數(shù)學(xué)勾股定理(講義及答案)附解析

數(shù)學(xué)勾股定理(講義及答案)附解析一、選擇題1．已知長(zhǎng)方體的長(zhǎng)2cm、寬為1cm、高為4cm，一只螞蟻如果沿長(zhǎng)方體的表面從A點(diǎn)爬到B′點(diǎn)，那么沿哪條路最近，最短的路程是（）A．cm B．5cm C．cm D．4.5cm2．如圖，在△ABC中，∠A＝90°，P是BC上一點(diǎn)，且DB＝DC，過BC上一點(diǎn)P，作PE⊥AB于E，PF⊥DC于F，已知：AD：DB＝1：3，BC＝，則PE+PF的長(zhǎng)是（）A． B．6 C． D．3．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB的中垂線交AC于D，P是BD的中點(diǎn)，若BC＝4，AC＝8，則S△PBC為（）A．3 B．3.3 C．4 D．4.54．如圖所示，有一個(gè)高18cm，底面周長(zhǎng)為24cm的圓柱形玻璃容器，在外側(cè)距下底1cm的點(diǎn)S處有一蜘蛛，與蜘蛛相對(duì)的圓柱形容器的上口外側(cè)距開口處1cm的點(diǎn)F處有一只蒼蠅，則急于捕獲蒼蠅充饑的蜘蛛所走的最短路徑的長(zhǎng)度是（）A．16cm B．18cm C．20cm D．24cm5．已知△ABC的三邊分別是6，8，10，則△ABC的面積是（）A．24 B．30 C．40 D．486．以下列各組數(shù)為邊長(zhǎng)，能構(gòu)成直角三角形的是A． B．、、C．、、 D．、、7．如圖，已知數(shù)軸上點(diǎn)表示的數(shù)為，點(diǎn)表示的數(shù)為1，過點(diǎn)作直線垂直于，在上取點(diǎn)，使，以點(diǎn)為圓心，以為半徑作弧，弧與數(shù)軸的交點(diǎn)所表示的數(shù)為（）A． B． C． D．8．已知M、N是線段AB上的兩點(diǎn)，AM＝MN＝2，NB＝1，以點(diǎn)A為圓心，AN長(zhǎng)為半徑畫弧；再以點(diǎn)B為圓心，BM長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)C，連接AC，BC，則△ABC一定是()A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形9．在中，,則△ABC是（）A．等腰三角形 B．鈍角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形10．下列四組數(shù)據(jù)不能作為直角三角形的三邊長(zhǎng)的是()A．6，8，10 B．5，12，13 C．3，5，6 D．，，二、填空題11．如圖，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5，若點(diǎn)M、N分別是線段AC、AB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則BM+MN的最小值為_____________________．12．如圖，點(diǎn)E在邊DB上，點(diǎn)A在內(nèi)部，∠DAE＝∠BAC＝90°，AD＝AE，AB＝AC，給出下列結(jié)論，其中正確的是_____（填序號(hào)）①BD＝CE；②∠DCB＝∠ABD＝45°；③BD⊥CE；④BE2＝2（AD2+AB2）．13．如圖，現(xiàn)有一長(zhǎng)方體的實(shí)心木塊，有一螞蟻從處出發(fā)沿長(zhǎng)方體表面爬行到＇處，若長(zhǎng)方體的長(zhǎng)，寬，高，則螞蟻爬行的最短路徑長(zhǎng)是___________．14．在△ABC中，AB＝6，AC＝5，BC邊上的高AD＝4，則△ABC的周長(zhǎng)為__________.15．如圖所示，“趙爽弦圖”是由8個(gè)全等的直角三角形拼接而成的，記圖中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面積分別為，已知,則的值是____.16．如圖，度，，，且，AF平分交BC于F，若，，則線段AD的長(zhǎng)為______．17．如圖，在□ABCD中，AC與BD交于點(diǎn)O，且AB=3，BC=5．①線段OA的取值范圍是______________；②若BD-AC=1，則AC?BD=_________．18．四邊形ABCD中AB＝8，BC＝6，∠B＝90°，AD＝CD＝，四邊形ABCD的面積是_______．19．如圖，在四邊形ABCD中，AD=4，CD=3，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，則．20．在△ABC中，∠A=30°，∠B=90°，AC=8，點(diǎn)D在邊AB，且BD=，點(diǎn)P是△ABC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若AP=2PD時(shí)，則PD的長(zhǎng)是____________．三、解答題21．（1）計(jì)算：；（2）已知a、b、c滿足．判斷以a、b、c為邊能否構(gòu)成三角形？若能構(gòu)成三角形，說明此三角形是什么形狀？并求出三角形的面積；若不能，請(qǐng)說明理由．22．如圖所示，已知中，，，，、是的邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其中點(diǎn)從點(diǎn)開始沿方向運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒，點(diǎn)從點(diǎn)開始沿方向運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒，它們同時(shí)出發(fā)，設(shè)出發(fā)的時(shí)間為．（1）則____________；（2）當(dāng)為何值時(shí)，點(diǎn)在邊的垂直平分線上？此時(shí)_________?（3）當(dāng)點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直接寫出使成為等腰三角形的運(yùn)動(dòng)時(shí)間．23．如圖，為邊長(zhǎng)不變的等腰直角三角形，，，在外取一點(diǎn)，以為直角頂點(diǎn)作等腰直角，其中在內(nèi)部，，，當(dāng)E、P、D三點(diǎn)共線時(shí)，．下列結(jié)論：①E、P、D共線時(shí)，點(diǎn)到直線的距離為；②E、P、D共線時(shí)，；；④作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，在繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的過程中，的最小值為；⑤繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn),當(dāng)點(diǎn)落在上，當(dāng)點(diǎn)落在上時(shí)，取上一點(diǎn)，使得，連接，則．其中正確結(jié)論的序號(hào)是___．24．已知中，，，過頂點(diǎn)作射線.（1）當(dāng)射線在外部時(shí)，如圖①，點(diǎn)在射線上，連結(jié)、，已知，，（）.①試證明是直角三角形；②求線段的長(zhǎng).（用含的代數(shù)式表示）（2）當(dāng)射線在內(nèi)部時(shí)，如圖②，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連結(jié)，請(qǐng)寫出線段、、的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.25．在中，，CD是AB邊上的高，若.（1）求CD的長(zhǎng).（2）動(dòng)點(diǎn)P在邊AB上從點(diǎn)A出發(fā)向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，速度為1個(gè)單位/秒；動(dòng)點(diǎn)Q在邊AC上從點(diǎn)A出發(fā)向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，速度為v個(gè)單位秒，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為，當(dāng)點(diǎn)Q到點(diǎn)C時(shí)，兩個(gè)點(diǎn)都停止運(yùn)動(dòng).①若當(dāng)時(shí)，，求t的值.②若在運(yùn)動(dòng)過程中存在某一時(shí)刻，使成立，求v關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式，并寫出自變量t的取值范圍.26．如圖，在邊長(zhǎng)為正方形中，點(diǎn)是對(duì)角線的中點(diǎn)，是線段上一動(dòng)點(diǎn)（不包括兩個(gè)端點(diǎn)），連接.（1）如圖1，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn).①求證：;②設(shè)，，求與的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍.（2）在如圖2中，請(qǐng)用無刻度的直尺作出一個(gè)以為邊的菱形.27．如圖1，點(diǎn)是正方形邊上任意一點(diǎn)，以為邊作正方形，連接，點(diǎn)是線段中點(diǎn)，射線與交于點(diǎn)，連接．（1）請(qǐng)直接寫出和的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系．（2）把圖1中的正方形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，此時(shí)點(diǎn)恰好落在線段上，如圖2，其他條件不變，（1）中的結(jié)論是否成立，請(qǐng)說明理由．（3）把圖1中的正方形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，此時(shí)點(diǎn)、恰好分別落在線段、上，連接，如圖3，其他條件不變，若，，直接寫出的長(zhǎng)度．28．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（0，4），B（m，0）在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)C，O關(guān)于直線AB對(duì)稱，點(diǎn)D在線段AB上．（1）如圖1，若m＝8，求AB的長(zhǎng)；（2）如圖2，若m＝4，連接OD，在y軸上取一點(diǎn)E，使OD＝DE，求證：CE＝DE；（3）如圖3，若m＝4，在射線AO上裁取AF，使AF＝BD，當(dāng)CD+CF的值最小時(shí)，請(qǐng)?jiān)趫D中畫出點(diǎn)D的位置，并直接寫出這個(gè)最小值．29．（發(fā)現(xiàn)）小慧和小雯用一個(gè)平面去截正方體，得到一個(gè)三角形截面（截出的面），發(fā)現(xiàn)截面一定是銳角三角形．為什么呢？她們帶著這個(gè)疑問請(qǐng)教許老師．（體驗(yàn)）（1）從特殊入手許老師用1個(gè)鉚釘把長(zhǎng)度分別為4和3的兩根窄木棒的一端連在一起（如圖，）,保持不動(dòng)，讓從重合位置開始繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，在轉(zhuǎn)動(dòng)的過程，觀測(cè)的大小和的形狀，并列出下表：的大小的形狀…直角三角形…直角三角形…請(qǐng)仔細(xì)體會(huì)其中的道理，并填空：_____，_____；（2）猜想一般結(jié)論在中，設(shè)，，（），①若為直角三角形，則滿足；②若為銳角三角形，則滿足____________；③若為鈍角三角形，則滿足_____________．（探索）在許老師的啟發(fā)下，小慧用小刀在一個(gè)長(zhǎng)方體橡皮上切出一個(gè)三角形截面（如圖1），設(shè)，，，請(qǐng)幫助小慧說明為銳角三角形的道理．（應(yīng)用）在小慧的基礎(chǔ)上，小雯又切掉一塊“角”，得到一個(gè)新的三角形截面（如圖2），那么的形狀是（）A．一定是銳角三角形B．可能是銳角三角形或直角三角形，但不可能是鈍角三角形C．可能是銳角三角形或直角三角形或鈍角三角形30．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝2，CD是邊AB的高線，動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿射線AC運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)F從點(diǎn)C出發(fā)，以相同的速度沿射線CB運(yùn)動(dòng)．設(shè)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）（t＞0）．（1）AE＝（用含t的代數(shù)式表示），∠BCD的大小是度；（2）點(diǎn)E在邊AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求證：△ADE≌△CDF；（3）點(diǎn)E在邊AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求∠EDF的度數(shù)；（4）連結(jié)BE，當(dāng)CE＝AD時(shí)，直接寫出t的值和此時(shí)BE對(duì)應(yīng)的值．【參考答案】***試卷處理標(biāo)記，請(qǐng)不要?jiǎng)h除一、選擇題1．B解析：B【分析】要求長(zhǎng)方體中兩點(diǎn)之間的最短路徑，最直接的作法，就是將長(zhǎng)方體展開，然后利用兩點(diǎn)之間線段最短解答．【詳解】解：根據(jù)題意，如圖所示，最短路徑有以下三種情況：（1）沿，，，剪開，得圖；（2）沿，，，，，剪開，得圖；（3）沿，，，，，剪開，得圖；綜上所述，最短路徑應(yīng)為（1）所示，所以，即．故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查最短路徑問題，將長(zhǎng)方體從不同角度展開，是解決此類問題的關(guān)鍵，注意不要漏解．2．C解析：C【解析】【分析】根據(jù)三角形的面積判斷出PE+PF的長(zhǎng)等于AC的長(zhǎng)，這樣就變成了求AC的長(zhǎng)；在Rt△ACD和Rt△ABC中，利用勾股定理表示出AC，解方程就可以得到AD的長(zhǎng)，再利用勾股定理就可以求出AC的長(zhǎng)，也就是PE+PF的長(zhǎng)．【詳解】∵△DCB為等腰三角形，PE⊥AB，PF⊥CD，AC⊥BD，∴S△BCD=BD?PE+CD?PF=BD?AC，∴PE+PF=AC，設(shè)AD=x，BD=CD=3x，AB=4x，∵AC2=CD2-AD2=（3x）2-x2=8x2，∵AC2=BC2-AB2=（）2-（4x）2，∴x=2，∴AC=4，∴PE+PF=4．故選C【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用面積法證明線段之間的關(guān)系，靈活運(yùn)用勾股定理解決問題，屬于中考常考題型．3．A解析：A【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到DA=DB，根據(jù)勾股定理求出BD，得到CD的長(zhǎng)，根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算，得到答案．【詳解】解：∵點(diǎn)D在線段AB的垂直平分線上，∴DA＝DB，在Rt△BCD中，BC2+CD2＝BD2，即42+（8﹣BD）2＝BD2，解得，BD＝5，∴CD＝8﹣5＝3，∴△BCD的面積＝×CD×BC＝×3×4＝6，∵P是BD的中點(diǎn)，∴S△PBC＝S△BCD＝3，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理，掌握線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．4．C解析：C【分析】首先畫出圓柱的側(cè)面展開圖，進(jìn)而得到SC=12cm，F(xiàn)C=18-2=16cm，再利用勾股定理計(jì)算出SF長(zhǎng)即可．【詳解】將圓柱的側(cè)面展開，蜘蛛到達(dá)目的地的最近距離為線段SF的長(zhǎng)，由勾股定理，SF2=SC2+FC2=122+(18-1-1)2=400，SF=20cm，故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了平面展開-最短路徑問題，先根據(jù)題意把立體圖形展開成平面圖形后，再確定兩點(diǎn)之間的最短路徑．一般情況是兩點(diǎn)之間，線段最短．在平面圖形上構(gòu)造直角三角形解決問題．5．A解析：A【解析】已知△ABC的三邊分別為6，10，8，由62+82=102，即可判定△ABC是直角三角形，兩直角邊是6，8，所以△ABC的面積為×6×8=24，故選A．6．C解析：C【分析】利用勾股定理的逆定理依次計(jì)算各項(xiàng)后即可解答.【詳解】選項(xiàng)A，，不能構(gòu)成直角三角形；選項(xiàng)B，，不能構(gòu)成直角三角形；選項(xiàng)C，，能構(gòu)成直角三角形；選項(xiàng)D，，不能構(gòu)成直角三角形．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的逆定理的應(yīng)用判斷三角形是否為直角三角形，已知三角形三邊的長(zhǎng)，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可．7．B解析：B【分析】由數(shù)軸上點(diǎn)表示的數(shù)為，點(diǎn)表示的數(shù)為1，得PA=2，根據(jù)勾股定理得，進(jìn)而即可得到答案．【詳解】∵數(shù)軸上點(diǎn)表示的數(shù)為，點(diǎn)表示的數(shù)為1，∴PA=2，又∵l⊥PA，，∴，∵PB=PC=，∴數(shù)軸上點(diǎn)所表示的數(shù)為：．故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)軸上點(diǎn)表示的數(shù)與勾股定理，掌握數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離求法，是解題的關(guān)鍵．8．B解析：B【分析】依據(jù)作圖即可得到AC＝AN＝4，BC＝BM＝3，AB＝2+2+1＝5，進(jìn)而得到AC2+BC2＝AB2，即可得出△ABC是直角三角形．【詳解】如圖所示，AC＝AN＝4，BC＝BM＝3，AB＝2+2+1＝5，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的逆定理，如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2+b2＝c2，那么這個(gè)三角形就是直角三角形．9．D解析：D【分析】根據(jù)題意設(shè)出三邊分別為k、k、k，然后利用勾股定理的逆定理判定三角形為直角三角形，又有BC、AC邊相等，所以三角形為等腰直角三角形．【詳解】設(shè)BC、AC、AB分別為k，k，k，∵k2+k2=（k）2，∴BC2+AC2=AB2，∴△ABC是直角三角形，又BC=AC，∴△ABC是等腰直角三角形．故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了直角三角形的判定，利用設(shè)k法與勾股定理證明三角形是直角三角形是難點(diǎn)，也是解題的關(guān)鍵．10．C解析：C【分析】求出兩小邊的平方和長(zhǎng)邊的平方，再看看是否相等即可．【詳解】A、62+82=102，此時(shí)三角形是直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；B、52+122=132，此時(shí)三角形是直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；C、32+5262，此時(shí)三角形不是直角三角形，故本選項(xiàng)符合題意；D、，此時(shí)三角形是直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理逆定理，關(guān)鍵是掌握判斷一個(gè)三角形是不是直角三角形，必須滿足較小兩邊平方的和等于最大邊的平方才能做出判斷．二、填空題11．8【解析】如圖作點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接B′A交DC于點(diǎn)E，則BM+MN的最小值等于的最小值作交于，則為所求；設(shè),,由，，h+5=8，即BM+MN的最小值是8.點(diǎn)睛：本題主要是利用軸對(duì)稱求最短路線，題中應(yīng)用了勾股定理與用不同方式表示三角形的面積從而求出某條邊上的高，利用軸對(duì)稱得出M點(diǎn)與N點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵．12．①③【分析】①由已知條件證明DAB≌EAC即可；②由①可得ABD=ACE<45°，DCB>45°；③由ECB+EBC=ABD+ECB+ABC=ACE+ECB+ABC=45°+45°=90°可判斷③；④由BE2＝BC2－EC2＝2AB2－（CD2﹣DE2）＝2AB2－CD2+2AD2＝2（AD2+AB2）－CD2可判斷④．【詳解】解：∵DAE＝BAC＝90°，∴DAB＝EAC，∵AD＝AE，AB＝AC，∴AED=ADE=ABC=ACB=45°，∵在DAB和EAC中，，∴DAB≌EAC，∴BD＝CE，ABD＝ECA，故①正確；由①可得ABD=ACE<45°，DCB>45°故②錯(cuò)誤；∵ECB+EBC=ABD+ECB+ABC=ACE+ECB+ABC=45°+45°=90°，∴CEB＝90°，即CE⊥BD，故③正確；∴BE2＝BC2－EC2＝2AB2－（CD2﹣DE2）＝2AB2－CD2+2AD2＝2（AD2+AB2）－CD2．∴BE2＝2（AD2+AB2）－CD2，故④錯(cuò)誤．故答案為：①③．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形判定與性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用，熟記全等三角形的判定與性質(zhì)定理以及勾股定理公式是解題關(guān)鍵．13．【分析】連接AC＇，分三種情況進(jìn)行討論：畫出圖形，用勾股定理計(jì)算出AC＇長(zhǎng)，再比較大小即可得出結(jié)果．【詳解】解：如圖展開成平面圖，連接AC＇，分三種情況討論：如圖1，AB=4，BC＇=1+2=3，∴在Rt△ABC＇中，由勾股定理得AC＇==5（cm），如圖2，AC=4+2=6，CC＇=1∴在Rt△ACC＇中，由勾股定理得AC＇==（cm），如圖3，AD=2，DC＇=1+4=5，∴在Rt△ADC＇中，由勾股定理得AC＇==（cm）∵5<<，∴螞蟻爬行的最短路徑長(zhǎng)是5cm，故答案為：5cm．【點(diǎn)睛】本題考查平面展開-最短路線問題和勾股定理，本題具有一定的代表性，是一道好題，注意要分類討論．14．或【分析】分兩種情況考慮：如圖1所示，此時(shí)△ABC為銳角三角形，在直角三角形ABD與直角三角形ACD中，利用勾股定理求出BD與DC的長(zhǎng)，由BD+DC求出BC的長(zhǎng)，即可求出周長(zhǎng)；如圖2所示，此時(shí)△ABC為鈍角三角形，同理由BDCD求出BC的長(zhǎng)，即可求出周長(zhǎng)．【詳解】解：分兩種情況考慮：如圖1所示，此時(shí)△ABC為銳角三角形，在Rt△ABD中，根據(jù)勾股定理得：BD=，在Rt△ACD中，根據(jù)勾股定理得：CD=，∴BC=，∴△ABC的周長(zhǎng)為：；如圖2所示，此時(shí)△ABC為鈍角三角形，在Rt△ABD中，根據(jù)勾股定理得：BD=，在Rt△ACD中，根據(jù)勾股定理得：CD=，∴BC=，∴△ABC的周長(zhǎng)為：；綜合上述，△ABC的周長(zhǎng)為：或；故答案為：或.【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理，利用了分類討論的思想，熟練掌握勾股定理是解本題的關(guān)鍵．15．.【分析】根據(jù)八個(gè)直角三角形全等，四邊形ABCD，EFGH，MNKT是正方形，得出CG=NG，CF=DG=NF，再根據(jù)，，，，即可得出答案.【詳解】∵八個(gè)直三角形全等，四邊形ABCD，EFGH，MNKT是正方形∴CG=NG，CF=DG=NF∴∴∴故故答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，用到的知識(shí)點(diǎn)由勾股定理和正方形、全等三角形的性質(zhì).16．【分析】由“SAS”可證≌，≌可得，，，由勾股定理可求EF的長(zhǎng)，即可求BC的長(zhǎng)，由勾股定理可求AD的長(zhǎng)．【詳解】解：如圖，連接EF，過點(diǎn)A作于點(diǎn)G，，，又，，在和中，≌．，，，∴，，，，平分，，在和中，≌．．．，∴，，，，，∴故答案為【點(diǎn)睛】考查等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．17．①1＜OA＜4．②．【解析】(1)由三角形邊的性質(zhì)5-3<2OA<5+3,1＜OA＜4.(2)過A作AF過D作DE于E,可知，ABF全等,由題意知，+=+，，=+2(+50=68，BD-AC=1，兩邊平方-2AC?BD=1，AC?BD=.18．49【解析】連接AC，在Rt△ABC中，∵AB=8，BC=6，∠B=90°，∴AC==10．在△ADC中，∵AD=CD=，∴AD2+CD2=（）2+（）2=100．∵AC2=102=100，∴AD2+CD2=AC2，∴∠ADC=90°，∴S四邊形ABCD=S△ABC+S△ACD=AB?BC+AD?DC=×8×6+××=24+25=49．點(diǎn)睛：本題考查的是勾股定理及勾股定理的逆定理，不規(guī)則幾何圖形的面積，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．19．41【解析】作AD′⊥AD，AD′=AD，連接CD′，DD′，如圖：∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD，即∠BAD=∠CAD′，在△BAD與△CAD′中，∴△BAD≌△CAD′（SAS），∴BD=CD′，∠DAD′=90°，由勾股定理得DD′=，∠D′DA+∠ADC=90°，由勾股定理得CD′=，∴BD=CD′=，即BD2=41．故答案是：41．20．3或或【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出BC，勾股定理求出AB，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)列式計(jì)算即可．【詳解】解：如圖∵∠B=90°，∠A=30°，∴BC=AC=×8=4，由勾股定理得，AB=當(dāng)點(diǎn)P在AC上時(shí)，∠A=30°，AP=2PD，∴∠ADP=90°，則AD2+PD2=AP2，即（3）2=（2PD）2-PD2，解得，PD=3，當(dāng)點(diǎn)P在AB上時(shí)，AP=2PD，AD=3，∴PD=，當(dāng)點(diǎn)P在BC上時(shí)，AP=2PD，設(shè)PD=x，則AP=2x，由勾股定理得，BP2=PD2-BD2=x2-3，解得，x=故答案為：3或或.【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理、直角三角形的性質(zhì)，如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么a2+b2=c2．三、解答題21．（1）4；（2）以a、b、c為邊能構(gòu)成三角形，此三角形的形狀是直角三角形，3【分析】（1）根據(jù)二次根式的加減法法則、除法法則和二次根式的性質(zhì)求出即可；（2）先根據(jù)絕對(duì)值，偶次方、算術(shù)平方根的非負(fù)性求出a、b、c的值，再根據(jù)勾股定理的逆定理得出三角形是直角三角形，再求出面積即可.【詳解】解：（1）==＝4；（2）以a、b、c為邊能構(gòu)成三角形，此三角形的形狀是直角三角形，理由是：∵a、b、c滿足，∴a﹣2＝0，3﹣b＝0，c﹣＝0，∴a＝2，b＝3，c＝，∵2+3＞，2+＞3，2+＞3，∴以a、b、c為邊能組成三角形，∵a＝2，b＝3，c＝，∴a2+b2＝c2，∴以a、b、c為邊能構(gòu)成直角三角形，直角邊是a和b，則此三角形的面積是＝3.【點(diǎn)睛】此題考查了計(jì)算能力，掌握二次根式的加減法法則、除法法則和二次根式的性質(zhì)，絕對(duì)值，偶次方、算術(shù)平方根的非負(fù)性，勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵.22．（1）12；（2）t=12.5s時(shí)，13cm；（3）11s或12s或13.2s【分析】（1）由勾股定理即可得出結(jié)論；（2）由線段垂直平分線的性質(zhì)得到PC=PA=t，則PB=16-t．在Rt△BPC中，由勾股定理可求得t的值，判斷出此時(shí)，點(diǎn)Q在邊AC上，根據(jù)CQ=2t-BC計(jì)算即可；（3）用t分別表示出BQ和CQ，利用等腰三角形的性質(zhì)可分BQ=BC、CQ=BC和BQ=CQ三種情況，分別得到關(guān)于t的方程，可求得t的值．【詳解】（1）在Rt△ABC中，BC(cm)．故答案為：12；（2）如圖，點(diǎn)P在邊AC的垂直平分線上時(shí)，連接PC，∴PC=PA=t，PB=16-t．在Rt△BPC中，，即，解得：t=．∵Q從B到C所需的時(shí)間為12÷2=6(s)，＞6，∴此時(shí)，點(diǎn)Q在邊AC上，CQ=(cm)；（3）分三種情況討論：①當(dāng)CQ=BQ時(shí)，如圖1所示，則∠C=∠CBQ．∵∠ABC=90°，∴∠CBQ+∠ABQ=90°，∠A+∠C=90°，∴∠A=∠ABQ，∴BQ=AQ，∴CQ=AQ=10，∴BC+CQ=22，∴t=22÷2=11(s)．②當(dāng)CQ=BC時(shí)，如圖2所示，則BC+CQ=24，∴t=24÷2=12(s)．③當(dāng)BC=BQ時(shí)，如圖3所示，過B點(diǎn)作BE⊥AC于點(diǎn)E，則BE，∴CE=7.2．∵BC=BQ，BE⊥CQ，∴CQ=2CE=14.4，∴BC+CQ=26.4，∴t=26.4÷2=13.2(s)．綜上所述：當(dāng)t為11s或12s或13.2s時(shí)，△BCQ為等腰三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)、方程思想及分類討論思想等知識(shí)．用時(shí)間t表示出相應(yīng)線段的長(zhǎng)，化“動(dòng)”為“靜”是解決這類問題的一般思路，注意方程思想的應(yīng)用．23．②③⑤【分析】①先證得，利用鄰補(bǔ)角和等腰直角三角形的性質(zhì)求得，利用勾股定理求出，即可求得點(diǎn)到直線的距離；②根據(jù)①的結(jié)論，利用即可求得結(jié)論；③在中，利用勾股定理求得，再利用三角形面積公式即可求得；④當(dāng)共線時(shí)，最小，利用對(duì)稱的性質(zhì)，的長(zhǎng)，再求得的長(zhǎng)，即可求得結(jié)論；⑤先證得，得到，根據(jù)條件得到，利用互余的關(guān)系即可證得結(jié)論．【詳解】①∵與都是等腰直角三角形，∴，，，，，∴，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，解得：，作BH⊥AE交AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，∵，，∴，∴，∴點(diǎn)到直線的距離為，故①錯(cuò)誤；②由①知：，，，∴，故②正確；③在中，由①知：，∴，，，故③正確；④因?yàn)槭嵌ㄖ?，所以?dāng)共線時(shí)，最小，如圖，連接BC，∵關(guān)于的對(duì)稱，∴，∴，∴，，故④錯(cuò)誤；⑤∵與都是等腰直角三角形，∴，，，，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，故⑤正確；綜上，②③⑤正確，故答案為：②③⑤．【點(diǎn)睛】本題是三角形的綜合題，主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，三角形的面積公式，綜合性強(qiáng)，全等三角形的判定和性質(zhì)的靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．24．（1）①詳見解析；（2）（）；（2），理由詳見解析.【分析】（1）①根據(jù)勾股定理的逆定理進(jìn)行判斷；②過點(diǎn)C作CE⊥CD交DB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，利用同角的余角相等證明∠3=∠4，∠1=∠E，進(jìn)而證明△ACD≌△BCE，求出DE的長(zhǎng)，再利用勾股定理求解即可.（2）過點(diǎn)C作CF⊥CD交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，先證∠ACD=∠BCF，再證△ACD≌△BCF，得CD=CF，AD=BF，再利用勾股定理求解即可.【詳解】（1）①∵又∵∴∴△ABD是直角三角形②如圖①，過點(diǎn)C作CE⊥CD交DB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，∵∠3+∠BCD=∠ACD=90°，∠4+∠BCD=∠DCE=90°∴∠3=∠4由①知△ABD是直角三角形∴又∵∴∠1=∠E在和中，∴△ACD≌△BCE∴，∴又∵，∴由勾股定理得∴（）（2）AD、BD、CD的數(shù)量關(guān)系為：，理由如下：如圖②，過點(diǎn)C作CF⊥CD交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，∵∠ACD=90°+∠5，∠BCF=90°+∠5∴∠ACD=∠BCF∵BD⊥AD∴∠ADB=90°∴∠6+∠7=90°∵∠ACB=90°∴∠9=∠8=90°又∵∠6=∠8∴∠7=∠9和中∴△ACD≌△BCF∴CD=CF，AD=BF又∵∠DCF=90°∴由勾股定理得又DF=BF-BD=AD-BD∴【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形全等、勾股定理及其逆定理，掌握三角形全等的判定方法及勾股定理及其逆定理是關(guān)鍵.25．（1）CD=8；（2）t=4；（3）()【分析】（1）作AE⊥BC于E，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得BE=BC，然后利用勾股定理求出AE，再用等面積法可求出CD的長(zhǎng)；（2）①過B作BF⊥AC于F，易得BF=CD，分別討論Q點(diǎn)在AF和FC之間時(shí)，根據(jù)△BQF≌△CPD，得到PD=QF，建立方程即可求出t的值；（3）同（2）建立等式關(guān)系即可得出關(guān)系式，再根據(jù)Q在FC之間求出t的取值范圍即可.【詳解】解：（1）如圖，作AE⊥BC于E，∵AB=AC，∴BE=BC=在Rt△ABE中，∵△ABC的面積=∴（2）過B作BQ⊥AC，當(dāng)Q在AF之間時(shí)，如圖所示，∵△ABC的面積=，AB=AC∴BF=CD在Rt△CPD和Rt△BQF中∵CP=BQ，CD=BF，∴Rt△CPD≌Rt△BQF（HL）∴PD=QF在Rt△ACD中，CD=8，AC=AB=10∴同理可得AF=6∴PD=AD=AP=6-t，QF=AF-AQ=6-2t由PD=QF得6-t=6-2t，解得t=0，∵t＞0，∴此種情況不符合題意，舍去；當(dāng)Q點(diǎn)在FC之間時(shí)，如圖所示，此時(shí)PD=6-t，QF=2t-6由PD=QF得6-t=2t-6，解得t=4，綜上得t的值為4.（3）同（2）可知v＞1時(shí)，Q在AF之間不存在CP=BQ，Q在FC之間存在CP=BQ，Q在F點(diǎn)時(shí)，顯然CP≠BQ，∵運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，則AP=t，AQ=vt，∴PD=6-t，QF=vt-6，由PD=QF得6-t=vt-6，整理得，∵Q在FC之間，即AF＜AQ≤AC∴，代入得，解得所以答案為()【點(diǎn)睛】本題考查三角形中的動(dòng)點(diǎn)問題，熟練掌握勾股定理求出等腰三角形的高，利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等建立方程是解題的關(guān)鍵.26．(1)①見解析；②；（2）見解析【解析】【分析】（1）①連接DE，如圖1，先用SAS證明△CBE≌△CDE，得EB=ED，∠CBE=∠1，再用四邊形的內(nèi)角和可證明∠EBC=∠2，從而可得∠1=∠2，進(jìn)一步即可證得結(jié)論；②將△BAE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)E落在點(diǎn)P處，如圖2，用SAS可證△PBG≌△EBG，所以PG=EG=2－x－y，在直角三角形PCG中，根據(jù)勾股定理整理即得y與x的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)題意寫出x的取值范圍即可.（2）由（1）題已得EB=ED，根據(jù)正方形的對(duì)稱性只需再確定點(diǎn)E關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)即可，考慮到只有直尺，可延長(zhǎng)交AD于點(diǎn)M，再連接MO并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)N，再連接DN交AC于點(diǎn)Q，問題即得解決.【詳解】（1）①證明：如圖1，連接DE，∵四邊形ABCD是正方形，∴CB=CD，∠BCE=∠DCE=45°，又∵CE=CE，∴△CBE≌△CDE（SAS），∴EB=ED，∠CBE=∠1，∵∠BEC=90°，∠BCF=90°，∴∠EBC+∠EFC=180°，∵∠EFC+∠2=180°，∴∠EBC=∠2，∴∠1=∠2.∴ED=EF，∴BE=EF.②解：∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為，∴對(duì)角線AC=2.將△BAE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，點(diǎn)E落在點(diǎn)P處，如圖2，則△BAE≌△BCP，∴BE=BP，AE=CP=x，∠BAE=∠BCP=45°，∠EBP=90°，由①可得，∠EBF=45°，∴∠PBG=45°=∠EBG，在△PBG與△EBG中，，∴△PBG≌△EBG（SAS）.∴PG=EG=2－x－y，∵∠PCG=∠GCB+∠BCP=45°+45°=90°，∴在Rt△PCG中，由，得，化簡(jiǎn)，得.（2）如圖3，作法如下：①延長(zhǎng)交AD于點(diǎn)M，②連接MO并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)N，③連接DN交AC于點(diǎn)Q，④連接DE、BQ，則四邊形BEDQ為菱形.【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、四邊形的內(nèi)角和、勾股定理和菱形的作圖等知識(shí)，其中通過三角形的旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等三角形是解決②小題的關(guān)鍵，利用正方形的對(duì)稱性確定點(diǎn)Q的位置是解決（2）題的關(guān)鍵.27．（1）；（2）見解析；（3）.【解析】【分析】(1)證明ΔFME≌ΔAMH，得到HM=EM，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得結(jié)論.（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)得到點(diǎn)A、E、C在同一條直線上,利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可知.（3）如圖3中，連接EC，EM，由（1）（2）可知，△CME是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性質(zhì)解決問題即可．【詳解】解：（1）結(jié)論：CM＝ME，CM⊥EM．理由：∵AD∥EF，AD∥BC，∴BC∥EF，∴∠EFM＝∠HBM，在△FME和△BMH中，∴△FME≌△BMH（ASA），∴HM＝EM，EF＝BH，∵CD＝BC，∴CE＝CH，∵∠HCE＝90°，HM＝EM，∴CM＝ME，CM⊥EM．（2）如圖2，連接，∵四邊形和四邊形是正方形，∴∴點(diǎn)在同一條直線上，∵，為的中點(diǎn)，∴，，∴，∵，∴，∵，∴∴，∴，∴．（3）如圖3中，連接EC，EM．由（1）（2）可知，△CME是等腰直角三角形，∵∴CM＝EM＝【點(diǎn)睛】本題考查的是正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理以及直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考?jí)狠S題．28．（1）AB＝4；（2）見解析；（3）CD+CF的最小值為4.【分析】（1）根據(jù)勾股定理可求AB的長(zhǎng)；（2）過點(diǎn)D作DF⊥AO，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得OF＝EF，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AF＝DF，設(shè)OF＝EF＝x，AE＝4﹣2x，根據(jù)勾股定理用參數(shù)x表示DE，CE的長(zhǎng)，即可證CE＝DE；（3）過點(diǎn)B作BM⊥OB，在BM上截取BM＝AO，過點(diǎn)C作CN⊥BM，交MB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，根據(jù)銳角三角函數(shù)可得∠ABO＝30°，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得AC＝AO＝4，BO＝BC＝4，∠ABO＝∠ABC＝30°，∠OAB＝∠CAB＝60°，根據(jù)“SAS”可證△ACF≌△BMD，可得CF＝DM，則當(dāng)點(diǎn)D在CM上時(shí)，CF+CD的值最小，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可求CN，BN的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理可求CM的長(zhǎng)，即可得CF+CD的最小值．【詳解】（1）∵點(diǎn)A（0，4），B（m，0），且m＝8，∴AO＝4，BO＝8，在Rt△ABO中，AB＝（2）如圖，過點(diǎn)D作DF⊥AO，∵DE＝DO，DF⊥AO，∴EF＝FO，∵m＝4，∴AO＝BO＝4，∴∠ABO＝∠OAB＝45°，∵點(diǎn)C，O關(guān)于直線AB對(duì)稱，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，A