《復變函數(shù)與積分變換》1.3 復變函數(shù)

第一章復數(shù)與復變函數(shù)第一節(jié)復數(shù)復數(shù)與復變函數(shù)第二節(jié)無窮遠點與復球面第三節(jié)復變函數(shù)復變函數(shù)復平面上的點集鄰域、聚點、內(nèi)點、開集、連通集、區(qū)域、邊界點、閉區(qū)域、有界區(qū)域以上概念與高等數(shù)學中對應的概念相同，大家看書自學．（1）求平面上以原點為圓心，R為半徑的圓的內(nèi)部．解（1）（2）（2）求平面上以原點為圓心，R為半徑的閉圓內(nèi)部．例11、區(qū)域復變函數(shù)復平面上的點集例2求圖1所示的帶形區(qū)域表示解求圖2所示的同心圓環(huán)的表示解圖1圖2例3復變函數(shù)復平面上的點集2、平面曲線在高等數(shù)學課程中已經(jīng)知道，平面曲線可以用一對連續(xù)的函數(shù)()來表示（稱為曲線的參數(shù)方程）．此處可用實變的復值函數(shù)來表示，即()復變函數(shù)復平面上的點集例如：以坐標原點為中心，以a為半徑的圓周．其參數(shù)方程可表示為()寫成復數(shù)形式即為()復變函數(shù)復平面上的點集又如，平面上連接點（）與（）的直線段其參數(shù)方程可表示為：（）其復數(shù)形式為（）再如，表示一個圓，表示直線復變函數(shù)復平面上的點集沒有重點的連續(xù)曲線C稱為簡單曲線或若當(Jordan)曲線，如果簡單曲線C的起點與終點重合，即，則稱下面將區(qū)域分類：在復平面上，如果區(qū)域D內(nèi)任意一條簡單閉曲線的內(nèi)部都含于區(qū)域D內(nèi)，則稱D為單連通區(qū)域；否則，為復連通區(qū)域．曲線C為簡單閉曲線．復變函數(shù)復平面上的點集封閉曲線的方向一般的，簡單曲線的正向規(guī)定為：從起點到終點所指的方向．簡單閉曲線C的正向規(guī)定為：當觀察者順此方向前進時，曲線C所圍區(qū)域一直在C的左手圖3給出一種常用的情形，若曲線該圖是一復連通區(qū)域．所圍部分為陰影部分，起正向如圖所示．顯然，圖3復變函數(shù)復變函數(shù)定義：設是復數(shù)的集合，對應法則有一個或多個確定的復數(shù)與之對應，則為定義在上的即一個復變函數(shù)等價于兩個實的二元函數(shù).復變函數(shù)，記為復變函數(shù)例4復變函數(shù)是定義在整個復平面上的函數(shù)，試將其化為兩個二元實函數(shù).解：設則反之，兩個實的二元函數(shù)也可以確定一個復變函數(shù)復變函數(shù)例5解：考查為單值函數(shù)還是多值函數(shù)及均為z的單值函數(shù)；均為z的多值函數(shù).復變函數(shù)例6解：注：復變函數(shù)中與之間的函數(shù)關(guān)系不能在圖像中研究．試求及（均為實常數(shù)）在映射下的原象．將寫成由此得于是，在的映射下的原象為而的原象為復變函數(shù)注：復變函數(shù)中與之間的函數(shù)關(guān)系不能在圖像中研究．yOxOuv例6解：試求及（均為實常數(shù)）在映射下的原象．復變函數(shù)例7解法1函數(shù)將平面內(nèi)的曲線映射為平面內(nèi)的什么曲線?將寫成由此得于是，解法2可寫成即由可得因此得復變函數(shù)復變函數(shù)的極限定義：設復變函數(shù)在的鄰域內(nèi)有定義，若存在確定的數(shù)當時，有則稱為當趨向于時函數(shù)的極限，記為或應當特別注意的是，定義中的方式是任意的，方向，以何種方式趨于都要趨于同一個常數(shù)A.就是無論從什么復變函數(shù)幾何意義：復變函數(shù)設則復變函數(shù)極限存在的充要條件定理1.1復變函數(shù)例8解：設則令沿著直線趨近于零，有極限值隨的不同而不同，則不存在，函數(shù)極限不存在.討論函數(shù)當時的極限.復變函數(shù)復變函數(shù)的極限運算法則定理1.2設則(1)(2)(3)復變函數(shù)復變函數(shù)的連續(xù)設復變函數(shù)在的某個鄰域內(nèi)有定義，若定義：在則處連續(xù).定義：若在區(qū)域內(nèi)處處連續(xù)，則在內(nèi)連續(xù).復變函數(shù)復變函數(shù)的連續(xù)的充要條件是：均在處連續(xù)．定理1.3函數(shù)在處連續(xù)連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商在分母不為零處均連續(xù)；連續(xù)函數(shù)的復合仍連續(xù).復變函數(shù)例9解：計算極限例10計算極限解：復變函數(shù)復變函數(shù)的連續(xù)這應按下述規(guī)定來理解：以任意方式趨于時，函數(shù)的極限等于函數(shù)值即區(qū)域上連續(xù)”.注意：有時會遇到“在閉區(qū)域上連續(xù)”的說法，在邊界點連續(xù)是指z在上閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)一定是有界的.在區(qū)域D內(nèi)和D的邊界上都連續(xù)，則稱“如果在閉小故事——尋找寶藏到橡樹后右轉(zhuǎn)，走相同步數(shù)，在此打木樁；回到絞架，朝松樹走，記下步數(shù)，在此打木樁，橡樹松樹寶藏木樁1木樁2兩木樁連線的中點即為埋寶藏的地點。從絞架出發(fā)朝橡樹走，記下步數(shù)，尋找寶藏到松樹后左轉(zhuǎn)，走相同步數(shù)，小故事——尋找寶藏橡樹