2023學年二輪復習解答題專題四十五：與知識遷移有關(guān)的類比探究綜合題（解析版）

2023學年二輪復習解答題專題四十五：與知識遷移有關(guān)的類比探究綜合題典例分析例（2022綏化中考）我們可以通過面積運算的方法，得到等腰三角形底邊上的任意一點到兩腰的距離之和與一腰上的高之間的數(shù)量關(guān)系，并利用這個關(guān)系解決相關(guān)問題．

（1）如圖一，在等腰中，，邊上有一點D，過點D作于E，于F，過點C作于G.利用面積證明：．（2）如圖二，將矩形沿著折疊，使點A與點C重合，點B落在處，點G為折痕上一點，過點G作于M，于N.若，，求的長．（3）如圖三，在四邊形中，E為線段上的一點，，，連接，且，，，，求的長．【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，利用等面積法，根據(jù)等腰中，，即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)題中條件，利用折疊性質(zhì)得到，結(jié)合矩形中得到，從而有，從而確定是等腰三角形，從而利用（1）中的結(jié)論得到，結(jié)合勾股定理及矩形性質(zhì)即可得到結(jié)論；（3）延長交于，連接，過點作于，根據(jù)，，，得到是等腰三角形，從而由（1）知，在中，，在中，，，聯(lián)立方程求解得，從而得到結(jié)論．【小問1詳解】證明：連接，如圖所示：

在等腰中，，邊上有一點D，過點D作于E，于F，過點C作于G，由得，；【小問2詳解】解：連接，過點作于，如圖所示：

根據(jù)折疊可知，在矩形中，，則，，即等腰三角形，在等腰中，，邊上有一點G，過點G作于M，于N，過點作于，由（1）可得，在中，，，則，在四邊形中，，則四邊形為矩形，，即；【小問3詳解】解：延長交于，連接，過點作于，

在四邊形中，E為線段上的一點，，，則，又，，，即是等腰三角形，由（1）可得，設(shè)，，，，在中，，在中，，，，解得，，即．【點睛】本題考查幾何綜合，涉及到等腰三角形的判定與性質(zhì)、等面積求線段關(guān)系、折疊的性質(zhì)、勾股定理求線段長、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識點，讀懂題意，掌握（1）中的證明過程與結(jié)論并運用到其他情境中是解決問題的關(guān)鍵．專題過關(guān)1.（2022嘉興中考）小東在做九上課本123頁習題：“1：也是一個很有趣的比．已知線段AB（如圖1），用直尺和圓規(guī)作AB上的一點P，使AP：AB＝1：．”小東的作法是：如圖2，以AB為斜邊作等腰直角三角形ABC，再以點A為圓心，AC長為半徑作弧，交線段AB于點P，點P即為所求作的點．小東稱點P為線段AB的“趣點”．（1）你贊同他的作法嗎？請說明理由．（2）小東在此基礎(chǔ)上進行了如下操作和探究：連結(jié)CP，點D為線段AC上的動點，點E在AB的上方，構(gòu)造DPE，使得DPE∽CPB．①如圖3，當點D運動到點A時，求∠CPE的度數(shù)．②如圖4，DE分別交CP，CB于點M，N，當點D為線段AC的“趣點”時（CD＜AD），猜想：點N是否為線段ME的“趣點”？并說明理由．【答案】（1）贊同，理由見解析，（2）①，②點N是線段ME的“趣點”，理由見解析【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的性質(zhì)證明再利用從而可得結(jié)論；（2）①由題意可得：再求解證明從而可得答案；②先證明可得再證明從而可得結(jié)論．【小問1詳解】證明：贊同，理由如下：等腰直角三角形ABC，∴點P為線段AB的“趣點”．【小問2詳解】①由題意可得：DPE∽CPB，D，A重合，②點N是線段ME的“趣點”，理由如下：當點D為線段AC的“趣點”時（CD＜AD），而同理可得：點N是線段ME的“趣點”．【點睛】本題考查的是等腰直角三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應用，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，理解新定義的含義，掌握特殊的幾何圖形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．2.（2022威海中考）回顧：用數(shù)學的思維思考（1）如圖1，△ABC中，AB＝AC．①BD，CE是△ABC的角平分線．求證：BD＝CE．②點D，E分別是邊AC，AB的中點，連接BD，CE．求證：BD＝CE．（從①②兩題中選擇一題加以證明）（2）猜想：用數(shù)學的眼光觀察經(jīng)過做題反思，小明同學認為：在△ABC中，AB＝AC，D為邊AC上一動點（不與點A，C重合）．對于點D在邊AC上的任意位置，在另一邊AB上總能找到一個與其對應的點E，使得BD＝CE．進而提出問題：若點D，E分別運動到邊AC，AB的延長線上，BD與CE還相等嗎？請解決下面的問題：如圖2，在△ABC中，AB＝AC，點D，E分別在邊AC，AB的延長線上，請?zhí)砑右粋€條件（不再添加新的字母），使得BD＝CE，并證明．（3）探究：用數(shù)學的語言表達如圖3，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠A＝36°，E為邊AB上任意一點（不與點A，B重合），F(xiàn)為邊AC延長線上一點．判斷BF與CE能否相等．若能，求CF的取值范圍；若不能，說明理由．【答案】（1）見解析（2）添加條件CD=BE，見解析（3）能，0＜CF＜【解析】【分析】（1）①利用ASA證明△ABD≌△ACE．②利用SAS證明△ABD≌△ACE．（2）添加條件CD=BE，證明AC+CD=AB+BE，從而利用SAS證明△ABD≌△ACE．（3）在AC上取一點D，使得BD=CE，根據(jù)BF=CE，得到BD=BF，當BD=BF=BA時，可證△CBF∽△BAF，運用相似性質(zhì)，求得CF的長即可．【小問1詳解】①如圖1，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵BD，CE是△ABC的角平分線，∴∠ABD=∠ABC，∠ACE=∠ACB，∴∠ABD=∠ACE，∵AB=AC，∠A=∠A，∴△ABD≌△ACE，∴BD=CE．②如圖1，∵AB=AC，點D，E分別是邊AC，AB的中點，∴AE=AD，∵AB=AC，∠A=∠A，∴△ABD≌△ACE，∴BD=CE．【小問2詳解】添加條件CD=BE，證明如下：∵AB=AC，CD=BE，∴AC+CD=AB+BE，∴AD=AE，∵AB=AC，∠A=∠A，∴△ABD≌△ACE，∴BD=CE．【小問3詳解】能在AC上取一點D，使得BD=CE，根據(jù)BF=CE，得到BD=BF，當BD=BF=BA時，E與A重合，∵∠A＝36°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=72°，∠A=∠BFA=36°，∴∠ABF=∠BCF=108°，∠BFC=∠AFB，∴△CBF∽△BAF，∴，∵AB＝AC＝2=BF，設(shè)CF=x，∴，整理，得，解得x=，x=（舍去），故CF=x=，∴0＜CF＜．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，一元二次方程的解法，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定，三角形相似的判定性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3.（2022鹽城中考）【經(jīng)典回顧】

梅文鼎是我國清初著名的數(shù)學家，他在《勾股舉隅》中給出多種證明勾股定理的方法．圖1是其中一種方法的示意圖及部分輔助線．

在△ABC中，∠ACB=90°，四邊形ADEB、ACHI和BFGC分別是以Rt△ABC的三邊為一邊的正方形．延長IH和FG，交于點L，連接LC并延長交DE于點J，交AB于點K，延長DA交IL于點M．

(1)證明：AD=LC；

(2)證明：正方形ACHI的面積等于四邊形ACLM的面積；

(3)請利用(2)中的結(jié)論證明勾股定理．

【遷移拓展】

(4)如圖2，四邊形ACHI和BFGC分別是以△ABC的兩邊為一邊的平行四邊形，探索在AB下方是否存在平行四邊形ADEB，使得該平行四邊形的面積等于平行四邊形ACHI、BFGC的面積之和．若存在，作出滿足條件的平行四邊形ADEB(保留適當?shù)淖鲌D痕跡)；若不存在，請說明理由．

26.【答案】(1)證明：如圖1，連接MG，

∵四邊形ACHI，ABED和BCGF是正方形，

∴AC=CH，BC=CG，∠ACH=∠BCG=90°，AB=AD，

∵∠ACB=90°，

∴∠GCH=360°-90°-90°-90°=90°，

∴∠GCH=∠ACB，

∴△ACB≌△HCG(SAS)，

∴GH=AB=AD，

∵∠GCH=∠CHI=∠CGL=90°，

∴四邊形CGLH是矩形，

∴CL=GH，

∴AD=LC；

(2)證明一：∵∠CAI=∠BAM=90°，

∴∠BAC=∠MAI，

∵AC=AI，∠ACB=∠I=90°，

∴△ABC≌△AMI(ASA)，

由(1)知：△ACB≌△HCG，

∴△AMI≌△HGC，

∵四邊形CGLH是矩形，

∴S△CHG=S△CHL，

∴S△AMI=S△CHL，

∴正方形ACHI的面積等于四邊形ACLM的面積；

證明二：∵四邊形CGLH是矩形，

∴PH=PC，

∴∠CHG=∠LCH，

∴∠CAB=∠CHG=∠LCH，

∵∠ACH=90°，

∴∠ACK+∠LCH=90°，

∴∠ACK+∠CAK=90°，

∴∠AKC=90°，

∴∠AKC=∠BAD=90°，

∴DM//LK，

∵AC//LI，

∴四邊形ACLM是平行四邊形，

∵正方形ACHI的面積=AC?CH，?ACLH的面積=AC?CH，

∴正方形ACHI的面積等于四邊形ACLM的面積；

(3)證明：由正方形ADEB可得AB/?/DE，

又AD//LC，

∴四邊形ADJK是平行四邊形，

由(2)知，四邊形ACLM是平行四邊形，

由(1)知：AD=LC，

∴?ADJK的面積=?ACLM的面積=正方形ACHI，

延長EB交LG于Q，

同理有?KJEB的面積=?CBQL的面積=正方形BFGC，

∴正方形ACHI的面積+正方形BFGC的面積=?ADJK的面積+?KJEB的面積=正方形ADEB，

∴AC【解析】(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)和SAS證明△ACB≌△HCG，可得結(jié)論；

(2)證明S△CHG=S△CHL，所以S△AMI=S△CHL，由此可得結(jié)論；

(3)證明正方形ACHI的面積+正方形BFGC的面積=?ADJK的面積+?KJEB的面積=正方形ADEB，可得結(jié)論；

(4)如圖2，延長IH和FG交于點L，連接LC，以A為圓心CL為半徑畫弧交IH于一點，過這一點和A作直線，以A為圓心，AI為半徑作弧交這直線于D，分別以A，B為圓心，以AB，AI為半徑畫弧交于E，連接AD，DE，BE，則四邊形ADEB即為所求．

本題是四邊形的綜合題，考查的是全等三角形的性質(zhì)和判定，平行四邊形的性質(zhì)和判定，矩形的性質(zhì)和判定，正方形的性質(zhì)，勾股定理的證明等知識；熟練掌握正方形的性質(zhì)和全等相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)圖形面積的關(guān)系證出勾股定理是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型．

（1）【問題一】如圖①，正方形的對角線相交于點，點又是正方形的一個頂點，交于點，交于點，則與的數(shù)量關(guān)系為_________；（2）【問題二】受圖①啟發(fā)，興趣小組畫出了圖③：直線、經(jīng)過正方形的對稱中心，直線分別與、交于點、，直線分別與、交于點、，且，若正方形邊長為8，求四邊形的面積；

（3）【問題三】受圖②啟發(fā)，興趣小組畫出了圖④：正方形的頂點在正方形的邊上，頂點在的延長線上，且，．在直線上是否存在點，使為直角三角形？若存在，求出的長度；若不存在，說明理由．

【答案】（1）（2）16（3）或【解析】【分析】（1）由正方形的性質(zhì)可得，，根據(jù)ASA可證，由全等三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；（2）過點O作交AD于點M，交BC于點N，作交AB于點T，交CD于點R，證明△進而證明；（3）分別求出，由勾股定理可得方程，求出x的值即可．【小問1詳解】∵四邊形ABCD是正方形，∴∠∵是對角線，∴∠，∴∠，∵四邊形正方形，∴∠，∴∠又∠∴，∴∴故答案為:【小問2詳解】過點O作交AD于點M，交BC于點N，作交AB于點T，交CD于點R，如圖，

∵點O是正方形ABCD的中心，∴又∠A=90°∴四邊形ATOM是正方形，∴同（1）可證△∴【小問3詳解】∵四邊形均為正方形，∴∠∵CG在CD上，∴又CE在BC的延長線上，∴設(shè)則在中，在中，延長AD，CE交于點Q，則四邊形是矩形，

∴∴，在中，若△為直角三角形，則有，即整理得，解得，∴或【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定，勾股定理等知識，正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵5.（2022永州中考）為提高耕地灌溉效率，小明的爸媽準備在耕地、B、C、四個位置安裝四個自動噴酒裝置（如圖1所示），A、B、C、四點恰好在邊長為50米的正方形的四個頂點上，為了用水管將四個自動噴灑裝置相互連通，爸媽設(shè)計了如下兩個水管鋪設(shè)方案（各圖中實線為鋪設(shè)的水管）．方案一：如圖2所示，沿正方形的三邊鋪設(shè)水管；方案二：如圖3所示，沿正方形的兩條對角線鋪設(shè)水管．（1）請通過計算說明上述兩方案中哪個方案鋪設(shè)水管的總長度更短；（2）小明看了爸媽的方案后，根據(jù)“蜂集原理”重新設(shè)計了一個方案（如圖4所示），

滿足，，、請將小明方案與爸媽的方案比較，判斷誰的方案中鋪設(shè)水管的總長度更短，并說明理由．（參考數(shù)據(jù)：，）【答案】（1）方案二（2）小明，理由見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)方案鋪設(shè)管道路線求解即可；（2）證，求出小明鋪設(shè)方案的水管的總長度，進行比較即可得結(jié)果；【小問1詳解】解：方案一：（米）方案二：（米）所以方案二總長度更短．【小問2詳解】如圖，作，，垂足分別為和．∵∴，，∴∵，∴（米），，總長度：（米）∵∴所以小明的方案總長度最短．【點睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)、三角形的全等證明，根據(jù)題意，靈活應用知識點進行求解是解題的關(guān)鍵．6.（2022隨州中考）《幾何原本》是古希臘數(shù)學家歐幾里得的一部不朽著作，是數(shù)學發(fā)展史的一個里程碑．在該書的第2幕“幾何與代數(shù)”部分，記載了很多利用幾何圖形來論證的代數(shù)結(jié)論，利用幾何給人以強烈印象將抽象的邏輯規(guī)律體現(xiàn)在具體的圖形之中．（1）我們在學習許多代數(shù)公式時，可以用幾何圖形來推理，觀察下列圖形，找出可以推出的代數(shù)公式，（下面各圖形均滿足推導各公式的條件，只需填寫對應公式的序號）公式①：公式②：公式③：公式④：圖1對應公式______，圖2對應公式______，圖3對應公式______，圖4對應公式______；（2）《幾何原本》中記載了一種利用幾何圖形證明平方差公式的方法，如圖5，請寫出證明過程；（已知圖中各四邊形均為矩形）（3）如圖6，在等腰直角三角形ABC中，，D為BC的中點，E為邊AC上任意一點（不與端點重合），過點E作于點G，作F點H過點B作BF//AC交EG的延長線于點F．記△BFG與△CEG的面積之和為，△ABD與△AEH的面積之和為．①若E為邊AC的中點，則的值為_______；②若E不為邊AC的中點時，試問①中的結(jié)論是否仍成立？若成立，寫出證明過程；若不成立，請說明理由．【答案】（1）①，②，④，③（2）證明見解析（3）①2

②結(jié)論仍成立，理由見解析【解析】【分析】（1）觀察圖形，根據(jù)面積計算方法即可快速判斷；（2）根據(jù)面積關(guān)系：矩形AKHD面積=矩形AKLC面積+矩形CLHD面積=矩形DBFG面積+矩形CLHD面積=正方形BCEF面積－正方形LEGH面積，即可證明；（3）①由題意可得△ABD，△AEH，△CEG，△BFG都是等腰直角三角形，四邊形DGEH是正方形，設(shè)BD=a，從而用含a的代數(shù)式表示出S1、S2進行計算即可；②由題意可得△ABD，△AEH，△CEG，△BFG都是等腰直角三角形，四邊形DGEH是矩形，設(shè)BD=a，DG=b，從而用含a、b的代數(shù)式表示出S1、S2進行計算即可．【小問1詳解】解：圖1對應公式①，圖2對應公式②，圖3對應公式④，圖4對應公式③；故答案為：①，②，④，③；【小問2詳解】解：由圖可知，矩形BCEF和矩形EGHL都是正方形，且AK=DB=a－b，∴，∵，∴，又∵，∴；【小問3詳解】解：①由題意可得：△ABD，△AEH，△CEG，△BFG都是等腰直角三角形，四邊形DGEH是正方形，設(shè)，∴，，，，∴，，∴；故答案為：2；②成立，證明如下：由題意可得：△ABD，△AEH，△CEG，△BFG都是等腰直角三角形，四邊形DGEH是矩形，設(shè)，，∴，，，，∴，，∴仍成立．【點睛】本題主要考查了公式的幾何驗證方法，矩形和正方形的判定與性質(zhì)，掌握數(shù)形結(jié)合思想，觀察圖形，通過圖形面積解決問題是解題的關(guān)鍵．7.（2022河南桐柏一模）習過相似三角形后，劉老師布置了一道思考題．問題情境：如圖1，等腰三角形ABC中，，CD為AB邊上的中線，M為CD上一個動點，于點E，連接CE，若點N為AC上一個動點，連接EN，當，時，求EN的最小值．小明在分析這道題時，發(fā)現(xiàn)思路不明顯，他采用從特殊到一般的方法進行探究，以下是他的探究過程，請仔細閱讀，并完成下列任務．

原題中動點較多，小明準備先從動點的條件入手分析：分析一：如圖2，等腰三角形ABC中，，CD為AB邊上的中線，若，點M為CD的中點，于點E，連接CE，點N為AC上一個動點，連接EN，探究EN是否存在最小值；過程：連接AE，∵CD垂直平分AB，，M是CD的中點，∴，，∴是等腰直角三角形，∵，∴，∴，∵，∴≌，∴，∴，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴當時有最小值；分析二：如圖3，等腰三角形ABC中，，CD為AB邊上的中線，若，且M，N分別為CD、CA的中點，于點E，連接CE，EN，求證：．任務：（1）小明在分析一中判斷EN的最小值時運用了______原理；（填序號）①兩點之間線段最短；②垂線段最短；③平行線間距離；④點到圓的距離．（2）請完成分析二的證明；（3）請直接寫出問題情境中EN的最小值．【答案】（1）②（2）見解析（3）【解析】【分析】（1）由分析一的證明過程即可求解；（2）連接AE，證明∽，得到，再得到，證明∽，得到，證明，再利用三線合一即可證明；（3）當時EN的長最短，由點M的運動過程中，一直等于90°，故點E可看成在以BD為直徑，O為圓心的內(nèi)部的圓周上的動點，過點O作交于點，交AC于點，此時即為所求EN的最小值，根據(jù)解直角三角形的方法求出的長，故可求解．【小問1詳解】由分析一知當時有最小值，即垂線段最短，故填②；【小問2詳解】接AE，∵CD垂直平分AB，，∴．∵，，∴，∴∽，∴，∵D，M分別是AB，CD的中點，∴BD=AB，DM=CD∴，∴，∵，∴∽，∴，∴，∴，∵N是AC的中點，∴．

【小問3詳解】求EN的最小值，即為時EN的長．在點M的運動過程中，一直等于90°，∴點E可看成在以BD為直徑，O為圓心的內(nèi)部的圓周上的動點，如圖所示．過點O作交于點，交AC于點，此時即為所求EN的最小值．∵，，CD垂直平分AB，∴，，∴，∴，∴，∴，∴EN的最小值為．

【點睛】此題主要考查圓與幾何綜合，解題的關(guān)鍵是熟知等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形與相似三角形的判定與性質(zhì)、圓的性質(zhì)、解直角三角形的方法．8.（2022太原二模）請閱讀下列材料，并完成相應的任務．有趣的布羅卡爾點和布羅卡爾角1816年法國數(shù)學家和數(shù)學教育家克雷爾首次發(fā)現(xiàn)了“布羅卡爾點”，但是他的發(fā)現(xiàn)并未被當時的人們所注意．1875年，這一特殊點被一個數(shù)學愛好者——法國軍官布羅卡爾重新發(fā)現(xiàn)，并用他的名字將其命名．他的這一發(fā)現(xiàn)引起一大批數(shù)學家的興趣，一時形成了一股研究“三角形幾何”的熱潮．關(guān)于布羅卡爾點的研究與推廣以代數(shù)計算為主，充分體現(xiàn)了代數(shù)與幾何的聯(lián)系．定義：如圖1，若內(nèi)一點P滿足，則稱P為的布羅卡爾點．若設(shè)，則稱為布羅卡爾角．人們研究發(fā)現(xiàn)，等邊三角形只有一個布羅卡爾點．任務：（1）等邊三角形的布羅卡爾點是這個三角形的______心；（2）若設(shè)等邊三角形的面積為S，邊長為a，布羅卡爾角為，求證：；（3）如圖2，在等腰直角三角形ABC中，，若P是它的一個布羅卡爾點，滿足，，求的值．【答案】（1）答案不唯一，如內(nèi)、外、中、重等．（2）證明見解析（3）6【解析】【分析】（1）本小題答案不唯一，可以先猜想，再證明，比如根據(jù)題意，△ABC是等邊三角形，可知∠PAC=∠PCB=∠PBA=30°，得到∠ACB=∠ABC=∠BAC=60°，所以∠PCA=∠PBC=∠PAB=30°，即可證明P是∠ABC、∠BCA、∠BAC的角平分線的交點所以P是△ABC的內(nèi)心.（2）由材料可知，等邊三角形布羅卡爾角為．求．根據(jù)三角函數(shù)求得等邊三角形一邊上的高為．根據(jù)三角形面積公式即可求得；（3）由是等腰直角三角形，得到，，，再證明．得到．求出，進而求得，，即可求解．【小問1詳解】根據(jù)題意，可知∠PAC=∠PCB=∠PBA=30°，∵△ABC是等邊三角形,∴∠ACB=∠ABC=∠BAC=60°，∴∠PCA=∠PBC=∠PAB=30°，∴P是∠ABC、∠BCA、∠BAC的角平分線的交點∴P是△ABC的內(nèi)心.【小問2詳解】證明：由材料可知，等邊三角形布羅卡爾角為．∴．∵等邊三角形的面積為S，邊長為a，∴等邊三角形一邊上的高為．∴．又∵，∴．【小問3詳解】∵是等腰直角三角形，，∴，．∵，∴．又∵，∴．∴．∵，∴，，∴的值為6．【點睛】本題是屬于三角形的幾何綜合題型，也是壓軸題，較難，內(nèi)容有等邊三角形的性質(zhì)，內(nèi)心，外心，等邊三角形角平分線，等腰直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定的綜合，求三角形的面積，以及銳角三角函數(shù)等知識，熟悉并靈活利用以上性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9.（2022鄭州楓楊外國語二模）小明發(fā)現(xiàn)，若一個三角形中，中線的存在會和三角形的面積有一定的關(guān)系．如圖1，中，為邊的中線，可得，過點作于，則

在持續(xù)研究中，小明發(fā)現(xiàn)，這個研究可以運用到很多問題解決中，請你幫助小明完成下列任務：（1）如圖2，矩形中，點，分別為，上的動點，且，與交于點．連接．①判斷與的面積關(guān)系；②若，，當點為的中點時，求四邊形的面積；（2）中，，，點為的中點，連接，將沿折疊，點的對應點為點，若與重合部分的面積為面積的，直接寫出的面積．【答案】（1）（1）①，理由見解析；②6；（2）或；【解析】【分析】（1）①只需要證明△MDE≌△ANE得到ME=AE，即可推出；②先求出，，再證，即可得到結(jié)果；（2）分如圖2-1所示，當△ABC是銳角三角形時，如圖3-2所示，當△ABC時鈍角三角形時，兩種情況討論求解即可．【小問1詳解】解：①，理由如下：∵四邊形ABCD是矩形，∴，∴∠MDE=∠ANE，∠DME=∠NAE，在△MDE和△ANE中，，∴△MDE≌△ANE（ASA），∴ME=AE，∴；②∵四邊形ABCD是矩形，∴∠DAN=90°，AB=CD=4，，∵M是CD的中點，∴，，又∵，∴，∴；【小問2詳解】解：如圖2-1所示，當△ABC是銳角三角形時，重疊部分即為△CDQ，∵D是AB的中點，∴，，∵重疊部分的面積為面積的，∴，∴Q為BD的中點，∴，由折疊的性質(zhì)可得，，過點D作DF⊥BC于F，∴，∵點到直線距離垂線段最短，過直線外一點有且只有一條線段與已知直線垂直，∴Q與F點重合，即DQ⊥CE，在Rt△ACQ中，，∴，

如圖3-2所示，當△ABC時鈍角三角形時，重疊部分為△CDQ，同理可證Q為BC的中點，Q為DE的中點，又∵D為AB的中點，∴DQ是△ABC的中位線，，∴，，∴，過點C作CF⊥AB于F，∴，∴，綜上所述，或．

【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定、矩形的性質(zhì)、三角形中線的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、含30度角的直角三角形的性質(zhì)、點到直線的距離、三角形面積、三角形中位線定理等等，熟知三角形中線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10.（2022運城二模）閱讀下列材料，并按要求解答相關(guān)問題：【思考發(fā)現(xiàn)】根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，我們可以推出“如果一條定邊所對的角始終為直角，那么所有滿足條件的直角頂點組成的圖形是以定邊為直徑的圓或圓?。ㄖ睆降膬蓚€端點除外）”這一正確的結(jié)論．如圖1，若AB是一條定線段，且，則所有滿足條件的直角頂點P組成的圖形是定邊AB為直徑的（直徑兩端點A、B除外）（1）已知：如圖2，四邊形ABCD是邊長為8的正方形，點E從點B出發(fā)向點C運動，同時點F從點C出發(fā)以相同的速度向點D運動，連接AE，BF相交于點P．①當點E從點B運動到點C的過程中，的大小是否發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請說明理由；若不發(fā)生變化，請直接寫出的度數(shù)．②當點E從點B運動到點C的過程中，點P運動的路徑是（）A.線段；B.??；C.半圓；D.圓③點P運動的路經(jīng)長是_____．（2）已知：如圖3，在圖2的條件下，連接CP，請直接寫出E、F運動過程中，CP的最小值．【答案】（1）①90°；②B；③2π；（2）【解析】【分析】（1）①由題意可得△ABE≌△BCF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得=90°始終成立；②根據(jù)題目所給材料可以推得點P運動的路徑是一條以AB為直徑的圓?。虎鄹鶕?jù)弧長公式計算即可；（2）設(shè)AB的中點為O，連接OC，與⊙O交于點Q，則CQ的長度即為所求CP的最小值．【小問1詳解】①如圖，由題意可得在△ABE和△BCF中，AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，BE=CF，∴△ABE≌△BCF，∴∠BAE=∠CBF，∴∠BEA+∠CBF=∠BEA+∠BAE=90°，∴∠APB=90°；②∵E、F剛出發(fā)時，P點即點B，E、F到達終點時，P點即AC與BD的交點G，∴由題中所給材料可以得到：當點E從點B運動到點C過程中，點P運動的路徑是以AB為直徑的劣弧BG，但不是半圓或圓，故選B；③設(shè)AB的中點為O，則⊙O半徑為4，劣弧BG所對圓心角為90°，∴劣弧BG長度為；【小問2詳解】如圖，連接OC，與⊙O交于點Q，則CQ的長度即為所求CP的最小值，由勾股定理可得：OC=，∴CQ=OC-OQ=，即E、F運動過程中，CP的最小值為．【點睛】本題考查圓的綜合應用，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)、新定義下的解題方法、圓的弧長計算公式、勾股定理的應用及點與圓的位置關(guān)系是解題關(guān)鍵．11.（2022河南虞城二模）思考題：如圖，正方形中，點P為上一個動點，點B關(guān)于的對稱點為點M，的延長線交的延長線于點Q，點E為的中點，連接，過點D作交的延長線于點F，連接，求證：≌．在分析過程中，小明找不到解題思路，便和同學們一起討論，以下是討論過程：小紅：可以得出；理由：連接，點M和點B關(guān)于對稱，∴，又∵，∴，∵點E為的中點，∴；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．①①小亮：是等腰直角三角形；理由：由小紅的結(jié)論得，∴，，∴；∵，∴，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．②②∴是等腰直角三角形；小明：我好像知道該怎么解決問題了．請仔細閱讀討論過程，完成下述任務．任務：（1）小紅的討論中①的依據(jù)是_______________，小亮的討論中②的依據(jù)是_______________；（2）請幫小明證明≌；拓展研究：（3）若，連接，直接寫出的最小值．【答案】（1）等腰三角形的三線合一；兩直線平行，同位角相等；（2）證明見解析；（3）．【解析】【分析】（1）根據(jù)等腰三角形性質(zhì)和平行線性質(zhì)求解即可；（2）由小紅的證明方法可證得，小亮的證明方法可證得是等腰直角三角形，再由正方形的邊相等，可得AD=CD，同角的余角相等，即可證明；（3）由圓周角所對的弦是直徑可知：點E在以為直徑的⊙上運動，求的最小值為求點A到⊙的最小距離，則可知當點A，E，O在同一直線上時，最小，再用勾股定理即可求解．【小問1詳解】證明：連接，點M和點B關(guān)于對稱，∴，又∵，∴，∵點E為的中點，∴（等腰三角形三線合一）；由小紅的結(jié)論得，∴，，∴，∵，∴，（兩直線平行，同位角相等）故小紅的討論中①的依據(jù)是等腰三角形的三線合一，小亮的討論中②的依據(jù)是兩直線平行，同位角相等；【小問2詳解】證明：在正方形中，，，連接，由點B與點M關(guān)于對稱知，又∵，∴．∵點E為的中點，∴，又∵，∴，又∵，∴，由點B與點M關(guān)于對稱及為等腰三角形，且為頂角平分線知：，則，又∵，∴，∴，由，，知≌；【小問3詳解】如圖：在正方形中，，，∴點E在以為直徑的⊙上運動，求的最小值為求點A到⊙O的最小距離，當點A，E，O在同一直線上時，最小，，．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，對稱的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，圓的相關(guān)性質(zhì)，圓周角所對的弦是直徑，勾股定理等知識，綜合掌握和運用相關(guān)知識點是解題關(guān)鍵．12.（2022河南商水二模）感知：數(shù)學課上，老師給出了一個模型：如圖1，點在直線上，且，像這種一條直線上的三個頂點含有三個相等的角的模型我們把它稱為“一線三等角”模型．（1）如圖2，中，，，直線經(jīng)過點，過作于點，過作于點．求證：；（2）如圖3，在中，是上一點，，，，，求點到邊的距離；（3）如圖4，在中，為邊上的一點，為邊上的一點．若，，，求的值．【答案】（1）見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)“AAS”證明即可；（2）過作于點，過作交延長線于點，可根據(jù)“AAS”證即可求解；（3）過作交的延長線于點，可得，由平行四邊形ABCD易證，故，由相似三角形的性質(zhì)可求．【小問1詳解】證明：∵，，∴