第二講高階微分方程jsp

第一講一階微分方程一、可降階的高階微分方程二、高階線性微分方程三、二階常系數(shù)齊次線性微分方程四、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程1一、可降階高階微分方程

1、型的微分方程2、型的微分方程3、型的微分方程21、兩端積分得同理可得依次通過

n

次積分,可得含

n

個(gè)任意常數(shù)的通解.型的微分方程

機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束3例1.解:

機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束4型的微分方程設(shè)原方程化為一階方程設(shè)其通解為則得再一次積分,得原方程的通解2、機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束5例2.求解解:代入方程得分離變量積分得利用于是有兩端再積分得利用因此所求特解為機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束63、型的微分方程

令故方程化為設(shè)其通解為即得分離變量后積分,得原方程的通解機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束7例3.求解代入方程得兩端積分得(可分離變量)故所求通解為解:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束8例4.解初值問題解:

令代入方程得積分得利用初始條件,根據(jù)分離變量得故所求特解為得機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束9內(nèi)容小結(jié)可降階微分方程的解法——降階法逐次積分令令

解二階可降階微分方程初值問題需注意：(1)一般情況,邊解邊定常數(shù)計(jì)算簡便.(2)遇到開平方時(shí),要根據(jù)題意確定正負(fù)號(hào).10二、高階線性微分方程11證畢1、線性齊次方程解的結(jié)構(gòu)是二階線性齊次方程的兩個(gè)解,也是該方程的解.證:代入方程左邊,得(疊加原理)

定理1.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束12說明:不一定是所給二階方程的通解.例如,是某二階齊次方程的解,也是齊次方程的解并不是通解但是則為解決通解的判別問題,下面引入函數(shù)的線性相關(guān)與線性無關(guān)概念.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束13定義

設(shè)是定義在區(qū)間I

上的函數(shù)，線性相關(guān)若線性無關(guān)常數(shù)例1.判斷下列函數(shù)組在其定義區(qū)間內(nèi)是否線性相關(guān)？機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束，則稱若，則稱14定理2.是二階線性齊次方程的兩個(gè)線性無關(guān)的特解,則數(shù))是該方程的通解.例如,方程有特解且常數(shù),故方程的通解為機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束2、非齊次線性微分方程解的結(jié)構(gòu)1516例2.已知均為方程的解，求該方程的通解。解：線性無關(guān)故：通解為例3.已知方程的一個(gè)特解為為方程的特解，求的通解。解：通解為17三、二階常系數(shù)齊次線性微分方程和它的導(dǎo)數(shù)只差常數(shù)因子,代入①得稱②為微分方程①的特征方程,(r

為待定常數(shù)),所以令①的解為②其根稱為特征根.18192022例3.的通解.解:

特征方程特征根:因此原方程的通解為例4.

求解初值問題解:

特征方程有重根因此原方程的通解為利用初始條件得于是所求初值問題的解為23根據(jù)解的結(jié)構(gòu)定理,其通解為非齊次方程特解齊次方程通解求特解的方法根據(jù)

f(x)的特殊形式,的待定形式,代入原方程比較兩端表達(dá)式以確定待定系數(shù).①—待定系數(shù)法四、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程2