矢量分析與場論知識點歸納

《矢量分析與場論》知識點歸納

標量、矢量和張量▎標量Scalar-heatandmassarescalars只具有數(shù)值大?。╩agnitude），而沒有方向（direction）的量，稱為“標量”。例如，質(zhì)量、密度、溫度、速率、體積、時間和熱量等物理量。無論選取什么坐標系，標量的數(shù)值恒保持不變。標量間的運算遵循一般的代數(shù)法則。▎矢量Vector-Heatandmassfluxesarevectors又被稱為“向量”。有些物理量physicalquantities，是由數(shù)值大小magnitude和方向direction二者共同確定的，這些物理量被稱為“向量”。例如，速度、加速度、位移、力、沖量、動量和磁場強度等都是矢量。向量間的運算并不遵循一般的代數(shù)法則，在相加減時它們遵從幾何運算法則。▎張量Tensor-momentumfluxisatensor以二階張量為例，其不僅具有數(shù)值大小，而且具有兩個方向。流體力學中作用在流體元上的應力場即為二階張量。零階張量（r=0）為標量；一階張量（r=1）為向量；二階張量（r=2）則成為矩陣。點積、叉積和混合積▎點積DotProduct點積，又被稱為向量的內(nèi)積或數(shù)量積。求得的結(jié)果是一個數(shù)。向量a·向量b=|a||b|cos<a,b>。在物理學中，已知力與位移求功，實際上就是求向量F與向量s的內(nèi)積，要用點乘。點積的幾何意義：向量a到向量b的投影。這在論述上有一定的問題，應該說成向量a在單位向量b上的投影。點積的力學意義：一物體在力F的作用下，沿直線AB移動了S，F(xiàn)與AB的夾角為

α，如下圖，則力對物體做的功為▎叉乘Cross

Product叉乘，又被稱為向量的外積、向量積。求得的結(jié)果是一個向量，記這個向量為c。向量c的模可表示為|向量c|=|向量a×向量b|=|a||b|sin<a,b>。向量c的方向與向量a和b所在的平面垂直，且方向要用“右手法則”判斷（用右手的四指先表示向量a的方向，然后手指朝著手心的方向擺動到向量b的方向，大拇指所指的方向就是向量c的方向）。因此，向量的外積不遵守乘法交換率，因為向量a×向量b=-向量b×向量a在物理學中，已知力與力臂求力矩，就是向量的外積，即叉乘。為了解決已知兩有向線段，求已他們?yōu)猷忂叺钠叫兴倪呅蔚拿娣e的問題，引入了叉積，(叉乘的意義也正在與此)。物理意義：力矩，如下圖，O為一根杠桿L的支點，有一個力F作用在其上點P處，F(xiàn)與OP的夾角為θ，由力學規(guī)定，力F對支點O的力矩是一個向量M，它的模是叉積模的幾何意義：表示以向量a和向量b為鄰邊的平行四邊形的面積。▎混合積MixedProduct已知三個向量a，b和c，數(shù)量(a×b)·c被稱為這三個向量的混合積。向量混合積的幾何意義：它是一個數(shù)，它的絕對值表示以向量a，b和c為棱的平行六面體的體積。方向?qū)?shù)和梯度▎方向?qū)?shù)

DirectionalDerivative方向?qū)?shù)?u/?l是指在一點M0處沿方向l，函數(shù)u(M)對距離的變化率。▎梯度Gradient梯度問題可以認為是將一維的斜度擴展到了三維的梯度。在向量微積分中，標量場的梯度是一個向量場。標量場中某一點上的梯度指向標量場增長最快的方向，梯度的長度是這個最大的變化率，即方向?qū)?shù)最大值。在單變量的實值函數(shù)的情況，梯度只是導數(shù)，或者，對于一個線性函數(shù)，也就是線的斜率。梯度一詞有時用于斜度，也就是一個曲面沿著給定方向的傾斜程度?？梢酝ㄟ^取向量梯度和所研究的方向的點積來得到斜度。梯度的數(shù)值有時也被成為梯度。梯度運算的對象是標量，運算出來的結(jié)果會是向量。由梯度給出全微分：哈密爾頓算子和拉普拉斯算子▎哈密爾頓算子▽

HamiltonianOperator哈密爾頓算子的定義為：設u=u(x,

y,

z)，則：注意：u為標量場。設：注意：A為矢量場。則：此時，高斯公式和斯托克斯公式可分別寫成：▎拉普拉斯算子LaplaceOperator其中：稱之為拉普拉斯算子。散度▎散度Divergence散度的運算對象是向量，運算出來的結(jié)果是標量。散度是標量，物理意義為通量源密度，可以從高斯公式里理解。散度為零，說明是無源場；散度不為零時，則說明是有源場（有正源或負源）。散度的數(shù)學定義：在連續(xù)可微的矢量場A中，對于包含某一點(x,

y,

z)的小體積ΔV，其閉合曲面為S，定義矢量場A通過S的凈通量與ΔV之比的極限：為矢量場A在該點的散度

(divergenceof

A)。環(huán)量和旋度▎環(huán)量Circulation環(huán)量的定義：設有矢量場A(M)，則沿場中某一封閉的有向曲線l的曲線積分叫做次矢量按積分所取方向曲線l的環(huán)量。▎旋度Curl旋度的運算對象是向量，運算出來的結(jié)果是向量。旋度是矢量；其物理意義為環(huán)量密度，可以從斯托克斯公式里理解。旋度為零，說明是無旋場；旋度不為零時，則說明是有旋場。物質(zhì)導數(shù)▎物質(zhì)導數(shù)

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