中考數(shù)學(xué)壓軸題專題二次函數(shù)的經(jīng)典綜合題及詳細答案

中考數(shù)學(xué)壓軸題專題二次函數(shù)的經(jīng)典綜合題及詳細答案一、二次函數(shù)1．在平面直角坐標(biāo)系中，點O為坐標(biāo)原點，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于點A（﹣1，0），B（3，0），與y軸交于點C（0，3），頂點為G．（1）求拋物線和直線AC的解析式；（2）如圖，設(shè)E（m，0）為x軸上一動點，若△CGE和△CGO的面積滿足S△CGE＝S△CGO，求點E的坐標(biāo)；（3）如圖，設(shè)點P從點A出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿x軸向右運動，運動時間為ts，點M為射線AC上一動點，過點M作MN∥x軸交拋物線對稱軸右側(cè)部分于點N．試探究點P在運動過程中，是否存在以P，M，N為頂點的三角形為等腰直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）拋物線解析式為：y＝﹣x2+2x+3；直線AC解析式為：y＝3x+3；（2）點E坐標(biāo)為（1，0）或（﹣7，0）；（3）存在以P，M，N為頂點的三角形為等腰直角三角形，t的值為或或．【解析】【分析】（1）用待定系數(shù)法即能求出拋物線和直線AC解析式．（2）△CGE與△CGO雖然有公共底邊CG，但高不好求，故把△CGE構(gòu)造在比較好求的三角形內(nèi)計算．延長GC交x軸于點F，則△FGE與△FCE的差即為△CGE．（3）設(shè)M的坐標(biāo)（e，3e+3），分別以M、N、P為直角頂點作分類討論，利用等腰直角三角形的特殊線段長度關(guān)系，用e表示相關(guān)線段并列方程求解，再根據(jù)e與AP的關(guān)系求t的值．【詳解】（1）∵拋物線y=ax2+bx+c過點A（-1，0），B（3，0），C（0，3），,解得：，∴拋物線解析式為：y=-x2+2x+3，設(shè)直線AC解析式為y=kx+3，∴-k+3=0，得：k=3，∴直線AC解析式為：y=3x+3.（2）延長GC交x軸于點F，過G作GH⊥x軸于點H，∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，∴G（1，4），GH=4，∴S△CGO=OC?xG=×3×1=，∴S△CGE=S△CGO=×=2，①若點E在x軸正半軸上，設(shè)直線CG：y=k1x+3，∴k1+3=4

得：k1=1，∴直線CG解析式：y=x+3，∴F（-3，0），∵E（m，0），∴EF=m-（-3）=m+3，∴S△CGE=S△FGE-S△FCE=EF?GH-EF?OC=EF?（GH-OC）=（m+3）?（4-3）=，∴=2，解得：m=1，∴E的坐標(biāo)為（1，0）.②若點E在x軸負半軸上，則點E到直線CG的距離與點（1，0）到直線CG距離相等，即點E到F的距離等于點（1，0）到F的距離，∴EF=-3-m=1-（-3）=4，解得：m=-7

即E（-7，0），綜上所述，點E坐標(biāo)為（1，0）或（-7，0）.（3）存在以P，M，N為頂點的三角形為等腰直角三角形，設(shè)M（e，3e+3），則yN=yM=3e+3，①若∠MPN=90°，PM=PN，如圖2，過點M作MQ⊥x軸于點Q，過點N作NR⊥x軸于點R，∵MN∥x軸，∴MQ=NR=3e+3，∴Rt△MQP≌Rt△NRP（HL），∴PQ=PR，∠MPQ=∠NPR=45°，∴MQ=PQ=PR=NR=3e+3，∴xN=xM+3e+3+3e+3=7e+6，即N（7e+6，3e+3），∵N在拋物線上，∴-（7e+6）2+2（7e+6）+3=3e+3，解得：e1=-1（舍去），e2=?，∵AP=t，OP=t-1，OP+OQ=PQ，∴t-1-e=3e+3，∴t=4e+4=，②若∠PMN=90°，PM=MN，如圖3，∴MN=PM=3e+3，∴xN=xM+3e+3=4e+3，即N（4e+3，3e+3），∴-（4e+3）2+2（4e+3）+3=3e+3，解得：e1=-1（舍去），e2=?，∴t=AP=e-（-1）=?+1＝，③若∠PNM=90°，PN=MN，如圖4，∴MN=PN=3e+3，N（4e+3，3e+3），解得：e=?，∴t=AP=OA+OP=1+4e+3=，綜上所述，存在以P，M，N為頂點的三角形為等腰直角三角形，t的值為或或．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，坐標(biāo)系中三角形面積計算，等腰直角三角形的性質(zhì)，解一元二次方程，考查了分類討論和方程思想．第（3）題根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)找到相關(guān)線段長的關(guān)系是解題關(guān)鍵，靈活運用因式分解法解一元二次方程能簡便運算．2．對于二次函數(shù)y=ax2+（b+1）x+（b﹣1），若存在實數(shù)x0，使得當(dāng)x=x0，函數(shù)y=x0，則稱x0為該函數(shù)的“不變值”.（1）當(dāng)a=1，b=﹣2時，求該函數(shù)的“不變值”；（2）對任意實數(shù)b，函數(shù)y恒有兩個相異的“不變值”，求a的取值范圍；（3）在（2）的條件下，若該圖象上A、B兩點的橫坐標(biāo)是該函數(shù)的“不變值”，且A、B兩點關(guān)于直線y=kx-2a+3對稱，求b的最小值.【答案】（1）－1，3；（2）0<a<1；（3）－【解析】【分析】（1）先確定二次函數(shù)解析式為y=x2-x-3，根據(jù)xo是函數(shù)y的一個不動點的定義，把（xo，xo）代入得x02-x0-3=xo，然后解此一元二次方程即可；（2）根據(jù)xo是函數(shù)y的一個不動點的定義得到axo2+（b+1）xo+（b-1）=xo，整理得ax02+bxo+（b-1）=0，則根據(jù)判別式的意義得到△=b2-4a（b-1）>0，即b2-4ab+4a>0，把b2-4ab+4a看作b的二次函數(shù)，由于對任意實數(shù)b，b2-4ab+4a>0成立，則（4a）2-4.4a<0，然后解此不等式即可.（3）（利用兩點關(guān)于直線對稱的兩個結(jié)論，一是中點在已知直線上，二是兩點連線和已知直線垂直.找到a，b之間的關(guān)系式，整理后在利用基本不等式求解可得.【詳解】解：（1）當(dāng)a=1，b=-2時，二次函數(shù)解析式為y=x2-x-3，把（xo，xo）代入得x02-x0-3=xo，解得xo=-1或xo=3，所以函數(shù)y的不動點為-1和3；（2）因為y=xo，所以axo2+（b+1）xo+（b-1）=xo，即ax02+bxo+（b-1）=0，因為函數(shù)y恒有兩個相異的不動點，所以此方程有兩個不相等的實數(shù)解，所以△=b2-4a（b-1）>0，即b2-4ab+4a>0，而對任意實數(shù)b，b2-4ab+4a>0成立，所以（4a）2-4.4a<0，解得0<a<1.（3）設(shè)A（x1，x1），B（x2，x2），則x1+x2A，B的中點的坐標(biāo)為（），即M（）A、B兩點關(guān)于直線y=kx-2a+3對稱，又∵A，B在直線y=x上，∴k=-1，A，B的中點M在直線y=kx-2a+3上.∴=-2a+3得：b=2a2-3a所以當(dāng)且僅當(dāng)a=時，b有最小值－【點睛】本題是在新定義下對函數(shù)知識的綜合考查，是一道好題.關(guān)于兩點關(guān)于直線對稱的問題，有兩個結(jié)論同時存在，一是中點在已知直線上，二是兩點連線和已知直線垂直.3．如圖，拋物線與x軸相交于兩點，（點A在B點左側(cè)）與y軸交于點C.（Ⅰ）求兩點坐標(biāo).（Ⅱ）連結(jié)，若點P在第一象限的拋物線上，P的橫坐標(biāo)為t，四邊形的面積為S.試用含t的式子表示S，并求t為何值時，S最大.（Ⅲ）在（Ⅱ）的基礎(chǔ)上，若點分別為拋物線及其對稱軸上的點，點G的橫坐標(biāo)為m，點H的縱坐標(biāo)為n，且使得以四點構(gòu)成的四邊形為平行四邊形，求滿足條件的的值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）,當(dāng)時，；（Ⅲ）滿足條件的點的值為：，或，或【解析】【分析】（Ⅰ）令y=0，建立方程求解即可得出結(jié)論；

（Ⅱ）設(shè)出點P的坐標(biāo)，利用S=S△AOC+S梯形OCPQ+S△PQB，即可得出結(jié)論；

（Ⅲ）分三種情況，利用平行四邊形的性質(zhì)對角線互相平分和中點坐標(biāo)公式建立方程組即可得出結(jié)論．【詳解】解：（Ⅰ）拋物線，令，則，解得：或，∴（Ⅱ）由拋物線，令，∴，∴，如圖1，點P作軸于Q，∵P的橫坐標(biāo)為t，∴設(shè)，∴∴，∴當(dāng)時，；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，，∴，∵拋物線的對稱軸為，∴設(shè)以四點構(gòu)成的四邊形為平行四邊形，，①當(dāng)和為對角線時，∴，∴，②當(dāng)和是對角線時，∴，∴，③和為對角線時，∴，∴，即：滿足條件的點的值為：，或，或【點睛】此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了坐標(biāo)軸上點的特點，三角形的面積公式，梯形的面積公式，平行四邊形的性質(zhì)，中點坐標(biāo)公式，用方程的思想解決問題是解本題的關(guān)鍵．4．如圖，直線y＝-x-3與x軸，y軸分別交于點A，C，經(jīng)過點A，C的拋物線y＝ax2+bx﹣3與x軸的另一個交點為點B(2，0)，點D是拋物線上一點，過點D作DE⊥x軸于點E，連接AD，DC．設(shè)點D的橫坐標(biāo)為m．(1)求拋物線的解析式；(2)當(dāng)點D在第三象限，設(shè)△DAC的面積為S，求S與m的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值及此時點D的坐標(biāo)；(3)連接BC，若∠EAD＝∠OBC，請直接寫出此時點D的坐標(biāo)．【答案】(1)y＝x2+x﹣3；(2)S△ADC=﹣(m+3)2+；△ADC的面積最大值為；此時D(﹣3，﹣)；(3)滿足條件的點D坐標(biāo)為(﹣4，﹣3)或(8，21).【解析】【分析】（1）求出A坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求解析式；（2）設(shè)DE與AC的交點為點F.設(shè)點D的坐標(biāo)為：(m，m2+m﹣3)，則點F的坐標(biāo)為：(m，﹣m﹣3)，根據(jù)S△ADC＝S△ADF+S△DFC求出解析式，再求最值；（3）①當(dāng)點D與點C關(guān)于對稱軸對稱時，D(﹣4，﹣3)，根據(jù)對稱性此時∠EAD＝∠ABC．②作點D(﹣4，﹣3)關(guān)于x軸的對稱點D′(﹣4，3)，直線AD′的解析式為y＝x+9，解方程組求出函數(shù)圖像交點坐標(biāo).【詳解】解：(1)在y＝﹣x﹣3中，當(dāng)y＝0時，x＝﹣6，即點A的坐標(biāo)為：(﹣6，0)，將A(﹣6，0)，B(2，0)代入y＝ax2+bx﹣3得：，解得：，∴拋物線的解析式為：y＝x2+x﹣3；(2)設(shè)點D的坐標(biāo)為：(m，m2+m﹣3)，則點F的坐標(biāo)為：(m，﹣m﹣3)，設(shè)DE與AC的交點為點F.∴DF＝﹣m﹣3﹣(m2+m﹣3)＝﹣m2﹣m，∴S△ADC＝S△ADF+S△DFC＝DF?AE+?DF?OE＝DF?OA＝×(﹣m2﹣m)×6＝﹣m2﹣m＝﹣(m+3)2+，∵a＝﹣＜0，∴拋物線開口向下，∴當(dāng)m＝﹣3時，S△ADC存在最大值，又∵當(dāng)m＝﹣3時，m2+m﹣3＝﹣，∴存在點D(﹣3，﹣)，使得△ADC的面積最大，最大值為；(3)①當(dāng)點D與點C關(guān)于對稱軸對稱時，D(﹣4，﹣3)，根據(jù)對稱性此時∠EAD＝∠ABC．②作點D(﹣4，﹣3)關(guān)于x軸的對稱點D′(﹣4，3)，直線AD′的解析式為y＝x+9，由，解得或，此時直線AD′與拋物線交于D(8，21)，滿足條件，綜上所述，滿足條件的點D坐標(biāo)為(﹣4，﹣3)或(8，21)【點睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法，一次函數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會構(gòu)建二次函數(shù)解決最值問題，學(xué)會構(gòu)建一次函數(shù)解決實際問題，屬于中考壓軸題．.5．已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2＝0有兩個實數(shù)根．（1）求k的取值范圍；（2）設(shè)x1，x2是方程兩根，且，求k的值．【答案】（1）k≥﹣；（2）k＝．【解析】【分析】（1）根據(jù)方程有兩個實數(shù)根可以得到△≥0，從而求得k的取值范圍；（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系將兩根之和和兩根之積代入代數(shù)式求k的值即可.【詳解】解：（1）△＝（2k+1）2﹣4k2＝4k2+4k+1﹣4k2＝4k+1∵△≥0∴4k+1≥0∴k≥﹣；（2）∵x1，x2是方程兩根，∴x1+x2＝2k+1x1x2＝k2，又∵，∴，即，解得：，又∵k≥﹣，即：k＝．【點睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系以及一元二次方程的解，根的判別式等知識，牢記“兩根之和等于，兩根之積等于”是解題的關(guān)鍵.6．已知拋物線上有兩點M(m+1，a)、N(m，b).(1)當(dāng)a＝－1，m＝1時，求拋物線的解析式；(2)用含a、m的代數(shù)式表示b和c；(3)當(dāng)a＜0時，拋物線滿足，，，求a的取值范圍.【答案】（1）；（2）b=-am，c=-am；（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意得到M(2，－1)、N(1，b)，代入拋物線解析式即可求出b、c；（2）將點M(m+1，a)、N(m，b)代入拋物線，可得，化簡即可得出；（3）把，代入可得，把，代入可得，然后根據(jù)m的取值范圍可得a的取值范圍.【詳解】解：(1)∵a＝－1，m＝1，∴M(2，－1)、N(1，b)由題意，得，解，得(2)∵點M(m+1，a)、N(m，b)在拋物線上①－②得，，∴把代入②，得(3)把，代入得，把，代入得，，，當(dāng)時，隨m的增大而增大即【點睛】本題考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，由函數(shù)圖像上點的坐標(biāo)特征求出，是解題關(guān)鍵.7．如圖，已知拋物線經(jīng)過A（－3，0），B（1，0），C（0，3）三點，其頂點為D，對稱軸是直線l，l與x軸交于點H．（1）求該拋物線的解析式；（2）若點P是該拋物線對稱軸l上的一個動點，求△PBC周長的最小值；（3）如圖（2），若E是線段AD上的一個動點（E與A、D不重合），過E點作平行于y軸的直線交拋物線于點F，交x軸于點G，設(shè)點E的橫坐標(biāo)為m，△ADF的面積為S．①求S與m的函數(shù)關(guān)系式；②S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此時點E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】（1）.（2）.（3）①.②當(dāng)m=﹣2時，S最大，最大值為1，此時點E的坐標(biāo)為（﹣2，2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖象經(jīng)過的三點，用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的解析式即可.（2）根據(jù)BC是定值，得到當(dāng)PB+PC最小時，△PBC的周長最小，根據(jù)點的坐標(biāo)求得相應(yīng)線段的長即可.（3）設(shè)點E的橫坐標(biāo)為m，表示出E（m，2m+6），F(xiàn)（m，），最后表示出EF的長，從而表示出S于m的函數(shù)關(guān)系，然后求二次函數(shù)的最值即可.【詳解】解：（1）∵拋物線經(jīng)過A（－3，0），B（1，0），∴可設(shè)拋物線交點式為.又∵拋物線經(jīng)過C（0，3），∴.∴拋物線的解析式為：，即.（2）∵△PBC的周長為：PB+PC+BC，且BC是定值.∴當(dāng)PB+PC最小時，△PBC的周長最小.∵點A、點B關(guān)于對稱軸I對稱，∴連接AC交l于點P，即點P為所求的點.∵AP=BP，∴△PBC的周長最小是：PB+PC+BC=AC+BC.∵A（－3，0），B（1，0），C（0，3），∴AC=3，BC=.∴△PBC的周長最小是：.（3）①∵拋物線頂點D的坐標(biāo)為（﹣1，4），A（﹣3，0），∴直線AD的解析式為y=2x+6∵點E的橫坐標(biāo)為m，∴E（m，2m+6），F(xiàn)（m，）∴.∴.∴S與m的函數(shù)關(guān)系式為.②，∴當(dāng)m=﹣2時，S最大，最大值為1，此時點E的坐標(biāo)為（﹣2，2）.8．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線的頂點坐標(biāo)為（2，0），且經(jīng)過點（4，1），如圖，直線y=x與拋物線交于A、B兩點，直線l為y=﹣1．（1）求拋物線的解析式；（2）在l上是否存在一點P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．（3）知F（x0，y0）為平面內(nèi)一定點，M（m，n）為拋物線上一動點，且點M到直線l的距離與點M到點F的距離總是相等，求定點F的坐標(biāo)．【答案】（1）拋物線的解析式為y=x2﹣x+1．（2）點P的坐標(biāo)為（，﹣1）．（3）定點F的坐標(biāo)為（2，1）．【解析】分析：（1）由拋物線的頂點坐標(biāo)為（2，0），可設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-2）2，由拋物線過點（4，1），利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；（2）聯(lián)立直線AB與拋物線解析式成方程組，通過解方程組可求出點A、B的坐標(biāo)，作點B關(guān)于直線l的對稱點B′，連接AB′交直線l于點P，此時PA+PB取得最小值，根據(jù)點B的坐標(biāo)可得出點B′的坐標(biāo)，根據(jù)點A、B′的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法可求出直線AB′的解析式，再利用一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征即可求出點P的坐標(biāo)；（3）由點M到直線l的距離與點M到點F的距離總是相等結(jié)合二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，即可得出（1--y0）m2+（2-2x0+2y0）m+x02+y02-2y0-3=0，由m的任意性可得出關(guān)于x0、y0的方程組，解之即可求出頂點F的坐標(biāo)．詳解：（1）∵拋物線的頂點坐標(biāo)為（2，0），設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-2）2．∵該拋物線經(jīng)過點（4，1），∴1=4a，解得：a=，∴拋物線的解析式為y=（x-2）2=x2-x+1．（2）聯(lián)立直線AB與拋物線解析式成方程組，得：，解得：，，∴點A的坐標(biāo)為（1，），點B的坐標(biāo)為（4，1）．作點B關(guān)于直線l的對稱點B′，連接AB′交直線l于點P，此時PA+PB取得最小值（如圖1所示）．∵點B（4，1），直線l為y=-1，∴點B′的坐標(biāo)為（4，-3）．設(shè)直線AB′的解析式為y=kx+b（k≠0），將A（1，）、B′（4，-3）代入y=kx+b，得：，解得：，∴直線AB′的解析式為y=-x+，當(dāng)y=-1時，有-x+=-1，解得：x=，∴點P的坐標(biāo)為（，-1）．（3）∵點M到直線l的距離與點M到點F的距離總是相等，∴（m-x0）2+（n-y0）2=（n+1）2，∴m2-2x0m+x02-2y0n+y02=2n+1．∵M（m，n）為拋物線上一動點，∴n=m2-m+1，∴m2-2x0m+x02-2y0（m2-m+1）+y02=2（m2-m+1）+1，整理得：（1--y0）m2+（2-2x0+2y0）m+x02+y02-2y0-3=0．∵m為任意值，∴，∴，∴定點F的坐標(biāo)為（2，1）．點睛：本題考查了待定系數(shù)法求二次（一次）函數(shù)解析式、二次（一次）函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、軸對稱中的最短路徑問題以及解方程組，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)點的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式；（2）利用兩點之間線段最短找出點P的位置；（3）根據(jù)點M到直線l的距離與點M到點F的距離總是相等結(jié)合二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，找出關(guān)于x0、y0的方程組．9．已知：如圖，拋物線y＝ax2+bx+3與坐標(biāo)軸分別交于點A，B（﹣3，0），C（1，0），點P是線段AB上方拋物線上的一個動點．（1）求拋物線解析式；（2）當(dāng)點P運動到什么位置時，△PAB的面積最大？（3）過點P作x軸的垂線，交線段AB于點D，再過點P作PE∥x軸交拋物線于點E，連接DE，請問是否存在點P使△PDE為等腰直角三角形？若存在，求點P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3（2）（﹣，）（3）存在，P（﹣2，3）或P（，）【解析】【分析】（1）用待定系數(shù)法求解；（2）過點P作PH⊥x軸于點H，交AB于點F，直線AB解析式為y＝x+3，設(shè)P（t，﹣t2﹣2t+3）（﹣3＜t＜0），則F（t，t+3），則PF＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t，根據(jù)S△PAB＝S△PAF+S△PBF寫出解析式，再求函數(shù)最大值；（3）設(shè)P（t，﹣t2﹣2t+3）（﹣3＜t＜0），則D（t，t+3），PD＝﹣t2﹣3t，由拋物線y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，由對稱軸為直線x＝﹣1，PE∥x軸交拋物線于點E，得yE＝y(tǒng)P，即點E、P關(guān)于對稱軸對稱，所以＝﹣1，得xE＝﹣2﹣xP＝﹣2﹣t，故PE＝|xE﹣xP|＝|﹣2﹣2t|，由△PDE為等腰直角三角形，∠DPE＝90°，得PD＝PE，再分情況討論：①當(dāng)﹣3＜t≤﹣1時，PE＝﹣2﹣2t；②當(dāng)﹣1＜t＜0時，PE＝2+2t【詳解】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+3過點B（﹣3，0），C（1，0）∴解得：∴拋物線解析式為y＝﹣x2﹣2x+3（2）過點P作PH⊥x軸于點H，交AB于點F∵x＝0時，y＝﹣x2﹣2x+3＝3∴A（0，3）∴直線AB解析式為y＝x+3∵點P在線段AB上方拋物線上∴設(shè)P（t，﹣t2﹣2t+3）（﹣3＜t＜0）∴F（t，t+3）∴PF＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t∴S△PAB＝S△PAF+S△PBF＝PF?OH+PF?BH＝PF?OB＝（﹣t2﹣3t）＝﹣（t+）2+∴點P運動到坐標(biāo)為（﹣，），△PAB面積最大（3）存在點P使△PDE為等腰直角三角形設(shè)P（t，﹣t2﹣2t+3）（﹣3＜t＜0），則D（t，t+3）∴PD＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t∵拋物線y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4∴對稱軸為直線x＝﹣1∵PE∥x軸交拋物線于點E∴yE＝y(tǒng)P，即點E、P關(guān)于對稱軸對稱∴＝﹣1∴xE＝﹣2﹣xP＝﹣2﹣t∴PE＝|xE﹣xP|＝|﹣2﹣2t|∵△PDE為等腰直角三角形，∠DPE＝90°∴PD＝PE①當(dāng)﹣3＜t≤﹣1時，PE＝﹣2﹣2t∴﹣t2﹣3t＝﹣2﹣2t解得：t1＝1（舍去），t2＝﹣2∴P（﹣2，3）②當(dāng)﹣1＜t＜0時，PE＝2+2t∴﹣t2﹣3t＝2+2t解得：t1＝，t2＝（舍去）∴P（，）綜上所述，點P坐標(biāo)為（﹣2，3）或（，）時使△PDE為等腰直角三角形．【點睛】考核知識點：二次函數(shù)的綜合.數(shù)形結(jié)合分析問題，運用軸對稱性質(zhì)和等腰三角形性質(zhì)分析問題是關(guān)鍵.10．已知，m，n是一元二次方程x2+4x+3=0的兩個實數(shù)根，且|m|＜|n|，拋物線y=x2+bx+c的圖象經(jīng)過點A（m，0），B（0，n），如圖所示．（1）求這個拋物線的解析式；（2）設(shè)（1）中的拋物線與x軸的另一個交點為拋物線的頂點為D，求出點C，D的坐標(biāo)，并判斷△BCD的形狀；（3）點P是直線BC上的一個動點（點P不與點B和點C重合），過點P作x軸的垂線，交拋物線于點M，點Q在直線BC上，距離點P為個單位長度，設(shè)點P的橫坐標(biāo)為t，△PMQ的面積為S，求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．【答案】（1）；（2）C（3，0），D（1，﹣4），△BCD是直角三角形；（3）【解析】試題分析：（1）先解一元二次方程，然后用待定系數(shù)法求出拋物線解析式；（2）先解方程求出拋物線與x軸的交點，再判斷出△BOC和△BED都是等腰直角三角形，從而得到結(jié)論；（3）先求出QF=1，再分兩種情況，當(dāng)點P在點M上方和下方，分別計算即可．試題解析：解（1）∵，∴，，∵m，n是一元二次方程的兩個實數(shù)根，且|m|＜|n|，∴m=﹣1，n=﹣3，∵拋物線的圖象經(jīng)過點A（m，0），B（0，n），∴，∴，∴拋物線解析式為；（2）令y=0，則，∴，，∴C（3，0），∵=，∴頂點坐標(biāo)D（1，﹣4），過點D作DE⊥y軸，∵OB=OC=3，∴BE=DE=1，∴△BOC和△BED都是等腰直角三角形，∴∠OBC=∠DBE=45°，∴∠CBD=90°，∴△BCD是直角三角形；（3）如圖，∵B（0，﹣3），C（3，0），∴直線BC解析式為y=x﹣3，∵點P的橫坐標(biāo)為t，PM⊥x軸，∴點M的橫坐標(biāo)為t，∵點P在直線BC上，點M在拋物線上，∴P（t，t﹣3），M（t，），過點Q作QF⊥PM，∴△PQF是等腰直角三角形，∵PQ=，∴QF=1．①當(dāng)點P在點M上方時，即0＜t＜3時，PM=t﹣3﹣（）=，∴S=PM×QF==，②如圖3，當(dāng)點P在點M下方時，即t＜0或t＞3時，PM=﹣（t﹣3）=，∴S=PM×QF=（）=．綜上所述，S=．考點：二次函數(shù)綜合題；分類討論．11．如圖1，拋物線C1：y=ax2﹣2ax+c（a＜0）與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C．已知點A的坐標(biāo)為（﹣1，0），點O為坐標(biāo)原點，OC=3OA，拋物線C1的頂點為G．（1）求出拋物線C1的解析式，并寫出點G的坐標(biāo)；（2）如圖2，將拋物線C1向下平移k（k＞0）個單位，得到拋物線C2，設(shè)C2與x軸的交點為A′、B′，頂點為G′，當(dāng)△A′B′G′是等邊三角形時，求k的值：（3）在（2）的條件下，如圖3，設(shè)點M為x軸正半軸上一動點，過點M作x軸的垂線分別交拋物線C1、C2于P、Q兩點，試探究在直線y=﹣1上是否存在點N，使得以P、Q、N為頂點的三角形與△AOQ全等，若存在，直接寫出點M，N的坐標(biāo)：若不存在，請說明理由．【答案】（1）拋物線C1的解析式為y=﹣x2+2x+3，點G的坐標(biāo)為（1，4）；（2）k=1；（3）M1（，0）、N1（，﹣1）；M2（，0）、N2（1，﹣1）；M3（4，0）、N3（10，﹣1）；M4（4，0）、N4（﹣2，﹣1）．【解析】【分析】（1）由點A的坐標(biāo)及OC=3OA得點C坐標(biāo)，將A、C坐標(biāo)代入解析式求解可得；（2）設(shè)拋物線C2的解析式為y=﹣x2+2x+3﹣k，即y=﹣（x﹣1）2+4﹣k，′作G′D⊥x軸于點D，設(shè)BD′=m，由等邊三角形性質(zhì)知點B′的坐標(biāo)為（m+1，0），點G′的坐標(biāo)為（1，m），代入所設(shè)解析式求解可得；（3）設(shè)M（x，0），則P（x，﹣x2+2x+3）、Q（x，﹣x2+2x+2），根據(jù)PQ=OA=1且∠AOQ、∠PQN均為鈍角知△AOQ≌△PQN，延長PQ交直線y=﹣1于點H，證△OQM≌△QNH，根據(jù)對應(yīng)邊相等建立關(guān)于x的方程，解之求得x的值從而進一步求解即可．【詳解】（1）∵點A的坐標(biāo)為（﹣1，0），∴OA=1，∴OC=3OA，∴點C的坐標(biāo)為（0，3），將A、C坐標(biāo)代入y=ax2﹣2ax+c，得：，解得：，∴拋物線C1的解析式為y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，所以點G的坐標(biāo)為（1，4）；（2）設(shè)拋物線C2的解析式為y=﹣x2+2x+3﹣k，即y=﹣（x﹣1）2+4﹣k，過點G′作G′D⊥x軸于點D，設(shè)BD′=m，∵△A′B′G′為等邊三角形，∴G′D=B′D=m，則點B′的坐標(biāo)為（m+1，0），點G′的坐標(biāo)為（1，m），將點B′、G′的坐標(biāo)代入y=﹣（x﹣1）2+4﹣k，得：，解得：（舍），，∴k=1；（3）設(shè)M（x，0），則P（x，﹣x2+2x+3）、Q（x，﹣x2+2x+2），∴PQ=OA=1，∵∠AOQ、∠PQN均為鈍角，∴△AOQ≌△PQN，如圖2，延長PQ交直線y=﹣1于點H，則∠QHN=∠OMQ=90°，又∵△AOQ≌△PQN，∴OQ=QN，∠AOQ=∠PQN，∴∠MOQ=∠HQN，∴△OQM≌△QNH（AAS），∴OM=QH，即x=﹣x2+2x+2+1，解得：x=（負值舍去），當(dāng)x=時，HN=QM=﹣x2+2x+2=，點M（，0），∴點N坐標(biāo)為（+，﹣1），即（，﹣1）；或（﹣，﹣1），即（1，﹣1）；如圖3，同理可得△OQM≌△PNH，∴OM=PH，即x=﹣（﹣x2+2x+2）﹣1，解得：x=﹣1（舍）或x=4，當(dāng)x=4時，點M的坐標(biāo)為（4，0），HN=QM=﹣（﹣x2+2x+2）=6，∴點N的坐標(biāo)為（4+6，﹣1）即（10，﹣1），或（4﹣6，﹣1）即（﹣2，﹣1）；綜上點M1（，0）、N1（，﹣1）；M2（，0）、N2（1，﹣1）；M3（4，0）、N3（10，﹣1）；M4（4，0）、N4（﹣2，﹣1）．【點睛】本題考查的是二次函數(shù)的綜合題，涉及到的知識有待定系數(shù)法、等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等，熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、運用分類討論思想是解題的關(guān)鍵.12．如圖，（圖1，圖2），四邊形ABCD是邊長為4的正方形，點E在線段BC上，∠AEF=90°,且EF交正方形外角平分線CP于點F，交BC的延長線于點N,FN⊥BC．（1）若點E是BC的中點（如圖1），AE與EF相等嗎？（2）點E在BC間運動時（如圖2），設(shè)BE=x，△ECF的面積為y．①求y與x的函數(shù)關(guān)系式；②當(dāng)x取何值時，y有最大值，并求出這個最大值.【答案】（1）AE=EF；（2）①y=-x2+2x（0＜x＜4)，②當(dāng)x=2,y最大值=2.【解析】【分析】（1）在AB上取一點G，使AG=EC，連接GE，利用ASA，易證得：△AGE≌△ECF，則可證得：AE=EF；（2）同（1）可證明AE=EF，利用AAS證明△ABE≌△ENF，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得FN=BE，再表示出EC，然后利用三角形的面積公式即可列式表示出△ECF的面積為y，然后整理再根據(jù)二次函數(shù)求解最值問題．【詳解】（1）如圖，在AB上取AG=EC，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC，有∵AG=EC，∴BG=BE，又∵∠B=90°，∴∠AGE=135°，又∵∠BCD=90°，CP平分∠DCN，∴∠ECF=135°，∵∠BAE＋∠AEB=90°，∠AEB＋∠FEC=90°，∴∠BAE=∠FEC，在△AGE和△ECF中，,∴△AGE≌△ECF，∴AE=EF；(2)①∵由（1）證明可知當(dāng)E不是中點時同理可證AE=EF，∵∠BAE=∠NEF，∠B=∠ENF=90°，∴△ABE≌△ENF，∴FN=BE=x，∴S△ECF=(BC-BE)·FN，即y=x(4-x），∴y=-x2+2x（0＜x＜4)，②，當(dāng)x=2，y最大值=2.【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)的最值問題，綜合性較強，正確添加輔助線、熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．13．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線過點，，與y軸交于點C，連接AC，BC，將沿BC所在的直線翻折，得到，連接OD．（1）用含a的代數(shù)式表示點C的坐標(biāo)．（2）如圖1，若點D落在拋物線的對稱軸上，且在x軸上方，求拋物線的解析式．（3）設(shè)的面積為S1，的面積為S2，若，求a的值．【答案】（1）；(2)拋物線的表達式為：；(3)或【解析】【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法，得到拋物線的表達式為：，即可求解；（2）根據(jù)相似三角形的判定證明，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，即可求解；（3）連接OD交BC于點H，過點H、D分別作x軸的垂線交于點N、M，由三角形的面積公式得到，，，而，即可求解．【詳解】（1）拋物線的表達式為：，即，則點；（2）過點B作y軸的平行線BQ，過點D作x軸的平行線交y軸于點P、交BQ于點Q，∵，，∴，設(shè)：，點，，∴，∴，其中：，，，，，，將以上數(shù)值代入比例式并解得：，∵，故，故拋物線的表達式為：；（3）如圖2，當(dāng)點C在x軸上方時，連接OD交BC于點H，則，過點H、D分別作x軸的垂線交于點N、M，設(shè)：，，，而，則，，∴，則，則，，則，則，則，解得：（舍去負值），，解得：（不合題意值已舍去），故：．當(dāng)點C在x軸下方時，同理可得：；故：或【點睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運用、一次函數(shù)、三角形相似、圖形的面積計算，其中（3）用幾何方法得出：，是本題解題的關(guān)鍵．14．如圖，拋物線y=﹣（x﹣1）2+c與x軸交于A，B（A，B分別在y軸的左右兩側(cè)）兩點，與y軸的正半軸交于點C，頂點為D，已知A（﹣1，0）．（1）求點B，C的坐標(biāo)；（2）判斷△CDB的形狀并說明理由；（3）將△COB沿x軸向右平移t個單位長度（0＜t＜3）得到△QPE．△QPE與△CDB重疊部分（如圖中陰影部分）面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍．【答案】(Ⅰ)B(3，0)；C(0，3)；(Ⅱ)為直角三角形；(Ⅲ).【解析】【分析】（1）首先用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式，然后進一步確定點B，C的坐標(biāo)．（2）分別求出△CDB三邊的長度，利用勾股定理的逆定理判定△CDB為直角三角形．（3）△COB沿x軸向右平移過程中，分兩個階段：①當(dāng)0＜t≤時，如答圖2所示，此時重疊部分為一個四邊形；②當(dāng)＜t＜3時，如答圖3所示，此時重疊部分為一個三角形．【詳解】解：(Ⅰ)∵點在拋物線上，∴，得∴拋物線解析式為：，令，得，∴；令，得或，∴.(Ⅱ)為直角三角形.理由如下：由拋物線解析式，得頂點的坐標(biāo)為.如答圖1所示，過點作軸于點M，則，，.過點作于點，則，.在中，由勾股定理得：；在中，由勾股定理得：；在中，由勾股定理得：.∵，∴為直角三角形.(Ⅲ)設(shè)直線的解析式為，∵，∴，解得，∴，直線是直線向右平移個單位得到，∴直線的解析式為：；設(shè)直線的解析式為，∵，∴，解得：，∴.連續(xù)并延長，射線交交于，則.在向右平移的過程中：(1)當(dāng)時，如答圖2所示：設(shè)與交于點，可得，.設(shè)與的交點為，則：.解得，∴..(2)當(dāng)時，如答圖