圖論在統(tǒng)計(jì)中的應(yīng)用

圖論在統(tǒng)計(jì)中的應(yīng)用①圖論算法研究圖論算法在計(jì)算機(jī)科學(xué)中扮演著很重要的角色，它提供了對(duì)很多問題都有效的一種簡(jiǎn)單而系統(tǒng)的建模方式。很多問題都可以轉(zhuǎn)化為圖論問題，然后用圖論的基本算法加以解決。本方向研究?jī)?nèi)容涉及圖的最優(yōu)劃分問題，圖的遍歷與活動(dòng)網(wǎng)絡(luò)問題，譜聚類算法等。②結(jié)構(gòu)圖論研究研究給定條件的圖結(jié)構(gòu)，比如，匹配覆蓋圖、有Pfaffian定向的圖結(jié)構(gòu)。應(yīng)用結(jié)構(gòu)圖論、組合計(jì)數(shù)、矩陣代數(shù)來研究化學(xué)分子的各種結(jié)構(gòu)性質(zhì)和化學(xué)物理性質(zhì)。本方向研究?jī)?nèi)容還涉及分子圖的極圖結(jié)構(gòu)、穩(wěn)定性估計(jì)、熱力學(xué)性質(zhì)等各種拓?fù)渲笜?biāo)、完美匹配計(jì)數(shù)問題等。概述圖可用于在物理、生物、社會(huì)和信息系統(tǒng)中建模許多類型的關(guān)系和過程，許多實(shí)際問題可以用圖來表示。因此，圖論成為運(yùn)籌學(xué)、控制論、信息論、網(wǎng)絡(luò)理論、博弈論、物理學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、社會(huì)科學(xué)、語(yǔ)言學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)等眾多學(xué)科強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)工具。在強(qiáng)調(diào)其應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)世界的系統(tǒng)時(shí)，網(wǎng)絡(luò)有時(shí)被定義為一個(gè)圖，其中屬性(例如名稱)之間的關(guān)系以節(jié)點(diǎn)和或邊的形式關(guān)聯(lián)起來。對(duì)現(xiàn)實(shí)生活中的場(chǎng)景抽象建模，再結(jié)合圖論相關(guān)算法與知識(shí)解決實(shí)際問題分述計(jì)算機(jī)科學(xué)圖被用來表示通信網(wǎng)絡(luò)、數(shù)據(jù)組織、計(jì)算設(shè)備、程序執(zhí)行流程、芯片設(shè)計(jì)等網(wǎng)站的鏈接結(jié)構(gòu)可以用一個(gè)有向圖表示，其中頂點(diǎn)表示網(wǎng)頁(yè)，有向邊表示從一個(gè)頁(yè)面到另一個(gè)頁(yè)面的鏈接語(yǔ)言學(xué)各種形式的圖論方法已證明在語(yǔ)言學(xué)中特別有用，因?yàn)樽匀徽Z(yǔ)言常常適合于離散結(jié)構(gòu)。傳統(tǒng)上，語(yǔ)法和組合語(yǔ)義遵循基于樹的結(jié)構(gòu)，其表達(dá)能力取決于組合原則，在層次圖中建模。更現(xiàn)代的方法，如頭驅(qū)短語(yǔ)結(jié)構(gòu)語(yǔ)法，使用類型化特征結(jié)構(gòu)對(duì)自然語(yǔ)言的語(yǔ)法建模，這些特征結(jié)構(gòu)是有向無(wú)環(huán)圖。在詞匯語(yǔ)義學(xué)中，特別是在計(jì)算機(jī)上，當(dāng)一個(gè)給定的單詞被相關(guān)的單詞理解時(shí)，建模單詞的意義就更加容易了。因此，語(yǔ)義網(wǎng)絡(luò)在計(jì)算語(yǔ)言學(xué)中非常重要。音系學(xué)中的其他方法(例如，使用格點(diǎn)圖的最優(yōu)性理論)和形態(tài)學(xué)(例如，使用有限狀態(tài)形態(tài)學(xué)，使用有限狀態(tài)傳感器)在語(yǔ)言作為圖的分析中也很常見。如TextGraphs、WordNet與VerbNet等物理與化學(xué)圖論也被用來研究化學(xué)和物理中的分子。在凝聚態(tài)物理中，通過收集與原子拓?fù)溆嘘P(guān)的圖論性質(zhì)的統(tǒng)計(jì)量，可以定量地研究復(fù)雜的模擬原子結(jié)構(gòu)的三維結(jié)構(gòu)。此外，“費(fèi)曼圖和計(jì)算規(guī)則將量子場(chǎng)論總結(jié)成一種與人們想要理解的實(shí)驗(yàn)數(shù)字密切相關(guān)的形式。”在化學(xué)中，圖是分子的自然模型，頂點(diǎn)表示原子，邊表示鍵。這種方法特別用于分子結(jié)構(gòu)的計(jì)算機(jī)處理，從化學(xué)編輯器到數(shù)據(jù)庫(kù)搜索。在統(tǒng)計(jì)物理學(xué)中，圖可以表示系統(tǒng)相互作用部分之間的局部連接，以及系統(tǒng)上物理過程的動(dòng)態(tài)。類似地，在計(jì)算神經(jīng)科學(xué)中，圖可以用來表示大腦區(qū)域之間的功能連接，這些區(qū)域相互作用產(chǎn)生各種認(rèn)知過程，其中頂點(diǎn)代表大腦的不同區(qū)域，而邊緣代表這些區(qū)域之間的連接。圖論在電氣網(wǎng)絡(luò)的電氣建模中起著重要的作用，在這里，權(quán)值與線段的電阻有關(guān)，從而獲得網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的電氣特性。用圖表示多孔介質(zhì)的微尺度通道，其中頂點(diǎn)表示孔隙，邊表示連接孔隙的較小通道?；瘜W(xué)圖論利用分子圖作為分子模型的一種方法。社會(huì)科學(xué)類似莫雷諾社會(huì)圖的使用使得圖論也被廣泛地應(yīng)用于社會(huì)學(xué)中，作為一種衡量演員聲望或探索謠言傳播的方法，特別是通過使用社會(huì)網(wǎng)絡(luò)分析軟件。在社交網(wǎng)絡(luò)的保護(hù)傘下，有許多不同類型的圖。熟人圖和友誼圖描述了人們是否互相認(rèn)識(shí)。影響圖是一種模型，用來描述某個(gè)人是否能夠影響其他人的行為。最后，協(xié)作圖建模兩個(gè)人是否以特定的方式一起工作，例如一起在電影中表演。生物學(xué)圖論在生物學(xué)和保護(hù)工作中也很有用，其中一個(gè)頂點(diǎn)可以表示某些物種存在(或棲息)的區(qū)域，而邊緣則表示這些區(qū)域之間的遷移路徑或移動(dòng)。當(dāng)觀察繁殖模式或跟蹤疾病、寄生蟲的傳播或運(yùn)動(dòng)的變化如何影響其他物種時(shí)，這些信息非常重要。圖論也被用于連接學(xué);神經(jīng)系統(tǒng)可以被看作是一個(gè)圖，其中節(jié)點(diǎn)是神經(jīng)元，邊緣是它們之間的連接。圖論可用于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建模與腦區(qū)活動(dòng)數(shù)學(xué)在數(shù)學(xué)中，圖形在幾何學(xué)和拓?fù)涞哪承┎糠秩缃Y(jié)理論中是有用的。代數(shù)圖論與群論有著密切的聯(lián)系。代數(shù)圖論已經(jīng)應(yīng)用于包括動(dòng)態(tài)系統(tǒng)和復(fù)雜性在內(nèi)的許多領(lǐng)域。金融金融系統(tǒng)可被視為一組相互關(guān)聯(lián)的經(jīng)濟(jì)主體，如零售、投資銀行、保險(xiǎn)公司、投資基金、中央銀行、監(jiān)管機(jī)構(gòu)、金融科技公司、非金融公司和家庭等。這些經(jīng)濟(jì)主體之間的關(guān)系通常通過合同正式確定，如貸款（兩家銀行之間，或銀行借貸給公司，或銀行借貸給家庭）、互惠所有權(quán)或保險(xiǎn)單。但這種關(guān)系也可以是隱性的，比如不同主體對(duì)同一種資產(chǎn)的投資就構(gòu)成了一種間接關(guān)系。因此，將金融系統(tǒng)表示為一個(gè)網(wǎng)絡(luò)是很自然的，在這個(gè)網(wǎng)絡(luò)中，節(jié)點(diǎn)代表經(jīng)濟(jì)主體，連邊代表它們之間的關(guān)系。在一對(duì)主體之間，通常有幾種隨時(shí)間變化的關(guān)系。因此，金融系統(tǒng)最真實(shí)的表現(xiàn)形式是時(shí)序多層網(wǎng)絡(luò)（temporalmultiplexnetwork）。然而，在許多情況下，人們關(guān)注的是單個(gè)過程，其時(shí)間尺度比這些關(guān)系變化的時(shí)間尺度短得多。這種簡(jiǎn)化使得將金融系統(tǒng)表示為單層靜態(tài)網(wǎng)絡(luò)成為可能。將金融系統(tǒng)表示為一個(gè)網(wǎng)絡(luò)，可以對(duì)主體之間的沖擊傳播進(jìn)行顯式建模。金融系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)建模對(duì)于捕捉金融機(jī)構(gòu)之間的復(fù)雜關(guān)系至關(guān)重要。金融網(wǎng)絡(luò)展示了金融系統(tǒng)中有大量重要現(xiàn)象可以從金融行為者之間的相互作用來理解。例如，如果某項(xiàng)資產(chǎn)的價(jià)格暴跌，不僅會(huì)影響那些投資于該資產(chǎn)的投資者，還會(huì)影響那些投資于這些投資者債務(wù)的債權(quán)人。由于存在錯(cuò)綜復(fù)雜的契約鏈和反饋機(jī)制，由此產(chǎn)生的影響可能比最初的沖擊大得多。與復(fù)雜系統(tǒng)的其他領(lǐng)域一樣，系統(tǒng)層面不穩(wěn)定性的出現(xiàn)能從網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)（例如：封閉鏈）及其連邊和節(jié)點(diǎn)的關(guān)鍵屬性（例如：與風(fēng)險(xiǎn)傳播和財(cái)務(wù)杠桿有關(guān)的屬性）的相互作用中理解。盡管我們都知道豐富的數(shù)據(jù)集對(duì)許多領(lǐng)域復(fù)雜系統(tǒng)的研究有巨大幫助，但由于保密問題，金融網(wǎng)絡(luò)上的分類數(shù)據(jù)往往無(wú)法獲得。學(xué)者們嘗試從部分信息中估計(jì)金融網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)來解決這個(gè)問題，并通過網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的變化來識(shí)別不穩(wěn)定的預(yù)警信號(hào)。在金融交易的過程中構(gòu)成交易圖譜，使得圖論的相關(guān)算法具有與金融網(wǎng)絡(luò)十分相符，隨著區(qū)塊鏈的普及，在區(qū)塊鏈結(jié)構(gòu)上的交易日益增多，更使得隱私訴求顯得更加重要。規(guī)劃政府或公司可以用圖論進(jìn)行道路交通規(guī)劃或者路徑優(yōu)化，加權(quán)的邊可以表示限速或者車道的數(shù)量。建模人員可以用這個(gè)系統(tǒng)來判斷最佳路線及最有可能堵車的街道。航空公司可以用圖來為其飛行系統(tǒng)建模。將每個(gè)機(jī)場(chǎng)看成頂點(diǎn)，將經(jīng)過兩個(gè)頂點(diǎn)的每條航線看作一條邊。加權(quán)的邊可以看作從一個(gè)機(jī)場(chǎng)到另一個(gè)機(jī)場(chǎng)的航班成本，或兩個(gè)機(jī)場(chǎng)之間的距離。其他在調(diào)研