陜西省寶雞市金臺區(qū)2023-2024學(xué)年高三10月教學(xué)質(zhì)量檢測理科數(shù)學(xué)試題（含解析）

第第頁陜西省寶雞市金臺區(qū)2023-2024學(xué)年高三10月教學(xué)質(zhì)量檢測理科數(shù)學(xué)試題（含解析）2024屆高三教學(xué)質(zhì)量檢測試題理科數(shù)學(xué)答案2023.10

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．

1．A

解：由復(fù)數(shù)，可得，則，

所以.

2．B

解：集合，，

，.

3．D

解：如圖,該幾何體為正方體去掉三棱錐,

所以該幾何體的體積為：

4．A（2023新課標(biāo)Ⅱ卷3題改）

解：根據(jù)分層抽樣的定義知初中部共抽取80人，

高中部共抽取人，

根據(jù)組合公式和分布計數(shù)原理則不同的抽樣結(jié)果共有種．

5．C（2023甲卷文5題改）

解：所以

從而，于是，所以.

6．B（2023乙卷理6題改）

解:因?yàn)閰^(qū)域表示以圓心，外圓半徑，內(nèi)圓半徑的圓環(huán)，則直線OP的傾斜角不大于的范圍在第一象限對應(yīng)的圓心角為，結(jié)合對稱性可得所求概率為.

7.D（2023乙卷理4題改）

解：因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，

則，可得，

即，則，即，解得.

8.B

解:因?yàn)椋院瘮?shù)圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱，

又，所以的圖象關(guān)于直線對稱，

且在區(qū)間上單調(diào)，所以，即，．

又，，，所以，所以，所以.

9．D

解:如圖，四邊形為該幾何體的軸截面，則四邊形的內(nèi)切圓的半徑即為該幾何體內(nèi)切球的半徑，設(shè)內(nèi)切球的半徑為，由，得，則，，所以.

10．C

解:取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)槭沁呴L為2的等邊三角形，所以且，又，

所以，由得，所以，

設(shè)到平面的距離為h，則三棱錐的體積等于，解得，而，

即為三棱錐的高，故平面，所以兩兩垂直，

如圖：以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建空間直角坐標(biāo)系，則、、、，所以，，設(shè)異面直線與所成角為，則，

所以異面直線與所成角的余弦值為.

11.C

解:試題分析：設(shè)橢圓和雙曲線的半焦距為，，由于是以為底邊的等腰三角形，若，即有，由橢圓的定義可得，由雙曲線定義可得，即由，再由三角形的兩邊之和大于第三邊，可得，可得，既有，由離心率公式可得，由于，則由，則的取值范圍是.

12．D

解法一：連接，

則，

當(dāng)時，最小，即，結(jié)合，得的最小值為．

解法二：（極化恒等式法）：依題意，為線段的中點(diǎn)，

則，

由于，，所以的最小值為．

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.【答案】本題考查了簡單的線性規(guī)劃應(yīng)用問題，也考查了數(shù)形結(jié)合解題方法，是基礎(chǔ)題．

解：畫出，滿足約束條件，表示的平面區(qū)域，如圖

所示：結(jié)合圖象知目標(biāo)函數(shù)過時，取得最小值，由

，解得，

所以的最小值為．

14.【答案】本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．

解：在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，設(shè)公比為，若，所以，則．

15.【答案】6

解：設(shè)，則，解得，所以則故的周長為

16.【答案】題考查函數(shù)恒成立問題，考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，考查二次函數(shù)的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．

解：，對任意兩個不等的正實(shí)數(shù)、都有恒成立，不妨設(shè)，則，

即為增函數(shù)，恒成立，

恒成立，令，則，

為開口方向向下，對稱軸為的拋物線，當(dāng)時，取得最大值，．即的取值范圍是．

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第1721題為必考題，每個考生都必須作答.第22,23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

（一）必考題：共60分.

17.（12分）（2023新課標(biāo)Ⅱ卷3題改）本題考查了樣本特征數(shù)的計算，解題的關(guān)鍵是掌握平均數(shù)與方差的計算公式，考查了運(yùn)算能力．利用平均數(shù)和方差的計算公式進(jìn)行計算即可；比較與的大小，即可判斷得到答案．

解：由題中的數(shù)據(jù)可得，

--2分

，4分

；

6分

；8分

，，10分

所以，故新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高．--12分

18.（12分）本題考查了解三角形的應(yīng)用問題，也考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算問題，是中檔題．利用余弦定理列方程，即可求得的值；用向量表示中線，求出，再求，即可求得的面積．

解：中，，，，

由余弦定理得，，2分

即，整理得，--4分

解得或不合題意，舍去，所以；6分

如圖所示，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，，

，所以，8分

即，

解得，所以，10分

的面積．12分

19.（12分）

（1）證明：因?yàn)镻D＝a，PA＝PCa，DA＝DC＝a，

滿足PA＝PD+AD，所以PD⊥AD，同理PD⊥CD，2分

因?yàn)锳DCD＝D，平面ABCD，

所以PD⊥平面ABCD．4分

（2）證明：設(shè)AC∩BD＝O，連接OP，如圖所示：

因?yàn)榈酌媸沁呴L為a的正方形，

所以AC⊥BD，O為AC中點(diǎn)，因?yàn)镻A＝PC，所以AC⊥OP，6分

因?yàn)镺P∩BD＝B，平面PBD，

所以AC⊥平面PBD，

因?yàn)锳C平面PAC，所以平面PAC⊥平面PBD．8分

（3）解：由（1）知PD⊥AD，由（2）知AD⊥CD，

因?yàn)镻D∩CD＝D，平面PCD，所以AD⊥平面PCD，10分

因?yàn)锽CAD，所以BC⊥平面PCD，平面PCD，所以BC⊥CD，BC⊥PC，

所以二面角P﹣BC﹣D的平面角為∠PCD，11分

又因?yàn)槭堑妊苯侨切危?/p>

所以二面角P﹣BC﹣D的平面角的大小為45°．12分

20．（12分）

解：（1）聯(lián)立方程組，

消去得：2分

設(shè)，則，4分

因?yàn)锳為線段的中點(diǎn)，所以，解得，5分

所以直線的方程為，即.6分

（2）證明：因?yàn)椋?/p>

，8分

所以，

即，10分

所以，

因此，即以線段為直徑的圓恒過點(diǎn).12分

21．（12分）（2023年乙卷文理17題改）

解：（1）當(dāng)，，定義域?yàn)椋裕?分

令，解得，3分

當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增；

綜上：在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.5分

（2）因?yàn)?，定義域?yàn)?，所以?分

當(dāng)時，令，解得，7分

當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增；

綜上：

當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.8分

所以，9分

要證，即證，即證恒成立，

令，則，10分

令，則；令，則；

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，11分

所以，則恒成立，

所以當(dāng)時，恒成立，證畢.12分

（二）選考題：共10分.請考生在第22，23題中任選一題作答.如果多做，那么按所做的第一題計分，作答時請寫清題號.

22.（10分）[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]

解：（1）由消去得，.

曲線的普通方程為，2分

曲線是一個以為圓心，為半徑的圓.3分

，

曲線的直角坐標(biāo)方程為，

曲線是一條直線.5分

（2）設(shè)圓心到直線的距離是，6分

則.8分

曲線與曲線相交于兩個不同的點(diǎn)，

由垂徑定理及勾股定理得.10分

兩公共點(diǎn)間的距離為.

23.（10分）[選修4-5：不等式選講]

解：（1）2分

不等式等價于或或4分

解得或，即不等式的解集為．5分

（2）由的圖象可知直線與的圖象圍成的封閉圖形是四邊形，

且，，，，6分

則的面積．8分

延長交直線于點(diǎn)，則，

從而的面積．

故四邊形的面積為．10分2024屆高三教學(xué)質(zhì)量檢測試題

理科數(shù)學(xué)

2023.10

注意事項：1.答卷前，考生將答題卡有關(guān)項目填寫清楚。

2.全部答案在答題卡上作答，答在本試題上無效。

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．

1．已知是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)滿足：，則（）

A．0B．2C．D．

2．設(shè)全集，，，則圖中陰影部分表示的區(qū)

間是（）

A．B．

C．D．

3．某幾何體的三視圖如圖所示（單位：），

則該幾何體的體積（單位：）為（）

A．B．6

C．D．

4．某學(xué)校為了解學(xué)生參加體育活動的情況，用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法作抽樣調(diào)查，擬從初中部和高中部兩層共抽取80名學(xué)生，已知該校初中部和高中部分別有250名和150名學(xué)生，則不同的抽樣結(jié)果共有（）

A.種B.種C.種D.種

5．記為等差數(shù)列的前項和.若則（）

A．25B．22C．20D．15

6.設(shè)O為平面坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)，P為區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)，則直線OP的傾斜角不大于的概率為（）

A.B.C.D.

7．已知是奇函數(shù)，則（）

A.B.C.D.

8．已知函數(shù)，若，，且在區(qū)間上單調(diào)，則的值為（）

A．B．C．D．1

9．如圖，該幾何體為兩個底面半徑為1，高為1的相同的圓錐形成的組合體，設(shè)它的體積為，它的內(nèi)切球的體積為，則（）

A．

B．

C．

D．

10．如圖，在三棱錐中，是邊長為2的

等邊三角形，，若三棱錐的體

積等于時，異面直線與所成角的余弦值為（）

A．B．C．D．

11．已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓與雙曲線有公共焦點(diǎn)，且左、右焦點(diǎn)分別為，.這兩條曲線在第一象限的交點(diǎn)為，是以為底邊的等腰三角形.若，記橢圓與雙曲線的離心率分別為、，則的取值范圍是（）

A．B．C．D．

12．如圖，在等腰直角三角形中，斜邊，

為線段上的動點(diǎn)（包含端點(diǎn)），為的

中點(diǎn)．將線段繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到線段，

則的最小值為（）

A．B．C．D．

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.若滿足約束條件，則的最小值為______．

14.在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若，則的值為．

15.橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，A為上頂點(diǎn)，若的面積為，則的周長為．

16.已知，若對任意兩個不等的正實(shí)數(shù)，都有恒成立，則的取值范圍是__________．

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第1721題為必考題，每個考生都必須作答.第22,23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

（一）必考題：共60分.

17.（12分)某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備，為檢驗(yàn)新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項指標(biāo)有無提高，用一臺舊設(shè)備和一臺新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項指標(biāo)數(shù)據(jù)如下：

舊設(shè)備9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7

新設(shè)備10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5

舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標(biāo)的樣本平均數(shù)分別記為和，樣本方差分別記為和．

（1）求，，，；

（2）判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標(biāo)的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高（如果，則認(rèn)為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高，否則不認(rèn)為有顯著提高）（）．

18.（12分)已知中，三個內(nèi)角的對應(yīng)邊分別為，且

（1）若，求；

（2）設(shè)點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，若，求的面積.

19.（12分）如圖，在四棱錐中，底面是邊長

為的正方形，側(cè)棱，求證：

（1）平面；

（2）平面平面；

（3）求二面角的大?。?/p>

20.（12分）設(shè)直線的方程為，該直線交拋物線于兩個不同的點(diǎn).

（1）若點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，求直線的方程；

（2）證明：以線段為直徑的圓恒過點(diǎn).

21.（12分）已知函數(shù)．

（1）當(dāng)時，討論的單調(diào)性；

（2）證明：當(dāng)時，．

（二）選考題：共10分.請考生在第22，23題中任選一題作答.如果多做，那么按所做