2020-2021九年級(jí)培優(yōu)易錯(cuò)試卷二次函數(shù)輔導(dǎo)專題訓(xùn)練及答案解析

2020-2021九年級(jí)培優(yōu)易錯(cuò)試卷二次函數(shù)輔導(dǎo)專題訓(xùn)練及答案解析一、二次函數(shù)1．如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y=x2+（2k﹣1）x+k+1的圖象與x軸相交于O、A兩點(diǎn)．（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；（2）在這條拋物線的對(duì)稱軸右邊的圖象上有一點(diǎn)B，使△AOB的面積等于6，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（3）對(duì)于（2）中的點(diǎn)B，在此拋物線上是否存在點(diǎn)P，使∠POB=90°？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求出△POB的面積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）y=x2﹣3x。（2）點(diǎn)B的坐標(biāo)為：（4，4）。（3）存在；理由見解析；【解析】【分析】（1）將原點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線中即可求出k的值，從而求得拋物線的解析式。（2）根據(jù)（1）得出的拋物線的解析式可得出A點(diǎn)的坐標(biāo)，也就求出了OA的長(zhǎng)，根據(jù)△OAB的面積可求出B點(diǎn)縱坐標(biāo)的絕對(duì)值，然后將符合題意的B點(diǎn)縱坐標(biāo)代入拋物線的解析式中即可求出B點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)B點(diǎn)在拋物線對(duì)稱軸的右邊來(lái)判斷得出的B點(diǎn)是否符合要求即可。（3）根據(jù)B點(diǎn)坐標(biāo)可求出直線OB的解析式，由于OB⊥OP，由此可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，代入二次函數(shù)解析式可得出P點(diǎn)的坐標(biāo)．求△POB的面積時(shí)，求出OB，OP的長(zhǎng)度即可求出△BOP的面積?！驹斀狻拷猓海?）∵函數(shù)的圖象與x軸相交于O，∴0=k+1，∴k=﹣1?！噙@個(gè)二次函數(shù)的解析式為y=x2﹣3x。（2）如圖，過(guò)點(diǎn)B做BD⊥x軸于點(diǎn)D，令x2﹣3x=0，解得：x=0或3?！郃O=3?！摺鰽OB的面積等于6，∴AO?BD=6。∴BD=4?！唿c(diǎn)B在函數(shù)y=x2﹣3x的圖象上，∴4=x2﹣3x，解得：x=4或x=﹣1（舍去）。又∵頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（1.5，﹣2.25），且2.25＜4，∴x軸下方不存在B點(diǎn)?！帱c(diǎn)B的坐標(biāo)為：（4，4）。（3）存在?！唿c(diǎn)B的坐標(biāo)為：（4，4），∴∠BOD=45°，。若∠POB=90°，則∠POD=45°。設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x2﹣3x）?！?。若，解得x="4"或x=0（舍去）。此時(shí)不存在點(diǎn)P（與點(diǎn)B重合）。若，解得x="2"或x=0（舍去）。當(dāng)x=2時(shí)，x2﹣3x=﹣2。∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，﹣2）。∴?！摺螾OB=90°，∴△POB的面積為：PO?BO=××=8。2．已知如圖，拋物線y=x2+bx+c過(guò)點(diǎn)A（3，0），B（1，0），交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)P是該拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P從C點(diǎn)沿拋物線向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)P不與點(diǎn)A重合），過(guò)點(diǎn)P作PD∥y軸交直線AC于點(diǎn)D．（1）求拋物線的解析式；（2）求點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中線段PD長(zhǎng)度的最大值；（3）△APD能否構(gòu)成直角三角形？若能請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P坐標(biāo)，若不能請(qǐng)說(shuō)明理由；（4）在拋物線對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)M使|MA﹣MC|最大？若存在請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）y=x2﹣4x+3；（2）；（3）點(diǎn)P（1，0）或（2，﹣1）；（4）M（2，﹣3）．【解析】試題分析：（1）把點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入拋物線解析式，解方程組得到b、c的值，即可得解；（2）求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，再根據(jù)拋物線解析式設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后表示出PD的長(zhǎng)度，再根據(jù)二次函數(shù)的最值問(wèn)題解答；（3）①∠APD是直角時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)B重合，②求出拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后判斷出點(diǎn)P為在拋物線頂點(diǎn)時(shí)，∠PAD是直角，分別寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)即可；（4）根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可知MA=MB，再根據(jù)三角形的任意兩邊之差小于第三邊可知點(diǎn)M為直線CB與對(duì)稱軸交點(diǎn)時(shí)，|MA﹣MC|最大，然后利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，再求解即可．試題解析：解：（1）∵拋物線y=x2+bx+c過(guò)點(diǎn)A（3，0），B（1，0），∴，解得，∴拋物線解析式為y=x2﹣4x+3；（2）令x=0，則y=3，∴點(diǎn)C（0，3），則直線AC的解析式為y=﹣x+3，設(shè)點(diǎn)P（x，x2﹣4x+3）．∵PD∥y軸，∴點(diǎn)D（x，﹣x+3），∴PD=（﹣x+3）﹣（x2﹣4x+3）=﹣x2+3x=﹣（x﹣）2+．∵a=﹣1＜0，∴當(dāng)x=時(shí)，線段PD的長(zhǎng)度有最大值；（3）①∠APD是直角時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)B重合，此時(shí)，點(diǎn)P（1，0），②∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，﹣1）．∵A（3，0），∴點(diǎn)P為在拋物線頂點(diǎn)時(shí)，∠PAD=45°+45°=90°，此時(shí)，點(diǎn)P（2，﹣1）．綜上所述：點(diǎn)P（1，0）或（2，﹣1）時(shí)，△APD能構(gòu)成直角三角形；（4）由拋物線的對(duì)稱性，對(duì)稱軸垂直平分AB，∴MA=MB，由三角形的三邊關(guān)系，|MA﹣MC|＜BC，∴當(dāng)M、B、C三點(diǎn)共線時(shí)，|MA﹣MC|最大，為BC的長(zhǎng)度，設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0），則，解得：，∴直線BC的解析式為y=﹣3x+3．∵拋物線y=x2﹣4x+3的對(duì)稱軸為直線x=2，∴當(dāng)x=2時(shí)，y=﹣3×2+3=﹣3，∴點(diǎn)M（2，﹣3），即，拋物線對(duì)稱軸上存在點(diǎn)M（2，﹣3），使|MA﹣MC|最大．點(diǎn)睛：本題是二次函數(shù)綜合題，主要利用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的最值問(wèn)題，二次函數(shù)的對(duì)稱性以及頂點(diǎn)坐標(biāo)的求解，（2）整理出PD的表達(dá)式是解題的關(guān)鍵，（3）關(guān)鍵在于利用點(diǎn)的坐標(biāo)特征作出判斷，（4）根據(jù)拋物線的對(duì)稱性和三角形的三邊關(guān)系判斷出點(diǎn)M的位置是解題的關(guān)鍵．3．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（4，1），如圖，直線y=x與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，直線l為y=﹣1．（1）求拋物線的解析式；（2）在l上是否存在一點(diǎn)P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）知F（x0，y0）為平面內(nèi)一定點(diǎn)，M（m，n）為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)M到直線l的距離與點(diǎn)M到點(diǎn)F的距離總是相等，求定點(diǎn)F的坐標(biāo)．【答案】（1）拋物線的解析式為y=x2﹣x+1．（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，﹣1）．（3）定點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2，1）．【解析】分析：（1）由拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），可設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-2）2，由拋物線過(guò)點(diǎn)（4，1），利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；（2）聯(lián)立直線AB與拋物線解析式成方程組，通過(guò)解方程組可求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接AB′交直線l于點(diǎn)P，此時(shí)PA+PB取得最小值，根據(jù)點(diǎn)B的坐標(biāo)可得出點(diǎn)B′的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)A、B′的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法可求出直線AB′的解析式，再利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）由點(diǎn)M到直線l的距離與點(diǎn)M到點(diǎn)F的距離總是相等結(jié)合二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，即可得出（1--y0）m2+（2-2x0+2y0）m+x02+y02-2y0-3=0，由m的任意性可得出關(guān)于x0、y0的方程組，解之即可求出頂點(diǎn)F的坐標(biāo)．詳解：（1）∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-2）2．∵該拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（4，1），∴1=4a，解得：a=，∴拋物線的解析式為y=（x-2）2=x2-x+1．（2）聯(lián)立直線AB與拋物線解析式成方程組，得：，解得：，，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，1）．作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接AB′交直線l于點(diǎn)P，此時(shí)PA+PB取得最小值（如圖1所示）．∵點(diǎn)B（4，1），直線l為y=-1，∴點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（4，-3）．設(shè)直線AB′的解析式為y=kx+b（k≠0），將A（1，）、B′（4，-3）代入y=kx+b，得：，解得：，∴直線AB′的解析式為y=-x+，當(dāng)y=-1時(shí)，有-x+=-1，解得：x=，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，-1）．（3）∵點(diǎn)M到直線l的距離與點(diǎn)M到點(diǎn)F的距離總是相等，∴（m-x0）2+（n-y0）2=（n+1）2，∴m2-2x0m+x02-2y0n+y02=2n+1．∵M(jìn)（m，n）為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，∴n=m2-m+1，∴m2-2x0m+x02-2y0（m2-m+1）+y02=2（m2-m+1）+1，整理得：（1--y0）m2+（2-2x0+2y0）m+x02+y02-2y0-3=0．∵m為任意值，∴，∴，∴定點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2，1）．點(diǎn)睛：本題考查了待定系數(shù)法求二次（一次）函數(shù)解析式、二次（一次）函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、軸對(duì)稱中的最短路徑問(wèn)題以及解方程組，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式；（2）利用兩點(diǎn)之間線段最短找出點(diǎn)P的位置；（3）根據(jù)點(diǎn)M到直線l的距離與點(diǎn)M到點(diǎn)F的距離總是相等結(jié)合二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，找出關(guān)于x0、y0的方程組．4．一座拱橋的輪廓是拋物線型(如圖所示)，拱高6m，跨度20m，相鄰兩支柱間的距離均為5m.(1)將拋物線放在所給的直角坐標(biāo)系中(如圖所示)，其表達(dá)式是的形式.請(qǐng)根據(jù)所給的數(shù)據(jù)求出a，c的值.(2)求支柱MN的長(zhǎng)度.(3)拱橋下地平面是雙向行車道(正中間是一條寬2m的隔離帶)，其中的一條行車道能否并排行駛寬2m、高3m的三輛汽車(汽車間的間隔忽略不計(jì))？請(qǐng)說(shuō)說(shuō)你的理由.【答案】（1）y=-x2+6；（2）5.5米；（3）一條行車道能并排行駛這樣的三輛汽車．【解析】試題分析：（1）根據(jù)題目可知A．B，C的坐標(biāo)，設(shè)出拋物線的解析式代入可求解．（2）設(shè)N點(diǎn)的坐標(biāo)為（5，yN）可求出支柱MN的長(zhǎng)度．（3）設(shè)DN是隔離帶的寬，NG是三輛車的寬度和．做GH垂直AB交拋物線于H則可求解．試題解析：(1)根據(jù)題目條件，A、B、C的坐標(biāo)分別是(-10,0)、(0,6)、(10,0).將B、C的坐標(biāo)代入，得解得.∴拋物線的表達(dá)式是.(2)可設(shè)N(5,)，于是.從而支柱MN的長(zhǎng)度是10-4.5=5.5米.(3)設(shè)DE是隔離帶的寬，EG是三輛車的寬度和，則G點(diǎn)坐標(biāo)是(7,0)(7=2÷2＋2×3).過(guò)G點(diǎn)作GH垂直AB交拋物線于H，則.根據(jù)拋物線的特點(diǎn)，可知一條行車道能并排行駛這樣的三輛汽車.5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)交軸于點(diǎn)、，交軸于點(diǎn)，在軸上有一點(diǎn)，連接.（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）若點(diǎn)為拋物線在軸負(fù)半軸上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求面積的最大值；（3）拋物線對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)，使為等腰三角形，若存在，請(qǐng)直接寫出所有點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）二次函數(shù)的解析式為；（2）當(dāng)時(shí)，的面積取得最大值；（3）點(diǎn)的坐標(biāo)為，，.【解析】分析：（1）把已知點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得出方程組求解即可；（2）根據(jù)函數(shù)解析式設(shè)出點(diǎn)D坐標(biāo)，過(guò)點(diǎn)D作DG⊥x軸，交AE于點(diǎn)F，表示△ADE的面積，運(yùn)用二次函數(shù)分析最值即可；（3）設(shè)出點(diǎn)P坐標(biāo)，分PA=PE，PA=AE，PE=AE三種情況討論分析即可．詳解：（1）∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣4，0）、B（2，0），C（0，6），∴，解得：，所以二次函數(shù)的解析式為：y=；（2）由A（﹣4，0），E（0，﹣2），可求AE所在直線解析式為y=，過(guò)點(diǎn)D作DN⊥x軸，交AE于點(diǎn)F，交x軸于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥DF，垂足為H，如圖，設(shè)D（m，），則點(diǎn)F（m，），∴DF=﹣（）=，∴S△ADE=S△ADF+S△EDF=×DF×AG+DF×EH=×DF×AG+×DF×EH=×4×DF=2×（）=，∴當(dāng)m=時(shí)，△ADE的面積取得最大值為．（3）y=的對(duì)稱軸為x=﹣1，設(shè)P（﹣1，n），又E（0，﹣2），A（﹣4，0），可求PA=，PE=，AE=，分三種情況討論：當(dāng)PA=PE時(shí)，=，解得：n=1，此時(shí)P（﹣1，1）；當(dāng)PA=AE時(shí)，=，解得：n=，此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為（﹣1，）；當(dāng)PE=AE時(shí)，=，解得：n=﹣2，此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為：（﹣1，﹣2）．綜上所述：P點(diǎn)的坐標(biāo)為：（﹣1，1），（﹣1，），（﹣1，﹣2）．點(diǎn)睛：本題主要考查二次函數(shù)的綜合問(wèn)題，會(huì)求拋物線解析式，會(huì)運(yùn)用二次函數(shù)分析三角形面積的最大值，會(huì)分類討論解決等腰三角形的頂點(diǎn)的存在問(wèn)題時(shí)解決此題的關(guān)鍵．6．如圖，直線y＝-x-3與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A，C，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，C的拋物線y＝ax2+bx﹣3與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)B(2，0)，點(diǎn)D是拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E，連接AD，DC．設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m．(1)求拋物線的解析式；(2)當(dāng)點(diǎn)D在第三象限，設(shè)△DAC的面積為S，求S與m的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值及此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3)連接BC，若∠EAD＝∠OBC，請(qǐng)直接寫出此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)．【答案】(1)y＝x2+x﹣3；(2)S△ADC=﹣(m+3)2+；△ADC的面積最大值為；此時(shí)D(﹣3，﹣)；(3)滿足條件的點(diǎn)D坐標(biāo)為(﹣4，﹣3)或(8，21).【解析】【分析】（1）求出A坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求解析式；（2）設(shè)DE與AC的交點(diǎn)為點(diǎn)F.設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為：(m，m2+m﹣3)，則點(diǎn)F的坐標(biāo)為：(m，﹣m﹣3)，根據(jù)S△ADC＝S△ADF+S△DFC求出解析式，再求最值；（3）①當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱時(shí)，D(﹣4，﹣3)，根據(jù)對(duì)稱性此時(shí)∠EAD＝∠ABC．②作點(diǎn)D(﹣4，﹣3)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D′(﹣4，3)，直線AD′的解析式為y＝x+9，解方程組求出函數(shù)圖像交點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】解：(1)在y＝﹣x﹣3中，當(dāng)y＝0時(shí)，x＝﹣6，即點(diǎn)A的坐標(biāo)為：(﹣6，0)，將A(﹣6，0)，B(2，0)代入y＝ax2+bx﹣3得：，解得：，∴拋物線的解析式為：y＝x2+x﹣3；(2)設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為：(m，m2+m﹣3)，則點(diǎn)F的坐標(biāo)為：(m，﹣m﹣3)，設(shè)DE與AC的交點(diǎn)為點(diǎn)F.∴DF＝﹣m﹣3﹣(m2+m﹣3)＝﹣m2﹣m，∴S△ADC＝S△ADF+S△DFC＝DF?AE+?DF?OE＝DF?OA＝×(﹣m2﹣m)×6＝﹣m2﹣m＝﹣(m+3)2+，∵a＝﹣＜0，∴拋物線開口向下，∴當(dāng)m＝﹣3時(shí)，S△ADC存在最大值，又∵當(dāng)m＝﹣3時(shí)，m2+m﹣3＝﹣，∴存在點(diǎn)D(﹣3，﹣)，使得△ADC的面積最大，最大值為；(3)①當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱時(shí)，D(﹣4，﹣3)，根據(jù)對(duì)稱性此時(shí)∠EAD＝∠ABC．②作點(diǎn)D(﹣4，﹣3)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D′(﹣4，3)，直線AD′的解析式為y＝x+9，由，解得或，此時(shí)直線AD′與拋物線交于D(8，21)，滿足條件，綜上所述，滿足條件的點(diǎn)D坐標(biāo)為(﹣4，﹣3)或(8，21)【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法，一次函數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)構(gòu)建二次函數(shù)解決最值問(wèn)題，學(xué)會(huì)構(gòu)建一次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．.7．二次函數(shù)y=x2-2mx+3（m＞）的圖象與x軸交于點(diǎn)A（a，0）和點(diǎn)B（a+n，0）（n＞0且n為整數(shù)），與y軸交于C點(diǎn)．（1）若a=1，①求二次函數(shù)關(guān)系式；②求△ABC的面積；（2）求證：a=m-；（3）線段AB（包括A、B）上有且只有三個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)是整數(shù)，求a的值．【答案】（1）y=x2-4x+3；3；（2）證明見解析；（3）a=1或a=?．【解析】試題分析：（1）①首先根據(jù)a=1求得A的坐標(biāo)，然后代入二次函數(shù)的解析式，求得m的值即可確定二次函數(shù)的解析式；②根據(jù)解析式確定拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，從而確定三角形的面積；（2）將原二次函數(shù)配方后即可確定其對(duì)稱軸為x=m，然后根據(jù)A、B兩點(diǎn)關(guān)于x=m對(duì)稱得到a+n-m=m-a，從而確定a、m、n之間的關(guān)系；（3）根據(jù)a=m-得到A（m-，0）代入y=（x-m）2-m2+3得0=（m--m）2-m2+3，求得m的值即可確定a的值．試題解析：（1）①∵a=1，∴A（1，0），代入y=x2-2mx+3得1-2m+3=0，解得m=2，∴y=x2-4x+3；②在y=x2-4x+3中，當(dāng)y=0時(shí)，有x2-4x+3=0可得x=1或x=3，∴A（1，0）、B（3，0），∴AB=2再根據(jù)解析式求出C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），∴OC=3，△ABC的面積=×2×3=3；（2）∵y=x2-2mx+3=（x-m）2-m2+3，∴對(duì)稱軸為直線x=m，∵二次函數(shù)y=x2-2mx+3的圖象與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B∴點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于直線x=m對(duì)稱，∴a+n-m=m-a，∴a=m-；（3）y=x2-2mx+3（m＞）化為頂點(diǎn)式為y=（x-m）2-m2+3（m＞）①當(dāng)a為整數(shù)，因?yàn)閚＞0且n為整數(shù)所以a+n是整數(shù)，∵線段AB（包括A、B）上有且只有三個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)是整數(shù)，∴n=2，∴a=m-1，∴A（m-1，0）代入y=（x-m）2-m2+3得（x-m）2-m2+3=0，∴m2-4=0，∴m=2，m=-2（舍去），∴a=2-1=1，②當(dāng)a不是整數(shù)，因?yàn)閚＞0且n為整數(shù)所以a+n不是整數(shù)，∵線段AB（包括A、B）上有且只有三個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)是整數(shù)，∴n=3，∴a=m-∴A（m-，0）代入y=（x-m）2-m2+3得0=（m--m）2-m2+3，∴m2=，∴m=，m=-（舍去），∴a=?，綜上所述：a=1或a=?．考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．8．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝x2﹣2x+a﹣3，當(dāng)a＝0時(shí)，拋物線與y軸交于點(diǎn)A，將點(diǎn)A向右平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，得到點(diǎn)B．（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）將拋物線在直線y＝a上方的部分沿直線y＝a翻折，圖象的其他部分保持不變，得到一個(gè)新的圖象，記為圖形M，若圖形M與線段AB恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)的圖象，求a的取值范圍．【答案】（1）A（0，﹣3），B（4，﹣3）；（2）﹣3＜a≤0；【解析】【分析】（1）由題意直接可求A，根據(jù)平移點(diǎn)的特點(diǎn)求B；（2）圖形M與線段AB恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，y＝a要在AB線段的上方，當(dāng)函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，AB與函數(shù)兩個(gè)交點(diǎn)的臨界點(diǎn)；【詳解】解：（1）A（0，﹣3），B（4，﹣3）；（2）當(dāng)函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，a＝0，∵圖形M與線段AB恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，∴y＝a要在AB線段的上方，∴a＞﹣3∴﹣3＜a≤0；【點(diǎn)睛】本題二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)；熟練掌握二次函數(shù)圖象的特點(diǎn)，函數(shù)與線段相交的交點(diǎn)情況是解題的關(guān)鍵．9．已知：如圖，拋物線y=ax2+bx+c與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），點(diǎn)P是線段AB上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△PAB的面積有最大值？（3）過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，交線段AB于點(diǎn)D，再過(guò)點(diǎn)P做PE∥x軸交拋物線于點(diǎn)E，連結(jié)DE，請(qǐng)問(wèn)是否存在點(diǎn)P使△PDE為等腰直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．【答案】（1）拋物線解析式為y=﹣x2+2x+6；（2）當(dāng)t=3時(shí)，△PAB的面積有最大值；（3）點(diǎn)P（4，6）．【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法進(jìn)行求解即可得；（2）作PM⊥OB與點(diǎn)M，交AB于點(diǎn)N，作AG⊥PM，先求出直線AB解析式為y=﹣x+6，設(shè)P（t，﹣t2+2t+6），則N（t，﹣t+6），由S△PAB=S△PAN+S△PBN=PN?AG+PN?BM=PN?OB列出關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解可得；（3）由PH⊥OB知DH∥AO，據(jù)此由OA=OB=6得∠BDH=∠BAO=45°，結(jié)合∠DPE=90°知若△PDE為等腰直角三角形，則∠EDP=45°，從而得出點(diǎn)E與點(diǎn)A重合，求出y=6時(shí)x的值即可得出答案．【詳解】（1）∵拋物線過(guò)點(diǎn)B（6，0）、C（﹣2，0），∴設(shè)拋物線解析式為y=a（x﹣6）（x+2），將點(diǎn)A（0，6）代入，得：﹣12a=6，解得：a=﹣，所以拋物線解析式為y=﹣（x﹣6）（x+2）=﹣x2+2x+6；（2）如圖1，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥OB與點(diǎn)M，交AB于點(diǎn)N，作AG⊥PM于點(diǎn)G，設(shè)直線AB解析式為y=kx+b，將點(diǎn)A（0，6）、B（6，0）代入，得：，解得：，則直線AB解析式為y=﹣x+6，設(shè)P（t，﹣t2+2t+6）其中0＜t＜6，則N（t，﹣t+6），∴PN=PM﹣MN=﹣t2+2t+6﹣（﹣t+6）=﹣t2+2t+6+t﹣6=﹣t2+3t，∴S△PAB=S△PAN+S△PBN=PN?AG+PN?BM=PN?（AG+BM）=PN?OB=×（﹣t2+3t）×6=﹣t2+9t=﹣（t﹣3）2+，∴當(dāng)t=3時(shí)，△PAB的面積有最大值；（3）如圖2，∵PH⊥OB于H，∴∠DHB=∠AOB=90°，∴DH∥AO，∵OA=OB=6，∴∠BDH=∠BAO=45°，∵PE∥x軸、PD⊥x軸，∴∠DPE=90°，若△PDE為等腰直角三角形，則∠EDP=45°，∴∠EDP與∠BDH互為對(duì)頂角，即點(diǎn)E與點(diǎn)A重合，則當(dāng)y=6時(shí)，﹣x2+2x+6=6，解得：x=0（舍）或x=4，即點(diǎn)P（4，6）．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合問(wèn)題，涉及到待定系數(shù)法、二次函數(shù)的最值、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等，熟練掌握和靈活運(yùn)用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等是解題的關(guān)鍵.10．某商場(chǎng)銷售一種商品的進(jìn)價(jià)為每件30元，銷售過(guò)程中發(fā)現(xiàn)月銷售量y（件）與銷售單價(jià)x（元）之間的關(guān)系如圖所示．（1）根據(jù)圖象直接寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．（2）設(shè)這種商品月利潤(rùn)為W（元），求W與x之間的函數(shù)關(guān)系式．（3）這種商品的銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，月利潤(rùn)最大？最大月利潤(rùn)是多少？【答案】（1）y＝；（2）W＝;（3）這種商品的銷售單價(jià)定為65元時(shí)，月利潤(rùn)最大，最大月利潤(rùn)是3675．【解析】【分析】（1）當(dāng)40≤x≤60時(shí)，設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，當(dāng)60＜x≤90時(shí)，設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=mx+n，解方程組即可得到結(jié)論；（2）當(dāng)40≤x≤60時(shí)，當(dāng)60＜x≤90時(shí)，根據(jù)題意即可得到函數(shù)解析式；（3）當(dāng)40≤x≤60時(shí)，W=-x2+210x-5400，得到當(dāng)x=60時(shí)，W最大=-602+210×60-5400=3600，當(dāng)60＜x≤90時(shí)，W=-3x2+390x-9000，得到當(dāng)x=65時(shí)，W最大=-3×652+390×65-9000=3675，于是得到結(jié)論．【詳解】解：（1）當(dāng)40≤x≤60時(shí)，設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx+b，將（40，140），（60，120）代入得，解得：，∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣x+180；當(dāng)60＜x≤90時(shí)，設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝mx+n，將（90，30），（60，120）代入得，解得：，∴y＝﹣3x+300；綜上所述，y＝；（2）當(dāng)40≤x≤60時(shí)，W＝（x﹣30）y＝（x﹣30）（﹣x+180）＝﹣x2+210x﹣5400，當(dāng)60＜x≤90時(shí)，W＝（x﹣30）（﹣3x+300）＝﹣3x2+390x﹣9000，綜上所述，W＝；（3）當(dāng)40≤x≤60時(shí)，W＝﹣x2+210x﹣5400，∵﹣1＜0，對(duì)稱軸x＝＝105，∴當(dāng)40≤x≤60時(shí)，W隨x的增大而增大，∴當(dāng)x＝60時(shí)，W最大＝﹣602+210×60﹣5400＝3600，當(dāng)60＜x≤90時(shí)，W＝﹣3x2+390x﹣9000，∵﹣3＜0，對(duì)稱軸x＝＝65，∵60＜x≤90，∴當(dāng)x＝65時(shí)，W最大＝﹣3×652+390×65﹣9000＝3675，∵3675＞3600，∴當(dāng)x＝65時(shí)，W最大＝3675，答：這種商品的銷售單價(jià)定為65元時(shí)，月利潤(rùn)最大，最大月利潤(rùn)是3675．【點(diǎn)睛】本題考查了把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行實(shí)際應(yīng)用．根據(jù)題意分情況建立二次函數(shù)的模型是解題的關(guān)鍵．11．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（4，1），如圖，直線y=x與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，直線l為y=﹣1．（1）求拋物線的解析式；（2）在l上是否存在一點(diǎn)P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）知F（x0，y0）為平面內(nèi)一定點(diǎn)，M（m，n）為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)M到直線l的距離與點(diǎn)M到點(diǎn)F的距離總是相等，求定點(diǎn)F的坐標(biāo)．【答案】（1）拋物線的解析式為y=x2﹣x+1．（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，﹣1）．（3）定點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2，1）．【解析】分析：（1）由拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），可設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-2）2，由拋物線過(guò)點(diǎn)（4，1），利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；（2）聯(lián)立直線AB與拋物線解析式成方程組，通過(guò)解方程組可求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接AB′交直線l于點(diǎn)P，此時(shí)PA+PB取得最小值，根據(jù)點(diǎn)B的坐標(biāo)可得出點(diǎn)B′的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)A、B′的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法可求出直線AB′的解析式，再利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）由點(diǎn)M到直線l的距離與點(diǎn)M到點(diǎn)F的距離總是相等結(jié)合二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，即可得出（1--y0）m2+（2-2x0+2y0）m+x02+y02-2y0-3=0，由m的任意性可得出關(guān)于x0、y0的方程組，解之即可求出頂點(diǎn)F的坐標(biāo)．詳解：（1）∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-2）2．∵該拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（4，1），∴1=4a，解得：a=，∴拋物線的解析式為y=（x-2）2=x2-x+1．（2）聯(lián)立直線AB與拋物線解析式成方程組，得：，解得：，，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，1）．作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接AB′交直線l于點(diǎn)P，此時(shí)PA+PB取得最小值（如圖1所示）．∵點(diǎn)B（4，1），直線l為y=-1，∴點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（4，-3）．設(shè)直線AB′的解析式為y=kx+b（k≠0），將A（1，）、B′（4，-3）代入y=kx+b，得：，解得：，∴直線AB′的解析式為y=-x+，當(dāng)y=-1時(shí)，有-x+=-1，解得：x=，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，-1）．（3）∵點(diǎn)M到直線l的距離與點(diǎn)M到點(diǎn)F的距離總是相等，∴（m-x0）2+（n-y0）2=（n+1）2，∴m2-2x0m+x02-2y0n+y02=2n+1．∵M(jìn)（m，n）為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，∴n=m2-m+1，∴m2-2x0m+x02-2y0（m2-m+1）+y02=2（m2-m+1）+1，整理得：（1--y0）m2+（2-2x0+2y0）m+x02+y02-2y0-3=0．∵m為任意值，∴，∴，∴定點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2，1）．點(diǎn)睛：本題考查了待定系數(shù)法求二次（一次）函數(shù)解析式、二次（一次）函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、軸對(duì)稱中的最短路徑問(wèn)題以及解方程組，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式；（2）利用兩點(diǎn)之間線段最短找出點(diǎn)P的位置；（3）根據(jù)點(diǎn)M到直線l的距離與點(diǎn)M到點(diǎn)F的距離總是相等結(jié)合二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，找出關(guān)于x0、y0的方程組．12．已知：如圖，拋物線y＝ax2+bx+3與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A，B（﹣3，0），C（1，0），點(diǎn)P是線段AB上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．（1）求拋物線解析式；（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△PAB的面積最大？（3）過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，交線段AB于點(diǎn)D，再過(guò)點(diǎn)P作PE∥x軸交拋物線于點(diǎn)E，連接DE，請(qǐng)問(wèn)是否存在點(diǎn)P使△PDE為等腰直角三角形？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3（2）（﹣，）（3）存在，P（﹣2，3）或P（，）【解析】【分析】（1）用待定系數(shù)法求解；（2）過(guò)點(diǎn)P作PH⊥x軸于點(diǎn)H，交AB于點(diǎn)F，直線AB解析式為y＝x+3，設(shè)P（t，﹣t2﹣2t+3）（﹣3＜t＜0），則F（t，t+3），則PF＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t，根據(jù)S△PAB＝S△PAF+S△PBF寫出解析式，再求函數(shù)最大值；（3）設(shè)P（t，﹣t2﹣2t+3）（﹣3＜t＜0），則D（t，t+3），PD＝﹣t2﹣3t，由拋物線y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，由對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，PE∥x軸交拋物線于點(diǎn)E，得yE＝y(tǒng)P，即點(diǎn)E、P關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，所以＝﹣1，得xE＝﹣2﹣xP＝﹣2﹣t，故PE＝|xE﹣xP|＝|﹣2﹣2t|，由△PDE為等腰直角三角形，∠DPE＝90°，得PD＝PE，再分情況討論：①當(dāng)﹣3＜t≤﹣1時(shí)，PE＝﹣2﹣2t；②當(dāng)﹣1＜t＜0時(shí)，PE＝2+2t【詳解】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+3過(guò)點(diǎn)B（﹣3，0），C（1，0）∴解得：∴拋物線解析式為y＝﹣x2﹣2x+3（2）過(guò)點(diǎn)P作PH⊥x軸于點(diǎn)H，交AB于點(diǎn)F∵x＝0時(shí)，y＝﹣x2﹣2x+3＝3∴A（0，3）∴直線AB解析式為y＝x+3∵點(diǎn)P在線段AB上方拋物線上∴設(shè)P（t，﹣t2﹣2t+3）（﹣3＜t＜0）∴F（t，t+3）∴PF＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t∴S△PAB＝S△PAF+S△PBF＝PF?OH+PF?BH＝PF?OB＝（﹣t2﹣3t）＝﹣（t+）2+∴點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到坐標(biāo)為（﹣，），△PAB面積最大（3）存在點(diǎn)P使△PDE為等腰直角三角形設(shè)P（t，﹣t2﹣2t+3）（﹣3＜t＜0），則D（t，t+3）∴PD＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t∵拋物線y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4∴對(duì)稱軸為直線x＝﹣1∵PE∥x軸交拋物線于點(diǎn)E∴yE＝y(tǒng)P，即點(diǎn)E、P關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱∴＝﹣1∴xE＝﹣2﹣xP＝﹣2﹣t∴PE＝|xE﹣xP|＝|﹣2﹣2t|∵△PDE為等腰直角三角形，∠DPE＝90°∴PD＝PE①當(dāng)﹣3＜t≤﹣1時(shí)，PE＝﹣2﹣2t∴﹣t2﹣3t＝﹣2﹣2t解得：t1＝1（舍去），t2＝﹣2∴P（﹣2，3）②當(dāng)﹣1＜t＜0時(shí)，PE＝2+2t∴﹣t2﹣3t＝2+2t解得：t1＝，t2＝（舍去）∴P（，）綜上所述，點(diǎn)P坐標(biāo)為（﹣2，3）或（，）時(shí)使△PDE為等腰直角三角形．【點(diǎn)睛】考核知識(shí)點(diǎn)：二次函數(shù)的綜合.數(shù)形結(jié)合分析問(wèn)題，運(yùn)用軸對(duì)稱性質(zhì)和等腰三角形性質(zhì)分析問(wèn)題是關(guān)鍵.13．閱讀：我們約定，在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過(guò)某點(diǎn)且平行于坐標(biāo)軸或平行于兩坐標(biāo)軸夾角平分線的直線，叫該點(diǎn)的“特征線”．例如，點(diǎn)M（1，3）的特征線有：x=1，y=3，y=x+2，y=﹣x+4．問(wèn)題與探究：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有正方形OABC，點(diǎn)B在第一象限，A、C分別在x軸和y軸上，拋物線經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)，頂點(diǎn)D在正方形內(nèi)部．（1）直接寫出點(diǎn)D（m，n）所有的特征線；（2）若點(diǎn)D有一條特征線是y=x+1，求此拋物線的解析式；（3）點(diǎn)P是AB邊上除點(diǎn)A外的任意一點(diǎn)，連接OP，將△OAP沿著OP折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)A′的位置，當(dāng)點(diǎn)A′在平行于坐標(biāo)軸的D點(diǎn)的特征線上時(shí)，滿足（2）中條件的拋物線向下平移多少距離，其頂點(diǎn)落在OP上？【答案】（1）x=m，y=n，y=x+n﹣m，y=﹣x+m+n；（2）；（3）拋物線向下平移或距離，其頂點(diǎn)落在OP上．【解析】試題分析：（1）根據(jù)特征線直接求出點(diǎn)D的特征線；（2）由點(diǎn)D的一條特征線和正方形的性質(zhì)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，從而求出拋物線解析式；（2）分平行于x軸和y軸兩種情況，由折疊的性質(zhì)計(jì)算即可．試題解析：解：（1）∵點(diǎn)D（m，n），∴點(diǎn)D（m，n）的特征線是x=m，y=n，y=x+n﹣m，y=﹣x+m+n；（2）點(diǎn)D有一條特征線是y=x+1，∴n﹣m=1，∴n=m+1．∵拋物線解析式為，∴，∵四邊形OABC是正方形，且D點(diǎn)為正方形的對(duì)稱軸，D（m，n），∴B（2m，2m），∴，將n=m+1帶入得到m=2，n=3；∴D（2，3），∴拋物線解析式為．（3）①如圖，當(dāng)點(diǎn)A′在平行于y軸的D點(diǎn)的特征線時(shí)：根據(jù)題意可得，D（2，3），∴OA′=OA=4，OM=2，∴∠A′OM=60°，∴∠A′OP=∠AOP=30°，∴MN==，∴拋物線需要向下平移的距離==．②如圖，當(dāng)點(diǎn)A′在平行于x軸的D點(diǎn)的特征線時(shí)，設(shè)A′（p，3），則OA′=OA=4，OE=3，EA′==，∴A′F=4﹣，設(shè)P（4，c）（c＞0），，在Rt△A′FP中，（4﹣）2+（3﹣c）2=c2，∴c=，∴P（4，），∴直線OP解析式為y=x，∴N（2，），∴拋物線需要向下平移的距離=3﹣=．綜上所述：拋物線向下平移或距離，其頂點(diǎn)落在OP上．點(diǎn)睛：此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了折疊的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是用正方形的性質(zhì)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)．14．如圖，拋物線經(jīng)過(guò)x軸上的點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B及y軸上的點(diǎn)C，經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)的直線為．①求拋物線的解析式．②點(diǎn)P從A出發(fā)，在線段AB上以每秒1個(gè)單位的速度向B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)E從B出發(fā)，在線段BC上以每秒2個(gè)單位的速度向C運(yùn)動(dòng)．當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)