輪軌非穩(wěn)態(tài)滾動(dòng)接觸時(shí)蠕滑力的計(jì)算

輪軌非穩(wěn)態(tài)滾動(dòng)接觸時(shí)蠕滑力的計(jì)算

車輪之間的非穩(wěn)定滾動(dòng)接觸，也稱為瞬態(tài)滾動(dòng)接觸，是相對(duì)穩(wěn)定滾動(dòng)接觸的一部分。在穩(wěn)態(tài)滾動(dòng)接觸的過程中,接觸斑的大小、外形和其他參數(shù)如蠕滑率、法向力保持不變。如果在滾動(dòng)過程中,接觸斑的外形和其他參數(shù)產(chǎn)生較大變化,這種情況就是非穩(wěn)態(tài)滾動(dòng)接觸。Kalker最早開始研究瞬態(tài)滾動(dòng)問題。他分析了車輪從靜止到穩(wěn)態(tài)滾動(dòng)過程中的二維瞬態(tài)接觸問題,提出了求解輪軌非穩(wěn)態(tài)滾動(dòng)接觸問題的精確理論及其相應(yīng)的數(shù)值求解程序CONTACT。Knothe和Gross-Thebing使用線性系統(tǒng)理論發(fā)展了一種非穩(wěn)態(tài)滾動(dòng)接觸的線性模型,用來描述蠕滑率按簡(jiǎn)諧規(guī)律波動(dòng)時(shí)的非穩(wěn)態(tài)滾動(dòng)蠕滑力的傳遞特性。M¨uu¨ller等使用非穩(wěn)態(tài)滾動(dòng)接觸的線性模型解釋短波波磨的成因。為了提高運(yùn)算速度,Shen和Li開發(fā)了一種非穩(wěn)態(tài)接觸的快速算法,但犧牲了解的精度。Alonso和Gimenes則嘗試修改Kalker簡(jiǎn)化理論中的柔性系數(shù),以便快速計(jì)算非穩(wěn)態(tài)蠕滑力,但僅討論了蠕滑率波動(dòng)的情況。迄今為止,非穩(wěn)態(tài)滾動(dòng)接觸的簡(jiǎn)化理論和快速算法仍是一個(gè)待研究的問題。嚴(yán)格地講,鐵道車輛的輪軌接觸都屬于非穩(wěn)態(tài)滾動(dòng)接觸過程。但是,多數(shù)鐵道車輛動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象,諸如蛇形運(yùn)動(dòng),都很接近穩(wěn)態(tài)滾動(dòng)接觸過程,非穩(wěn)態(tài)的效應(yīng)較弱,使用穩(wěn)態(tài)滾動(dòng)接觸理論能很好地解釋其力學(xué)行為。因此穩(wěn)態(tài)滾動(dòng)接觸理論得到發(fā)展,出現(xiàn)了多種實(shí)用的快速算法,如Fastsim。相對(duì)于穩(wěn)態(tài)滾動(dòng)接觸問題,非穩(wěn)態(tài)滾動(dòng)接觸問題一直未得到充分重視。一方面是由于非穩(wěn)態(tài)滾動(dòng)接觸問題所涉及的應(yīng)用領(lǐng)域較少,非穩(wěn)態(tài)滾動(dòng)接觸的計(jì)算求解復(fù)雜、耗時(shí);另一方面則是由于對(duì)兩者間的差別沒有清楚的認(rèn)識(shí)。為了明晰二者的區(qū)別和適用范圍,在輪軌的蠕滑率、法向力和接觸幾何形狀按簡(jiǎn)諧規(guī)律波動(dòng)的情況下,本文通過對(duì)比由穩(wěn)態(tài)和非穩(wěn)態(tài)滾動(dòng)接觸理論計(jì)算所得蠕滑力的區(qū)別來闡述簡(jiǎn)諧激勵(lì)下輪軌非穩(wěn)態(tài)滾動(dòng)接觸的蠕滑力特性。1非穩(wěn)定壓接觸現(xiàn)象和理論1.1非穩(wěn)態(tài)ux/t當(dāng)車輪在鋼軌上滾動(dòng)時(shí),車輪(或鋼軌)上的一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在其進(jìn)入到離開輪軌接觸斑的過程中,若接觸斑的外形和其他參數(shù)如蠕滑率、法向力和接觸面幾何外形均變化很快,這種滾動(dòng)被稱為非穩(wěn)態(tài)滾動(dòng)接觸。為衡量上述接觸參數(shù)的變化速度,引入一個(gè)無量綱的空間頻率a/L或無量綱的波長(zhǎng)比L/a,其中L為接觸參數(shù)的運(yùn)動(dòng)波長(zhǎng),a為接觸斑縱軸半徑。圖1顯示了一個(gè)非穩(wěn)態(tài)滾動(dòng)接觸的過程。圖中,L/a=16意味著接觸參數(shù)的變化較緩慢,而L/a=4則表示接觸參數(shù)的變化較快。對(duì)于新輪和新軌,通常情況下接觸斑縱軸半徑為5～10mm,即圖1中a的最大值可取a=10mm,由此可判定輪軌接觸動(dòng)力行為是否屬于非穩(wěn)態(tài)滾動(dòng)接觸。例如,蛇形運(yùn)動(dòng)的波長(zhǎng)通常大于5m,L/a>500;從直線進(jìn)入圓曲線的運(yùn)動(dòng)波長(zhǎng)大于10m,L/a>1000;車輪不圓度引起的運(yùn)動(dòng)波長(zhǎng),七階多邊形的邊長(zhǎng)約為400mm,這時(shí)L/a=40,因此上述動(dòng)力學(xué)行為都可以視為穩(wěn)態(tài)滾動(dòng)接觸。但對(duì)于波長(zhǎng)在20～100mm的鋼軌短波波磨,運(yùn)動(dòng)波長(zhǎng)L和接觸斑縱軸半徑a處于同一數(shù)量級(jí),這時(shí)滾動(dòng)接觸的非穩(wěn)態(tài)效應(yīng)較明顯。在輪軌接觸過程中,由于接觸斑存在著法向力及摩擦,接觸斑的材料在切向會(huì)產(chǎn)生彈性變形。作為彈性體滾動(dòng)接觸點(diǎn)對(duì),輪軌接觸點(diǎn)對(duì)在x方向(或一維)的總滑動(dòng)速度為˙W=S+?ux?t+?ux?xdxdt(1)W˙=S+?ux?t+?ux?xdxdt(1)式中:S為輪軌剛體運(yùn)動(dòng)引起的滑動(dòng)速度;?ux為輪軌接觸質(zhì)點(diǎn)對(duì)彈性位移差。對(duì)于穩(wěn)態(tài)情況,?ux/?t=0;對(duì)于非穩(wěn)態(tài)情況,?ux/?t≠0。非穩(wěn)態(tài)?ux/?t的理論建模和數(shù)值分析方法參見文獻(xiàn);?ux/?x為彈性位移差的梯度;dx/dt為車輪前進(jìn)的滾動(dòng)速度。1.2接觸方程的求解Kalker三維滾動(dòng)接觸精確理論及其相應(yīng)的數(shù)值算法是目前求解非穩(wěn)態(tài)滾動(dòng)接觸問題的主要工具。Kalker運(yùn)用變分法,將滾動(dòng)接觸問題的最小余能原理表達(dá)為一個(gè)數(shù)學(xué)優(yōu)化問題。首先設(shè)置潛在的接觸區(qū),潛在的接觸區(qū)設(shè)置為矩形以便于編程,并被劃分為N個(gè)單元,每個(gè)單元可能屬于粘著區(qū)、滑動(dòng)區(qū)或非接觸區(qū),每個(gè)單元內(nèi)的法向應(yīng)力和切向應(yīng)力設(shè)置為定值,然后使用Newton-Raphson算法先優(yōu)化求解法向接觸方程組。法向接觸的優(yōu)化問題為minF1=12Ν∑i=1Ν∑j=1piAizjzpj+Ν∑i=1hipis.t.Ρ0=ΔXΔYΝ∑i=1pi(2)minF1=12∑i=1N∑j=1NpiAizjzpj+∑i=1Nhipis.t.P0=ΔXΔY∑i=1Npi(2)式中:F1為優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)(余能);i、j表示潛在接觸區(qū)的單元編號(hào);pi、pj分別為接觸單元i、j的法向應(yīng)力(未知);hi為接觸單元變形前的法向間距;Aizjz為單元i、j之間的法向應(yīng)力和位移之間的影響系數(shù);ΔX、ΔY為單元i的寬度、長(zhǎng)度;P0為法向正壓力。法向問題求解后,將其結(jié)果代入切向接觸方程組優(yōu)化求解。切向接觸的優(yōu)化問題為minF2=122∑β=12∑γ=1Ν∑i=1Ν∑j=1qiβAiβjγqjγ+2∑β=1Ν∑i=1(Wiβ-u′iβ)qiβs.t.|qi|=√q2iβ+q2iγ≤μpi(3)式中:F2為優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)(余能);qiβ為接觸單元i的切向應(yīng)力(未知);β、γ=1、2分別表示單元的切向方向X和Y;Aiβjγ表示i單元在β方向上由于j單元在γ方向上單位切向應(yīng)力引起的變形;Wiβ為i單元在t時(shí)刻的剛體滑動(dòng)量;u′iβ是i單元由前時(shí)刻t′引起的滑動(dòng)量;qi為單元i的切向合力;pi為單元i的法向力;μ為摩擦系數(shù)。當(dāng)前狀態(tài)結(jié)算完成后,車輪向前移動(dòng)一個(gè)單元長(zhǎng)度,根據(jù)前一時(shí)刻的狀態(tài)重新優(yōu)化求解該時(shí)刻的余能方程。本文中根據(jù)Kalker三維滾動(dòng)接觸精確理論求解余能方程是用Matlab軟件實(shí)現(xiàn)的。由于每向前移動(dòng)一個(gè)單元時(shí),求解非穩(wěn)態(tài)接觸問題的程序就需要重新優(yōu)化以求解該時(shí)刻的余能方程,因此計(jì)算非常耗時(shí)。2非穩(wěn)定軸承接觸的滑動(dòng)性能2.1非穩(wěn)態(tài)模糊性分析非穩(wěn)態(tài)滾動(dòng)接觸具有多種情況。這里參照Knothe和Gross-Theing的研究方法,分析小蠕滑情況下蠕滑率、法向力和接觸幾何形狀按照簡(jiǎn)諧波動(dòng)時(shí)非穩(wěn)態(tài)蠕滑力的特性。首先,由Kalker數(shù)值理論求解得到非穩(wěn)態(tài)蠕滑力。作為對(duì)比,采用沈氏理論(Hertz接觸、穩(wěn)態(tài)理論)計(jì)算上述工況下的蠕滑力。然后運(yùn)用系統(tǒng)辨識(shí)方法對(duì)非穩(wěn)態(tài)蠕滑力進(jìn)行擬合,分析非穩(wěn)態(tài)蠕滑力的傳遞特性。若傳遞函數(shù)存在,再應(yīng)用該傳遞函數(shù)計(jì)算多個(gè)頻率同時(shí)作用時(shí)的非穩(wěn)態(tài)蠕滑力。計(jì)算參數(shù)如下:車輪半徑r0=500mm;靜態(tài)法向力P0=70kN;接觸點(diǎn)處車輪主輪廓線半徑ry=424.3mm;接觸點(diǎn)處鋼軌軌頭主輪廓線半徑rt=300mm。根據(jù)Hertz接觸理論,可求得接觸斑長(zhǎng)軸半徑a=7.14mm,短軸半徑b=3.57mm,則靜態(tài)接觸斑的長(zhǎng)短軸比a/b≈2;摩擦系數(shù)取0.4。2.2復(fù)平面流變相度理論假設(shè)縱向蠕滑率按照簡(jiǎn)諧周期變化ξ=ξ0+Δξ=ξ0+|Δξ|sin(2πxLξ+φ0)(4)式中:ξ0為靜態(tài)縱向蠕滑率;Δξ為縱向蠕滑率的波動(dòng)分量;x為前進(jìn)方向的位置坐標(biāo)值;Lξ為蠕滑率的波長(zhǎng);φ0為蠕滑率的初始相角。若ξ0=0.001,|Δξ|=10%·ξ0,波長(zhǎng)比Lξ/a分別為5及30,由非穩(wěn)態(tài)和穩(wěn)態(tài)理論求得的縱向蠕滑力見圖2。從圖2可見,蠕滑力由直流分量和波動(dòng)分量ΔFξ兩部分組成。對(duì)于蠕滑力的直流分量,由穩(wěn)態(tài)理論和非穩(wěn)態(tài)理論計(jì)算的值基本相當(dāng)。對(duì)波動(dòng)分量ΔFξ,由穩(wěn)態(tài)理論計(jì)算出的結(jié)果與波長(zhǎng)比Lξ/a無關(guān),而由穩(wěn)態(tài)計(jì)算出的結(jié)果則與波長(zhǎng)比Lξ/a密切相關(guān)。當(dāng)波長(zhǎng)比Lξ/a=5時(shí),由非穩(wěn)態(tài)理論計(jì)算出的蠕滑力波動(dòng)分量ΔFξ小于其按穩(wěn)態(tài)理論計(jì)算的值,相位滯后于蠕滑率;當(dāng)波長(zhǎng)比Lξ/a=30時(shí),由非穩(wěn)態(tài)理論計(jì)算出的蠕滑力的波動(dòng)分量ΔFξ和相位與由穩(wěn)態(tài)理論算出的蠕滑力很接近。產(chǎn)生上述差別的原因在于:所有穩(wěn)態(tài)理論都忽略了接觸斑內(nèi)質(zhì)點(diǎn)間的彈性約束效應(yīng)。使用線性系統(tǒng)理論分析非穩(wěn)態(tài)蠕滑率波動(dòng)分量Δξ和蠕滑力波動(dòng)分量ΔFξ之間的關(guān)系。蠕滑率波動(dòng)分量Δξ和蠕滑力波動(dòng)分量ΔFξ之間的幅值增益gξ=|ΔFξ|GabC11|Δξ|(5)式中:G為剪切模量;C11為Kalkar線性理論公式的常數(shù)。蠕滑率波動(dòng)分量Δξ和蠕滑力波動(dòng)分量ΔFξ之間的相位差為φξ=φc-φ0(6)式中:φc為蠕滑力的相位角。根據(jù)幅值增益和相位差可畫出由非穩(wěn)態(tài)理論計(jì)算出的蠕滑力波動(dòng)分量ΔFξ隨Lξ/a變化的奈奎斯特(Nyquist)圖,如圖3所示。圖3中的點(diǎn)表示根據(jù)幅值增益和相位差計(jì)算出的值,曲線表示對(duì)點(diǎn)進(jìn)行擬合得到的傳遞函數(shù)。與伯德(Bode)圖類似,Nyquist圖是系統(tǒng)傳遞特性在復(fù)平面的表達(dá)方式。從圖3看出,波長(zhǎng)比Lξ/a越大,蠕滑力的相角滯后越小,幅值增益也越接近1,即越接近穩(wěn)態(tài)解(Lξ/a→∞表示穩(wěn)態(tài)解);Lξ/a越小,蠕滑力的幅值越小,相位滯后越明顯,當(dāng)Lξ/a→0時(shí),相位滯后達(dá)到90°。從圖3還可看出,隨著靜態(tài)蠕滑率ξ0的增加,蠕滑力波動(dòng)分量的幅值在逐步減小,非穩(wěn)態(tài)效應(yīng)逐漸減弱。更多的計(jì)算表明,即使蠕滑率波動(dòng)幅值|Δξ|取不同數(shù)值,得到的Nyquist圖也是一樣的。圖3中所示的點(diǎn)只是系統(tǒng)頻率特性曲線上的一些離散值,而在線性系統(tǒng)的分析與綜合中,卻更廣泛地使用傳遞函數(shù)的形式。為此,需將使用獲得的頻率特性用曲線擬合的方法,求取它的傳遞函數(shù)表達(dá)式。這里使用倒實(shí)頻特性與倒虛頻特性的最小二乘法,其原理如下。設(shè)系統(tǒng)的傳遞頻率響應(yīng)函數(shù)為G(jω)=1an(jω)n+an-1(jω)n-1+?+a1jω+a0=A(ω)ejφ(ω)=Ρ(ω)+jQ(ω)(7)式中:P(ω)為系統(tǒng)的實(shí)頻特性;Q(ω)為系統(tǒng)的虛頻特性。為了簡(jiǎn)化計(jì)算,采用倒幅相特性的實(shí)部Re(ω)與虛部Im(ω),則式(7)轉(zhuǎn)換為1G(jω)=an(jω)n+an-1(jω)n-1+?+a1jω+a0=Re(ω)+jΙm(ω)(8)從式(7)、式(8)可得{Re(ω)=Ρ(ω)Ρ2(ω)+Q2(ω)=a0-a2ω2+a4ω4-?Ιm(ω)=Q(ω)Ρ2(ω)+Q2(ω)=a1ω-a3ω3+a5ω5-?(9)式(9)就是根據(jù)頻率特性確定傳遞函數(shù)的基本關(guān)系式。具體操作步驟是:在仿真獲得的頻率特性曲線上選擇m個(gè)點(diǎn),找到對(duì)應(yīng)這m個(gè)頻率的實(shí)頻P(ω)與虛頻Q(ω),通過式(9)計(jì)算出仿真獲得對(duì)象的倒實(shí)頻Re(ω)與倒虛頻Im(ω)。通常情況下,仿真的點(diǎn)數(shù)m遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于系統(tǒng)的階數(shù)n,即m?n?？刹捎米钚《朔?使模型與仿真數(shù)據(jù)在最小方差上獲得最好的擬合。傳遞函數(shù)的階數(shù)n可由仿真得到的頻率特性曲線,在頻率從0到∞時(shí)所通過的象限數(shù)來決定。但由于仿真不可能包括從0到∞的區(qū)域,這時(shí)可按高頻段相頻特性的斜率來決定。也可以用低階逐次升高一階的方法,比較誤差函數(shù)的大小,以誤差函數(shù)取得最小值的階數(shù)為準(zhǔn)。采用以上方法對(duì)圖3所示的離散點(diǎn)進(jìn)行擬合,可得到如下傳遞函數(shù)ΔFξΔξ=GabC11?1c0+c1jω(10)式中:ω=4π(a/Lξ),擬合常數(shù)c0、c1見表1。式(10)說明蠕滑率簡(jiǎn)諧波動(dòng)時(shí),非穩(wěn)態(tài)縱向蠕滑力具有一階系統(tǒng)的傳遞特性。該傳遞函數(shù)表達(dá)了在穩(wěn)態(tài)蠕滑率附近,微小快速變化的蠕滑率與蠕滑力之間的關(guān)系。式(10)中的系數(shù)c0、c1與滑動(dòng)區(qū)占整個(gè)接觸斑的比例近似呈線性關(guān)系,見圖4。這時(shí)因?yàn)閮H有蠕滑率波動(dòng),接觸斑的形狀和大小都沒有變化,改變的僅是滑動(dòng)區(qū)和黏著區(qū)的比例。因此可推斷,在接觸斑的長(zhǎng)短比確定的條件下,傳遞函數(shù)的系數(shù)c0、c1僅與滑動(dòng)區(qū)的比例有關(guān)。參照文獻(xiàn)的定義,對(duì)式(10)做如下變換ΔFξ=GabC11c0+c1jωΔξ=Gab?C11Δξ(11)其中?C11C11=1c0+c1jω(12)式(11)與Kalkar線性理論具有相同的形式,所不同是蠕滑系數(shù)。Kalkar線性理論中,縱向蠕滑系數(shù)C11是一個(gè)常數(shù)(穩(wěn)態(tài)條件)。而式(12)說明,在非穩(wěn)態(tài)條件下,蠕滑系數(shù)?C11是波長(zhǎng)比Lξ/a的頻率響應(yīng)函數(shù)。應(yīng)用同樣的方法可得到類似的橫向和自旋蠕滑系數(shù)?C22、?C23,其中?C22具有與?C11相同的傳遞函數(shù)形式,而?C23的Nyquist圖見圖5,其傳遞函數(shù)具有三階系統(tǒng)的形式,如式(13)所示。?C23C23=1c0+c1(jω)+c2(jω)2+c3(jω)3(13)式(13)中的系數(shù)見表2。以上擬合得到的傳遞函數(shù)?C11和?C22,與Knothe和Gross-Thebing推導(dǎo)的結(jié)果是一致的,但?C23有所區(qū)別。這里擬合得到的?C23是一個(gè)三階系統(tǒng),而文獻(xiàn)中?C23是一個(gè)二階系統(tǒng)。以上推導(dǎo)的傳遞函數(shù)雖然是根據(jù)單一頻率激勵(lì)得到的,但它對(duì)多個(gè)頻率蠕滑率激勵(lì)的情況同樣有效。根據(jù)上述傳遞函數(shù)可快速計(jì)算多個(gè)頻率蠕滑率同時(shí)存在的蠕滑力。圖6為多個(gè)頻率的蠕滑率激勵(lì)下由傳遞函數(shù)式(11)和基于Kalker數(shù)值理論程序計(jì)算得到的蠕滑力。可見,兩者的波形完全一致,同樣的結(jié)論也反映在頻域上。圖6同時(shí)給出了由穩(wěn)態(tài)理論計(jì)算得到的蠕滑力。顯然,穩(wěn)態(tài)理論的解沒有反映蠕滑力的滯后現(xiàn)象,同時(shí)也高估了高頻段的蠕滑力。2.3u3000等深粗糙度波動(dòng)的頻率特征設(shè)鋼軌軌面高度的變化(粗糙度)z按照簡(jiǎn)諧周期變化為z=Ζ0sin(2πxLz+φ1)(14)式中:Lz為簡(jiǎn)諧粗糙度的波長(zhǎng);Z0為其波峰高度;φ1為簡(jiǎn)諧粗糙度的初始相位角。圖7為鋼軌軌面粗糙度簡(jiǎn)諧波動(dòng)時(shí)由非穩(wěn)態(tài)和穩(wěn)態(tài)理論求得的縱向蠕滑力。圖7中,粗糙度幅值Z0=5μm,縱向蠕滑率取0.1%?？梢?縱向蠕滑力也可視為由2部分組成:直流分量和波動(dòng)分量。對(duì)于直流分量,由穩(wěn)態(tài)理論和非穩(wěn)態(tài)理論計(jì)算的值基本相當(dāng)。對(duì)波動(dòng)分量,由穩(wěn)態(tài)理論計(jì)算的蠕滑力在波峰處最小,在波谷處最大,其波形的相位正好與軌面粗糙度的相位相反;而由非穩(wěn)態(tài)理論計(jì)算的蠕滑力相位隨著波長(zhǎng)比Lz/a的變化而變化,Lz/a越小,相位滯后越明顯。為了分析非穩(wěn)態(tài)縱向蠕滑力與鋼軌軌面簡(jiǎn)諧粗糙度波動(dòng)的內(nèi)在聯(lián)系,引入鋼軌軌面簡(jiǎn)諧粗糙度(波磨)的深度指數(shù)α為式中:r0為車輪半徑;Lz為簡(jiǎn)諧粗糙度的波長(zhǎng);Z0為其波峰高度。α越大,表示鋼軌軌面的粗糙度(波磨)越淺;α越小,表示鋼軌軌面波磨越深。當(dāng)車輪直徑給定后,等深度波磨的波長(zhǎng)和波峰高度可由式(15)確定。圖8為等深波磨的幅值和波長(zhǎng)值,其中車輪半徑Rw=500mm。對(duì)于等深度的鋼軌波磨,由穩(wěn)態(tài)理論求得的蠕滑力波動(dòng)分量的幅值是相等的,而由非穩(wěn)態(tài)理論求得的蠕滑力波動(dòng)分量的幅值與波長(zhǎng)比Lz/a有關(guān),Lz/a越小,幅值越小。為了分析蠕滑力的波動(dòng)分量與簡(jiǎn)諧粗糙度波長(zhǎng)比的變化規(guī)律,定義蠕滑力中波動(dòng)分量的增益為gh=|ΔFz||ΔFs|(16)式中:|ΔFz|為非穩(wěn)態(tài)理論計(jì)算出的縱向蠕滑力波動(dòng)分量的幅值;|ΔFs|為穩(wěn)態(tài)理論計(jì)算出的縱向蠕滑力波動(dòng)分量的幅值。類似式(6),縱向蠕滑力波動(dòng)分量相位差φh的定義為φh=φz-φ1(17)式中,φz為蠕滑力的相位角。圖9為等深粗糙度情況下縱向蠕滑力的波動(dòng)分量ΔFz隨波長(zhǎng)比Lz/a變化的Nyquist圖(縱向蠕滑率取0.1%時(shí))。圖中的點(diǎn)表示其計(jì)算值,曲線表示由計(jì)算值擬合的傳遞函數(shù)。從圖9看出,與蠕滑率波動(dòng)的情況類似,波長(zhǎng)比Lz/a越大,蠕滑力的相角滯后越小,幅值增益也越接近1,即越接近穩(wěn)態(tài)解(L/a→∞表示穩(wěn)態(tài)解);隨著Lz/a減小,蠕滑力波動(dòng)的幅值逐漸減小,滯后相位逐漸增加,當(dāng)L/a→0時(shí),相位滯后達(dá)到180°。從圖9還可看出,軌面的粗糙度(波磨)越淺,蠕滑力的波動(dòng)成分越小;粗糙度越深,蠕滑力的波動(dòng)成分越大。根據(jù)圖9所示的Nyquist圖,采用頻率響應(yīng)的系統(tǒng)辨識(shí)方法可擬合得到以下傳遞函數(shù)Η11=ΔFzΔFs=1c0+c1jω+c2(jω)2(18)式中的擬合常數(shù)c0、c1、c2見表3。根據(jù)式(18)的傳遞函數(shù),可以快速計(jì)算等深度條件下多個(gè)頻率鋼軌粗糙度同時(shí)存在的蠕滑力。圖10為波長(zhǎng)比為5a、10a、20a的粗糙度同時(shí)激勵(lì)時(shí)由傳遞函數(shù)式(18)和由Kalker數(shù)值理論計(jì)算得到的蠕滑力?？梢?兩者的波形一樣,同樣的結(jié)論也反映在頻域上。圖10同時(shí)給出了由穩(wěn)態(tài)理論計(jì)算得到的波形。由穩(wěn)態(tài)理論得到的蠕滑力頻域上總是滯后180°,且高估了縱向蠕滑力高頻段的波動(dòng)分量。2.4ln/a對(duì)-10.模型的影響假設(shè)法向力按照簡(jiǎn)諧周期變化Ν=Ν0+ΔΝ=Ν0+|ΔΝ|sin(2πxLΝ+φ2)(19)式中:N0為靜態(tài)法向力;ΔN為法向力的波動(dòng)分量;LN為法向力的運(yùn)動(dòng)波長(zhǎng);φ2為法向力的初始相位角。在法向力簡(jiǎn)諧變化的情況下,接觸斑的面積也隨著變化,但接觸斑的長(zhǎng)短軸比不變(根據(jù)Hertz接觸理論,接觸斑的長(zhǎng)短軸之比僅取決于接觸點(diǎn)主輪廓線半徑)。圖11給出了法向力波動(dòng)幅值σN=10%、縱向蠕滑率取0.1%、波長(zhǎng)比LN/a=5時(shí),由非穩(wěn)態(tài)和穩(wěn)態(tài)理論求得的縱向蠕滑力?？梢?由非穩(wěn)態(tài)理論計(jì)算出的蠕滑力波動(dòng)值小于由穩(wěn)態(tài)理論計(jì)算出的值,相位也滯后于法向力。參照式(5),定義蠕滑力中波動(dòng)分量ΔFf和正壓力波動(dòng)分量之間的幅值增益為gΝ=|ΔFf|Ga0b0C11ξσΝ(20)式中:ΔFf為蠕滑力的波動(dòng)部分;a0b0為靜態(tài)接觸班面積;ξ為蠕滑率;σN為法向力波動(dòng)幅值。參照式(6)定義蠕滑力波動(dòng)分量相位差φΝ=φf-φ2(21)式中,φf是蠕滑力的相位角。根據(jù)式(20)和式(21)的定義,可得到法向力波動(dòng)時(shí)蠕滑力波動(dòng)部分隨LN/a變化的Nyquist圖,如圖12所示?？梢?當(dāng)LN/a逐漸減小時(shí),蠕滑力的波動(dòng)幅值逐漸減小。當(dāng)L/a→∞時(shí),相位角趨近于零;當(dāng)L/a→0時(shí),相位角也趨近于零;在LN/a∈,蠕滑力的相位滯后達(dá)到最大,但不超過45°。這樣的Nyquist圖所表示的不是一階系統(tǒng)或二階系統(tǒng),也很難用傳遞函數(shù)來表達(dá)。從圖12中還可看出,當(dāng)法向力的波動(dòng)幅值變化時(shí),蠕滑力波動(dòng)的增益值也在變化。當(dāng)多個(gè)頻率的法向力同時(shí)波動(dòng)時(shí),各個(gè)頻段的蠕滑力會(huì)產(chǎn)生相互干涉作用。圖13給出了波長(zhǎng)為5a、10a、15a、30a的4個(gè)法向力同時(shí)作用時(shí)的縱向蠕滑力波形和頻譜?？梢?多頻法向力作用下蠕滑力的頻譜不同于單頻法向力作用下的頻譜,也與由穩(wěn)態(tài)理論計(jì)算出的結(jié)果不同,這一點(diǎn)不同于蠕滑率波動(dòng)、接觸幾何波動(dòng)所產(chǎn)生的效果。3滾動(dòng)式小動(dòng)物動(dòng)力的非穩(wěn)態(tài)響應(yīng)穩(wěn)態(tài)滾動(dòng)接觸理論使用的先決條件是其接觸斑尺寸與運(yùn)動(dòng)波長(zhǎng)相比很小,這時(shí)滾動(dòng)接觸可作為穩(wěn)態(tài)過程來看待,這對(duì)處理所有低頻的車輛動(dòng)力學(xué)問題是恰當(dāng)?shù)?。根?jù)Kalker和Gross-Thebing的研究,當(dāng)L/a小于