機器人學(xué)第六章(機器人運動學(xué)及動力學(xué))

MACROBUTTONMTEditEquationSection2SEQMTEqn\r\hSEQMTSec\r1\hSEQMTChap\r1\h第六章機器人運動學(xué)及動力學(xué)6.1引論到現(xiàn)在為止我們對操作機的研究集中在僅考慮動力學(xué)上。我們研究了靜力位置、靜力和速度，但我們從未考慮過產(chǎn)生運動所需的力。本章中我們考慮操作機的運動方程式——由于促動器所施加的扭矩或作用在機械手上的外力所產(chǎn)生的操作機的運動之情況。機構(gòu)動力學(xué)是一個已經(jīng)寫出很多專著的領(lǐng)域。的確，人們可以花費以年計的時間來研究這個領(lǐng)域。顯然，我們不可能包括它所應(yīng)有的完整的內(nèi)容。但是，某種動力學(xué)問題的方程式似乎特別適合于操作機的應(yīng)用。特別是，那種能利用操作機的串聯(lián)鏈性質(zhì)的方法是我們研究的天然候選者。有兩個與操作機動力學(xué)有關(guān)的問題我們打算去解決。向前的動力學(xué)問題是計算在施加一組關(guān)節(jié)扭矩時機構(gòu)將怎樣運動。也就是，已知扭矩矢量，計算產(chǎn)生的操作機的運動、和。這個對操作機仿真有用，在逆運動學(xué)問題中，我們已知軌跡點、和，我們欲求出所需要的關(guān)節(jié)扭矩矢量。這種形式的動力學(xué)對操作機的控制問題有用。6.2剛體的加速度現(xiàn)在我們把對剛體運動的分析推廣到加速度的情況。在任一瞬時，線速度矢量和角速度矢量的導(dǎo)數(shù)分別稱為線加速度和角加速度。即（6-1）和（6-2）正如速度的情況一樣，當求導(dǎo)的參坐標架被理解為某個宇宙標架時我們將用下面的記號（6-3）和（6-4）6.2.1線加速度我們從描述當原點重合時從坐標架看到的矢量的速度（6-5）這個方程的左手邊描述如何隨時間而變化。所以，因為原點是重合的，我們可以重寫（6-5）為（6-6）這種形式的方程式當推導(dǎo)對應(yīng)的加速度方程時特別有用。通過對（6-5）求導(dǎo)，我們可以推出當與的原點重合時從中看到的的加速度表達式（6-7）現(xiàn)在用（6-6）兩次──一次對第一項，一次對最后一項。（6-7）式的右側(cè)成為：（6-8）把相同兩項合起來（6-9）最后，為了推廣到原點不重合的情況，我們加上一項給出的原點的線加速度的項，得到下面的最后的一般公式（6-10）對于我們將在本章上考慮的情況，我們總是有為不變，或（6-11）所以，（6-10）簡化為（6-12）我們將用這一結(jié)果來計算操作機桿件的線加速度。6.2.2角加速度考慮以相對于轉(zhuǎn)動的情況，而以相對于轉(zhuǎn)動。為了計算我們把矢量在坐標架中相加（6-13）求導(dǎo)后我們得到（6-14）現(xiàn)在，把（6-6）用到（6-14）的末項中去，我們得到（6-15）我們將把這個結(jié)果用來求操作機桿件的角加速度。6.3質(zhì)量分布dvAPYXdvAPYXZ｛A｝圖6-1帶固結(jié)標架的剛體我們現(xiàn)在將定義一組量，它給出剛體關(guān)于參考坐標架的質(zhì)量分布的信息。圖6-1示出一個帶著固結(jié)標架的剛體。雖然慣性張量可以相對于任何標架來定義，我們將最經(jīng)常地考慮定義在與剛體相固結(jié)的標架中的慣性張量。在重要的地方我們將用一個前上標來指明給定慣性張量的參考標架。相對于標架的慣性張量是表示成下面的矩陣形式（6-16）式中，標量元素由下列公式給出（6-17）其中剛體由微分體積單元組成，包含密度為的材料。每一體積單位的位置由矢量確定,如圖6-1所示，而元素稱為質(zhì)量慣性矩。注意每種情況下我們是對質(zhì)量單元乘以對應(yīng)軸垂直距離的平方來積分。帶混合下標的稱為質(zhì)量慣性積。對一給定剛體這一組6個量將與它們定義所在的標架的位置和方位有關(guān)。若我們可以任意選取參考標架的方位，有可能選成使慣性積為零。這樣的標架的軸稱作主軸，而對應(yīng)得的慣性矩稱作主慣性矩。例6-1求出關(guān)于圖6-2所示的坐標系的均勻密度的矩形物體的慣性張量。首先，我們計算。用體積單元，我們得到WYXZ｛A｝WYXZ｛A｝圖6-2均勻密度物體L式中，為物體的全部質(zhì)量。交換各項，我們可以用觀察求出和（6-19）和（6-20）其次我們計算（6-21）交換各項我們得到（6-22）和（6-23）因此，這個物體的慣性張量為：（6-24）如說過的那樣，慣性張量是參考標架的位置和方位的函數(shù)。一個眾所周知的結(jié)論，平行軸定理，是一種在參考坐標系改變的情況下如何計算慣性張量的改變的方法。平行軸定理說明在原點位于質(zhì)心處的標架的慣性張量在另一個參考標架中的慣性張量之間的關(guān)系。在定理中為位于物體質(zhì)心處，為任意變換后的標架，定理陳述為兩個方程式〔〕（6-25）式中，、和為質(zhì)心在中的位置。其余的慣性矩和慣性積可以由（6-25）中、、的置換計算出來。例6-2求出例6-1中描述的同一個物體的慣性張量，此時它是在原點位于物體質(zhì)心處的坐標系中描述的。我們應(yīng)用平行軸定理（6-25），其中于是，我們求出（6-26）其余元素可以根據(jù)對稱性求出。這個寫在質(zhì)心處的坐標架中的結(jié)果慣性張量為：（6-27）由于結(jié)果是對角陣，必定代表這個物體的主軸。下面是某些關(guān)于慣性張量的其他結(jié)論：如果參考標架的兩根軸形成物體質(zhì)量分布的對稱平面，則帶垂直于這個平面坐標的下標的慣性積將為零。慣性矩必須總為正值。慣性積則可正可負。在參考標架的方位改變中，三個慣性矩之和為不變量。慣性張量的固有值（特征值）是物體的主慣性矩。相應(yīng)的固有矢量是主軸。大多數(shù)操作機的桿件的幾何和組成都有點復(fù)雜，所以在實用中應(yīng)用（6-17）是很困難的。一個實用的選擇是用測量裝置（例如慣性擺）實際測量每個桿件的慣性矩而不是計算。6.4牛頓方程，歐拉方程我們將把操作機的每個桿件考慮為剛體。如果我們知道桿件的質(zhì)心的位置和慣性張量，則它的質(zhì)量分布的特性是完全表示出來了。為了使這些桿件運動，我們必須使它們加速或減速。對于這種運動所需的力是期望的加速度和桿件質(zhì)量分布的函數(shù)。牛頓方程和回轉(zhuǎn)用的與它類似的歐拉方程描述了力、慣性和加速度之間是個什么樣的關(guān)系。6.4.1牛頓方程圖6-3示出一剛體，其質(zhì)心以加速度在加速運動。在這種情況下，作用在質(zhì)心的造成這個加速度的力可以由牛頓方程給出為：（6-28）圖6-3式中，為剛體的總質(zhì)量。圖6-36.4.2歐拉方程圖6-4示出一剛體以角速度回轉(zhuǎn)著，角加速度為圖6-4在這樣的情況下，為了產(chǎn)生這個運動必須施加在剛體上的力矩可由歐拉方程給出：圖6-4（6-29）式中，為卸載標架中的剛體的慣性張量，的原點位于質(zhì)心，如圖6-4所示。6.5迭代牛頓－歐拉動力學(xué)公式我們現(xiàn)在考慮計算對應(yīng)于給定操作機軌跡的扭矩的問題。假定我們已知關(guān)節(jié)的位置，速度和加速度（、、）。根據(jù)這些知識以及機器人運動學(xué)的知識，質(zhì)量分布的信息等，我們可以計算出造成這個運動所需的關(guān)節(jié)扭矩。6.5.1向前迭代以計算速度和加速度為了計算作用在桿件上的慣性力，需要計算在每個給定瞬時，操作機各桿件的回轉(zhuǎn)速度，質(zhì)心的線加速度和回轉(zhuǎn)加速度。這些計算將以迭代式的形式從桿1開始，逐次向外移動，一桿接一桿，直到桿。在前面討論了從桿件到桿件的回轉(zhuǎn)速度的變換，給為：（6-30）從（6-15）我們得到從桿件到桿件的角加速度的變換方程（6-31）各個桿的線加速度根據(jù)（6-12）可以得到為：（6-32）我們也將需要各個桿件質(zhì)心的線加速度，它也可由應(yīng)用（6-10）求出（6-33）式中，我們假想一個標架固結(jié)于各個桿件而它的原點位于桿件質(zhì)心處，而且與桿件標架有相同的方位。注意方程式應(yīng)用于桿1特別簡單，因為。6.5.2作用在桿件上的力和扭矩計算出各個桿件質(zhì)心的線加速度和角加速度后，我們可以應(yīng)用牛頓－歐拉方程（6-4節(jié)）來計算作用在各個桿件質(zhì)心上的力和力矩。（6-34）式中，的原點在各桿的質(zhì)心處，而它的方位與桿件標架相同。6.5.3向后迭代以計算力和扭矩計算出作用在各桿件上的力和扭矩后，現(xiàn)在剩下要做的是計算關(guān)節(jié)扭矩，它們將產(chǎn)生這些作用在桿件上的凈力和扭矩。我們根據(jù)對典型桿件的分離體圖（見圖6-5）寫出力和力矩的平衡方程式就可以計算出這些關(guān)節(jié)扭矩。各個桿件受到其相鄰桿件所施加的作用力和扭矩，還承受一個慣性力和力矩。我們對這些鄰桿的作用力規(guī)定特殊的符號把作用在桿件上的力加起來我們得到一個力平衡關(guān)系（6-35）圖6-5典型桿件的分離體圖把扭矩對于質(zhì)心加起來再讓它們等于零，我們得到扭矩平衡方程式圖6-5典型桿件的分離體圖（6-36）用從力平衡關(guān)系（6-35）得來的結(jié)果再加上幾個回轉(zhuǎn)矩陣，我們可以把（6-36）寫為：（6-37）最后，我們可以整理力和扭矩方程式使它們成為由較高編號鄰桿。（6-38）（6-39）這些方程式一桿接一桿地求值，從桿開始向機器人的基礎(chǔ)進行下去。這些向后力的迭代與前面介紹過的靜力迭代相似，只是現(xiàn)在考慮了各桿的慣性力和力矩。如同靜力的情況那樣，所需的關(guān)節(jié)扭矩可由取一桿作用于其鄰桿的扭矩的分量來求得（6-40）注意對一個在自由空間運動的機器人，和都讓它為零，因此方程式的第一個對桿的應(yīng)用非常簡單。如果機器人與周圍環(huán)境有接觸，由于接觸而產(chǎn)生的力和扭矩以和不等于零而包括在力平衡中。6.5.4迭代的牛頓－歐拉動力學(xué)算法由關(guān)節(jié)的運動來計算關(guān)節(jié)扭矩的完整的算法由兩部分組成。首先，桿件的速度和加速度從桿件1到桿件迭代地被計算出來，牛頓－歐拉方程式被用于各個桿件。其次，反力和反力矩以及促動器扭矩從桿件回到桿1遞歸地被計算出來。這些方程式概括如下：向前：（6-41）（6-42）（6-43）（6-44）（6-45）（6-46）向后：（6-47）（6-48）（6-49）6.5.5在動力學(xué)算法中包括重力作用在桿件上的重力的影響可以很簡單地讓來包括進去，其中為重力矢量。這等于說機器人的基礎(chǔ)以一個的加速度向上加速著。這個假想的向上加速度對桿件造成的影響，和重力將造成的完全相同。所以，不需額外的計算支出，重力的影響就被計算進去了。6.6封閉形式的動力學(xué)方程方程式（6-41）到（6-49）給出了一個計算方案，在那里根據(jù)已知的關(guān)節(jié)位置，速度和加速度等，我們可以計算所需的關(guān)節(jié)扭矩。和我們在前面推導(dǎo)計算雅可比雅可比的方程式一起，這些關(guān)系可以有兩種用法：作為數(shù)值計算算法，或作為用來解析地推導(dǎo)符號方程式的算法。用這些方程作為數(shù)值計算算法是吸引人的，因為方程式可以應(yīng)用于任何帶回轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)的機器人（對于帶移動關(guān)節(jié)的機器人可以推導(dǎo)出一組類似的方程式）。一旦對特定的操作機定出了慣性張量，桿件的質(zhì)量，矢量和矩陣等，這些方程式可以直接用來計算對應(yīng)于任何運動的慣性扭矩。但是，我們經(jīng)常有興趣于得到方程式結(jié)構(gòu)的更好的了解。例如，重力項的形式是什么？重力影響的數(shù)量級是否和慣性力的相當？為了考察這種和那種問題，我們常常想寫出逆動力學(xué)的封閉形式。這些封閉形式的方程式可以對、和符號地應(yīng)用遞歸的牛頓－歐拉方程來推導(dǎo)出。它與我們前面推導(dǎo)雅可比的符號形式是所做的相似。6.6.1操作機動力學(xué)的乘積和形式對于操作機的封閉形式的運動方程式可以寫成這樣的形式，作用在各個關(guān)節(jié)的扭矩表達為乘積之和。圖6-6帶桿件末端的點質(zhì)量的2桿例6-3圖6-6帶桿件末端的點質(zhì)量的2桿計算圖6-6所示2桿平面操作機的封閉形式的逆動力學(xué)方程式。為了簡單起見，假設(shè)質(zhì)量分布極簡單：所有質(zhì)量作為一個點質(zhì)量位于各桿件的末梢。這意味寫在質(zhì)量中心處的各個桿件慣性張量為零矩陣（注意盡管各個桿件的慣性張量為零，我們?nèi)詫l(fā)現(xiàn)慣性項出現(xiàn)在動力學(xué)方程式中）。首先我們確定將出現(xiàn)在遞歸牛頓－歐拉方程中的各種量和桿件1的向前迭代（6-50）桿件2的向前迭代（6-51）桿件2的向后迭代（6-52）桿件1的向后迭代（6-53）取出的分量，我們求出關(guān)節(jié)扭矩（6-54）（6-54）式給出促動器扭矩作為關(guān)節(jié)位置，速度和加速度的函數(shù)表達式。讀者可以想像，6自由度操作機的解析方程式會非常復(fù)雜。6.6.2操作機動力學(xué)方程式的普遍結(jié)構(gòu)當牛頓－歐拉方程對任意操作機符號地估值時，它們產(chǎn)生一個可寫為下面形式的動力學(xué)方程式（6-55）式中，為操作機的慣性矩陣。為離心和哥利奧里斯（）項的矢量。為重力項的矢量。和的每項都是與有關(guān)的復(fù)雜函數(shù)，為操作機所有關(guān)節(jié)的位置。的每項為和兩者的復(fù)雜函數(shù)。我們可以把出現(xiàn)在動力學(xué)方程中的各項分離為各種類型而形成操作機的質(zhì)量矩陣、離心和哥氏（）矢量以及重力矢量等。例6-4例6-3中操作機的操作機質(zhì)量矩陣是什么？（6-55）式定義了操作機質(zhì)量矩陣。它由所有乘的項組成，而且是的函數(shù)。因此（6-56）任何操作機質(zhì)量矩陣都是對稱的和和正定的，因而總是可