四川省青神中學(xué)2024屆高二上數(shù)學(xué)期末檢測模擬試題含解析

四川省青神中學(xué)2024屆高二上數(shù)學(xué)期末檢測模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖，四棱錐中，底面是邊長為的正方形，平面，為底面內(nèi)的一動點，若，則動點的軌跡在（）A.圓上 B.雙曲線上C.拋物線上 D.橢圓上2．、是橢圓的左、右焦點，點在橢圓上，，過作的角平分線的垂線，垂足為，則的長為A.1 B.2C.3 D.43．已知向量，滿足條件，則的值為（）A.1 B.C.2 D.4．，則與分別為（）A.與 B.與C.與0 D.0與5．已知函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為，則（）A. B.C. D.6．已知為等差數(shù)列，為其前n項和，，則下列和與公差無關(guān)的是（）A. B.C. D.7．已知的周長為，頂點、的坐標(biāo)分別為、，則點的軌跡方程為（）A. B.C. D.8．不等式解集為（）A. B.C. D.9．若一個正方體的全面積是72，則它的對角線長為（）A. B.12C. D.610．若a>b，c>d，則下列不等式中一定正確的是（）A. B.C. D.11．如圖，在四棱錐中，底面ABCD是平行四邊形，已知，，，，則（）A. B.C. D.12．若點P是曲線上任意一點，則點P到直線的最小距離為（）A.0 B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某市開展“愛我內(nèi)蒙，愛我家鄉(xiāng)”攝影比賽，9位評委給參賽作品A打出的分?jǐn)?shù)如莖葉圖所示，記分員算得平均分為91，復(fù)核員在復(fù)核時，發(fā)現(xiàn)一個數(shù)字（莖葉圖中的x）無法看清，若記分員計算無誤，則數(shù)字x應(yīng)該是______14．已知拋物線的準(zhǔn)線方程為，在拋物線C上存在A、B兩點關(guān)于直線對稱，設(shè)弦AB的中點為M，O為坐標(biāo)原點，則的值為___________.15．已知數(shù)列滿足（），設(shè)數(shù)列滿足：，數(shù)列的前項和為，若（）恒成立，則的取值范圍是________16．已知數(shù)列的前4項依次為，，，，則的一個通項公式為________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的短軸長是2，且離心率為（1）求橢圓E的方程；（2）已知，若直線與橢圓E相交于A，B兩點，線段AB的中點為M，是否存在常數(shù)，使恒成立，并說明理由18．（12分）已知函數(shù)，在處有極值.（1）求、的值；（2）若，有個不同實根，求的范圍.19．（12分）已知三角形內(nèi)角所對的邊分別為，且C為鈍角.（1）求cosA；（2）若，，求三角形的面積.20．（12分）為了了解高一年級學(xué)生的體能情況，某校抽取部分學(xué)生進行一分鐘跳繩次數(shù)測試，將所得數(shù)據(jù)整理后，畫出頻率分布直方圖(如圖所示)，圖中從左到右各小長方形面積之比為2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小組的頻數(shù)為12（1）第二小組的頻率是多少？樣本量是多少？（2）若次數(shù)在110以上(含110次)為達標(biāo)，則該校全體高一年級學(xué)生的達標(biāo)率是多少？（3）樣本中不達標(biāo)的學(xué)生人數(shù)是多少？（4）第三組的頻數(shù)是多少？21．（12分）已知拋物線：的焦點為，點在上，點在的內(nèi)側(cè)，且的最小值為.（1）求的方程；（2）為坐標(biāo)原點，點A在y軸正半軸上，點B，C為E上兩個不同的點，其中B點在第四象限，且AB，互相垂直平分，求四邊形AOBC的面積.22．（10分）在數(shù)列中，，是與的等差中項，（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列（2）令，求數(shù)列的前項的和

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】根據(jù)題意，得到兩兩垂直，以點為坐標(biāo)原點，分別以為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，由題意，得到，，再由得到，求出點的軌跡，即可得出結(jié)果.【詳解】由題意，兩兩垂直，以點為坐標(biāo)原點，分別以為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因為底面是邊長為的正方形，則，，因為為底面內(nèi)的一動點，所以可設(shè)，因此，，因為平面，所以，因此，所以由得，即，整理得：，表示圓，因此，動點的軌跡在圓上.故選：A.【點睛】本題主要考查立體幾何中的軌跡問題，靈活運用空間向量的方法求解即可，屬于常考題型.2、A【解析】延長交延長線于N,則選:A.【點睛】涉及兩焦點問題，往往利用橢圓定義進行轉(zhuǎn)化研究，而角平分線性質(zhì)可轉(zhuǎn)化到焦半徑問題，兩者切入點為橢圓定義.3、A【解析】先求出坐標(biāo)，進而根據(jù)空間向量垂直的坐標(biāo)運算求得答案.【詳解】因為，所以，解得.故選：A.4、C【解析】利用正弦函數(shù)和常數(shù)導(dǎo)數(shù)公式，結(jié)合代入法進行求解即可.【詳解】因為，所以，所以，，故選：C5、C【解析】利用導(dǎo)數(shù)的定義即可求出【詳解】故選：C6、C【解析】依題意根據(jù)等差數(shù)列的通項公式可得，再根據(jù)等差數(shù)列前項和公式計算可得；【詳解】解：因為，所以，即，所以，，，，故選：C7、D【解析】分析可知點的軌跡是除去長軸端點的橢圓，求出、的值，結(jié)合橢圓焦點的位置可得出頂點的軌跡方程.【詳解】由已知可得，，且、、三點不共線，故點的軌跡是以、為焦點，且除去長軸端點的橢圓，由已知可得，得，，則，因此，點的軌跡方程為.故選：D.8、C【解析】化簡一元二次不等式的標(biāo)準(zhǔn)形式并求出解集即可.【詳解】不等式整理得，解得或，則不等式解集為.故選：.9、D【解析】根據(jù)全面積得到正方體的棱長，再由勾股定理計算對角線.【詳解】設(shè)正方體的棱長為，對角線長為，則有，解得，從而，解得.故選：D10、B【解析】根據(jù)不等式的性質(zhì)及反例判斷各個選項.【詳解】因為c>d，所以，所以，所以B正確；時，不滿足選項A；時，，且，所以不滿足選項CD；故選：B11、A【解析】利用空間向量加法法則直接求解【詳解】連接BD，如圖，則故選：A12、D【解析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得曲線上與直線平行的切線方程的切線坐標(biāo)，求出切點到直線的距離即為所求最小距離【詳解】點是曲線上的任意一點，設(shè)，令，解得1或（舍去），，∴曲線上與直線平行的切線的切點為，點到直線的最小距離.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】由平均數(shù)列出方程，求出x的值.【詳解】由題意得：，解得：.故答案為：114、5【解析】先運用點差法得到，然后通過兩點距離公式求出結(jié)果詳解】解：拋物線的準(zhǔn)線方程為，所以，解得，所以拋物線的方程為，設(shè)點，，，，的中點為，，則，，兩式相減得，即，又因為，兩點關(guān)于直線對稱，所以，解得，可得，則，故答案為：515、【解析】先由條件求出的通項公式，得到，由裂項相消法再求出，根據(jù)不等式恒成立求出參數(shù)的范圍即可.【詳解】當(dāng)時，有當(dāng)時，由①有②由①－②得：所以，當(dāng)時也成立.所以,故則由，即，所以所以，由所以故答案為：【點睛】本題考查求數(shù)列的通項公式，考查裂項相消法求和以及數(shù)列不等式問題，屬于中檔題.16、（答案不唯一）【解析】觀察數(shù)列前幾項，找出規(guī)律即可寫出通項公式.【詳解】根據(jù)數(shù)列前幾項，先不考慮正負，可知，再由奇數(shù)項為負，偶數(shù)項為正，可得到一個通項公式，故答案為：（不唯一）三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）存在，理由見解析.【解析】(1)利用離心率，短軸長求出a，b，即可求得橢圓方程.(2)聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達定理計算判定，由M為線段AB中點即可確定存在常數(shù)推理作答.【小問1詳解】因橢圓的短軸長是2，則，而離心率，解得，所以橢圓方程為.【小問2詳解】存在常數(shù)，使恒成立，

由消去y并整理得：，設(shè)，，則，，又，，，則有，而線段AB的中點為M，于是得，并且有所以存在常數(shù)，使恒成立.18、（1），（2）【解析】（1）根據(jù)題設(shè)條件可得，由此可解得與的值（2）依題意可知直線與函數(shù)的圖象有三個不同的交點，則的取值范圍介于極小值與極大值之間.【小問1詳解】因為函數(shù)，在處有極值，所以，即，解得，.【小問2詳解】由（1）知，，所以在上，，單調(diào)遞增，在上，，單調(diào)遞減，在上，，單調(diào)遞增，所以，，若有3個不同實根，則，所以的取值范圍為.19、（1）（2）【解析】（1）由正弦定理邊化角，可求得角的正弦，由同角關(guān)系結(jié)合條件可得答案.(2)由（1），由余弦定理，求出邊的長，進一步求得面積【小問1詳解】因為，由正弦定理得因為，所以.因為角為鈍角，所以角為銳角，所以小問2詳解】由(1)，由余弦定理，得，所以，解得或，不合題意舍去，故的面積為=20、（1）0.08，150；（2）88%；（3）18；（4）51.【解析】頻率分布直方圖以面積的形式反映數(shù)據(jù)落在各小組內(nèi)的頻率大小，所以計算面積之比即為所求小組的頻率.可用此方法計算（1），（2），由公式直接計算可得（1）中樣本容量；根據(jù)（2）問中的達標(biāo)率，可計算不達標(biāo)率，從而求出不達標(biāo)人數(shù)，可得（3）；單獨計算第三組的頻率，由公式計算頻數(shù)，可求出（4）.【小問1詳解】頻率分布直方圖以面積形式反映數(shù)據(jù)落在各小組內(nèi)的頻率大小，因此第二小組的頻率為＝0.08所以樣本容量＝＝150.【小問2詳解】由直方圖可估計該校高一年級學(xué)生的達標(biāo)率為×100%＝88%.【小問3詳解】由（1）（2）知達標(biāo)率為88%，樣本量為150，不達標(biāo)的學(xué)生頻率為1－0.88＝0.12所以樣本中不達標(biāo)的學(xué)生人數(shù)為150×0.12＝18(人)【小問4詳解】第三小組的頻率為＝0.34又因為樣本量為150，所以第三組的頻數(shù)為150×0.34＝5121、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合拋物線定義，可求得，即得拋物線方程；（2）由題意推出四邊形AOBC是菱形.，設(shè)，根據(jù)拋物線的對稱性，可表示出B,C的坐標(biāo)，從而利用向量的坐標(biāo)運算，求得所設(shè)參數(shù)值，進而求得答案.【小問1詳解】的準(zhǔn)線為：，作于R，根據(jù)拋物線的定義有，所以，因為在的內(nèi)側(cè)，所以當(dāng)P，Q，R三點共線時，取得最小值，此時，解得，所以的方程為.小問2詳解】因為AB，OC互相垂直平分，所以四邊形AO