斷裂力學(xué)——2Griffith理論(1)

1、1Shanghai University斷裂力學(xué)Fracture Mechanics郭戰(zhàn)勝郭戰(zhàn)勝辦公地點：延長校區(qū)力學(xué)所辦公地點：延長校區(qū)力學(xué)所317室室平時答疑：每周一：平時答疑：每周一：5-6節(jié)節(jié)晚修答疑晚修答疑:每周一：每周一：18：00-20：30地點：地點：HE108或或HE104b2能量原理3線彈性斷裂力學(xué)認(rèn)為，材料和構(gòu)件在斷裂以前基本上處于彈性范圍內(nèi)，可以把物體視為帶有裂紋的彈性體。研究裂紋擴展有兩種觀點：一種是能量平衡的觀點能量平衡的觀點，裂紋擴展的動力是構(gòu)件在裂紋擴展中所釋放出的彈性應(yīng)變能，它補償了產(chǎn)生新裂紋表面所消耗的能量，如GriffithGriffith理論理論；一種是

2、應(yīng)力場強度的觀點應(yīng)力場強度的觀點，認(rèn)為裂紋擴展的臨界狀態(tài)是裂紋尖端的應(yīng)力場強度達到材料的臨界值，如IrwinIrwin理論理論。 4線彈性斷裂力學(xué)的基本理論線彈性斷裂力學(xué)的基本理論線彈性斷裂力學(xué)的基本理論包括： Griffith理論，即能量釋放率理論； Irwin理論，即應(yīng)力強度因子理論。斷裂力學(xué)作為一門嶄新的學(xué)科是在上個世紀(jì)斷裂力學(xué)作為一門嶄新的學(xué)科是在上個世紀(jì)5050年代才建立和發(fā)展年代才建立和發(fā)展起來的。但是起來的。但是GriffithGriffith在在19201920年建立的針對玻璃、陶瓷等脆性材年建立的針對玻璃、陶瓷等脆性材料的脆性斷裂準(zhǔn)則，成功地解釋了這類材料的實際斷裂強度遠小料

3、的脆性斷裂準(zhǔn)則，成功地解釋了這類材料的實際斷裂強度遠小于理論強度這一客觀事實。該理論僅適用于完全脆性材料，對于于理論強度這一客觀事實。該理論僅適用于完全脆性材料，對于絕大多數(shù)金屬材料，在斷裂前和斷裂過程中裂紋尖端總存在塑性絕大多數(shù)金屬材料，在斷裂前和斷裂過程中裂紋尖端總存在塑性區(qū)，裂紋尖端也因塑性變形而鈍化。不能使用區(qū)，裂紋尖端也因塑性變形而鈍化。不能使用GriffithGriffith理論，這理論，這就是該理論長期得不到重視和發(fā)展的主要原因。后來就是該理論長期得不到重視和發(fā)展的主要原因。后來IrwinIrwin修正修正了了GriffithGriffith的理論，使得斷裂力學(xué)成為一門學(xué)科。的理

4、論，使得斷裂力學(xué)成為一門學(xué)科。 GriffithGriffith理論理論5GriffithGriffith理論理論InglisInglis的論文的論文1913年，Inglis研究了無限大板中含有一個穿透板厚的橢圓孔的問題，得到了彈性力學(xué)精確分析解，稱之為Inglis解。1920年，Griffith研究玻璃與陶瓷材料脆性斷裂問題時，將Inglis解中的短半軸趨于0，得到Griffith裂紋。Transactions of the Institution of Naval Architects,55 55 ( (1913), pp.219230. 6C. E. InglisSir Charles

5、Edward InglisSir Charles Edward Inglis (31 July 1875-19 April 1952) was a British civil engineer. Inglis spent much of his life as a lecturer and academic at Kings College Cambridge and made several important studies into the made several important studies into the effects of vibration and defects o

6、n the strength of plate effects of vibration and defects on the strength of plate steel. steel. His mother died when he only is eleven days, he was His mother died when he only is eleven days, he was brought up by his fathers unmarried sister.brought up by his fathers unmarried sister.Inglis served

7、in the Royal Engineers during the First World War and invented a lightweight, invented a lightweight, reusable steel bridge - the precursor and reusable steel bridge - the precursor and inspiration for the Bailey bridge of the inspiration for the Bailey bridge of the Second World War Second World Wa

8、r . His military service was rewarded with an appointment as an Officer of the Order of the British Empire7Department of EngineeringDepartment of Engineering Head of Department 1919-43Head of Department 1919-43He carried the largest teaching load, covering the subjects : statics, statics, dynamics,

9、theory of structures, dynamics, theory of structures, materials and drawing, balancing materials and drawing, balancing engines, girder design and reinforced engines, girder design and reinforced concrete.concrete.His personality was such that he not only taught the subject most delightfully but ins

10、pired the members of the audience with respect and affection.C. E. Inglis8C. E. InglisA Mathematical Treatise on Vibrations in Railway Bridges. By C. E. Inglis.Cambridge, University Press, and New York, Macmillan, 1934. 203 pp. and 65 figures.GriffithGriffith理論理論Royal Engineers constructing an Ingli

11、s Bridge Mk III at the School of Military Engineering, 18 June 1943 9GriffithGriffith理論理論The International Union of Theoretical and Applied Mechanics was founded in 1946, during the Sixth Congress in Paris. Each of the first six congresses had been organized by a national committee of scientists fro

12、m the country where the congress was to be held.Fourth Fourth C. E. Inglis Congress President 1934 Cambridge UKC. E. Inglis Congress President 1934 Cambridge UKInternational Congresses on Theoretical and Applied International Congresses on Theoretical and Applied Mechanics (ICTAM) BeijingMechanics (

13、ICTAM) Beijing， Bai Yilong 23Bai Yilong 23rdrd10GriffithGriffith理論理論max12abthin plate of glass with an elliptical hole in the middleHe found that point A, at the end of the ellipse, was feeling the most pressure. He also found that as the ratio of a/b gets as the ratio of a/b gets bigger (the ellips

14、e gets longer and thinner) bigger (the ellipse gets longer and thinner) that the stress at A becomes greater and that the stress at A becomes greater and greater greater C. E. Inglis11C. E. InglisHe also found that pulling on the plate in a direction parallel to the ellipse does does notnot produce

15、a great stress produce a great stress at A. This leads to the fact at A. This leads to the fact that a load perpendicular, that a load perpendicular, not parallel, to the crack not parallel, to the crack will make it grow. will make it grow. GriffithGriffith理論理論12Then he looked at other plates with

16、not-quite-elliptical holes, like these. From looking at these he realized that its not he realized that its not really the shape of the hole that matters really the shape of the hole that matters in cracking. in cracking. What matters is the length of What matters is the length of the crack that is

17、perpendicular to the load the crack that is perpendicular to the load and what the radius of curvature at the and what the radius of curvature at the ends of the hole isends of the hole is. The longer the hole The longer the hole (or crack), the higher the stress, and the (or crack), the higher the

18、stress, and the smaller the radius of curvature, the higher smaller the radius of curvature, the higher the stress. the stress. GriffithGriffith理論理論13一、動機一、動機兩個矛盾的事實兩個矛盾的事實The stress needed to The stress needed to fracture bulk glassfracture bulk glass is around is around 100 MPa100 MPa. . The theor

19、etical stress needed for breaking atomic The theoretical stress needed for breaking atomic bonds is approximately bonds is approximately 10,000 MPa10,000 MPaexperiments on glass fibers that Griffith himself experiments on glass fibers that Griffith himself conducted suggested that the fracture stres

20、s increases conducted suggested that the fracture stress increases as the fiber diameter decreases.as the fiber diameter decreases. 尺寸相關(guān)性GriffithGriffith理論理論1314二、二、Griffith理論理論1920年，Griffith研究玻璃與陶瓷材料脆性斷裂問題時，將Inglis解中的短半軸趨于0，得到Griffith裂紋。GriffithGriffith理論理論Griffith研究了如圖所示厚度為B的薄平板。上、下端受到均勻拉應(yīng)力作用，將板拉長

21、后，固定兩端，構(gòu)成能量封閉系統(tǒng)。15設(shè)想在板中沿垂直于載荷方向切開一條長度為2a的貫穿裂紋，由于裂紋的長度遠小于板的面內(nèi)尺寸，可以將此板視為“無限大”板。由于設(shè)想切開了一條貫穿裂紋，裂紋就形成了上下兩個自由面，原來作用于該表面位置的拉應(yīng)力消失了，與此同時，上下自由表面發(fā)生相對張開位移，消失的拉應(yīng)力對此張開位移做負(fù)功，使得板內(nèi)的應(yīng)變能降低了。 Griffith根據(jù)Inglis（1913）對“無限大”板內(nèi)開了一個橢圓形圓孔后分析得到的應(yīng)力場、位移場計算公式，得出當(dāng)橢圓孔短軸尺寸趨于零（理想尖裂紋）時，彈性應(yīng)變能的改變量為2222211UaBEUaBE平面應(yīng)變平面應(yīng)力GriffithGriffith

22、理論理論 =+GriffithGriffith理論理論16GriffithGriffith理論理論17能量守恒定律： 能量守恒定律能量守恒定律是自然界的一條普遍規(guī)律，它指出：系統(tǒng)能量系統(tǒng)能量的增加等于輸入的能量的增加等于輸入的能量。對于熱力學(xué)系統(tǒng)又可表述為：作用于系統(tǒng)上功功的增量W加上系統(tǒng)接受的熱熱的增量Q等于系統(tǒng)內(nèi)能內(nèi)能的增量E加上動能動能的增量K, 即若增量無限小且諸量可微，則可寫成率的形式：QWKEQWKEGriffithGriffith理論理論18把能量守恒定律應(yīng)用于裂紋體： E 為儲存在介質(zhì)中的內(nèi)能；T 為動能；為裂紋表面能； 為 外力功率； 傳熱率。 作如下假設(shè)：斷裂過程中總體熱交

23、換效果可忽略（近似絕熱假設(shè)），準(zhǔn)靜態(tài)過程，T0，介質(zhì)為彈性的，E = U WQ0QWUdtd)() 1 ()2(QWTEGriffithGriffith理論理論19受有均勻外力作用具有長度為2a 的無限大板，其位移場為： 其中：對平面應(yīng)變情況 對平面應(yīng)力情況 考慮線彈性裂紋體的應(yīng)變能：現(xiàn)建立裂紋擴展的臨界條件（考慮 時,裂紋有微擴展da）應(yīng)變能率：axxaxv22) 1(4)(4313k22081214BadxvBUa) 3()4()5()(412daddtdadtddtdaaBdtdUccGriffithGriffith理論理論2021 另一方面，Griffith認(rèn)為，由于裂紋處形成兩個自由

24、表面，從而有表面能增加，形成新的自由表面需要吸收的能量為 24Aa B 其中：為單位面積上的表面能。由于板的上下兩端是固定的，外力不做功，即外力勢能不改變?？梢缘玫饺缦卤磉_式 d()0dUA 臨界狀態(tài) d()0dUA 裂紋穩(wěn)定 d()0dUA 裂紋不穩(wěn)定 GriffithGriffith理論理論21表面能率:外力功率：把應(yīng)變能率、表面能率及外力功率代入能量平衡方程（2）：或)7()6()8()9(dtdaaBdxdtdaaxaBdxdtdvBwcaccac2212200212)(214) 1(44dtdaBdtde4eca2812ecEa2GriffithGriffith理論理論2223上式表

25、明，當(dāng)裂紋擴展單位面積，系統(tǒng)釋放的應(yīng)變能恰好等于形成自由表面所需的表面能時，裂紋就處于不穩(wěn)定的平衡狀態(tài)；或裂紋擴展單位面積，系統(tǒng)釋放的應(yīng)變能大于形成其自由表面所需的表面能時，裂紋就會失穩(wěn)擴展而斷裂。當(dāng)然，若釋放的應(yīng)變能小于形成其自由表面能所需的表面能時，裂紋就不會擴展，處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)。 GriffithGriffith理論理論ecEa2)9(2324得臨界應(yīng)力為 122()cEa表示無限大平板在平面應(yīng)力狀態(tài)下，長為2a裂紋失穩(wěn)擴展時，拉應(yīng)力的臨界值，稱為剩余強度。GriffithGriffith理論理論臨界裂紋長度 22cEa對于平面應(yīng)變有 2222(1)2(1)ccEaEa 2425Gri

26、ffith判據(jù)如下：(1)當(dāng)外加應(yīng)力 超過臨界應(yīng)力 c(2)當(dāng)裂紋尺寸 a超過臨界裂紋尺寸 ca脆性物體斷裂 GriffithGriffith理論理論He said that for a crack to grow, it was necessary for their to be enough potential energy in the system to create the new surface area of the crack. He did not know that it takes more than this for a crack to grow though. 25

27、 于是由能量守恒定律得到裂紋擴展的臨界條件： 其中 方程式右端為材料參數(shù)組合，應(yīng)為材料常數(shù)。 因此方程式左端的載荷與裂紋幾何參數(shù)的組合亦應(yīng)為常數(shù)。（含裂紋體的破壞條件） 下面把破壞條件（9）普遍化： 把能量守恒定律應(yīng)用于裂紋體： 將之改寫為： 即)9(21EEE)10(WUdtd)(AAWU)(AAecEa2GriffithGriffith理論理論26 定義 它代表裂紋擴展單位面積彈性系統(tǒng)釋放的能量為能量釋放率；同時，定義 它表示裂紋擴展單位面積所需要消耗的能量為裂紋擴展阻力； 因此裂紋擴展條件可表示為： 這就是著名的Griffith 脆斷準(zhǔn)則（能量平衡準(zhǔn)則）AGccGG )12()11(AG

28、）（ 13GriffithGriffith理論理論27Griffith theory-1920o In a body of a glass cracks pre-exist. o The tip of such a crack concentrates stress. o The intense stress breaks atomic bonds one by one, like opening a zipper. o As the crack advances, fresh surfaces are created. The surface energy increases, but th

29、e elastic energy decreases. o The crack advances if the advance reduces the sum of the surface energy and elastic energy.28dxdEdxddddxd29102EaEothothaE3031D是薄壁球殼或圓柱殼的直徑，Q和R分別是平行于裂紋和垂直于裂紋的主應(yīng)力。 GriffithGriffith理論理論R cca為了驗證理論，Griffith做了兩組實驗，一組是玻璃薄壁球殼，見下表?？梢钥闯?，斷裂應(yīng)力隨著裂紋尺寸的增大而減小，卻基本保持常數(shù)，證明了公式的正確性。 32第二組實

30、驗是含裂紋薄壁圓柱殼的爆裂實驗。GriffithGriffith理論理論33GriffithGriffith理論理論Griffith發(fā)現(xiàn) ，右端純粹為材料參數(shù)組合，對同一材料它應(yīng)為常數(shù)。從這個意義上說Griffith已接近于發(fā)現(xiàn)應(yīng)力強度因子理論。 2caEThe theory was considered to apply only to a limited class of extremely, such as glasses or ceramics1920，19241948，1957 Introduction of high strength materials for structura

31、l applications34Orowan與Irwin對Griffith理論的解釋與發(fā)展 Orowan在1948年指出，金屬材料在裂紋的擴展過程中，其尖端附近局部區(qū)域發(fā)生塑性變形。因此，裂紋擴展時，金屬材料釋放的應(yīng)變能，不僅用于形成裂紋表面所吸收的表面能，同時用于克服裂紋擴展所需要吸收的塑性變形能（也稱為塑性功）。 設(shè)金屬材料的裂紋擴展單位面積所需要的塑性功為 pU，則剩余強度和臨界裂紋長度可表示為 GriffithGriffith理論理論352(2)(1)(2)PcPEUaEUa平面應(yīng)變平面應(yīng)力gpusgp+-= +222(2)(1)(2)PcPEUaEU平面應(yīng)變平面應(yīng)力gpu sgps+

32、-= +GriffithGriffith理論理論310PUgOrowan 發(fā)現(xiàn)36Irwin在1948年引入記號 G1()2GWUa外力功 釋放出的應(yīng)變能 能量釋放率 能量釋放率也稱為裂紋擴展能力 G準(zhǔn)則 cGGcG臨界值,由試驗確定 Irwin的理論適用于金屬材料的準(zhǔn)脆性破壞破壞前裂紋尖端附近有相當(dāng)范圍的塑性變形 .該理論的提出是線彈性斷裂力學(xué)誕生的標(biāo)志.GriffithGriffith理論理論GriffithGriffith脆斷準(zhǔn)則脆斷準(zhǔn)則37前面僅是以固定邊情況為例。對于一般約束情況， 具有更廣泛的物理意義。 IG 取一厚度為B 的板，中心有穿透裂紋長度為2a，載荷P，面積A = 2aB

33、。在裂紋長度不變的情況下，P 與作用點位移成正比將板拉長后固定兩端。下圖中直線的斜率為剛度系數(shù)，其倒數(shù)為柔度系數(shù)（柔度），等于單位載荷下的位移。當(dāng)裂紋面積增加時，彈性裂紋體剛度下降，柔度增加，即彈性曲線斜率減小。下面需要分析三種不同邊界條件的情況GriffithGriffith理論理論381）固定位移情況 在圖中體系應(yīng)變能減少，釋放出的應(yīng)變能作為裂紋擴展所需的功。oacobc應(yīng)變能減少量應(yīng)變能減少量= =GriffithGriffith理論理論392） 固定載荷情況 在圖中，體系應(yīng)變能增加，載荷作的功一半用于增加系統(tǒng)應(yīng)變能，一半作為剩余功用于裂紋擴展。 IUGA IG將上述兩種情況的將上述兩種

34、情況的統(tǒng)一寫成統(tǒng)一寫成()odeoac應(yīng)變能增加量應(yīng)變能增加量= =矩形矩形- -()odeoac()oad GriffithGriffith理論理論40 裂紋擴展時，載荷對位移曲線從a變化到f，其斜率為3)彈性約束情況 對于一般彈性條件，可看成彈性約束，簡化為裂紋體與彈簧串聯(lián)的力學(xué)模型。1K彈簧柔度系數(shù)GriffithGriffith理論理論41反映了裂紋擴展能量釋放率與試件柔度之間的關(guān)系，稱為Irwin-Kies關(guān)系。是用柔度法確定 進而確定應(yīng)力強度因子的重要基礎(chǔ)。 000limlimlimIdAdAdAoaboadoafGdAdAdA系統(tǒng)推動裂紋擴展的有效能量為外力功與應(yīng)變能增加（或減少

35、）之差（或和）dPoad2Pdd22IP dGdAIG對前兩種情況，則由GriffithGriffith理論理論稱為應(yīng)變能釋放率的柔度表達式對于如圖所示的裂紋板，沿裂紋延長線上，有由應(yīng)力場計算公式得到： 假設(shè)當(dāng)裂紋擴展時，系統(tǒng)釋放的能量等于迫使裂紋閉合回到原始狀態(tài)所需要的變形功 GriffithGriffith理論理論00 ,rx02IyKx在閉合時,應(yīng)力在 那段所做的功為 a00UlimayadBvdx 其中，B為裂紋體厚度。 位移場表達式 2242IKaxvk 2 1E201 1Ulim4IakdB aKE 42430UlimIadG B a 21 14kGKE平面應(yīng)力 23,1KkGE平

36、面應(yīng)變 22134kGKE2KGE21EEEE 平面應(yīng)力平面應(yīng)變同理 2KGE21GKEGriffithGriffith理論理論IUGA 由此可見，線彈性條件下，應(yīng)力強度因子和能量釋放率具有對應(yīng)關(guān)系，兩者是等效的。公式是在假定裂紋沿原裂紋方向直線擴展條件推導(dǎo)。對于II型裂紋，裂紋并不沿裂紋方向擴展，上面的關(guān)系是名義關(guān)系。44裂紋尖端存在奇異性,即: 1( , )(0)ijrrr 基于這種性質(zhì)，1957年Irwin提出新的物理量應(yīng)力強度因子K,即：0lim2( ,0)yyrKrr 1960年Irwin用石墨做實驗,測定開始裂紋擴展時的 cKK斷裂判據(jù)( K準(zhǔn)則) cKKGriffithGriff

37、ith理論理論45裂紋尖端附近的應(yīng)力場和位移計算裂紋尖端附近的應(yīng)力場和位移計算46裂紋的類型裂紋的類型一一. .裂紋的類型裂紋的類型 1.按裂紋的幾何類型分類 穿透裂紋穿透裂紋:裂紋沿構(gòu)件整個厚度貫穿. 表面裂紋表面裂紋:深度和長度皆處于構(gòu)件表面的裂紋,可簡化為 半橢圓裂紋.深埋裂紋深埋裂紋:完全處于構(gòu)件內(nèi)部的裂紋,片狀圓形或片狀橢 圓裂紋.472.按裂紋的受力和斷裂特征分類 張開型張開型(型型) ):拉應(yīng)力垂直于裂紋擴展面,裂紋上、下表面沿作用力的方向張開,裂紋沿著裂紋面向前擴展,是最常見的一種裂紋. 滑開型滑開型(型型) ):裂紋擴展受切應(yīng)力控制,切應(yīng)力平行作用于裂紋面而且垂直于裂紋線,裂

38、紋沿裂紋面平行滑開擴展.48撕開型裂紋撕開型裂紋(型型) ):在平行于裂紋面而與裂紋前沿線方向平行的剪應(yīng)力作用下,裂紋沿裂紋面撕開擴展.49裂紋尖端附近的應(yīng)力場、位移場計算裂紋尖端附近的應(yīng)力場、位移場計算 50H. M. WestergaardDr. Harold Malcolm Westergaard(1888-1950)University of Illinois professor of theoretical and applied mechanics.Gordon McKay Professor of Civil Engineering and Dean of the Graduat

39、e School of Engineering, Harvard University (1936-1946).Although he has left his post as dean he will not become inactive, but will retain the Gordon McKay professorship of Civil Engineering. 51The member of American Philosophical Society, Class I: mathematical and physical sciences(1942).H. M. West

40、ergaardWest side of the American Philosophical Society building in Philadelphia, PAJournal of Applied Mechanics, 1939, A49-A53 52裂紋尖端附近的應(yīng)力場、位移場計算裂紋尖端附近的應(yīng)力場、位移場計算 1.型裂紋問題的描述:無限大板,有一長為 的穿透裂紋,在無限遠處受雙向拉應(yīng)力 的作用.確定裂紋尖端附近的應(yīng)力場和位移場. 2a53型裂紋求解54Irwin應(yīng)用Westergaard的方法進行分析.(1)Westergaard應(yīng)力函數(shù) 彈性力學(xué)平面問題的求解，歸結(jié)為要求求一個應(yīng)

41、力函數(shù).該函數(shù)滿足邊界條件及雙調(diào)和方程.1939年Westergaard應(yīng)力函數(shù)ReImZyZ其中： 為解析函數(shù); 為一次積分和二次積分.Z,Z Z型裂紋求解55首先證明: 40滿足雙調(diào)和方程 42222() ()xyxy 因為: 222Re( Im)ZyZ解析函數(shù)的性質(zhì):(1)解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和積分仍為解析函數(shù)(2)解析函數(shù)的實部和虛部均滿足調(diào)和方程2Re0Z型裂紋求解56222222( Im)( Im)( Im)IIIyZyZyZxy 22Im(ImIm)IIIZyyyZZxyyy2222ImImImImIIIIZZyZyZxyyy2ImIm2IIZyZy 柯西黎曼條件柯西黎曼條件ReImImZZZyx ImReReZZZyx 型裂紋求解57有 Im22ReZZy222(2Re)0Z 即函數(shù) 是平面問題的應(yīng)力函數(shù).則應(yīng)力分量:2222(ReIm)xZyZyyReIm(Im)ZZZyyyy( ImImRe)ZZyZyReReZZyyReImZyZ型裂紋求解58即 ReImxZyZReImyZyZ0z(平面應(yīng)力) ()2RezxyZ (平面應(yīng)變) RexyyZ 物理方程:yxxEEyxyEExyxyG(平面應(yīng)力) 型裂紋求解5921(1)(1)xxyE 21(1)(1)yyxE xyxyG(平面應(yīng)變) 幾何方程: