高中數(shù)學(xué)同步講義（人教A版必修一）：第04講 1.4充分條件與必要條件（教師版）

第04講1.4充分條件與必要條件課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①理解充分條件、必要條件、充分必要條件的意義與具體要求.②會判斷命題成立的充分、必要、充分必要條件.1．能利用命題成立的充分、必要、充要條件對命題的形式進(jìn)行判斷.2.能利用充分、必要條件求參數(shù)以及進(jìn)行簡單的證明.知識點(diǎn)01：充分條件與必要條件一般地,“若,則”為真命題,就說是的充分條件,是的必要條件.記作：在邏輯推理中“”的幾種說法(1)“如果,那么”為真命題.(2)是的充分條件.(3)是的必要條件.(4)的必要條件是.(5)的充分條件是.這五種說法表示的邏輯關(guān)系是一樣的,說法不同而已.知識點(diǎn)2：充分條件、必要條件與充要條件的概念（1）若，則是的充分條件，是的必要條件；（2）若且，則是的充分不必要條件；（3）若且，則是的必要不充分條件；（4）若，則是的充要條件；（5）若且，則是的既不充分也不必要條件.【即學(xué)即練1】（2023·高一課時練習(xí)）“”是“”的是__________條件．【答案】充分不必要【詳解】若，則，但不能得到，故“”是“”的是充分不必要條件，故答案為：充分不必要知識點(diǎn)3：從集合的角度理解充分與必要條件若以集合的形式出現(xiàn)，以集合的形式出現(xiàn)，即：，：，則（1）若，則是的充分條件；（2）若，則是的必要條件；（3）若，則是的充分不必要條件；（4）若，則是的必要不充分條件；（5）若，則是的充要條件；（6）若且，則是的既不充分也不必要條件.知識點(diǎn)4：充分性必要性高考高頻考點(diǎn)結(jié)構(gòu)（1）是的充分不必要條件且（注意標(biāo)志性詞：“是”，此時與正常順序）（2）的充分不必要條件是且（注意標(biāo)志性詞：“的”，此時與倒裝順序）【即學(xué)即練2】（2023·高一課時練習(xí)）已知，則“”的一個必要條件是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】由于可得，故“”是“”的必要條件，由不能得到，，，比如，故選：D題型01判斷命題的真假【典例1】（2023·河南平頂山·葉縣高級中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）下列結(jié)論錯誤的是（

）A．不大于0的數(shù)一定不大于1B．367人中一定有同月同日出生的兩個人C．如果今天是星期五，那么2000天后是星期四D．若點(diǎn)P到三邊的距離相等，則P未必是的內(nèi)心【答案】C【詳解】對A，若，則，所以A正確．對B，每年有365天或366天，所以367人中一定有同月同日出生的兩個人，所以B正確．對C，，如果今天是星期五，那么2000天后是星期三，所以C錯誤．對D，若點(diǎn)P到三邊的距離相等，則P可能是內(nèi)心，也可能在所在平面外，所以D正確．故選：C.【典例2】（2022秋·重慶·高一校考期中）下列命題中，是真命題的是（

）A．如果，那么 B．如果，那么C．如果，那么 D．如果，那么【答案】D【詳解】A選項(xiàng)：若，滿足，但是，因此是假命題，故A錯誤；B選項(xiàng)：若，，滿足，但是，因此是假命題，故B錯誤；C選項(xiàng)：若，，滿足，但是，因此是假命題，故C錯誤；D選項(xiàng)：因?yàn)?，則，且，因此，因此是真命題，故D正確，故選：D.【變式1】（2023秋·上海·高一階段練習(xí)）設(shè)，關(guān)于的方程組.對于命題：①存在a，使得該方程組有無數(shù)組解；②對任意a，該方程組均有一組解，下列判斷正確的是（）A．①和②均為真命題 B．①和②均為假命題C．①為真命題，②為假命題 D．①為假命題，②為真命題【答案】D【詳解】由得，則，，所以，則，解得，所以關(guān)于的方程組有唯一解.所以①為假命題，②為真命題.故選：D題型02充分條件、必要條件的判斷【典例1】（2023·天津紅橋·統(tǒng)考二模）設(shè)，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【詳解】由題意可知，，或，即不能推出，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.【典例2】（2023春·陜西寶雞·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）若集合，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．既不充分也不必要條件 D．充要條件【答案】B【詳解】因?yàn)椋?，則，解得或，故“”是“”的必要不充分條件.故選：B.【典例3】（2023春·云南曲靖·高三曲靖一中校考階段練習(xí)）已知，，則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】A【詳解】由題意，，設(shè)，解得：或，設(shè)或顯然A是B的真子集，所以是的充分不必要條件.故選：A.【典例4】（2023春·湖南邵陽·高二邵陽市第二中學(xué)?？计谥校┰O(shè)，則“”是“”的A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【詳解】由，得，解得，是的子集，故“”是“”的充分而不必要條件.故選A.【變式1】（2023·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【詳解】當(dāng)時，故充分性成立，由可得或，故必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A【變式2】（2023秋·河北唐山·高一灤南縣第一中學(xué)?？计谀┮阎菍?shí)數(shù)，那么“”是“”成立的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【詳解】由得，解得，所以“”是“”成立的必要不充分條件，即“”是“”成立的必要不充分條件.故選：B.題型03根據(jù)充分性，必要性求參數(shù)【典例1】（2023春·吉林長春·高一長春市第二中學(xué)校考開學(xué)考試）已知，，是的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍為___________.【答案】【詳解】因?yàn)椋?，因?yàn)槭堑谋匾怀浞謼l件，所以.所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.【典例2】（2023秋·廣東汕尾·高一統(tǒng)考期末）已知集合，或.(1)當(dāng)時，求；(2)若是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）時，或，故或=（2）是的充分不必要條件，故是的真子集，因?yàn)?，故要滿足是的真子集，則或，解得：或故實(shí)數(shù)的取值范圍是.【典例3】（2023秋·湖北武漢·高一武漢市第十七中學(xué)校聯(lián)考期末）已知，．(1)若是的充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若是的必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)；(2)【詳解】（1）由，可得，則又，且是的充分條件，可得，解之得，則實(shí)數(shù)的取值范圍為；（2）由（1）得，當(dāng)時，，，此時，是的必要條件，符合要求；當(dāng)時，由是的必要條件，可得，解之得，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.【典例4】（2023秋·高一單元測試）不等式的解集是，關(guān)于的不等式的解集是(1)若時，求；(2)設(shè)命題：實(shí)數(shù)滿足，其中；命題：實(shí)數(shù)滿足.若是的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1);(2).【詳解】（1）解：不等式的解集為，關(guān)于的不等式的解集為，時，，．（2）解：當(dāng)時，的解集為；若是的必要不充分條件，，，則；故的取值范圍是．【變式1】（2023春·寧夏銀川·高二銀川一中?？计谥校┮阎希希?1)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)命題，命題，若p是q成立的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由，得①若，即時，，符合題意；②若，即時，需或，解得．綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為．（2）由已知是的真子集，知兩個端不同時取等號，解得．由實(shí)數(shù)的取值范圍為．【變式2】（2023·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)集合，命題，命題(1)若是的充要條件，求正實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若是的充分不必要條件，求正實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2).【詳解】（1）由條件，是的充要條件，得，即，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.（2）由是的充分不必要條件，得真包含于，所以，或，解得，綜上實(shí)數(shù)的取值范圍是.【變式3】（2023秋·安徽蕪湖·高一安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)?？计谀┮阎?，.(1)若，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；(2)已知命題，命題，若p是q的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由，移項(xiàng)可得，通分并合并同類項(xiàng)可得，等價于，解得，則；由，則，即，解得.（2）p是q的必要不充分條件等價于.①當(dāng)時，，解得，滿足.②當(dāng)時，原問題等價于（不同時取等號）解得.綜上，實(shí)數(shù)k的取值范圍是.題型04探索命題為真的充要條件【典例1】（2023秋·四川成都·高二?？计谀┎坏仁皆谏虾愠闪⒌囊粋€充要條件是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】令，則在上恒成立等價于的圖像全在軸上方，而開口向上，所以問題等價于，即，解得，即在上恒成立等價于，故在上恒成立的一個充要條件為.故選：A.【典例1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）不等式對任意恒成立的充要條件是__________．【答案】【詳解】解：當(dāng)時，顯然滿足條件，當(dāng)時，由一元二次不等式恒成立得：，解得：綜上，，所以不等式對任意恒成立的充要條件是，故答案為：【變式1】（2023·山東青島·高一山東省青島第十六中學(xué)校考期中）不等式在實(shí)數(shù)上恒成立”的充要條件是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】當(dāng)時，，該不等式成立；當(dāng)，即時，該不等式成立；綜上，得當(dāng)時，關(guān)于的不等式恒成立，所以，關(guān)于的不等式恒成立的充分必要條件是．故選：B.題型05數(shù)學(xué)文化題【典例1】（2023·全國·高一專題練習(xí)）王昌齡是盛唐著名的邊塞詩人，被譽(yù)為“七絕圣手”，其《從軍行》傳誦至今"青海長云暗雪山，孤城遙望玉門關(guān)黃沙百戰(zhàn)穿金甲，不破樓蘭終不還"，由此推斷，最后一句“不返家鄉(xiāng)"是“不破樓蘭"的（

）A．必要條件 B．充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要【答案】A【詳解】由題意知，“不破樓蘭”則可推得“不返家鄉(xiāng)”，即必要條件成立，反之“不返家鄉(xiāng)”不一定是“不破樓蘭”，即充分條件不成立，故“不返家鄉(xiāng)"是“不破樓蘭"的必要不充分條件.故選：A.【典例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）《墨經(jīng)》上說：“小故，有之不必然，無之必不然體也，若有端.大故，有之必然，若見之成見也.”則“有之必然”表述的數(shù)學(xué)關(guān)系一定是（

）A．充分條件 B．必要條件C．既不充分也不必要條件 D．不能確定【答案】A【詳解】由“小故，有之不必然，無之必不然體也，若有端.大故，有之必然，若見之成見也”知“大故”必然有其原因，有其原因必然會發(fā)生，所以“有之必然”所表述的數(shù)學(xué)關(guān)系一定是充分條件.故選：A.題型06易錯題型：充分條件與必要條件（“是”，“的”）結(jié)構(gòu)對比【典例1】（多選）（2023·江蘇宿遷·高一?？茧A段練習(xí)）二次函數(shù)的圖像恒在軸上方的一個必要條件是（

）A． B． C． D．【答案】BD【詳解】二次函數(shù)的圖像恒在軸上方的充要條件為，又，所以必要條件為、.故選：BD【典例2】（2023春·四川綿陽·高二校考期中）命題“”的一個充分不必要條件是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】由可得，解得.則不等式的解集為，因此，不等式成立的一個充分不必要條件，對應(yīng)的范圍應(yīng)該是集合的真子集，只有選項(xiàng)D滿足.故選：D【典例3】（2023·江西·統(tǒng)考模擬預(yù)測）設(shè)，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【詳解】由，得或，解得.由，解得，當(dāng)時，一定成立，反之，不一定成立，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.【典例4】（2023秋·遼寧·高一大連二十四中校聯(lián)考期末）給出的下列條件中能成為的充分不必要條件是（

）A．或 B．或 C．或 D．【答案】B【詳解】由題知，，所以，解得，或，對于A，能成為的充分必要條件；對于B,能成為的充分不必要條件；對于C，能成為的既不充分也不必要條件；對于D，能成為的既不充分也不必要條件；故選：B1.4充分條件與必要條件A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2023春·四川成都·高二樹德中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若條件，條件，則是的（

）A．必要而不充分條件 B．充分而不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【詳解】由題意可知，，所以是的充分而不必要條件.故選：B.2．（2023春·四川綿陽·高二四川省綿陽南山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）對于命題p：，命題q：方程有兩個同號且不等實(shí)根，則p是q的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【詳解】方程有兩個同號且不等實(shí)根，則，解之得，則命題q：，由，可得命題，則p：，則p是q的必要不充分條件.故選：B3．（2023秋·天津北辰·高三校考期末）已知，“或”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【詳解】解不等式，即或，即或，故“或”是“”的充要條件.故選：C.4．（2023秋·江蘇揚(yáng)州·高一期末）設(shè)，則“”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【詳解】解：由，解得，由，即，解得，又，由推不出，故充分不成立，由推得出，即必要性成立，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B5．（2023春·上海黃浦·高三格致中學(xué)?？茧A段練習(xí)）“”是關(guān)于的不等式的解集為R的（

）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．非充分非必要條件【答案】B【詳解】若，取時，不等式，此時不等式解集為；當(dāng)時，不等式的解集為，當(dāng)時，不等式的解集為，當(dāng)，且時，不等式，所以，若關(guān)于的不等式的解集為R，則.綜上，“”是關(guān)于的不等式的解集為R的必要非充分條件.故選：B6．（2023秋·山東棗莊·高一棗莊八中?？计谀┦共坏仁匠闪⒌囊粋€充分不必要條件是（

）.A． B．C． D．【答案】C【詳解】解：不等式，，解得，故不等式的解集為：，則其一個充分不必要條件可以是，故選：．7．（2023春·廣東惠州·高二校考階段練習(xí)）“”是“”的（

）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充分必要條件 D．非充分非必要條件【答案】C【詳解】解：“”“”，“”是“”的充要條件.故選：C.8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）“不等式在R上恒成立”的充要條件是（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】∵不等式在R上恒成立，∴，解得，又∵，∴，則不等式在R上恒成立，∴“”是“不等式在R上恒成立”的充要條件,故選:A.二、多選題9．（2023·云南昆明·昆明一中校考模擬預(yù)測）已知條件p：，條件q：，且p是q的必要條件，則m的值可以是（

）A． B． C．- D．0【答案】BCD【詳解】設(shè)，,因?yàn)閜是q的必要條件，所以，當(dāng)時，由無解可得，符合題意；當(dāng)時，或，當(dāng)時，由解得，當(dāng)時，由解得.綜上，的取值為0，，.故選：BCD10．（2023秋·遼寧沈陽·高一沈陽二中?？茧A段練習(xí)）已知集合，，則的必要不充分條件可能是（

）A． B． C． D．【答案】AB【詳解】若，則或，解得或，所以，的充要條件為，所以的必要不充分條件可能為，故選：AB三、填空題11．（2023春·安徽阜陽·高一安徽省潁上第一中學(xué)校考開學(xué)考試）已知集合，，則是的充分不必要條件，則的取值范圍為___________.【答案】【詳解】由題意可知，，則（等號不同時成立），解得.故答案為：.12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若不等式的一個充分條件為，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________.【答案】【詳解】由不等式，當(dāng)時，不等式的解集為空集，顯然不成立；當(dāng)時，不等式，可得，要使得不等式的一個充分條件為，則滿足，所以，即∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故答案為：.四、解答題13．（2023春·新疆阿克蘇·高一校考階段練習(xí)）集合，.(1)求；(2)設(shè)集合，若“”是“”的必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)或(2)【詳解】（1），所以或，，故或或（2）若“”是“”的必要條件，則是的子集，若，故，解得：，若，則，解得：，綜上：，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是14．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知“，使等式”是真命題.（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍：（2）設(shè)關(guān)于的不等式的解集為，若“”是“”的充分條件，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）若“，使等式”是真命題，則，因?yàn)?，所以，所以，?）由不等式可得，所以，若“”是“”的充分條件，則是的子集，所以解得，經(jīng)檢驗(yàn)、符合題意，所以的取值范圍是B能力提升1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）“關(guān)于x的不等式ax2+ax-1<0的解集為R”的一個必要不充分條件是（

）A．-4≤a≤0 B．-4<a≤0C．-4≤a<0 D．-4<a<0【答案】A【詳解】解：關(guān)于x的不等式ax2+ax-1<0的解集為R，當(dāng)時，，解集為R；當(dāng)時，，解得綜合可得，觀察選