶1因此ME∶MF＝3∶1．設(shè)MF＝m，那么ME＝3m．原拋物線的解析式為，所以翻折后的拋物線的解析式為．所以D，CyC∶yD＝3∶1，列方程m所以點C的坐標為或．圖2圖3圖4考點伸展B

例332014年湖南省永州市中考第25題如圖1，拋物線y＝ax2＋bx＋c（a≠0）與x軸交于A(－1,0)，B(4,0)兩點，與y軸交于點C(0,2)．點M(m,n)是拋物線上一動點，位于對稱軸的左側(cè)，并且不在坐標軸上．過點M作x軸的平行線交y軸于點Q，交拋物線于另一點E，直線BM交y軸于點F．（1）求拋物線的解析式，并寫出其頂點坐標；（2）當(dāng)S△MFQ∶S△MEB＝1∶3時，求點M的坐標．圖1動感體驗請打開幾何畫板文件名“14永州25”，拖動點M在拋物線左半側(cè)上運動，觀察面積比的度量值，可以體驗到，存在兩個時刻，△MEB的面積等于△MFQ面積的3倍．思路點撥1．設(shè)交點式求拋物線的解析式比較簡便．2．把△MFQ和△MEB的底邊分別看作MQ和ME，分別求兩個三角形高的比，底邊的比（用含m的式子表示），于是得到關(guān)于m的方程．3．方程有兩個解，慎重取舍．解壓軸題時，時常有這種“一石二鳥”的現(xiàn)象，列一個方程，得到兩個符合條件的解．圖文解析（1）因為拋物線與x軸交于A(－1,0)，B(4,0)兩點，設(shè)y＝a(x＋1)(x－4)．代入點C(0,2)，得2＝－4a．解得．所以．頂點坐標為．（2）如圖2，已知M(m,n)，作MN⊥x軸于N．由，得．所以．因為拋物線的對稱軸是直線，所以ME＝．由于S△MFQ＝＝＝，S△MEB＝＝，所以當(dāng)S△MFQ∶S△MEB＝1∶3時，∶＝1∶3．整理，得m2＋11m－12＝0．解得m＝1，或m＝－12．所以點M的坐標為(1,3)或(－12,－88)．圖2考點伸展第（2）題S△MFQ∶S△MEB＝1∶3，何需點M一定要在拋物線上？從上面的解題過程可以看到，△MFQ與△MEB的高的比與n無關(guān)，兩條底邊的比也與n無關(guān)．如圖3，因此只要點E與點M關(guān)于直線x＝對稱，點M在直線的左側(cè)，且點M不在坐標軸上，就存在S△MFQ∶S△MEB＝1∶3，點M的橫坐標為1（如圖3）或－12（如圖4）．圖3圖4§1．6因動點產(chǎn)生的相切問題課前導(dǎo)學(xué)一、圓與圓的位置關(guān)系問題，一般無法先畫出比較準確的圖形．解這類問題，一般分三步走，第一步先羅列三要素：R、r、d，第二步分類列方程，第三步解方程并驗根．第一步在羅列三要素R、r、d的過程中，確定的要素羅列出來以后，不確定的要素要用含有x的式子表示．第二步分類列方程，就是指外切與內(nèi)切兩種情況．二、直線與圓的位置關(guān)系問題，一般也無法先畫出比較準確的圖形．解這類問題，一般也分三步走，第一步先羅列兩要素：R和d，第二步列方程，第三步解方程并驗根．第一步在羅列兩要素R和d的過程中，確定的要素羅列出來以后，不確定的要素要用含有x的式子表示．第二步列方程，就是根據(jù)直線與圓相切時d＝R列方程．如圖1，直線與x軸、y軸分別交于A、B兩點，圓O的半徑為1，點C在y軸的正半軸上，如果圓C既與直線AB相切，又與圓O相切，求點C的坐標．“既……，又……”的雙重條件問題，一般先確定一個，再計算另一個．假設(shè)圓C與直線AB相切于點D，設(shè)CD＝3m，BD＝4m，BC＝5m，那么點C的坐標為(0,4－5m)．羅列三要素：對于圓O，r＝1；對于圓C，R＝3m；圓心距OC＝4－5m．分類列方程：兩圓外切時，4－5m＝3m＋1；兩圓內(nèi)切時，4－5m＝3m－1．把這個問題再拓展一下，如果點C在y軸上，那么還要考慮點C在y軸負半軸．相同的是，對于圓O，r＝1；對于圓C，R＝3m；不同的是，圓心距OC＝5m－4．圖1例422014年湖南省衡陽市中考第27題如圖1，直線AB與x軸交于點A(－4,0)，與y軸交于點B(0,3)．點P從點A出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿直線AB向點B移動．同時將直線以每秒0.6個單位長度的速度向上平移，交OA于點C，交OB于點D，設(shè)運動時間為t（0＜t＜5）秒．（1）證明：在運動過程中，四邊形ACDP總是平行四邊形；（2）當(dāng)t取何值時，四邊形ACDP為菱形？請指出此時以點D為圓心、OD長為半徑的圓與直線AB的位置關(guān)系并說明理由．圖1動感體驗請打開幾何畫板文件名“14衡陽27”，拖動點P運動，可以體驗到，當(dāng)平行四邊形ACDP是菱形時，圓D與直線AB恰好相切．思路點撥1．用含t的式子把線段OD、OC、CD、AP、AC的長都可以表示出來．2．兩條直線的斜率相等，這兩條直線平行．3．判斷圓與直線的位置關(guān)系，就是比較圓心到直線的距離與半徑的大?。畧D文解析（1）如圖2，由A(－4,0)、B(0,3)，可得直線AB的解析式為．所以直線AB//CD．在Rt△OCD中，OD∶OC＝3∶4，OD＝0.6t，所以O(shè)C＝0.8t，CD＝t．所以AP＝CD＝t．所以四邊形ACDP總是平行四邊形．（2）如圖3，如果四邊形ACDP為菱形，那么AC＝AP．所以4－0.8t＝t．解得t＝．此時OD＝0.6t＝．所以BD＝＝．作DE⊥AB于E．在Rt△BDE中，sinB＝，BD＝，所以DE＝BD·sinB＝．因此OD＝DE，即圓心D到直線AB的距離等于圓D的半徑．所以此時圓D與直線AB相切于點E（如圖4）．圖2圖3考點伸展在本題情境下，點P運動到什么位置時，平行四邊形ACDP的面積最大？S平行四邊形ACDP＝AC·DO＝＝＝．當(dāng)時，平行四邊形ACDP的面積最大，最大值為3．此時點P是AB的中點（如圖5）．圖4圖5

例432014年湖南省株洲市中考第23題如圖1，PQ為圓O的直徑，點B在線段PQ的延長線上，OQ＝QB＝1，動點A在圓O的上半圓上運動（包含P、Q兩點），以線段AB為邊向上作等邊三角形ABC．（1）當(dāng)線段AB所在的直線與圓O相切時，求△ABC的面積（如圖1）；（2）設(shè)∠AOB＝，當(dāng)線段AB與圓O只有一個公共點（即A點）時，求的范圍（如圖2，直接寫出答案）；（3）當(dāng)線段AB與圓O有兩個公共點A、M時，如果AO⊥PM于點N，求CM的長（如圖3）．圖1圖2圖3動感體驗請打開幾何畫板文件名“14株洲23”，拖動點A在圓上運動，可以體驗到，當(dāng)點A在直線AB與圓的切點的右側(cè)（包括切點）時，線段AB與圓有一個交點．還可以體驗到，當(dāng)AO⊥PM時，NO、MQ是中位線，此時等腰三角形AOM的高MN是確定的．思路點撥1．過點B畫圓O的切線，可以幫助理解第（1）、（2）題的題意．2．第（3）題發(fā)現(xiàn)AO//MQ很重要，進一步發(fā)現(xiàn)NO、MQ是中位線就可以計算了．圖文解析（1）如圖4，連結(jié)OA．當(dāng)線段AB所在的直線與圓O相切時，OA⊥AB，A為切點．此時在Rt△AOB中，OA＝1，OB＝2，所以AB＝，∠ABO＝30°．此時等邊三角形ABC的高為，所以S△ABC＝．（2）0°≤≤60°．（3）如圖5，連結(jié)MQ，那么∠PMQ＝90°．當(dāng)AO⊥PM時，AO//MQ．由于Q是OB的中點，所以，M是AB的中點．所以CM⊥AB．由于O是PQ的中點，所以．所以．如圖6，連結(jié)MO．在Rt△OMN中，，MO＝1，所以MN2＝．在Rt△AMN中，AM2＝AN2＋MN2＝．所以AM＝．于是在Rt△CAM中，CM＝AM＝＝．圖4圖5圖6考點伸展第（2）題的題意可以這樣理解：如圖7，過點B畫圓O的切線，切點為G．如圖8，弧上的每一個點（包括點G、Q）都是符合題意的點A，即線段AB與圓O只有一個公共點（即A點）．如圖9，弧上的每一個點A（不包括點Q）與點B連成的線段AB，與圓O都有兩個交點A、M．圖7圖8圖9

§1．7因動點產(chǎn)生的線段和差問題課前導(dǎo)學(xué)線段和差的最值問題，常見的有兩類：第一類問題是“兩點之間，線段最短”．兩條動線段的和的最小值問題，常見的是典型的“牛喝水”問題，關(guān)鍵是指出一條對稱軸“河流”（如圖1）．三條動線段的和的最小值問題，常見的是典型的“臺球兩次碰壁”或“光的兩次反射”問題，關(guān)鍵是指出兩條對稱軸“反射鏡面”（如圖2）．兩條線段差的最大值問題，一般根據(jù)三角形的兩邊之差小于第三邊，當(dāng)三點共線時，兩條線段差的最大值就是第三邊的長．如圖3，PA與PB的差的最大值就是AB，此時點P在AB的延長線上，即P′．解決線段和差的最值問題，有時候求函數(shù)的最值更方便，本講不涉及函數(shù)最值問題．圖1圖2圖3第二類問題是“兩點之間，線段最短”結(jié)合“垂線段最短”．如圖4，正方形ABCD的邊長為4，AE平分∠BAC交BC于E．點P在AE上，點Q在AB上，那么△BPQ周長的最小值是多少呢？如果把這個問題看作“牛喝水”問題，AE是河流，但是點Q不確定?。谝徊?，應(yīng)用“兩點之間，線段最短”．如圖5，設(shè)點B關(guān)于“河流AE”的對稱點為F，那么此刻PF＋PQ的最小值是線段FQ．第二步，應(yīng)用“垂線段最短”．如圖6，在點Q運動過程中，F(xiàn)Q的最小值是垂線段FH．這樣，因為點B和河流是確定的，所以點F是確定的，于是垂線段FH也是確定的．圖4圖5圖6例502014年湖南省郴州市中考第26題已知拋物線y＝ax2＋bx＋c經(jīng)過A(－1,0)、B(2,0)、C(0,2)三點．（1）求這條拋物線的解析式；（2）如圖1，點P是第一象限內(nèi)此拋物線上的一個動點，當(dāng)點P運動到什么位置時，四邊形ABPC的面積最大？求出此時點P的坐標；（3）如圖2，設(shè)線段AC的垂直平分線交x軸于點E，垂足為D，M為拋物線的頂點，那么在直線DE上是否存在一點G，使△CMG的周長最?。咳舸嬖?，請求出點G的坐標；若不存在，請說明理由．圖1圖2動感體驗請打開幾何畫板文件名“14郴州26”，拖動點P運動，可以體驗到，當(dāng)點P運動到CB的中點的正上方時，四邊形ABPC的面積最大．拖動點G運動，可以體驗到，當(dāng)A、G、M三點共線時，GC＋GM最小，△CMG的周長最?。悸伏c撥1．設(shè)交點式求拋物線的解析式比較簡便．2．連結(jié)OP，把四邊形ABPC的面積分割為三個三角形的面積和．3．第（3）題先用幾何說理確定點G的位置，再用代數(shù)計算求解點G的坐標．圖文解析（1）因為拋物線與x軸交于A(－1,0)、B(2,0)兩點，設(shè)y＝a(x＋1)(x－2)．代入點C(0,2)，可得a＝－1．所以這條拋物線的解析式為y＝－(x＋1)(x－2)＝－x2＋x＋2．（2）如圖3，連結(jié)OP．設(shè)點P的坐標為(x,－x2＋x＋2)．由于S△AOC＝1，S△POC＝x，S△POB＝－x2＋x＋2，所以S四邊形ABPC＝S△AOC＋S△POC＋S△POB＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4．因此當(dāng)x＝1時，四邊形ABPC的面積最大，最大值為4．此時P(1,2)．（3）第一步，幾何說理，確定點G的位置：如圖4，在△CMG中，CM為定值，因此當(dāng)GC＋GM最小時，△CMG的周長最?。捎贕A＝GC，因此當(dāng)GA＋GM最小時，GC＋GM最?。?dāng)點G落在AM上時，GA＋GM最?。ㄈ鐖D5）．圖3圖4圖5第二步，代數(shù)計算，求解點G的坐標：如圖6，，cos∠CAO＝，所以，E．如圖7，由y＝－x2＋x＋2＝，得M．由A(－1,0)、M，得直線AM的解析式為．作GH⊥x軸于H．設(shè)點G的坐標為．由于tan∠GEH＝tan∠ACO＝，所以，即EH＝2GH．所以．解得．所以G．圖6圖7圖8考點伸展第（2）題求四邊形ABPC的面積，也可以連結(jié)BC（如圖8）．因為△ABC的面積是定值，因此當(dāng)△PCB的面積最大時，四邊形ABPC的面積也最大．過點P作x軸的垂線，交CB于F．因為△PCF與△PBF有公共底邊PF，高的和等于C、B兩點間的水平距離，所以當(dāng)PF最大時，△PCB的面積最大．設(shè)點P(x,－x2＋x＋2)，F(xiàn)(x,－x＋2)，那么PF＝－x2＋2x．當(dāng)x＝1時，PF最大．此時P(1,2)．

例512014年湖南省湘西州中考第25題如圖1，拋物線y＝ax2＋bx＋c關(guān)于y軸對稱，它的頂點在坐標原點O，點B和點C(－3,－3)均在拋物線上，點F在y軸上，過點作直線l與x軸平行．（1）求拋物線的解析式和直線BC的解析式；（2）設(shè)點D(x,y)是線段BC上的一個動點（點D不與B、C重合），過點D作x軸的垂線，與拋物線交于點G，設(shè)線段GD的長為h，求h與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出當(dāng)x為何值時，線段GD的長度h最大，最大長度h的值是多少？（3）若點P(m,n)是拋物線上位于第三象限的一個動點，連結(jié)PF并延長，交拋物線于另一點Q，過點Q作QS⊥l，垂足為S，過點P作PN⊥l，垂足為N，試判斷△FNS的形狀，并說明理由；（4）若點A(－2,t)在線段BC上，點M為拋物線上的一個動點，連結(jié)AF，當(dāng)點M在何位置時，MF＋MA的值最?。堉苯訉懗龃藭r點M的坐標與MF＋MA的最小值．圖1動感體驗請打開幾何畫板文件名“14湘西25”，點擊屏幕左下方的按鈕（2），拖動點D在BC上運動，可以體驗到，當(dāng)點D是BC的中點時，GD最大．點擊按鈕（3），拖動點P運動，可以體驗到，△FNS保持直角三角形的形狀．點擊按鈕（4），拖動點M運動，可以體驗到，ME與MF保持相等，當(dāng)AE是垂線段時，ME＋MA最?。悸伏c撥1．第（2）題用x表示G、D兩點的縱坐標，GD的長就轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的二次函數(shù)．2．第（3）題是典型結(jié)論：拋物線上任意一點到直線l的距離等于它與點F間的距離．3．第（4）題要經(jīng)過兩步說理，得到MF＋MA的最小值是點A到l的垂線段長．圖文解析（1）因為拋物線的頂點在坐標原點，所以y＝ax2．代入點C(－3,－3)，得．所以拋物線的解析式為．設(shè)直線BC的解析式為y＝kx＋b，代入B、C(－3,－3)，得解得，b＝－2．所以直線BC的解析式為．（2）由于點D、G分別在直線BC和拋物線上，所以D，G．所以h＝GD＝＝．因此當(dāng)時，h取得最大值，最大值為．（3）如圖2，設(shè)點為H．設(shè)直線PQ的解析式為．聯(lián)立直線PQ：與拋物線，消去y，得．所以x1·x2＝．它的幾何意義是HS·HN＝．又因為HF＝．所以HF2＝HS·HN．所以．所以tan∠1＝tan∠2．所以∠1＝∠2．又因為∠1與∠3互余，所以∠2與∠3互余．所以△FNS是直角三角形．（4）MF＋MA的最小值是，此時點M的坐標是．圖2圖3圖4考點伸展第（3）題也可以通過計算得到PF＝PN．同理得到QF＝QS．這樣我們就可以根據(jù)“等邊對等角”及“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”，得到∠NFC＝90°．應(yīng)用這個結(jié)論，就容易解答第（4）題：如圖3，作ME⊥l于E，那么MF＝ME．當(dāng)ME＋MA的值最小時，MF＋MA的值也最?。?dāng)A、M、E三點共線時，ME＋MA的值最小，最小值為AE．而AE的最小值為點A到l的垂線段，即AE⊥l時，AE最小（如圖4）．§2．1由比例線段產(chǎn)生的函數(shù)關(guān)系問題課前導(dǎo)學(xué)（一）圖形運動的過程中，求兩條線段之間的函數(shù)關(guān)系，是中考數(shù)學(xué)的熱點問題．產(chǎn)生兩條線段間的函數(shù)關(guān)系，常見的情況有兩種，一是勾股定理，二是比例關(guān)系．還有一種不常見的，就是線段全長等于部分線段之和．由勾股定理產(chǎn)生的函數(shù)關(guān)系，在兩種類型的題目中比較常用．類型一，已知“邊角邊”，至少一邊是動態(tài)的，求角的對邊．如圖1，已知點A的坐標為(3,4)，點B是x軸正半軸上的一個動點，設(shè)OB＝x，AB＝y(tǒng)，那么我們在直角三角形ABH中用勾股定理，就可以得到y(tǒng)關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．類型二，圖形的翻折．已知矩形OABC在坐標平面內(nèi)如圖2所示，AB＝5，點O沿直線EF翻折后，點O的對應(yīng)點D落在AB邊上，設(shè)AD＝x，OE＝y(tǒng)，那么在直角三角形AED中用勾股定理就可以得到y(tǒng)關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．圖1圖2由比例線段產(chǎn)生的函數(shù)關(guān)系問題，在兩種類型的題目中比較常用．一是由平行線產(chǎn)生的對于線段成比例，二是相似三角形的對應(yīng)邊成比例．一般步驟是先說理產(chǎn)生比例關(guān)系，再代入數(shù)值或表示數(shù)的字母，最后整理、變形，根據(jù)要求寫出定義域．關(guān)鍵是尋找比例關(guān)系，難點是有的整理、變形比較繁瑣，容易出錯．

課前導(dǎo)學(xué)（二）圖形運動的過程中，求面積隨某個量變化的函數(shù)關(guān)系，是中考數(shù)學(xué)的熱點問題．計算面積常見的有四種方法，一是規(guī)則圖形的面積用面積公式；二是不規(guī)則圖形的面積通過割補進行計算；三是同高（或同底）三角形的面積比等于對應(yīng)邊（或高）的比；四是相似三角形的面積比等于相似比的平方．前兩種方法容易想到，但是靈活使用第三種和第四種方法，可以使得運算簡單．一般情況下，在求出面積S關(guān)于自變量x的函數(shù)關(guān)系后，會提出在什么情況下（x為何值時），S取得最大值或最小值．關(guān)于面積的最值問題，有許多經(jīng)典的結(jié)論．例1，周長一定的矩形，當(dāng)正方形時，面積最大．例2，面積一定的矩形，當(dāng)正方形時，周長最?。?，周長一定的正多邊形，當(dāng)邊數(shù)越大時，面積越大，極限值是圓．例4，如圖1，銳角△ABC的內(nèi)接矩形DEFG的面積為y，AD＝x，當(dāng)點D是AB的中點時，面積y最大．例5，如圖2，點P在直線AB上方的拋物線上一點，當(dāng)點P位于AB的中點E的正上方時，△PAB的面積最大．例6，如圖3，△ABC中，∠A和對邊BC是確定的，當(dāng)AB＝AC時，△ABC的面積最大．圖1圖2圖3

例12014年湖南省常德市中考第26題如圖1，圖2，已知四邊形ABCD為正方形，在射線AC上有一動點P，作PE⊥AD（或延長線）于E，作PF⊥DC（或延長線）于F，作射線BP交EF于G．（1）在圖1中，正方形ABCD的邊長為2，四邊形ABFE的面積為y，設(shè)AP＝，求y關(guān)于的函數(shù)表達式；（2）GB⊥EF對于圖1，圖2都是成立的，請任選一圖形給出證明；（3）請根據(jù)圖2證明：△FGC∽△PFB．圖1圖2動感體驗請打開幾何畫板文件名“14常德26”，拖動點P在射線AC上運動，可以體驗到，EM和FN把正方形ABCD分割成了兩個正方形和兩個全等的矩形，B、C、G、F四點共圓．思路點撥1．四邊形ABFE可以用大正方形減去兩個直角三角形得到．2．畫直線EP、FP，把正方形分割為兩個正方形和兩個全等的矩形．圖文解析（1）如圖3，延長EP交BC于M，延長F