初一數(shù)學(xué)下冊相交線與平行線測試題(含答案)-(一)

一、選擇題1．如圖，已知，為平行線之間一點(diǎn)連接，，為上方一點(diǎn)，連接，，為延長線上一點(diǎn)．若，分別平分，，則與的數(shù)量關(guān)系為（）．A． B．C． D．2．①如圖1,AB∥CD,則∠A+∠E+∠C=180°；②如圖2,AB∥CD,則∠E=∠A+∠C;③如圖3,AB∥CD,則∠A+∠E－∠1=180°；④如圖4,AB∥CD,則∠A=∠C+∠P.以上結(jié)論正確的個數(shù)是()A．、1個 B．2個 C．3個 D．4個3．如圖，,點(diǎn)E是邊DC上一點(diǎn)，連接AE交BC的延長線于點(diǎn)H，點(diǎn)F是邊AB上一點(diǎn)，使得，作的角平分線交BH于點(diǎn)G，若，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．4．如圖，，于F，，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．5．如圖，已知AB∥CD,EF∥CD，則下列結(jié)論中一定正確的是()A．∠BCD=∠DCE; B．∠ABC+∠BCE+∠CEF=360;C．∠BCE+∠DCE=∠ABC+∠BCD; D．∠ABC+∠BCE-∠CEF=180.6．如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，P為直線AB上一動點(diǎn)，連接PC，則線段PC的最小值是（）A．3 B．2.5 C．2.4 D．27．如圖，C為的邊OA上一點(diǎn)，過點(diǎn)C作交的平分線OE于點(diǎn)F，作交BO的延長線于點(diǎn)H，若，現(xiàn)有以下結(jié)論：①；②；③；④．結(jié)論正確的個數(shù)是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個8．如圖，直線，點(diǎn)在直線上，下列結(jié)論正確的是（）A． B．C． D．9．如果兩個角的兩邊分別平行，而其中一個角比另一個角的3倍少20°，那么這兩個角是（）A．50°、130° B．都是10°C．50°、130°或10°、10° D．以上都不對10．如圖，已知AB∥CD∥EF，則∠、∠、∠三者之間的關(guān)系是()A．° B．°C．° D．二、填空題11．如圖，直線MN∥PQ，點(diǎn)A在直線MN與PQ之間，點(diǎn)B在直線MN上，連結(jié)AB．∠ABM的平分線BC交PQ于點(diǎn)C，連結(jié)AC，過點(diǎn)A作AD⊥PQ交PQ于點(diǎn)D，作AF⊥AB交PQ于點(diǎn)F，AE平分∠DAF交PQ于點(diǎn)E，若∠CAE=45°，∠ACB=∠DAE，則∠ACD的度數(shù)是_____．12．如圖，a∥b，∠2＝∠3，∠1＝40°，則∠4的度數(shù)是______度．13．如圖，四邊形ABCD的長條形紙帶，AB//CD，將長方形沿EF折疊，A、D分別于A’、D'對應(yīng)，若∠CFE=2∠CFD'，則∠AEF的度數(shù)是___．14．如圖，已知，，，，則的度數(shù)是__________．15．如圖，已知，平分，，且，則的度數(shù)為______．16．已知：如圖，平分，，，，則___．17．如圖，在長方形中，，，將長方形沿著方向平移得到長方形．若是正方形，則四邊形的周長是______．18．如圖，直線，與直線,分別交于，，與直線，分別交于，，若，，則_________度．19．一副三角板按如圖所示（共定點(diǎn)A）疊放在一起，若固定三角板ABC，改變?nèi)前錋DE的位置（其中A點(diǎn)位置始終不變），當(dāng)∠BAD＝___°時，DE∥AB．20．如圖，將一條對邊互相平行的紙帶進(jìn)行兩次折疊，折痕分別為AB，CD．若CD∥BE，∠1＝28°，則∠2的度數(shù)是______．三、解答題21．已知：ABCD．點(diǎn)E在CD上，點(diǎn)F，H在AB上，點(diǎn)G在AB，CD之間，連接FG，EH，GE，∠GFB＝∠CEH．（1）如圖1，求證：GFEH；（2）如圖2，若∠GEH＝α，F(xiàn)M平分∠AFG，EM平分∠GEC，試問∠M與α之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系（用含α的式子表示∠M）？請寫出你的猜想，并加以證明．22．已知直線AB//CD，點(diǎn)P、Q分別在AB、CD上，如圖所示，射線PB按逆時針方向以每秒12°的速度旋轉(zhuǎn)至PA便立即回轉(zhuǎn)，并不斷往返旋轉(zhuǎn)；射線QC按逆時針方向每秒3°旋轉(zhuǎn)至QD停止，此時射線PB也停止旋轉(zhuǎn)．（1）若射線PB、QC同時開始旋轉(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)時間10秒時，PB'與QC'的位置關(guān)系為；（2）若射線QC先轉(zhuǎn)15秒，射線PB才開始轉(zhuǎn)動，當(dāng)射線PB旋轉(zhuǎn)的時間為多少秒時，PB′//QC′．23．已知：直線AB∥CD，M，N分別在直線AB，CD上，H為平面內(nèi)一點(diǎn)，連HM，HN．（1）如圖1，延長HN至G，∠BMH和∠GND的角平分線相交于點(diǎn)E．求證：2∠MEN﹣∠MHN＝180°；（2）如圖2，∠BMH和∠HND的角平分線相交于點(diǎn)E．①請直接寫出∠MEN與∠MHN的數(shù)量關(guān)系：；②作MP平分∠AMH，NQ∥MP交ME的延長線于點(diǎn)Q，若∠H＝140°，求∠ENQ的度數(shù)．（可直接運(yùn)用①中的結(jié)論）24．已知直線，點(diǎn)P為直線、所確定的平面內(nèi)的一點(diǎn)．（1）如圖1，直接寫出、、之間的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖2，寫出、、之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（3）如圖3，點(diǎn)E在射線上，過點(diǎn)E作，作，點(diǎn)G在直線上，作的平分線交于點(diǎn)H，若，，求的度數(shù)．25．直線AB∥CD，點(diǎn)P為平面內(nèi)一點(diǎn)，連接AP，CP．（1）如圖①，點(diǎn)P在直線AB，CD之間，當(dāng)∠BAP＝60°，∠DCP＝20°時，求∠APC的度數(shù)；（2）如圖②，點(diǎn)P在直線AB，CD之間，∠BAP與∠DCP的角平分線相交于K，寫出∠AKC與∠APC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）如圖③，點(diǎn)P在直線CD下方，當(dāng)∠BAK＝∠BAP，∠DCK＝∠DCP時，寫出∠AKC與∠APC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【參考答案】***試卷處理標(biāo)記，請不要刪除一、選擇題1．B解析：B【分析】過點(diǎn)作，過點(diǎn)作，則，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，，，即可得出結(jié)論．【詳解】解：過點(diǎn)作，過點(diǎn)作，，，，，，分別平分，，，，，，，，，，，，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，鄰補(bǔ)角的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；兩直線平行，內(nèi)錯角相等．2．C解析：C【詳解】①如圖1，過點(diǎn)E作EF∥AB，因為AB∥CD，所以AB∥EF∥CD，所以∠A+∠AEF=180°，∠C+∠CEF=180°，所以∠A+∠AEC+∠C=∠A+∠AEF+∠C+∠CEF=180°+180°=360°，則①錯誤；②如圖2，過點(diǎn)E作EF∥AB，因為AB∥CD，所以AB∥EF∥CD，所以∠A=∠AEF，∠C=∠CEF，所以∠A+∠C=∠AEC+∠AEF=∠AEC，則②正確；③如圖3，過點(diǎn)E作EF∥AB，因為AB∥CD，所以AB∥EF∥CD，所以∠A+∠AEF=180°，∠1=∠CEF，所以∠A+∠AEC-∠1=∠A+∠AEC-∠CEF=∠A+∠AEF=180°，則③正確；④如圖4，過點(diǎn)P作PF∥AB，因為AB∥CD，所以AB∥PF∥CD，所以∠A=∠APF，∠C=∠CPF，所以∠A=∠CPF+∠APC=∠C+∠APC，則④正確；故選C.3．B解析：B【分析】AD∥BC，∠D=∠ABC，則AB∥CD，則∠AEF=180°-∠AED-∠BEG=180°-2β，在△AEF中，100°+2α+180°-2β=180°，故β-α=40°，即可求解．【詳解】解：設(shè)FBE=∠FEB=α，則∠AFE=2α，∠FEH的角平分線為EG，設(shè)∠GEH=∠GEF=β，AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD=180°，而∠D=∠ABC，∴∠D+∠BAD=180°，∴AB∥CD，∠DEH=100°，則∠CEH=∠FAE=80°，∠AEF=180°-∠FEG-∠BEG=180°-2β，在△AEF中，在△AEF中，80°+2α+180-2β=180°故β-α=40°，而∠BEG=∠FEG-∠FEB=β-α=40°，故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查平行線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是落腳于△AEF內(nèi)角和為180°，即100°+2α+180°-2β=180°，題目難度較大．4．B解析：B【分析】過點(diǎn)P作MN∥AB，結(jié)合垂直的定義和平行線的性質(zhì)求∠EPF的度數(shù)．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)P作MN∥AB，∵∠AEP=40°，∴∠EPN=∠AEP=40°∵AB∥CD,PF⊥CD于F，∴PF⊥MN，∴∠NPF=90∴∠EPF=∠EPN+∠NPF=40°+90°=130°故答案為B【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定定理和性質(zhì)，作出輔助線構(gòu)造平行線是解答本題的關(guān)鍵．5．D解析：D【解析】分析：根據(jù)平行線的性質(zhì)，找出圖形中的同旁內(nèi)角、內(nèi)錯角即可判斷.詳解：延長DC到H∵AB∥CD，EF∥CD∴∠ABC+∠BCH=180°∠ABC=∠BCD∠CE+∠DCE=180°∠ECH=∠FEC∴∠ABC+∠BCE+∠CEF=180°+∠FEC∠ABC+∠BCE-∠CEF=∠ABC+∠BCH+∠ECH-∠CEF=180°.故選D.點(diǎn)睛：此題主要考查了平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是熟記平行線的性質(zhì)：兩直線平行，內(nèi)錯角相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，同位角相等.6．C解析：C【分析】當(dāng)PC⊥AB時，PC的值最小，利用面積法求解即可．【詳解】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，∵當(dāng)PC⊥AB時，PC的值最小，此時：△ABC的面積＝?AB?PC＝?AC?BC，∴5PC＝3×4，∴PC＝2.4，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂線段最短和三角形的面積公式，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用面積法求高．7．D解析：D【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，結(jié)合角平分線的定義可判斷①；再由平角的定義可判斷②；由平行線的性質(zhì)可判斷③；由余角及補(bǔ)角的定義可判斷④．【詳解】解：，，，平分，，故①正確；，，，故②正確；，，，故③正確；，，，故④正確．正確為①②③④，故選:D．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，垂直的定義，靈活運(yùn)用平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．D解析：D【分析】根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)可得∠1＋∠AOF＝180°，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠3＝∠AOC，而通過∠AOF＝∠AOC-∠2，整理可得∠1＋∠3-∠2＝180°．【詳解】解：∵AB∥EF，∴∠1＋∠AOF＝180°，∵CD∥AB，∴∠3＝∠AOC，又∵∠AOF＝∠AOC?∠2=∠3-∠2，∴∠1＋∠3-∠2＝180°．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，從復(fù)雜圖形中找出內(nèi)錯角，同旁內(nèi)角是解題的關(guān)鍵．9．C解析：C【分析】首先由兩個角的兩邊分別平行，可得這兩個角相等或互補(bǔ)．然后設(shè)其中一角為x°，由其中一個角比另一個角的3倍少20°，然后分別從兩個角相等與互補(bǔ)去分析，即可求得答案，注意別漏解．【詳解】解：∵兩個角的兩邊分別平行，∴這兩個角相等或互補(bǔ)．設(shè)其中一角為x°，若這兩個角相等，則x＝3x﹣20，解得：x＝10，∴這兩個角的度數(shù)是10°和10°；若這兩個角互補(bǔ)，則180﹣x＝3x﹣20，解得：x＝50，∴這兩個角的度數(shù)是50°和130°．∴這兩個角的度數(shù)是50°、130°或10°、10°．故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的性質(zhì)與一元一次方程的解法．此題難度適中，解題的關(guān)鍵是掌握如果兩個角的兩邊分別平行，則這兩個角相等或互補(bǔ)，注意方程思想的應(yīng)用．10．B解析：B【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠CEF=180°-y，x=z+∠CEF，利用等量代換可得x=z+180°-y，再變形即可．【詳解】解：∵CD∥EF，∴∠C+∠CEF=180°，∴∠CEF=180°-y，∵AB∥CD，∴x=z+∠CEF，∴x=z+180°-y，∴x+y-z=180°，故選：B．二、填空題11．27°．【分析】延長FA與直線MN交于點(diǎn)K，通過角度的不斷轉(zhuǎn)換解得∠BCA=45°.【詳解】解：延長FA與直線MN交于點(diǎn)K，由圖可知∠ACD=90°-∠CAD=90°-(45°+∠EAD解析：27°．【分析】延長FA與直線MN交于點(diǎn)K，通過角度的不斷轉(zhuǎn)換解得∠BCA=45°.【詳解】解：延長FA與直線MN交于點(diǎn)K，由圖可知∠ACD=90°-∠CAD=90°-(45°+∠EAD)=45°-∠FAD=45°-(90°-∠AFD)=∠AFD，因為MN∥PQ，所以∠AFD=∠BKA=90°-∠KBA=90°-(180°-∠ABM)=∠ABM-90°，所以∠ACD=∠AFD=(∠ABM-90°)=∠BCD-45°，即∠BCD-∠ACD=∠BCA=45°，所以∠ACD=90°-(45°+∠EAD)=45°-∠EAD=45°-∠BCA=45°-18°=27°.故∠ACD的度數(shù)是：27°.【點(diǎn)睛】本題利用平行線、垂直、角平分線綜合考查了角度的求解.12．40【解析】試題分析：如圖，分別作a、b的平行線，然后根據(jù)a∥b，可得∠1=∠5，∠6=∠7，∠8=∠4，然后根據(jù)∠2=∠3，即∠5+∠6=∠7+∠8，然后由∠1=40°，可求得∠4=40°.解析：40【解析】試題分析：如圖，分別作a、b的平行線，然后根據(jù)a∥b，可得∠1=∠5，∠6=∠7，∠8=∠4，然后根據(jù)∠2=∠3，即∠5+∠6=∠7+∠8，然后由∠1=40°，可求得∠4=40°.故答案為：40.13．72゜【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)，由AB∥CD，得到∠CFE＝∠AEF，再根據(jù)翻折的性質(zhì)可得∠DFE＝∠D′FE，由平角的性質(zhì)可求得∠CFD′的度數(shù)，即可得出答案．【詳解】解：∵AB∥CD，解析：72゜【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)，由AB∥CD，得到∠CFE＝∠AEF，再根據(jù)翻折的性質(zhì)可得∠DFE＝∠D′FE，由平角的性質(zhì)可求得∠CFD′的度數(shù)，即可得出答案．【詳解】解：∵AB∥CD，∴∠CFE＝∠AEF，又∵∠DFE＝∠D′FE，∠CFE＝2∠CFD′，∴∠DFE＝∠D′FE＝3∠CFD′，∴∠DFE＋∠CFE＝3∠CFD′＋2∠CFD′＝180°，∴∠CFD′＝36°，∴∠AEF＝∠CFE＝2∠CFD′＝72°．故答案為：72°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，翻折變換等知識，熟練應(yīng)用平行線的性質(zhì)進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．14．【分析】連接AC，設(shè)∠EAF＝x，∠ECF＝y(tǒng)，∠EAB＝3x，∠ECD＝3y，根據(jù)平行線性質(zhì)得出∠BAC＋∠ACD＝180°，求出∠CAE＋∠ACE＝180°?（2x＋2y），求出∠AEC＝2解析：【分析】連接AC，設(shè)∠EAF＝x，∠ECF＝y(tǒng)，∠EAB＝3x，∠ECD＝3y，根據(jù)平行線性質(zhì)得出∠BAC＋∠ACD＝180°，求出∠CAE＋∠ACE＝180°?（2x＋2y），求出∠AEC＝2（x＋y），∠AFC═2（x＋y），即可得出答案．【詳解】解：連接AC，設(shè)∠EAF＝x，∠ECF＝y(tǒng)，∠EAB＝3x，∠ECD＝3y，∵AB∥CD，∴∠BAC＋∠ACD＝180°，∴∠CAE＋3x＋∠ACE＋3y＝180°，∴∠CAE＋∠ACE＝180°?（3x＋3y），∠FAC＋∠FCA＝180°?（2x＋2y）∴∠AEC＝180°?（∠CAE＋∠ACE）＝180°?[180°?（3x＋3y）]＝3x＋3y＝3（x＋y），∠AFC＝180°?（∠FAC＋∠FCA）＝180°?[180°?（2x＋2y）]＝2x＋2y＝2（x＋y），∴∠AEC＝∠AFC＝129°．故答案為：129°．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出三角形，利用三角形內(nèi)角和定理求解是解答此題的關(guān)鍵．15．140°【分析】延長DE交AB的延長線于G，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠D＝∠AGD，再根據(jù)兩直線平行，同位角相等可得∠AGD＝∠ABF，然后根據(jù)角平分線的定義得∠EBF＝∠ABF，再根據(jù)平解析：140°【分析】延長DE交AB的延長線于G，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠D＝∠AGD，再根據(jù)兩直線平行，同位角相等可得∠AGD＝∠ABF，然后根據(jù)角平分線的定義得∠EBF＝∠ABF，再根據(jù)平行線的性質(zhì)解答．【詳解】解：如圖，延長DE交AB的延長線于G，∵，∴∠D＝∠AGD＝40°，∵BFDE，∴∠AGD＝∠ABF＝40°，∵BF平分∠ABE，∴∠EBF＝∠ABF＝40°，∵BFDE，∴∠BED＝180°﹣∠EBF＝140°．故答案為：140°．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，熟記性質(zhì)并作輔助線是解題的關(guān)鍵．16．100°【分析】先由同位角相等，證得，進(jìn)而證得，再由平行線的性質(zhì)得出與的數(shù)量關(guān)系，然后由已知條件求得，最后用減去，即可求得答案．【詳解】解：，平分，故答案為：．【點(diǎn)睛解析：100°【分析】先由同位角相等，證得，進(jìn)而證得，再由平行線的性質(zhì)得出與的數(shù)量關(guān)系，然后由已知條件求得，最后用減去，即可求得答案．【詳解】解：，平分，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)判定定理與性質(zhì)定理．17．28【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)求出，再由長方形的周長公式求解即可．【詳解】解：由題意可知，四邊形是正方形，∴，，又∵長方形由長方形平移得到，∴∵∴四邊形的周長為：故答案為：28【點(diǎn)解析：28【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)求出，再由長方形的周長公式求解即可．【詳解】解：由題意可知，四邊形是正方形，∴，，又∵長方形由長方形平移得到，∴∵∴四邊形的周長為：故答案為：28【點(diǎn)睛】此題主要考查了平移的性質(zhì)，求出是解答此題的關(guān)鍵．18．131【分析】過點(diǎn)C作CH∥MN，根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠NEC即可．【詳解】解：過點(diǎn)C作CH∥MN，∵，∴CH∥PQ，∴，∵，∴，∵CH∥MN，∴,∴故答案為：131．解析：131【分析】過點(diǎn)C作CH∥MN，根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠NEC即可．【詳解】解：過點(diǎn)C作CH∥MN，∵，∴CH∥PQ，∴，∵，∴，∵CH∥MN，∴,∴故答案為：131．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)與判定，解題關(guān)鍵是恰當(dāng)作平行線，根據(jù)平行線的性質(zhì)進(jìn)行推理計算．19．30或150【分析】分兩種情況，根據(jù)ED∥AB，利用平行線的性質(zhì)，即可得到∠BAD的度數(shù)．【詳解】解：如圖1所示：當(dāng)ED∥AB時，∠BAD=∠D=30°；如圖2所示，當(dāng)ED∥AB時，∠D解析：30或150【分析】分兩種情況，根據(jù)ED∥AB，利用平行線的性質(zhì)，即可得到∠BAD的度數(shù)．【詳解】解：如圖1所示：當(dāng)ED∥AB時，∠BAD=∠D=30°；如圖2所示，當(dāng)ED∥AB時，∠D=∠BAD=180°，∵∠D=30°∴∠BAD=180°-30°=150°；故答案為：30°或150°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的判定，平行線的判定是由角的數(shù)量關(guān)系判斷兩直線的位置關(guān)系，平行線的性質(zhì)是由直線的平行關(guān)系來尋找角的數(shù)量關(guān)系．20．56°【分析】由折疊的性質(zhì)可得∠3＝∠1＝28°，從而求得∠4＝56°，再根據(jù)平行線的性質(zhì)定理求出∠EBD＝180°﹣∠4＝124°，最后再根據(jù)平行線性質(zhì)定理求出∠2＝56°．【詳解】解：如解析：56°【分析】由折疊的性質(zhì)可得∠3＝∠1＝28°，從而求得∠4＝56°，再根據(jù)平行線的性質(zhì)定理求出∠EBD＝180°﹣∠4＝124°，最后再根據(jù)平行線性質(zhì)定理求出∠2＝56°．【詳解】解：如圖，由折疊的性質(zhì)，可得∠3＝∠1＝28°，∴∠4＝∠1+∠3＝56°，∵CD∥BE，AC∥BD，∴∠EBD＝180°﹣∠4＝124°，又∵CD∥BE，∴∠2＝180°﹣∠CBD＝180°﹣124°＝56°．故答案為：56°．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)平行線的性質(zhì)找出圖中角度之間的關(guān)系．三、解答題21．（1）見解析；（2），證明見解析．【分析】（1）由平行線的性質(zhì)得到，等量代換得出，即可根據(jù)“同位角相等，兩直線平行”得解；（2）過點(diǎn)作，過點(diǎn)作，根據(jù)平行線的性質(zhì)及角平分線的定義求解即可．【詳解】（1）證明：，，，，；（2）解：，理由如下：如圖2，過點(diǎn)作，過點(diǎn)作，，，，，，同理，，平分，平分，，，，由（1）知，，，，，，．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟記平行線的判定與性質(zhì)及作出合理的輔助線是解題的關(guān)鍵．22．（1）PB′⊥QC′；（2）當(dāng)射線PB旋轉(zhuǎn)的時間為5秒或25秒或45秒時，PB′∥QC′【分析】（1）求出旋轉(zhuǎn)10秒時，∠BPB′和∠CQC′的度數(shù)，設(shè)PB′與QC′交于O，過O作OE∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)求得∠POE和∠QOE的度數(shù)，進(jìn)而得結(jié)論；（2）分三種情況：①當(dāng)0＜t≤15時，②當(dāng)15＜t≤30時，③當(dāng)30＜t＜45時，根據(jù)平行線的性質(zhì)，得出角的關(guān)系，列出t的方程便可求得旋轉(zhuǎn)時間．【詳解】解：（1）如圖1，當(dāng)旋轉(zhuǎn)時間30秒時，由已知得∠BPB′＝10°×12＝120°，∠CQC′＝3°×10=30°，過O作OE∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥OE∥CD，∴∠POE＝180°﹣∠BPB′＝60°，∠QOE＝∠CQC′＝30°，∴∠POQ＝90°，∴PB′⊥QC′，故答案為：PB′⊥QC′；（2）①當(dāng)0＜t≤15時，如圖，則∠BPB′＝12t°，∠CQC′＝45°+3t°，∵AB∥CD，PB′∥QC′，∴∠BPB′＝∠PEC＝∠CQC′，即12t＝45+3t，解得，t＝5；②當(dāng)15＜t≤30時，如圖，則∠APB′＝12t﹣180°，∠CQC'＝3t+45°，∵AB∥CD，PB′∥QC′，∴∠BPB′＝∠BEQ＝∠CQC′，即12t﹣180＝45+3t，解得，t＝25；③當(dāng)30＜t≤45時，如圖，則∠BPB′＝12t﹣360°，∠CQC′＝3t+45°，∵AB∥CD，PB′∥QC′，∴∠BPB′＝∠BEQ＝∠CQC′，即12t﹣360＝45+3t，解得，t＝45；綜上，當(dāng)射線PB旋轉(zhuǎn)的時間為5秒或25秒或45秒時，PB′∥QC′．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，第（1）題關(guān)鍵是作平行線，第（2）題關(guān)鍵是分情況討論，運(yùn)用方程思想解決幾何問題．23．（1）見解析；（2）①2∠MEN＋∠MHN＝360°；②20°【分析】（1）過點(diǎn)E作EP∥AB交MH于點(diǎn)Q，利用平行線的性質(zhì)、角平分線性質(zhì)、鄰補(bǔ)角和為180°，角與角之間的基本運(yùn)算、等量代換等即可得證．（2）①過點(diǎn)H作GI∥AB，利用（1）中結(jié)論2∠MEN﹣∠MHN＝180°，利用平行線的性質(zhì)、角平分線性質(zhì)、鄰補(bǔ)角和為180°，角與角之間的基本運(yùn)算、等量代換等得出∠AMH＋∠HNC＝360°﹣（∠BMH＋∠HND），進(jìn)而用等量代換得出2∠MEN＋∠MHN＝360°．②過點(diǎn)H作HT∥MP，由①的結(jié)論得2∠MEN＋∠MHN＝360°，∠H＝140°，∠MEN＝110°．利用平行線性質(zhì)得∠ENQ＋∠ENH＋∠NHT＝180°，由角平分線性質(zhì)及鄰補(bǔ)角可得∠ENQ＋∠ENH＋140°﹣（180°﹣∠BMH）＝180°．繼續(xù)使用等量代換可得∠ENQ度數(shù)．【詳解】解：（1）證明：過點(diǎn)E作EP∥AB交MH于點(diǎn)Q．如答圖1∵EP∥AB且ME平分∠BMH，∴∠MEQ＝∠BME＝∠BMH．∵EP∥AB，AB∥CD，∴EP∥CD，又NE平分∠GND，∴∠QEN＝∠DNE＝∠GND．（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）∴∠MEN＝∠MEQ＋∠QEN＝∠BMH＋∠GND＝（∠BMH＋∠GND）．∴2∠MEN＝∠BMH＋∠GND．∵∠GND＋∠DNH＝180°，∠DNH＋∠MHN＝∠MON＝∠BMH．∴∠DHN＝∠BMH﹣∠MHN．∴∠GND＋∠BMH﹣∠MHN＝180°，即2∠MEN﹣∠MHN＝180°．（2）①：過點(diǎn)H作GI∥AB．如答圖2由（1）可得∠MEN＝（∠BMH＋∠HND），由圖可知∠MHN＝∠MHI＋∠NHI，∵GI∥AB，∴∠AMH＝∠MHI＝180°﹣∠BMH，∵GI∥AB，AB∥CD，∴GI∥CD．∴∠HNC＝∠NHI＝180°﹣∠HND．∴∠AMH＋∠HNC＝180°﹣∠BMH＋180°﹣∠HND＝360°﹣（∠BMH＋∠HND）．又∵∠AMH＋∠HNC＝∠MHI＋∠NHI＝∠MHN，∴∠BMH＋∠HND＝360°﹣∠MHN．即2∠MEN＋∠MHN＝360°．故答案為：2∠MEN＋∠MHN＝360°．②：由①的結(jié)論得2∠MEN＋∠MHN＝360°，∵∠H＝∠MHN＝140°，∴2∠MEN＝360°﹣140°＝220°．∴∠MEN＝110°．過點(diǎn)H作HT∥MP．如答圖2∵M(jìn)P∥NQ，∴HT∥NQ．∴∠ENQ＋∠ENH＋∠NHT＝180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）．∵M(jìn)P平分∠AMH，∴∠PMH＝∠AMH＝（180°﹣∠BMH）．∵∠NHT＝∠MHN﹣∠MHT＝140°﹣∠PMH．∴∠ENQ＋∠ENH＋140°﹣（180°﹣∠BMH）＝180°．∵∠ENH＝∠HND．∴∠ENQ＋∠HND＋140°﹣90°＋∠BMH＝180°．∴∠ENQ＋（HND＋∠BMH）＝130°．∴∠ENQ＋∠MEN＝130°．∴∠ENQ＝130°﹣110°＝20°．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，鄰補(bǔ)角，等量代換，角之間的數(shù)量關(guān)系運(yùn)算，輔助線的作法，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵，本題綜合性較強(qiáng)．24．（1）∠A+∠C+∠APC=360°；（2）見解析；（3）55°【分析】（1）首先過點(diǎn)P作PQ∥AB，則易得AB∥PQ∥CD，然后由兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，即可證得∠A+∠C+∠APC=360°；（2）作PQ∥AB，易得AB∥PQ∥CD，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等，即可證得∠APC=∠A+∠C；（3）由（2）知，∠APC=∠PAB-∠PCD，先證∠BEF=∠PQB=110°、∠PEG=∠FEG，∠GEH=∠BEG，根據(jù)∠PEH=∠PEG-∠GEH可得答案．【詳解】解：（1）∠A+∠C+∠APC=360°如圖1所示，過點(diǎn)P作PQ∥AB，∴∠A+∠APQ=180°，∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠C+∠CPQ=180°，∴∠A+∠APQ+∠C+∠CPQ=360°，即∠A+∠C+∠APC=360°；（2）∠APC=∠A+∠C，如圖2，作PQ∥AB，∴∠A=∠APQ，∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠C=∠CPQ，∵∠APC=∠APQ-∠CPQ，∴∠APC=∠A-∠C；（3）由（2）知，∠APC=∠