§1.4 階躍函數(shù)和沖激函數(shù)

階躍信號(hào)

沖激信號(hào)是兩個(gè)典型的奇異信號(hào)。

階躍序列和單位樣值序列§1.4階躍信號(hào)和沖激信號(hào)

信號(hào)本身有不連續(xù)點(diǎn)(跳變點(diǎn))或其導(dǎo)數(shù)與積分有不連續(xù)點(diǎn)的一類信號(hào)統(tǒng)稱為奇異信號(hào)。一、單位階躍信號(hào)下面采用求函數(shù)序列極限的方法定義階躍信號(hào)。選定一個(gè)函數(shù)序列γn(t)如圖所示。1.定義如果開關(guān)S在t=t0

時(shí)閉合，ε（t-t0

）t01t0解：由于S、E、C都是理想元件，所以，回路無內(nèi)阻，當(dāng)S閉合后，C上的電壓會(huì)產(chǎn)生跳變，從而形成階躍電壓。即：例：圖中假設(shè)S、E、C都是理想元件（內(nèi)阻為0），當(dāng)t=0時(shí)S閉合，求電容C上的電壓。CSE=1V+-＋－則電容上的電壓為ε（t-t0)。ε（t-t0）波形如下圖所示：2.延遲單位階躍信號(hào)（1）可以方便地表示某些信號(hào)

或：例1：利用階躍信號(hào)來表示“符號(hào)信號(hào)”（signum）sgn(t)01-1t3.階躍信號(hào)的性質(zhì)例2：Et所以，矩形脈沖G(t)可表示為因?yàn)?EttE_（2）用階躍信號(hào)表示信號(hào)的作用區(qū)間例3：f(t)011t=011t011t×一般情況：（3）積分011ttε(t)011tε(t)二．單位沖激信號(hào)

某些物理現(xiàn)象需要一個(gè)作用時(shí)間極短，但取值極大的函數(shù)模型來描述，如沖擊力，電路中的瞬時(shí)充電電流，閃電等。

單位沖激信號(hào)是個(gè)奇異信號(hào)，它是對(duì)強(qiáng)度極大，作用時(shí)間極短一種物理量的理想化模型。

狄拉克(Dirac)定義

函數(shù)序列定義δ(t)

沖激信號(hào)與階躍信號(hào)關(guān)系

沖激信號(hào)的性質(zhì)1.狄拉克(Dirac)定義

函數(shù)值只在t=0時(shí)不為零；

積分面積為1；

t=0時(shí)，，為無界函數(shù)。

這種定義方式是狄拉克提出來的，因此，δ(t)

又稱為狄拉克（Dirac）函數(shù)。

同理可以定義，即0（1）t2.用極限定義δ(t)對(duì)γn(t)求導(dǎo)得到如圖所示的矩形脈沖pn(t)。

求導(dǎo)高度無窮大，寬度無窮小，面積為1的對(duì)稱窄脈沖。演示t01

我們從物理概念上理解如何產(chǎn)生沖激信號(hào)(1)0t例：圖中假設(shè)S、E、C都是理想元件（內(nèi)阻為0），當(dāng)t=0時(shí)S閉合，求回路電流i（t）。C=1Fi(t)SE=1V＋－t0i(t)演示先考慮有內(nèi)阻3.δ(t)與ε(t)的關(guān)系求導(dǎo)vc(t)i(t)引入沖激信號(hào)之后，間斷點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)也存在f(t)=2ε(t+1)-2ε(t-1)f′(t)=2δ(t+1)-2δ(t-1)求導(dǎo)求下圖所示信號(hào)f(t)的微分

，并畫出波形。f(t)t110（-1）t110三．

沖激信號(hào)的性質(zhì)

取樣性沖激偶

尺度變換1.抽樣性(篩選性)如果f(t)在t=0處連續(xù)，且處處有界，則有

證明表明：沖激信號(hào)可以把任意信號(hào)在沖激點(diǎn)位置處的函數(shù)值抽?。êY選）出來。連續(xù)時(shí)間信號(hào)f(t)與單位沖激信號(hào)δ(t)相乘并在-∞到∞區(qū)間內(nèi)積分，可以得到f(t)在t=0點(diǎn)的函數(shù)值f(0)。對(duì)于平移情況：舉例2.沖激偶τ↓積分積分積分求導(dǎo)求導(dǎo)求導(dǎo)t00t(1)tε(t)

、ε(t)和

δ(t)、δ’(t)

之間的關(guān)系：0t01tδ’(t)

δ(t)tε(t)

ε(t)沖激偶的性質(zhì)

①

f(t)δ’(t)=f(0)δ’(t)–f’(0)δ(t)證明②證明③④δ’(–t)=–δ’(t)為奇函數(shù)δ’(t)的平移：例：3.對(duì)

(t)的尺度變換推論:(1)δ(2t)=0.5δ(t)(2)當(dāng)a=–1時(shí)所以，δ(–t)=δ(t)為偶函數(shù)，

δ’(–t)=–δ’(t)為奇函數(shù)舉例已知f(t)，畫出g(t)=f’(t)和g(2t)求導(dǎo)，得g(t)壓縮，得g(2t)沖激信號(hào)的性質(zhì)總結(jié)（1）取樣性（2）奇偶性（3）比例性（4）微積分性質(zhì)（5）沖激偶1.4信號(hào)的分解（1）任意信號(hào)分解為偶分量與奇分量之和？？

偶分量定義為奇分量定義為任意信號(hào)可分解為偶分量與奇分量之和，即Even:偶Odd:奇t01/2-1/21-11t01/2-1t01-1例2:t11例1:t011（2）任意信號(hào)分解為脈沖分量之和任意信號(hào)分解為沖激信號(hào)的迭加當(dāng)t=0時(shí)，第一個(gè)矩形脈沖為

一個(gè)信號(hào)可近似分解為許多脈沖分量之和。這里又分為兩種情況，一是分解為矩形窄脈沖分量，窄脈沖組合的極限就是沖激信號(hào)的迭加；另一種情況是分解為階躍信號(hào)分量的迭加。當(dāng)t=時(shí)，第k+1個(gè)矩形脈沖為將上述0—n個(gè)矩形脈沖迭加，就得到f(t)的表達(dá)式，即當(dāng)時(shí)，演示(3)任意信號(hào)分解成正交信號(hào)分量

如果用正交信號(hào)集表示一個(gè)信號(hào)，那么，組成信號(hào)的各分量就是相