甘肅省臨夏州積石山縣三校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考 數(shù)學(xué)試題（含解析）

積石山縣2023-2024學(xué)年第一學(xué)期三校聯(lián)考期中考試試卷高二數(shù)學(xué)一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分，每題只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求.1.數(shù)列-4，7，-10，13，…的一個(gè)通項(xiàng)公式為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)數(shù)列中數(shù)據(jù)特征得到通項(xiàng)公式.【詳解】由符號(hào)來(lái)看，奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)，偶數(shù)項(xiàng)為正，所以通項(xiàng)公式中應(yīng)該是，數(shù)值4，7，10，13，…滿足，所以通項(xiàng)公式可以是．故選：B．2.設(shè)等差數(shù)列前n項(xiàng)和是，若，則（）A.5 B.45 C.15 D.90【答案】B【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)得，再根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式、下標(biāo)和性質(zhì)求.【詳解】設(shè)等差數(shù)列公差為，因?yàn)椋?，所以，所?故選：B.3.已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且直線的一個(gè)法向量是，則的方程是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)直線的法向量設(shè)出直線方程，再代入點(diǎn)，求出直線方程.【詳解】因?yàn)橹本€的一個(gè)法向量是，故可設(shè)方程為，將代入方程得，解得，故的方程為，即.故選：A4.設(shè)，且，則數(shù)列的前項(xiàng)和是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用裂項(xiàng)相消法求和.【詳解】，故.故選：A5.在數(shù)列中，，，下列說(shuō)法正確的是（）A.數(shù)列是等比數(shù)列 B.數(shù)列是等差數(shù)列C. D.數(shù)列是遞增數(shù)列【答案】C【解析】【分析】由已知條件化簡(jiǎn)得出等差數(shù)列可以判斷A，B選項(xiàng)；根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式計(jì)算得出通項(xiàng)公式可判斷C選項(xiàng)；最后結(jié)合單調(diào)性判斷D選項(xiàng).【詳解】由，整理得，所以數(shù)列是以3為首項(xiàng)，以6為公差的等差數(shù)列，，即，故C正確，而，不為常數(shù)，故A錯(cuò)誤，又，顯然不為常數(shù)，故B錯(cuò)誤，數(shù)列是遞減數(shù)列，故D錯(cuò)誤.故選：C.6.設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則（）A.27 B.45 C.81 D.18【答案】B【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)可得，，成等差數(shù)列，從而可列方程可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列，所以，，成等差數(shù)列，可得，即，解得，即.故選：B.7.已知圓，直線l過(guò)點(diǎn).線段的端點(diǎn)B在圓上運(yùn)動(dòng)，則線段的中點(diǎn)M的軌跡方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】建立點(diǎn)和點(diǎn)之間關(guān)系式，再利用點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的關(guān)系式得到點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的條件，即可求出.【詳解】設(shè)，，由點(diǎn)是的中點(diǎn)，得，可得，又點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，所以，將上式代入可得，，化簡(jiǎn)整理得點(diǎn)的軌跡方程為：.故選：B8.“”是“圓與圓不存在公切線”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】【分析】利用兩圓內(nèi)含的定義以及充分必要條件關(guān)系判斷即可.【詳解】當(dāng)兩圓無(wú)公切線時(shí)，即兩圓內(nèi)含，圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，所以兩圓的圓心距，則，解得，所以是圓與圓不存在公切線的既不充分也不必要條件.故選：D.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.每題選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知等比數(shù)列中，滿足，則下列說(shuō)法正確的是（）A. B.是等比數(shù)列C. D.單調(diào)遞增【答案】ABD【解析】【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式進(jìn)行求解；B選項(xiàng)，得到，B正確；C選項(xiàng)，計(jì)算出，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，計(jì)算出，D正確.【詳解】A選項(xiàng)，，A正確；B選項(xiàng)，，故，又，故為首項(xiàng)為2，公比為4的等比數(shù)列，B正確；C選項(xiàng)，由A可知，，則，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，，故單調(diào)遞增，D正確.故選：ABD10.已知直線，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則直線的傾斜角為B.直線的橫截距為C.若，則與直線的交點(diǎn)為D.若，則點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為【答案】BD【解析】【分析】對(duì)A，由斜率和傾斜角關(guān)系可判斷；對(duì)B，由截距的概念可判斷；對(duì)C，聯(lián)立兩直線方程可得交點(diǎn)坐標(biāo)；對(duì)D，由對(duì)稱性列式運(yùn)算可得解.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，直線的斜率，即，又，所以直線的傾斜角為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由，令，得，所以直線的橫截距是1，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，聯(lián)立，解得，所以兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，且線段的中點(diǎn)在直線上，有，解得，所以點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，故D正確.故選：BD.11.已知圓，圓，則下列說(shuō)法正確是（）A.若圓外切，則B.若點(diǎn)在圓的內(nèi)部，則C.若，則圓的公共弦所在的直線方程是D.是圓的一條切線【答案】ACD【解析】【分析】利用圓與圓外切，由圓心距和兩半徑之和相等即可判斷A；求點(diǎn)到圓心的距離與半徑的關(guān)系即可判斷B；將兩圓方程相減可得公共弦所在的直線方程可判斷C；由點(diǎn)到直線距離公式即可判斷D.【詳解】由題，圓為，圓心，，圓為，圓心，，對(duì)于A，若圓，外切，則，即，解得，故A正確；對(duì)于B，由點(diǎn)在圓內(nèi)，得，化簡(jiǎn)得，解得，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，則圓：，將兩圓方程相減得公共弦所在直線方程為，故C正確；對(duì)于D，圓的方程可化為，顯然是圓的切線，故D正確.故選：ACD.12.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，，則（）A.數(shù)列是遞增數(shù)列 B.C.當(dāng)時(shí)，最大 D.當(dāng)時(shí)，n的最大值為14【答案】BCD【解析】【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)可知，進(jìn)而得出，，依次判斷各選項(xiàng)即可得出結(jié)果.【詳解】等差數(shù)列中，，，，，公差，數(shù)列是遞減數(shù)列，A錯(cuò)誤，，B正確.，數(shù)列是遞減數(shù)列，當(dāng)時(shí)，最大,C正確.,,.當(dāng)時(shí)，n的最大值為14,D正確.故選:BCD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若曲線是一個(gè)圓，則的取值范圍是_____．【答案】【解析】【分析】圓的普通方程中得到不等式，求出答案.【詳解】由題意得，解得或故答案為：14.已知等差數(shù)列滿足（，），則_____．【答案】【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合已知條件即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，故，解得；令，則，故解得故答案為：.15.動(dòng)直線平分圓的周長(zhǎng)，則的最小值_____．【答案】9【解析】【分析】先根據(jù)題意得到，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【詳解】平分的周長(zhǎng)，故圓心在直線上，故，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.故答案為：916.在數(shù)1和3之間插入n個(gè)實(shí)數(shù)，使得這個(gè)數(shù)構(gòu)成遞增的等比數(shù)列，將這個(gè)數(shù)的乘積記作，令.則數(shù)列的通項(xiàng)公式是______．【答案】【解析】【分析】設(shè)在數(shù)1和3之間插入n個(gè)實(shí)數(shù)，使得這個(gè)數(shù)構(gòu)成遞增的等比數(shù)列的公比為q，由題意可得，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)即可求出.【詳解】設(shè)在數(shù)1和3之間插入n個(gè)實(shí)數(shù)，使得這個(gè)數(shù)構(gòu)成遞增的等比數(shù)列的公比為q，則，即，所以，所以，故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分.解答過(guò)程應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.已知直線，試求為何值時(shí)，（1）；（2）.【答案】17.318.【解析】【分析】（1）根據(jù)兩直線平行或重合的條件求出m值，再檢驗(yàn)即可；（2）根據(jù)直線垂直的條件直接列式計(jì)算即可得解.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)直線，平行或重合時(shí)，有，解得或，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)兩直線平行，符合題意，當(dāng)時(shí)，，的方程均為，此時(shí)兩直線重合，不合題意，綜上，.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，所以有，解得，所以的值?18.已知是公差不為零的等差數(shù)列，，是的等比中項(xiàng).（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由已知求出，即得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）先證明是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的求和公式求解即可.【詳解】解：（1）因?yàn)槭堑牡缺戎许?xiàng)，所以，所以，代入，解得，又，所以.故（2），，所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查等比數(shù)列性質(zhì)的判定，考查等比數(shù)列的求和，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.19.已知圓.（1）從圓外一點(diǎn)向圓引切線，求切線方程；（2）若圓與圓C相交于兩點(diǎn)，求線段的長(zhǎng).【答案】19.或20.4【解析】【分析】（1）當(dāng)斜率存在時(shí)，用點(diǎn)斜式設(shè)切線方程，根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑，求得k的值，可得切線方程．當(dāng)斜率不存在時(shí)，易得切線方程，從而得出結(jié)論；（2）把兩個(gè)圓的方程相減可得直線的方程，可判斷圓心在直線上，剛好是圓的直徑，得解.【小問(wèn)1詳解】由題圓的方程可化為，當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為，即，于是，解得，切線方程為，當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，得切線方程為，綜上，切線方程為或.【小問(wèn)2詳解】把兩圓方程相減可得直線的方程：，圓心剛好在直線上，則是圓的直徑，故.20.已知圓C經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，圓心C在直線上.（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)出圓的圓心坐標(biāo)，利用圓心到圓上點(diǎn)的距離都等于半徑，列出方程求解即可．（2）表示點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)距離的平方，數(shù)形結(jié)合可得解.小問(wèn)1詳解】圓心在直線上，設(shè)圓心，由點(diǎn)和在圓上，可得，解得，所以圓心坐標(biāo)為，半徑，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)楸硎军c(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)距離，又點(diǎn)在圓上，所以，又，，即，所以.所以的取值范圍是.21.已知數(shù)列，且.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，若的前n項(xiàng)和為，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）變形得到，則是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式求出答案；（2）求出，利用錯(cuò)位相減法求和.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所以，其中，故是首?xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，故，所以；【小問(wèn)2