2023屆山東省濟南市長清區(qū)下學期高三數學試題1月階段測試考試試卷

2023屆山東省濟南市長清區(qū)下學期高三數學試題1月階段測試考試試卷注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知正三角形的邊長為2，為邊的中點，、分別為邊、上的動點，并滿足，則的取值范圍是（）A． B． C． D．2．已知，，，則的大小關系為（）A． B． C． D．3．某地區(qū)高考改革，實行“3+2+1”模式，即“3”指語文、數學、外語三門必考科目，“1”指在物理、歷史兩門科目中必選一門，“2”指在化學、生物、政治、地理以及除了必選一門以外的歷史或物理這五門學科中任意選擇兩門學科，則一名學生的不同選科組合有（）A．8種 B．12種 C．16種 D．20種4．若復數滿足，則對應的點位于復平面的（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．已知，且，則的值為（）A． B． C． D．6．已知展開式的二項式系數和與展開式中常數項相等，則項系數為（）A．10 B．32 C．40 D．807．如圖，四面體中，面和面都是等腰直角三角形，，，且二面角的大小為，若四面體的頂點都在球上，則球的表面積為（）A． B． C． D．8．已知，復數，，且為實數，則（）A． B． C．3 D．-39．已知集合，則()A． B． C． D．10．函數的定義域為，集合，則（）A． B． C． D．11．復數滿足(為虛數單位),則的值是()A． B． C． D．12．已知函數，若關于的方程恰好有3個不相等的實數根，則實數的取值范圍為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若函數（）的圖象與直線相切，則______.14．在中，內角所對的邊分別為，若，的面積為，則_______，_______．15．若，則__________．16．在中，已知，，是邊的垂直平分線上的一點，則__________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數，為實數，且．（Ⅰ）當時，求的單調區(qū)間和極值；（Ⅱ）求函數在區(qū)間，上的值域（其中為自然對數的底數）．18．（12分）如圖，湖中有一個半徑為千米的圓形小島，岸邊點與小島圓心相距千米，為方便游人到小島觀光，從點向小島建三段棧道，，，湖面上的點在線段上，且，均與圓相切，切點分別為，，其中棧道，，和小島在同一個平面上.沿圓的優(yōu)?。▓A上實線部分）上再修建棧道.記為.用表示棧道的總長度，并確定的取值范圍；求當為何值時，棧道總長度最短.19．（12分）已知分別是橢圓的左、右焦點，直線與交于兩點，，且．（1）求的方程；（2）已知點是上的任意一點，不經過原點的直線與交于兩點，直線的斜率都存在，且，求的值．20．（12分）已知函數.（Ⅰ）已知是的一個極值點，求曲線在處的切線方程（Ⅱ）討論關于的方程根的個數.21．（12分）在考察疫情防控工作中，某區(qū)衛(wèi)生防控中心提出了“要堅持開展愛國衛(wèi)生運動，從人居環(huán)境改善、飲食習慣、社會心理健康、公共衛(wèi)生設施等多個方面開展，特別是要堅決杜絕食用野生動物的陋習，提倡文明健康、綠色環(huán)保的生活方式”的要求.某小組通過問卷調查，隨機收集了該區(qū)居民六類日常生活習慣的有關數據.六類習慣是：（1）衛(wèi)生習慣狀況類；（2）垃圾處理狀況類；（3）體育鍛煉狀況類；（4）心理健康狀況類；（5）膳食合理狀況類；（6）作息規(guī)律狀況類.經過數據整理，得到下表：衛(wèi)生習慣狀況類垃圾處理狀況類體育鍛煉狀況類心理健康狀況類膳食合理狀況類作息規(guī)律狀況類有效答卷份數380550330410400430習慣良好頻率0.60.90.80.70.650.6假設每份調查問卷只調查上述六類狀況之一，各類調查是否達到良好標準相互獨立.（1）從小組收集的有效答卷中隨機選取1份，求這份試卷的調查結果是膳食合理狀況類中習慣良好者的概率；（2）從該區(qū)任選一位居民，試估計他在“衛(wèi)生習慣狀況類、體育鍛煉狀況類、膳食合理狀況類”三類習慣方面，至少具備兩類良好習慣的概率；（3）利用上述六類習慣調查的排序，用“”表示任選一位第k類受訪者是習慣良好者，“”表示任選一位第k類受訪者不是習慣良好者（）.寫出方差，，，，，的大小關系.22．（10分）已知函數．（1）若不等式有解，求實數的取值范圍；（2）函數的最小值為，若正實數，，滿足，證明：．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

建立平面直角坐標系，求出直線，設出點，通過，找出與的關系．通過數量積的坐標表示，將表示成與的關系式，消元，轉化成或的二次函數，利用二次函數的相關知識，求出其值域，即為的取值范圍．【詳解】以D為原點，BC所在直線為軸，AD所在直線為軸建系，設，則直線，設點，所以由得，即，所以，由及，解得，由二次函數的圖像知，，所以的取值范圍是．故選A．【點睛】本題主要考查解析法在向量中的應用，以及轉化與化歸思想的運用．2、A【解析】

根據指數函數與對數函數的單調性，借助特殊值即可比較大小.【詳解】因為，所以.因為，所以，因為，為增函數，所以所以，故選：A.【點睛】本題主要考查了指數函數、對數函數的單調性，利用單調性比較大小，屬于中檔題.3、C【解析】

分兩類進行討論：物理和歷史只選一門；物理和歷史都選，分別求出兩種情況對應的組合數，即可求出結果.【詳解】若一名學生只選物理和歷史中的一門，則有種組合；若一名學生物理和歷史都選，則有種組合；因此共有種組合.故選C【點睛】本題主要考查兩個計數原理，熟記其計數原理的概念，即可求出結果，屬于?？碱}型.4、D【解析】

利用復數模的計算、復數的除法化簡復數，再根據復數的幾何意義，即可得答案；【詳解】，對應的點，對應的點位于復平面的第四象限.故選：D.【點睛】本題考查復數模的計算、復數的除法、復數的幾何意義，考查運算求解能力，屬于基礎題.5、A【解析】

由及得到、，進一步得到，再利用兩角差的正切公式計算即可.【詳解】因為，所以，又，所以，，所以.故選：A.【點睛】本題考查三角函數誘導公式、二倍角公式以及兩角差的正切公式的應用，考查學生的基本計算能力，是一道基礎題.6、D【解析】

根據二項式定理通項公式可得常數項，然后二項式系數和，可得，最后依據，可得結果.【詳解】由題可知：當時，常數項為又展開式的二項式系數和為由所以當時，所以項系數為故選：D【點睛】本題考查二項式定理通項公式，熟悉公式，細心計算，屬基礎題.7、B【解析】

分別取、的中點、，連接、、，利用二面角的定義轉化二面角的平面角為，然后分別過點作平面的垂線與過點作平面的垂線交于點，在中計算出，再利用勾股定理計算出，即可得出球的半徑，最后利用球體的表面積公式可得出答案．【詳解】如下圖所示，分別取、的中點、，連接、、，由于是以為直角等腰直角三角形，為的中點，，，且、分別為、的中點，所以，，所以，，所以二面角的平面角為，，則，且，所以，，，是以為直角的等腰直角三角形，所以，的外心為點，同理可知，的外心為點，分別過點作平面的垂線與過點作平面的垂線交于點，則點在平面內，如下圖所示，由圖形可知，，在中，，，所以，，所以，球的半徑為，因此，球的表面積為.故選：B.【點睛】本題考查球體的表面積，考查二面角的定義，解決本題的關鍵在于找出球心的位置，同時考查了計算能力，屬于中等題．8、B【解析】

把和代入再由復數代數形式的乘法運算化簡，利用虛部為0求得m值．【詳解】因為為實數，所以，解得.【點睛】本題考查復數的概念，考查運算求解能力.9、C【解析】

解不等式得出集合A，根據交集的定義寫出A∩B．【詳解】集合A＝{x|x2﹣2x﹣30}＝{x|﹣1x3}，，故選C．【點睛】本題考查了解不等式與交集的運算問題，是基礎題．10、A【解析】

根據函數定義域得集合，解對數不等式得到集合，然后直接利用交集運算求解.【詳解】解：由函數得，解得，即；又，解得，即，則.故選：A.【點睛】本題考查了交集及其運算，考查了函數定義域的求法，是基礎題.11、C【解析】

直接利用復數的除法的運算法則化簡求解即可．【詳解】由得：本題正確選項：【點睛】本題考查復數的除法的運算法則的應用，考查計算能力．12、D【解析】

討論，，三種情況，求導得到單調區(qū)間，畫出函數圖像，根據圖像得到答案.【詳解】當時，，故，函數在上單調遞增，在上單調遞減，且；當時，；當時，，，函數單調遞減；如圖所示畫出函數圖像，則，故.故選：.【點睛】本題考查了利用導數求函數的零點問題，意在考查學生的計算能力和應用能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】

設切點由已知可得,即可解得所求.【詳解】設，因為，所以，即，又，.所以，即，.故答案為:.【點睛】本題考查導數的幾何意義,考查函數與方程思想、轉化與化歸思想,考查邏輯推理能力、運算求解能力,難度較易.14、【解析】

由已知及正弦定理，三角函數恒等變換的應用可得，從而求得，結合范圍，即可得到答案運用余弦定理和三角形面積公式，結合完全平方公式，即可得到答案【詳解】由已知及正弦定理可得，可得：解得，即，由面積公式可得：，即由余弦定理可得：即有解得【點睛】本題主要考查了運用正弦定理、余弦定理和面積公式解三角形，題目較為基礎，只要按照題意運用公式即可求出答案15、【解析】

因為，由二倍角公式得到，故得到．故答案為．16、【解析】

作出圖形，設點為線段的中點，可得出且，進而可計算出的值.【詳解】設點為線段的中點，則，，，.故答案為：.【點睛】本題考查平面向量數量積的計算，涉及平面向量數量積運算律的應用，解答的關鍵就是選擇合適的基底表示向量，考查計算能力，屬于中等題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）極大值0，沒有極小值；函數的遞增區(qū)間，遞減區(qū)間，（Ⅱ）見解析【解析】

（Ⅰ）由，令，得增區(qū)間為，令，得減區(qū)間為，所以有極大值，無極小值；（Ⅱ）由，分，和三種情況，考慮函數在區(qū)間上的值域，即可得到本題答案.【詳解】當時，，，當時，，函數單調遞增，當時，，函數單調遞減，故當時，函數取得極大值，沒有極小值；函數的增區(qū)間為，減區(qū)間為，，當時，，在上單調遞增，即函數的值域為；當時，，在上單調遞減，即函數的值域為；當時，易得時，，在上單調遞增，時，，在上單調遞減，故當時，函數取得最大值，最小值為，中最小的，當時，，最小值；當，，最小值；綜上，當時，函數的值域為，當時，函數的值域，當時，函數的值域為，當時，函數的值域為.【點睛】本題主要考查利用導數求單調區(qū)間和極值，以及利用導數研究含參函數在給定區(qū)間的值域，考查學生的運算求解能力，體現了分類討論的數學思想.18、，；當時，棧道總長度最短.【解析】

連，，由切線長定理知：，，，，即，，則，，進而確定的取值范圍；根據求導得，利用增減性算出，進而求得取值.【詳解】解：連，，由切線長定理知：，，，又，，故，則劣弧的長為，因此，優(yōu)弧的長為，又，故，，即，，所以，，，則；，，其中，，-0+單調遞減極小值單調遞增故時，所以當時，棧道總長度最短.【點睛】本題主要考查導數在函數當中的應用，屬于中檔題.19、（1）（2）【解析】

（1）不妨設，，計算得到，根據面積得到，計算得到答案.（2）設，，，聯立方程利用韋達定理得到，，代入化簡計算得到答案.【詳解】（1）由題意不妨設，，則，．∵，∴，∴．又，∴，∴，，故的方程為．（2）設，，，則．∵，∴，設直線的方程為，聯立整理得．∵在上，∴，∴上式可化為．∴，，，∴，，∴．∴．【點睛】本題考查了橢圓方程，定值問題，意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.20、（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析【解析】

（Ⅰ）求函數的導數，利用x=2是f(x)的一個極值點，得f'(2)=0建立方程求出a的值，結合導數的幾何意義進行求解即可；（Ⅱ）利用參數法分離法得到，構造函數求出函數的導數研究函數的單調性和最值，利用數形結合轉化為圖象交點個數進行求解即可.【詳解】（Ⅰ）因為，則，因為是的一個極值點，所以，即，所以，因為，，則直線方程為，即；（Ⅱ）因為，所以，所以，設，則，所以在上是增函數，在上是減函數，故，所以，所以，設，則，所以在上是減函數，上是增函數，所以，所以當時，，函數在是減函數，當時，，函數在是增函數，因為時，，，，所以當時，方程無實數根，當時，方程有兩個不相等實數根，當或時，方程有1個實根.【點睛】本題考查函數中由極值點求參，導數的幾何意義，還考查了利用導數研究方程根的個數問題，屬于難題.21、（1）（2）（3）【解析】

（1）設“選取的試卷的調查結果是膳食合理狀況類中習慣良好者“的事件為，根據