淺談“一題多解和多題一解”在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用 論文

教學(xué)中的運(yùn)用摘 趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生積極性，引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，鼓勵(lì)學(xué)生的創(chuàng)造性思維.一題多解率，中的運(yùn)用.關(guān)鍵詞：一題多解，多題一解，課堂教學(xué)，數(shù)學(xué)能力引 言指出其中一個(gè)原因，那就是近些年在基礎(chǔ)教育中頗為流行的“變式教學(xué)”.“一題多解和多題一解”更加具體的詮釋了我們?cè)谌粘?shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)該怎么樣去變，怎么樣把這種教學(xué)模式的優(yōu)勢(shì)轉(zhuǎn)化成學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的優(yōu)勢(shì).一．一題多解的教學(xué)運(yùn)用系去解決同一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，是為“一題多解”.一題多解能快速整合所學(xué)知識(shí)，能培養(yǎng)學(xué)生細(xì)致的觀察力、豐富的聯(lián)想力和創(chuàng)造性的思維能力.1.一題多解之通法與特法性格，知識(shí)架構(gòu)，思維方式的不同，導(dǎo)致學(xué)生解決問(wèn)題的方法也千差萬(wàn)別.題的時(shí)候其實(shí)可以從特法中尋求通法的思路.例題1，方程組的解滿足x+y=0，求a的值.a看成常數(shù)用a表示x和y,其后把x,y代入x+y=0解關(guān)于a的方程.解法二：直接把兩個(gè)方程相加得4(x+y)=2+2a,得2+2a=0.x或y的系數(shù)可能解法二就不適用了，但解法一仍然可以使用.前者是通法，后者是特法.但二者并不孤立存在，而是相輔相成.這就是由一般到特殊，再?gòu)奶厥獾揭话愕膶W(xué)習(xí)方法.例題2（17年合肥瑤海區(qū)三模第23題第3線的交點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心.過(guò)I作直線交AB于M，交AC于N.AI交BC于D.11 若∠BAC=60°,AI=4,求AMA

AN的值. A30303030NMI3030NICB解法一：

B圖1圖2 的取值與如圖11 的取值與AM ANAI垂直MN,構(gòu)造出含有30°角的直角三角形，此時(shí)AI亦平分MN.所以AMAN 81所以AMAN , , .雖然這種“特值3AM AN

8 AM AN 4有30°角的直角角形.解法二：如圖3，作IE,IF⊥AB,AC于點(diǎn)E,F.NG⊥AB于點(diǎn)G.設(shè)AM=x,AN=y,IE=IF=2,NG3y,S2

AMI

x,S

ANI

y,S

AMI

SANI

xy,同時(shí)S

AMN

＝1AM21x

3y3xy.xy3xy,所以113.2 2 4

4 x y 4解法三：如 圖 4， 作 ME,NF⊥ AD于 點(diǎn) E,ME1x,NF1y,IEIAAE43x,2 2 21x

43xIFAFAI3yMEIE

2 ,整理可得113.2 NF IF

1y 3y423023030EMINFB

x y 4A303030FEMINCB圖3圖4例題1和例題2的多種解法之間蘊(yùn)含著特殊和一般的深刻哲理關(guān)系，和學(xué)生一道去感悟，體會(huì)一題多解的美妙之處.2.一題多解之思維發(fā)散要求學(xué)生有求簡(jiǎn)意識(shí)，敢于質(zhì)疑.這樣才能達(dá)到優(yōu)化學(xué)生思維品質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維及聯(lián)想能力的目的.例題3（2013分別是銳角△ABC中邊上的高線，垂足為DE，則△AED與△ABC能相似嗎？說(shuō)說(shuō)你的EDBEDBOCADEB DE圖5 圖6證法一：證法二：如圖6，以BC中點(diǎn)O為圓心OD為半徑作圓，則點(diǎn)D,E,C,B均在⊙O上，由圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)可得∠AED＝∠ABC又∵∠A＝∠A，∴△AED∽△ABC證法一證明了兩次相似，能從較多的相似三角形中分離出我們所需要的信圖中共有幾對(duì)相似三角形從而加深對(duì)“雙高圖”的認(rèn)識(shí).證法二是建立在學(xué)生掌解法，感受了知識(shí)點(diǎn)的聯(lián)系，同時(shí)也復(fù)習(xí)了圓的相關(guān)知識(shí).例題4（2017武漢）已知一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)為5,7,8,求其內(nèi)切圓的半徑.解法一：如圖7，設(shè)內(nèi)切圓半徑為r,作AD⊥BC于點(diǎn)D,設(shè)BD=x,CD=5-x則82x272(5x)2，解得 x=4所以 AD＝1

43，

SABC

10

3又∵SABC

SAOCSBOCSAOB∴10

3= (abc)r10r，r=3.2解法二：海倫－秦九韶公式S

ABC

p(pa)(pb)(pc),(其中pabc)2∴SABC

10

3，從而r=38，設(shè)OD=OC=OF=r,直接利用經(jīng)驗(yàn)，7所對(duì)的角是60°，即∠3ABC=60°由切線長(zhǎng)定理可知∠DBO=∠EBO=30°∴BD=BE=

3r，AE＝AF=8

3r,CD=CF=5

3r,又∵AF+CF＝7∴8A

3r+5

3r＝7，解得r=3.A87EF87EFB C5 D圖7圖8解法一和解法二都用到了三角形的內(nèi)切圓面積與三角形三邊的關(guān)系，即1SABC

(abc)r2九韶公式的強(qiáng)大.解法三則基于三個(gè)“明星三角形”當(dāng)中的一個(gè).（它們的邊長(zhǎng)分別是3,5,7;5,7,8;和3,7,8.第一個(gè)三角形7所對(duì)的角是120°,后面兩個(gè)三角形7所對(duì)的角都是60°.它們的特殊之處就在于邊長(zhǎng)為整數(shù)，角又是特殊角，所以自然而然也就成為了老師們出題的首選）顯而易見(jiàn)，一題多解的教學(xué)極大地開闊的魅力所在.二．多題一解的教學(xué)運(yùn)用同一種數(shù)學(xué)思想方法解決不同的數(shù)學(xué)問(wèn)題我們稱之為“多題一解”.經(jīng)過(guò)間內(nèi)在的聯(lián)系。1.多題一解之模型教學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)明確提出要注重學(xué)生的模型建立和使用意識(shí).模型教學(xué)的使用能夠有效避免數(shù)學(xué)課堂的枯燥乏味,讓課堂變得高效，生動(dòng).例題5.平面內(nèi)互不重合的n條直線最多有幾個(gè)交點(diǎn)？

2 用.我們只要掌握它的實(shí)際含義，注意對(duì)比聯(lián)想，會(huì)收到意想不到的效果.比如一個(gè)班級(jí)有n名同學(xué)，要求每?jī)蓚€(gè)同學(xué)之間都通一次電話，那么這個(gè)班級(jí)共通了2 次電話.在此基礎(chǔ)之上，我們可以演變出握手問(wèn)題，送賀卡問(wèn)題，籃球小-"組賽問(wèn)題等一系列的問(wèn)題.可見(jiàn)

"2 這個(gè)模型的作用真的是非同一般.例題年安徽第10ABCD動(dòng)點(diǎn)P滿足S△PAB=S矩形P到兩點(diǎn)距離之和PA+PB的最小值. 圖9圖10圖11②如圖10，Rt△OAB，∠BAO=90°，∠B=60°，OA=6，點(diǎn)C是OA邊上一點(diǎn)，OC=1，點(diǎn)P為斜邊OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PA+PC的最小值為③如圖11，圓柱形容器高14cm，底面圓的周長(zhǎng)為24cm，在杯子內(nèi)壁最底端B2cm的A處，點(diǎn)A與點(diǎn)BA處到達(dá)內(nèi)壁B處的最短距離．作為安徽17年選擇題的壓軸題，第①題當(dāng)時(shí)確實(shí)難住了不少的學(xué)生.我15名同學(xué)做錯(cuò)了這題，而這15名同學(xué)中有14名同學(xué)不知道它就是我們的老朋友“將軍飲馬”模型，在告訴他們這是“將軍飲馬”模型之后幾乎都能獨(dú)立完成這道題.這說(shuō)明模型的識(shí)別和應(yīng)用對(duì)于解題的作用之大.緊接著我再拋出②③兩道題目，相信學(xué)生一定感悟頗深.“一線三等角”等等.這里的“一解”指的是應(yīng)該是思想方法上的統(tǒng)一，在這多轉(zhuǎn)化問(wèn)題的能力.2.多題一解之思維集中例題是△ABC內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠PAB=∠PBC，求線段CP長(zhǎng)的最小值.記得參考答案是這樣寫的：∵∠PAB=∠PBC，∴∠PAB+∠PBA=∠PBC+∠PBA=90°所對(duì)邊ABP在以AB為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，如圖13，∴當(dāng)點(diǎn)P在CO連線段上時(shí)，CP最短

32425，∴CP最小值為5-3=2.圖12 圖13這種解法如果照搬交給學(xué)生是不太負(fù)責(zé)任的，因?yàn)檫@種解法并沒(méi)有揭示這道題的本質(zhì)，下次再碰到類似的題學(xué)生會(huì)的可能性不大.比如下面兩道例題：例題8.（2017P為△ABC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠PAB=∠ACP，求線段PB長(zhǎng)度的最小值.例題9.（2017的半徑為P為優(yōu)弧AB上一動(dòng)點(diǎn)，AC⊥AP交直線PB于點(diǎn)C，求△ABC的最大面積.﹒OA圖14 圖15 圖16把例題一起拋給學(xué)生，它們的本質(zhì)終于浮出水面，我們的思維應(yīng)該AB的同一側(cè)的一點(diǎn)是一個(gè)定角，那么滿足條件的點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是什么？在點(diǎn)P的軌跡上的無(wú)數(shù)根本上解決此類型的問(wèn)題.（例題7定邊是AB=6,定角∠P=90°,如果教學(xué)時(shí)說(shuō)以AB為直徑作圓，會(huì)給學(xué)生以誤導(dǎo)，應(yīng)該更正為作△ABP的外接圓,點(diǎn)P的軌跡為半圓8的定邊是AC=2,定角為∠P=120°，作△ACP的外接圓,點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡為劣弧AC；例題8定邊是AB=2,定角為∠C=60°，作△ABC的外接圓,點(diǎn)C的軌跡為優(yōu)弧AB）定邊對(duì)定角問(wèn)題的解題步驟大至如下：①找到定邊和定角,并過(guò)線段的兩個(gè)端點(diǎn)，以及定邊所對(duì)定角的一個(gè)角的頂點(diǎn)做三角形的外接圓.②找到滿足條件的動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，并求出三角形外接圓的半徑③根據(jù)需要找到符合條件的動(dòng)點(diǎn)，并求出最值（最大值或最小值）.三．教學(xué)中一題多解和多題一解的關(guān)系及教學(xué)建議1.教學(xué)聯(lián)系“一題多解”注重培養(yǎng)解題方法，“多題一解”講究題目的設(shè)置.前者開闊養(yǎng)創(chuàng)造性思維的有效途徑.數(shù)題目：例題10（2017BC上方的拋物線上是否存在一點(diǎn)P（不與重合），使得△BPC的面積最大？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)和△BPC的最大面積；若不存在，說(shuō)明理由．y6yC35P42CPC3P1E2–3–2 –1AO–112B3H4x1BEA–3–2–1AO12B34x–2–1–2圖17圖18圖19本題可以采用設(shè)點(diǎn)法，如圖17，作PE平行于y軸交BC于點(diǎn)E即E（m，﹣m+3），P（m，﹣m2+2m+3），用m表示△BPC的面積;也可以采用平移法，如圖18，即當(dāng)直線BC向上平移并和拋物線有唯一交點(diǎn)P時(shí)即為所求;還可以直接利用“xP

=1(x2

B)?

PE最大?”的結(jié)論來(lái)解題.但如果我們作PH⊥BC交BC于點(diǎn)H,如圖19，線段PE最大同樣會(huì)導(dǎo)致在直線PE左最大.稍做思考不難發(fā)現(xiàn)，PE面積最x=1(x

)

P 2 B C.養(yǎng)成科學(xué)的數(shù)學(xué)思維．2.教學(xué)建議(1)選題原則過(guò)于簡(jiǎn)單。過(guò)于復(fù)雜會(huì)挫傷學(xué)生的積極性，太過(guò)簡(jiǎn)單學(xué)生就沒(méi)有興趣.保持學(xué)生的興趣和積無(wú)意義。(2)一切從教學(xué)目標(biāo)出發(fā)教師要以完成課堂教學(xué)目標(biāo)為根本，根據(jù)學(xué)生和教材制定合適的“一題多教