第節(jié)全微分方程

第五節(jié)全微分方程

一、全微分方程

二、全微分方程的判定

三、全微分方程求解

四、積分因子華南理工大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院

楊立洪博士一、全微分方程

一階微分方程可以等價(jià)地寫成：（1）如果存在二元函數(shù)，使得（2）則方程（1）稱為全微分方程；這時(shí)，方程（1）便等價(jià)于于是（3）是方程（1）的隱式通解，其中c為任意常數(shù)例求的通解。是全微分方程，其通解為：二、全微分方程的判定怎樣判斷方程（1）是否為全微分方程？定理：若在單連通區(qū)域G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則方程（1）為全微分方程的充要條件是：在區(qū)域G內(nèi)，有（4）且當(dāng)條件（4）滿足時(shí)，有：的一個(gè)原函數(shù)是：恒成立，(5)三、全微分方程求解

提出問(wèn)題：則方程（1）是全微分方程，

是它的隱式通解，其中，呢？那么如何求設(shè)方程（1）滿足條件：方法一：與起點(diǎn)、終點(diǎn)有關(guān)，而與路徑無(wú)關(guān)這一性質(zhì)，“直角形折線”，取積分路徑為得：或（曲線積分法）利用原函數(shù)的積分僅方法二：又則由得即再由得由上式解得，再積分得從而可求得為所求，（不定積分法）設(shè)把方程（1）分成若干組，每組求得原函數(shù)，來(lái)，從而求得再利用微分法則將每個(gè)小組的原函數(shù)組合起方法三：（分項(xiàng)組合湊微分法），四、例題（I）先講求解全微分方程的例題。例1

解方程解一（曲線積分法）在整個(gè)平面上，P、Q具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且在整個(gè)平面上恒成立，這里，,于是所以，原方程的通解為：因此，所給方程是全微分方程解二（不定積分法）,即此方程是全微分方程（判斷同解一）所以，原方程的通解為：（不妨設(shè)）解三：（分項(xiàng)組合湊微分法）為所求通解。原方程可化為：例2

解方程解一（曲線積分法）且在全平面上成立，故該方程是全微分方程。所以，原方程的通解為：∴原方程的通解為解二（分項(xiàng)組合微分法）把原方程逐步化為五、積分因子對(duì)于方程如果則它不是全微分方程，但可能存在使（6）成為全微分方程，則稱為積分因子。熟記下列常見(jiàn)的全微分式子將有助于求得積一般，積分因子是不容易求得的。

分因子：例：方程不是全微分方程，乘上其中任何一個(gè)積分因子后，都能求得都是它的積分因子，但通解：六、例題（II）下面介紹利用積分因子求解微分方程的例題。例3

解方程解：

所以，這不是全微分方程。將原方程化為：取，在方程兩端乘上后，得

即故原方程通解為：即七、小結(jié)本節(jié)主要內(nèi)容：

1．全微分方程的判定與求解（三種方法）。

2．常見(jiàn)全微分與常見(jiàn)積分因子。

八、重點(diǎn)1．全微分方程的三種解法。

2．常見(jiàn)積分因子。

九、難點(diǎn)

利用積分因子求解一階微分方程。十、主要題型

1．全微分方程的求解。2．用積分因子法求方程的解。十一、建議學(xué)習(xí)方法

1．一題多解，掌握全微分方程的三種解法。2．特別記住的積分因子。十二、學(xué)習(xí)輔導(dǎo)

1．一階微分方程的總結(jié)。

①一階微分方程一般形式：

或②四種特殊題型：a.

可分離變量方程b.

齊次方程

c.

一階線性方程貝努利方程d.

全微分方程且滿足③解法：初等積分法。解題分析過(guò)程：是否一階方程→是否可分離變量方程→是否齊次方程→是否一階線性方程→是否全微分方程→若都不是，找適當(dāng)?shù)淖儞Q或積分因子，化為上述四種類型。我們討論的一階微分方程的解法，是針對(duì)方程的類型來(lái)展開(kāi)的，所以類型與解法之間存在著一種對(duì)應(yīng)。只要辨別出方程的類型，也就有了相應(yīng)的解法。

十三、課堂練習(xí)

1．解方程2．解方程十四、課堂練習(xí)題解

1．解：

在整個(gè)平面上成立，故這是一個(gè)全微分方程。由于通解為：2．解：這不是全微分方程，原方程化為考慮到的四個(gè)積分因子適合本題的積分因子應(yīng)是故取即通解為所以十五、自測(cè)題

1．解方程

2．解方程

3．解方程

4．解方程

5．試用多種方法解方程

十六、自測(cè)題解

1．解法一（曲線積分法）：在

內(nèi)成立，故這是全微分方程。

通解為：解法二（湊微分法）

通解為2．解：

所以這不是全微分方程。原方程化為取，兩端乘以得：，即通解為：3．解：

原方程是全微分方程通解為：4．解：將方程重新組合即取積