202X泰安市中考數(shù)學(xué)幾何綜合壓軸題模擬專題

202X泰安市中考數(shù)學(xué)幾何綜合壓軸題模擬專題一、中考幾何壓軸題1．如圖1，已知和均為等腰直角三角形，點(diǎn)、分別在線段、上，．（1）觀察猜想：如圖2，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接、，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)．當(dāng)?shù)难娱L(zhǎng)線恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，此時(shí)，①的值為______；②∠BEC的度數(shù)為______度；（2）類比探究：如圖3，繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)不重合時(shí)，上述結(jié)論是否仍然成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）拓展延伸：若．，當(dāng)所在的直線垂直于時(shí)，請(qǐng)你直接寫出線段的長(zhǎng)．2．如圖1，在中，，點(diǎn)P在斜邊上，點(diǎn)D?E?F分別是線段??的中點(diǎn)，易知是直角三角形．現(xiàn)把以點(diǎn)P為中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，其中．連接??．（1）操作發(fā)現(xiàn)如圖2，若點(diǎn)P是的中點(diǎn)，連接，可以發(fā)現(xiàn)____________；（2）類比探究如圖3，中，于點(diǎn)P，請(qǐng)判斷與的大小，結(jié)合圖2說(shuō)明理由；（3）拓展提高在（2）的條件下，如果，且，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，當(dāng)以點(diǎn)C?D?F?P四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形與以點(diǎn)B?E?F?P四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形都是平行四邊形時(shí)，直接寫出線段??的長(zhǎng)．3．（發(fā)現(xiàn)問(wèn)題）（1）如圖，已知和均為等邊三角形，在上，在上，易得線段和的數(shù)量關(guān)系是．（2）將圖中的繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖的位置，直線和直線交于點(diǎn)①判斷線段和的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．②圖中的度數(shù)是．（3）（探究拓展）如圖3，若和均為等腰直角三角形，，，，直線和直線交于點(diǎn)，分別寫出的度數(shù)，線段、之間的數(shù)量關(guān)系．4．類比、轉(zhuǎn)化、從特殊到一般等思想方法，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究中經(jīng)常用到，如下是一個(gè)案例，請(qǐng)補(bǔ)充完整．原題：如圖1，在平行四邊形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交射線于點(diǎn)．若，求的值．（1）嘗試探究在圖1中，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，則和的數(shù)量關(guān)系是_________，和的數(shù)量關(guān)系是_________，的值是_________．（2）類比延伸如圖2，在原題的條件下，若，則的值是_________（用含有的代數(shù)式表示），試寫出解答過(guò)程．（3）拓展遷移如圖3，梯形中，，點(diǎn)是的延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，和相交于點(diǎn)．若，，，則的值是________（用含、的代數(shù)式表示）．5．如圖，已知和均為等腰三角形，AC＝BC，DE＝AE，將這兩個(gè)三角形放置在一起．（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖①，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)B、D、E在同一直線上，連接CE，則＝°，線段BD、CE之間的數(shù)量關(guān)系是；（2）拓展探究：如圖②，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)B、D、E在同一直線上，連接CE，請(qǐng)判斷的度數(shù)及線段BD、CE之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）解決問(wèn)題：如圖③，，，AE＝2，連接CE、BD，在繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出EC的長(zhǎng)．6．（1）證明推斷：如圖（1），在正方形中，點(diǎn)，分別在邊，上，于點(diǎn)，點(diǎn)，分別在邊，上，．求證：；（2）類比探究：如圖（2），在矩形中，將矩形沿折疊，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，得到四邊形，交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)．試探究與之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）拓展應(yīng)用：在（2）的條件下，連接，若，，求的長(zhǎng)．7．（問(wèn)題發(fā)現(xiàn)）（1）如圖1所示，在中，，，點(diǎn)在邊上，且，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段，連接、，的值為______；（類比探究）（2）如圖2所示，在（1）的條件下，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，連接，則的值會(huì)發(fā)生改變嗎？說(shuō)明你的理由；（拓展延伸）（3）如圖3所示，在鈍角中，，，點(diǎn)在邊的延長(zhǎng)線上，，連接．將線段繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角，連接，則______（請(qǐng)用含有，的式子表示）．8．（1）問(wèn)題探究：如圖1，在正方形中，點(diǎn)、、分別是、、上的點(diǎn)，且，求證：；（2）類比應(yīng)用：如圖2，在矩形中，，，將矩形沿折疊使點(diǎn)落在點(diǎn)處，得到矩形．①若點(diǎn)為的中點(diǎn)，試探究與的數(shù)量關(guān)系；②拓展延伸：連，當(dāng)時(shí)，，，求的長(zhǎng)．9．（1）（問(wèn)題發(fā)現(xiàn)）如圖①，正方形的兩邊分別在正方形的邊和上，連接．填空：①線段與的數(shù)量關(guān)系為______；②直線與所夾銳角的度數(shù)為_______．（2）（拓展探究）如圖②，將正方形繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，（1）中的結(jié)論是否仍然成立，請(qǐng)利用圖②進(jìn)行說(shuō)明．（3）（解決問(wèn)題）如圖③，在正方形中，，點(diǎn)M為直線上異于B，C的一點(diǎn)，以為邊作正方形，點(diǎn)N為正方形的中心，連接，若，直接寫出的長(zhǎng)．10．（問(wèn)題探究）（1）如圖1，△ABC和△DEC均為等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，點(diǎn)B，D，E在同一直線上，連接AD，BD．①請(qǐng)?zhí)骄緼D與BD之間的位置關(guān)系？并加以證明．②若AC＝BC＝，DC＝CE＝，求線段AD的長(zhǎng)．（拓展延伸）（2）如圖2，△ABC和△DEC均為直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝，BC＝，CD＝，CE＝1．將△DCE繞點(diǎn)C在平面內(nèi)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角∠BCD為α（0°≤α＜360°），作直線BD，連接AD，當(dāng)點(diǎn)B，D，E在同一直線上時(shí)，畫出圖形，并求線段AD的長(zhǎng)．11．問(wèn)題呈現(xiàn)：已知等邊三角形邊的中點(diǎn)為點(diǎn)，，的兩邊分別交直線，于點(diǎn)，，現(xiàn)要探究線段，與等邊三角形的邊長(zhǎng)之間的數(shù)量關(guān)系．（1）特例研究：如圖1，當(dāng)點(diǎn)，分別在線段，上，且，時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段，與的數(shù)量關(guān)系：________；（2）問(wèn)題解決：如圖2，當(dāng)點(diǎn)落在射線上，點(diǎn)落在線段上時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立？若不成立，請(qǐng)通過(guò)證明探究出線段，與等邊三角形的邊長(zhǎng)之間的數(shù)量關(guān)系；（3）拓展應(yīng)用：如圖3，當(dāng)點(diǎn)落在射線上，點(diǎn)落在射線上時(shí)，若，，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)和此時(shí)的面積．12．如圖，在中，，，，為底邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接，以為斜邊向左上方作等腰直角，連接．觀察猜想：（1）當(dāng)點(diǎn)落在線段上時(shí)，直接寫出，的數(shù)量關(guān)系：_______．類比探究：（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，請(qǐng)問(wèn)（1）中結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；拓展延伸：（3）在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段的長(zhǎng)．13．（問(wèn)題情境）在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝α（0°＜α＜180°），點(diǎn)P為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），連接AP，將線段PA繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段PQ旋轉(zhuǎn)角為α，連接CQ．（特例分析）（1）當(dāng)α＝90°，點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，過(guò)P作PF∥AC交直線AB于點(diǎn)F，如圖①，易得圖中與△APF全等的一個(gè)三角形是，∠ACQ＝°．（拓展探究）（2）當(dāng)點(diǎn)P在BC延長(zhǎng)線上，AB：AC＝m：n時(shí)，如圖②，試求線段BP與CQ的比值；（問(wèn)題解決）（3）當(dāng)點(diǎn)P在直線BC上，α＝60°，∠APB＝30°，CP＝4時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段CQ的長(zhǎng)．14．我們定義：連結(jié)凸四邊形一組對(duì)邊中點(diǎn)的線段叫做四邊形的“準(zhǔn)中位線”．（1）概念理解：如圖1，四邊形中，為的中點(diǎn)，，是邊上一點(diǎn)，滿足，試判斷是否為四邊形的準(zhǔn)中位線，并說(shuō)明理由．（2）問(wèn)題探究：如圖2，中，，，，動(dòng)點(diǎn)以每秒1個(gè)單位的速度，從點(diǎn)出發(fā)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)以每秒6個(gè)單位的速度，從點(diǎn)出發(fā)沿射線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．為線段上任意一點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，射線與點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的兩邊分別相交于點(diǎn)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．問(wèn)為何值時(shí)，為點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的準(zhǔn)中位線．（3）應(yīng)用拓展：如圖3，為四邊形的準(zhǔn)中位線，，延長(zhǎng)分別與，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，請(qǐng)找出圖中與相等的角并證明．15．某數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組在復(fù)習(xí)線段垂直平分線性質(zhì)時(shí)，提出了以下幾個(gè)問(wèn)題，請(qǐng)你幫他們解決：[數(shù)學(xué)理解](1)點(diǎn)是線段垂直平分線上的一點(diǎn)，則的值為；[拓展延伸](2)在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，且，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．(3)經(jīng)小組探究發(fā)現(xiàn)，如圖，延長(zhǎng)線段到點(diǎn)，使，以點(diǎn)為因心，長(zhǎng)為半徑作園，則對(duì)于上任一點(diǎn)，都有，請(qǐng)你證明這個(gè)結(jié)論：[問(wèn)題解決](4)如圖，某人乘船以25千米/時(shí)的速度沿一筆直的河從碼頭到碼頭，再立即坐車沿一筆直公路以75千米/時(shí)的速度回到住處，已知乘船和坐車所用的時(shí)間相等請(qǐng)?jiān)诤舆吷洗_定碼頭的位置．(請(qǐng)畫出示意圖并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由)16．愛好思考的小明在探究?jī)蓷l直線的位置關(guān)系查閱資料時(shí)，發(fā)現(xiàn)了“中垂三角形”，即兩條中線相互垂直的三角形“中垂三角形”，如圖（1）、圖（2）、圖（3）中，AM、BN是△ABC的中線，AM⊥BN于點(diǎn)P，像△ABC這樣的三角形均為“中垂三角形”．設(shè)BC=a，AC=b，AB=c．（特例研究）（1）如圖1，當(dāng)tan∠PAB=1，c=4時(shí)，a=b=；（歸納證明）（2）請(qǐng)你觀察（1）中的計(jì)算結(jié)果，猜想a2、b2、c2三者之間的關(guān)系，用等式表示出來(lái)，并利用圖2證明你的結(jié)論；（拓展證明）（3）如圖4，?ABCD中，E、F分別是AD、BC的三等分點(diǎn)，且AD=3AE，BC=3BF，連接AF、BE、CE，且BE⊥CE于E，AF交BE相較于點(diǎn)G，AD=3，AB=3，求AF的長(zhǎng)．17．（1）問(wèn)題探究：如圖1所示，有公共頂點(diǎn)A的兩個(gè)正方形ABCD和正方形AEFG．AE＜AB，連接BE與DG，請(qǐng)判斷線段BE與線段DG之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系．并請(qǐng)說(shuō)明理由．（2）理解應(yīng)用：如圖2所示，有公共頂點(diǎn)A的兩個(gè)正方形ABCD和正方形AEFG，AE＜AB，AB＝10，將正方形AEFG繞點(diǎn)A在平面內(nèi)任意旋轉(zhuǎn)，當(dāng)∠ABE＝15°，且點(diǎn)D、E、G三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，請(qǐng)直接寫出AE的長(zhǎng)；（3）拓展應(yīng)用：如圖3所示，有公共頂點(diǎn)A的兩個(gè)矩形ABCD和矩形AEFG，AD＝4，AB＝4，AG＝4，AE＝4，將矩形AEFG繞點(diǎn)A在平面內(nèi)任意旋轉(zhuǎn)，連接BD，DE，點(diǎn)M，N分別是BD，DE的中點(diǎn)，連接MN，當(dāng)點(diǎn)D、E、G三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，請(qǐng)直接寫出MN的長(zhǎng)18．如圖（1），已知點(diǎn)在正方形的對(duì)角線上，垂足為點(diǎn)，垂足為點(diǎn)．（1）證明與推斷：求證：四邊形是正方形；推斷：的值為__；（2）探究與證明：將正方形繞點(diǎn)順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角，如圖（2）所示，試探究線段與之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）拓展與運(yùn)用：若，正方形在繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，則．19．如圖，四邊形是正方形，點(diǎn)為對(duì)角線的中點(diǎn)．（1）問(wèn)題解決：如圖①，連接，分別取，的中點(diǎn)，，連接，則與的數(shù)量關(guān)系是_____，位置關(guān)系是____；（2）問(wèn)題探究：如圖②，是將圖①中的繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到的三角形，連接，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，連接，．判斷的形狀，并證明你的結(jié)論；（3）拓展延伸：如圖③，是將圖①中的繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到的三角形，連接，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，連接，．若正方形的邊長(zhǎng)為1，求的面積．20．（教材呈現(xiàn)）下面是華師版八年級(jí)下冊(cè)教材第89頁(yè)的部分內(nèi)容．如圖，G，H是平行四邊形ABCD對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)，且AG=CH，E，F(xiàn)分別是邊AB和CD的中點(diǎn)求證：四邊形EHFG是平行四邊形證明：連接EF交AC于點(diǎn)O∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AB=CD，AB∥CD又∵E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)∴AE=CF又∵AB∥CD∴∠EAO=∠FCO又∵∠AOE=∠COF∴△AOE≌△COF請(qǐng)補(bǔ)全上述問(wèn)題的證明過(guò)程．（探究）如圖①，在△ABC中，E，O分別是邊AB、AC的中點(diǎn)，D、F分別是線段AO、CO的中點(diǎn)，連結(jié)DE、EF，將△DEF繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°得到△DGF，若四邊形DEFG的面積為8，則△ABC的面積為．（拓展）如圖②，GH是正方形ABCD對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)，且AG＝CH，GH＝AB，E、F分別是AB和CD的中點(diǎn)．若正方形ABCD的面積為16，則四邊形EHFG的面積為．【參考答案】***試卷處理標(biāo)記，請(qǐng)不要?jiǎng)h除一、中考幾何壓軸題1．（1）①；②45；（2）成立，理由見解析；（3）或【分析】（1）①如圖，設(shè)AC交BE于點(diǎn)O．證明△DAB∽△EAC，推出=，∠ABD=∠ACE，②再證明∠BAO=∠CEO=45°，可得結(jié)論．（解析：（1）①；②45；（2）成立，理由見解析；（3）或【分析】（1）①如圖，設(shè)AC交BE于點(diǎn)O．證明△DAB∽△EAC，推出=，∠ABD=∠ACE，②再證明∠BAO=∠CEO=45°，可得結(jié)論．（2）如圖（3）中，設(shè)AC交BF于點(diǎn)O．證明△DAB∽△EAC，可得結(jié)論．（3）分兩種情形：如圖，當(dāng)CE⊥AD于O時(shí)，如圖（4）-2中，當(dāng)EC⊥AD時(shí)，延長(zhǎng)CE交AD于O．分別求出EC，可得結(jié)論．【詳解】解：（1）如圖（2）中，設(shè)AC交BE于點(diǎn)O．∵△AED，△ABC都是等腰直角三角形，∴∠EAD=∠CAB=45°，AD=AE，AB=AC，∴∠EAC=∠DAB，∴=，∴△DAB∽△EAC，∴=；②由△DAB∽△EAC，∴∠ABD=∠ACE，∵∠AOB=∠EOC，∴∠BAO=∠CEO=45°，∴∠CEB=45°，故答案為：，45；（2）如圖（3）中，設(shè)AC交BF于點(diǎn)O．∵△AED，△ABC都是等腰直角三角形，∴∠EAD=∠CAB=45°，AD=AE，AB=AC，∴∠EAC=∠DAB，=，∴△DAB∽△EAC，∴=，∠ABD=∠ACE，∵∠AOB=∠FOC，∴∠BAO=∠CFO=45°，∴=，∠BFC=45°；（3）如圖（4）-1中，當(dāng)CE⊥AD于O時(shí)，∵AE=DE=，AC=BC=，∠AED=∠ACB=90°，∴AD=AE=2，∵EO⊥AD，∴OD=OA=OE=1，∴OC==3，∴EC=OE+OC=4，∵BD=EC，∴BD=4；如圖（4）-2中，當(dāng)EC⊥AD時(shí)，延長(zhǎng)CE交AD于O．同法可得OD=OA=OE=1，OC=3，EC=3-1=2，∴BD=EC=2，綜上所述，BD的長(zhǎng)為4或2．【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．2．（1）1，1；（2）結(jié)論：，理由見解析；（3），，．【分析】（1）利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)以及全等三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題即可．（2）結(jié)論：．如圖3中，連接．利用相似三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題即可．解析：（1）1，1；（2）結(jié)論：，理由見解析；（3），，．【分析】（1）利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)以及全等三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題即可．（2）結(jié)論：．如圖3中，連接．利用相似三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題即可．（3）分兩種情形：如圖中，當(dāng)時(shí)，滿足條件，如圖中，當(dāng)點(diǎn)落在上時(shí)，四邊形是矩形，四邊形是矩形，分別求解即可．【詳解】解：（1）如圖2中，連接，．，，，，，，，，，，，同法可證，，，．故答案為1，1．（2）結(jié)論：．理由：如圖3中，連接．，，，，，，，，，同法可證，，，，，，，．（3）如圖中，當(dāng)時(shí)，，，，，，四邊形是平行四邊形，，，，，，同法可證，，四邊形是平行四邊形，，，，，，，，，，，，，，由（2）可知，，，．如圖中，當(dāng)點(diǎn)落在上時(shí)，四邊形是矩形，四邊形是矩形，此時(shí)，由（2）可知，，，．綜上所述，，，．【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)變換，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．3．（1）；（2）①，證明見解析；②；（3），【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)，結(jié)合等量代換即可求解；（2）①根據(jù)SAS證明，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證明；②由全等三角形的性質(zhì)得，然后利用等解析：（1）；（2）①，證明見解析；②；（3），【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)，結(jié)合等量代換即可求解；（2）①根據(jù)SAS證明，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證明；②由全等三角形的性質(zhì)得，然后利用等量代換即可求解；（3）首先證明，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，和，即可求解．【詳解】（1）∵和均為等邊三角形∴CA=CB，CD=CE∴AC-CD=BC-CE，即AD=BE∴AD=BE；（2）①AD=BE證明：∵和均為等邊三角形∴CA=CB，CD=CE，∴∴∴AD=BE②∵∴設(shè)BC和AF交于點(diǎn)O，如圖2∵∴，即∴；（3）結(jié)論，證明：∵，AB=BC，DE=EC∴，∴∴，∴∵∴【點(diǎn)睛】本題考查了幾何變換綜合，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，關(guān)鍵證明全等和相似，并且分類討論．4．（1）；；；（2）；（3）．【分析】（1）本問(wèn)體現(xiàn)“特殊”的情形，是一個(gè)確定的數(shù)值．如答圖1，過(guò)E點(diǎn)作平行線，構(gòu)造相似三角形，利用相似三角形和中位線的性質(zhì)，分別將各相關(guān)線段均統(tǒng)一用EH來(lái)表示，最解析：（1）；；；（2）；（3）．【分析】（1）本問(wèn)體現(xiàn)“特殊”的情形，是一個(gè)確定的數(shù)值．如答圖1，過(guò)E點(diǎn)作平行線，構(gòu)造相似三角形，利用相似三角形和中位線的性質(zhì)，分別將各相關(guān)線段均統(tǒng)一用EH來(lái)表示，最后求得比值；（2）本問(wèn)體現(xiàn)“一般”的情形，不再是一個(gè)確定的數(shù)值，但（1）問(wèn)中的解題方法依然適用，如答圖2所示．（3）本問(wèn)體現(xiàn)“類比”與“轉(zhuǎn)化”的情形，將（1）（2）問(wèn)中的解題方法推廣轉(zhuǎn)化到梯形中，如答圖3所示．【詳解】解：（1）依題意，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，如圖1所示．則有，∴，∴．∵，，∴，又∵為中點(diǎn)，∴為的中位線，∴．．故答案為：；；．（2）如圖2所示，作交于點(diǎn)，則．∴，∴．∵，∴．∵，∴．∴，∴．∴．故答案為：．（3）如圖3所示，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則有．∵，∴，∴，∴．又，∴．∵，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題的設(shè)計(jì)獨(dú)特：由平行四邊形中的一個(gè)特殊的例子出發(fā)（第1問(wèn)），推廣到平行四邊形中的一般情形（第2問(wèn)），最后再通過(guò)類比、轉(zhuǎn)化到梯形中去（第3問(wèn)）．各種圖形雖然形式不一，但運(yùn)用的解題思想與解題方法卻是一以貫之：即通過(guò)構(gòu)造相似三角形，得到線段之間的比例關(guān)系，這個(gè)比例關(guān)系均統(tǒng)一用同一條線段來(lái)表達(dá)，這樣就可以方便地求出線段的比值．本題體現(xiàn)了初中數(shù)學(xué)的類比、轉(zhuǎn)化、從特殊到一般等思想方法，有利于學(xué)生觸類旁通、舉一反三．5．（1）；（2），理由見解析；（3）CE的長(zhǎng)為2或4，理由見解析．【分析】（1）證明，得出CE＝BD，，即可得出結(jié)論；（2）證明，得出，，即可得出結(jié)論；（3）先判斷出，再求出：①當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)D解析：（1）；（2），理由見解析；（3）CE的長(zhǎng)為2或4，理由見解析．【分析】（1）證明，得出CE＝BD，，即可得出結(jié)論；（2）證明，得出，，即可得出結(jié)論；（3）先判斷出，再求出：①當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)D上方時(shí)，先判斷出四邊形APDE是矩形，求出AP＝DP＝AE＝2，再根據(jù)勾股定理求出，BP＝6，得出BD＝4；②當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)D下方時(shí)，同①的方法得，AP＝DP＝AE＝1，BP＝6，進(jìn)而得出BD＝BP+DP＝8，即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）為等腰三角形，，∴是等邊三角形，同理可得是等邊三角形故答案為：．（2），理由如下：在等腰三角形ABC中，AC＝BC，，，同理，，，，，，，，點(diǎn)B、D、E在同一條直線上:；（3）由（2）知，，，在中，，，①當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)D上方時(shí)，如圖③，過(guò)點(diǎn)A作交BD的延長(zhǎng)線于P，，，四邊形APDE是矩形，，矩形APDE是正方形，，在中，根據(jù)勾股定理得，，，；②當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)D下方時(shí)，如圖④同①的方法得，AP＝DP＝AE＝2，BP＝6，BD＝BP+DP＝8，，綜上CE的長(zhǎng)為2或4．【點(diǎn)睛】本題是幾何變換的綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)，判斷出三角形ACE和三角形ABD相似是關(guān)鍵．6．（1）見解析；（2）；見解析；（3）【分析】（1）先△ABE≌△DAQ，可得AE＝DQ;再證明四邊形DQFG是平行四邊形即可解決問(wèn)題；（2）如圖2中，作GM⊥AB于M．然后證明△ABE∽△GM解析：（1）見解析；（2）；見解析；（3）【分析】（1）先△ABE≌△DAQ，可得AE＝DQ;再證明四邊形DQFG是平行四邊形即可解決問(wèn)題；（2）如圖2中，作GM⊥AB于M．然后證明△ABE∽△GMF即可解決問(wèn)題；（3）如圖3中，作PM⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于M．利用相似三角形的性質(zhì)求出PM，CM即可解決問(wèn)題．【詳解】（1）如圖（1），∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝DA，∠ABE＝90°＝∠DAQ．∴∠QAO+∠OAD＝90°．∵AE⊥DQ，∴∠ADO+∠OAD＝90°．∴∠QAO＝∠ADO．∴△ABE≌△DAQ（ASA），∴AE＝DQ．∵四邊形ABCD是正方形，AE⊥DQ，AE⊥GF，∴DG∥QF，DQ∥GF，∴四邊形DQFG是平行四邊形，∴DQ=GF，∴FG=AE；（2）．理由：如圖（2）中，作GM⊥AB于M．∵AE⊥GF，∴∠AOF＝∠GMF＝∠ABE＝90°，∴∠BAE+∠AFO＝90°，∠AFO+∠FGM＝90°，∴∠BAE＝∠FGM，∴△ABE∽△GMF，∴GF：AE＝GM：AB，∵∠AMG＝∠D＝∠DAM＝90°，∴四邊形AMGD是矩形，∴GM＝AD，∴GF：AE＝AD：AB，∵四邊形ABCD是矩形，∴BC＝AD，∴GF：AE＝BC：AB，∵，∴．（3）解：如圖（3）中，作PM⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于M．由BE：BF＝3：4，設(shè)BE＝3k，BF＝4k，則EF＝AF＝5k，∵，，∴AE＝，在直角三角形ABE中，根據(jù)勾股定理，得，∴∴k＝1或﹣1（舍去），∴BE＝3，AB＝9，∵BC：AB＝2：3，∴BC＝6，∴BE＝CE＝3，AD＝PE＝BC＝6，∵∠EBF＝∠FEP＝∠PME＝90°，∴∠FEB+∠PEM＝90°，∠PEM+∠EPM＝90°，∴∠FEB＝∠EPM，∴△FBE∽△EMP，∴，∴，∴EM＝，PM＝，∴CM＝EM﹣EC＝﹣3＝，∴PC＝=．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形、矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，正確尋找全等三角形或相似三角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題，是解題的關(guān)鍵．7．（1）；（2）BE+BD的值不會(huì)發(fā)生改變，理由見解答；（3）2k?sin【分析】（1）只要證明，即可解決問(wèn)題；（2）如圖2中，作交于，過(guò)點(diǎn)作交于．利用（1）中結(jié)論即可解決問(wèn)題；（3）如圖③中解析：（1）；（2）BE+BD的值不會(huì)發(fā)生改變，理由見解答；（3）2k?sin【分析】（1）只要證明，即可解決問(wèn)題；（2）如圖2中，作交于，過(guò)點(diǎn)作交于．利用（1）中結(jié)論即可解決問(wèn)題；（3）如圖③中，作交的延長(zhǎng)線于，作于．只要證明，可證，即可解決問(wèn)題．【詳解】解：（1）如圖1中，，，，，，，，，，，，故答案為：．（2）的值不會(huì)發(fā)生改變，理由如下：作交于，過(guò)點(diǎn)作交于，，，，，，是等腰直角三角形，，，，是等腰直角三角形，，，，由（1），知，，，，為邊上的中點(diǎn)，，，，，，，，，，；（3）如圖3中，作交的延長(zhǎng)線于，作于．，，，，，，，，，，，，，，，，，，．．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查幾何變換綜合題、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．8．（1）見解析；（2）①；②【分析】（1）過(guò)點(diǎn)作于，證，即可證得；（2）①設(shè)，則，利用勾股定理求得，再利用勾股定理表示出，再證明，可得，由此可得，進(jìn)而可求得答案；②過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)，先由①得，再證解析：（1）見解析；（2）①；②【分析】（1）過(guò)點(diǎn)作于，證，即可證得；（2）①設(shè)，則，利用勾股定理求得，再利用勾股定理表示出，再證明，可得，由此可得，進(jìn)而可求得答案；②過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)，先由①得，再證明∠BFE＝∠CGP，可得，進(jìn)而利用勾股定理可求得，，，最后根據(jù)，可得，計(jì)算即可．【詳解】（1）證明：如圖，過(guò)點(diǎn)作于，則∠AHG＝∠FHG＝90°，∵在正方形中，∴∠HAD＝∠D＝∠B＝90°，AD＝AB，∴四邊形AHGD為矩形，∴AD＝HG，∴AB＝HG，∵，∴∠FQA＝90°，∴∠AFQ＋∠BAE＝90°，∵∠FHG＝90°，∴∠AFQ＋∠FGH＝90°，∴∠BAE＝∠FGH，∴在與中∴（ASA），∴；①∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，∵折疊，∴設(shè)，∴，在RtBFE中，BF2＋BE2＝EF2，∴，解得：，又∵，∴，如圖，過(guò)點(diǎn)作于，則∠AHG＝∠FHG＝90°，∵在矩形中，∴∠HAD＝∠BCD＝∠B＝90°，∴四邊形AHGD為矩形，∴BC＝HG，∵∠FHG＝90°，∴∠AFQ＋∠FGH＝90°，∵，∴∠FQA＝90°，∴∠AFQ＋∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠FGH，又∵∠FHG＝∠D＝90°，∴，，，，，，又∵，，∴，∴；②如圖，過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)，∵，，∴由①得，∵∠EPG＝∠GCE＝90°，∠EOC＝∠GOP，∴∠CGP＝∠OEC，∵∠FEP＝∠B＝90°，∴∠OEC＋∠BEF＝90°，∠BFE＋∠BEF＝90°，∴∠BFE＝∠OEC，∴∠BFE＝∠CGP，又∵，∴，∴設(shè)，，則，，，解得：，，，，，，，，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形和矩形的性質(zhì)，全等三角形和相似三角形的判定及性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，題目綜合性較強(qiáng)，有一定的難度，熟練掌握并靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解決本題的關(guān)鍵．9．（1）①；②；（2）仍然成立，證明見解析；（3）或【分析】（1）【問(wèn)題發(fā)現(xiàn)】連接．易證，，三點(diǎn)共線．易知．，推出，從而得出與所夾銳角的度數(shù)；（2）【拓展探究】連接，，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交于點(diǎn)解析：（1）①；②；（2）仍然成立，證明見解析；（3）或【分析】（1）【問(wèn)題發(fā)現(xiàn)】連接．易證，，三點(diǎn)共線．易知．，推出，從而得出與所夾銳角的度數(shù)；（2）【拓展探究】連接，，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交于點(diǎn)，根據(jù)四邊形的性質(zhì)得到，根據(jù)得到，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題；（3）【解決問(wèn)題】需分兩種情況討論：①當(dāng)點(diǎn)M在線段BC上時(shí)，連接AB，AN，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠ABC=∠BAC=45°，∠MAN=45°，可得∠BAM=∠CAN，根據(jù)，可得△ABM∽△CAN，從而得到CN=BM，根據(jù)，可得到BM=AC-CM=2，從而可求出CN的值；②當(dāng)點(diǎn)M在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，連接AB，AN，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠ABC=∠BAC=45°，∠MAN=45°，可得∠BAM=∠CAN，根據(jù)，可得△ABM∽△CAN，從而得到CN=BM，根據(jù)，可得到BM=AC+CM=6，從而可求出CN的值．【詳解】解：（1）【問(wèn)題發(fā)現(xiàn)】如圖①中，①線段與的數(shù)量關(guān)系為；②直線與所夾銳角的度數(shù)為．理由：如圖①中，連接．易證，，三點(diǎn)共線．∵．，∴．故答案為，．（2）【拓展探究】結(jié)論不變．理由：連接，，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交于點(diǎn)．∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴．（3）【解決問(wèn)題】①當(dāng)點(diǎn)M在線段BC上時(shí)，如圖，連接AB，AN，∵四邊形ADBC，四邊形AMEF為正方形，∴∠ABC=∠BAC=45°，∠MAN=45°，∴∠BAC-∠MAC=∠MAN-∠MAC，即∠BAM=∠CAN，∵，∴△ABM∽△CAN，∴，∴CN=BM，∵，∴BM=AC-CM=2，∴CN=BM=；②當(dāng)點(diǎn)M在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖，連接AB，AN，∵四邊形ADBC，四邊形AMEF為正方形，∴∠ABC=∠BAC=45°，∠MAN=45°，∴∠BAC+∠MAC=∠MAN+∠MAC，即∠BAM=∠CAN,∵,∴△ABM∽△CAN，∴，∴CN=BM，∵，∴BM=AC+CM=2=6，∴CN=BM=．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問(wèn)題．10．（1）①，證明見解析；②4；（2）畫圖見解析，或【分析】（1）①由“”可證，可得，可得；②過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，由勾股定理可求，，的長(zhǎng)，即可求的長(zhǎng)；（2）分點(diǎn)在左側(cè)和右側(cè)兩種情況討論，根據(jù)勾股定理和相似解析：（1）①，證明見解析；②4；（2）畫圖見解析，或【分析】（1）①由“”可證，可得，可得；②過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，由勾股定理可求，，的長(zhǎng)，即可求的長(zhǎng)；（2）分點(diǎn)在左側(cè)和右側(cè)兩種情況討論，根據(jù)勾股定理和相似三角形的性質(zhì)可求解．【詳解】解：（1）和均為等腰直角三角形，，，，，，且，，，，，，故答案為：；②如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，，，，，，，故答案為：4；（2）若點(diǎn)在右側(cè)，如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，，，，，．，，，，，，，，，，，即，，，，，若點(diǎn)在左側(cè)，，，，，．，，，，，，，，，，，，即，，，，．【點(diǎn)睛】本題是幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，關(guān)鍵是添加恰當(dāng)輔助線．11．（1）；（2）不成立，理由見解析；；（3），．【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得每一個(gè)內(nèi)角都是，則可知△BDE與△CDF是含角的直角三角形，根據(jù)角所對(duì)直角邊是斜邊的一半即可得到結(jié)果；（2）解析：（1）；（2）不成立，理由見解析；；（3），．【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得每一個(gè)內(nèi)角都是，則可知△BDE與△CDF是含角的直角三角形，根據(jù)角所對(duì)直角邊是斜邊的一半即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意可證得，得到，，進(jìn)而求出，得到，在中，，，即．（3）過(guò)點(diǎn)作，可求得，根據(jù)頂角為的等腰三角形面積的算法可求出的面積，【詳解】（1）∵△ABC是等邊三角形，∴，又∵，，∴，∴,,∴．（2）不成立．理由如下：如圖1，分別過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，易證得，則，．∵，，∴．∵，∴，則，∴，∴，即．在中，，∴，即．（3），．解法提示：如圖2，過(guò)點(diǎn)作，可求得．同（2）可證，可求得．在中可求出，根據(jù)頂角為的等腰三角形面積的算法可求出的面積為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的綜合應(yīng)用，準(zhǔn)確理解三角形全等判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．（1）=；（2）成立，證明見解析；（3）或【分析】（1）證明是等腰直角三角形即可．（2）結(jié)論成立．取的中點(diǎn)，連接，．證明，推出，再證明，可得結(jié)論．（3）分兩種情形：如圖中，取的中點(diǎn)，連接．當(dāng)解析：（1）=；（2）成立，證明見解析；（3）或【分析】（1）證明是等腰直角三角形即可．（2）結(jié)論成立．取的中點(diǎn)，連接，．證明，推出，再證明，可得結(jié)論．（3）分兩種情形：如圖中，取的中點(diǎn)，連接．當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，如圖中，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，分別利用勾股定理求解即可．【詳解】解：（1）如圖（1）中，，都是等腰直角三角形，，，，，故答案為：．（2）如圖（2）中，結(jié)論成立．理由：取的中點(diǎn)，連接，．，，，，，，，都是等腰直角三角形，，，，，，，，，，，，，．（3）如圖中，取的中點(diǎn)，連接．當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，，，，，，在中，，．如圖中，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，同法可得，，，綜上所述，的長(zhǎng)為或．【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．13．（1）△PQC，90；（2）；（3）線段CQ的長(zhǎng)為2或8．【分析】（1）△ABC是等腰直角三角形，PF∥AC，得到△BPF是等腰直角三角形，證明AF＝CP，利用旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)證明AP＝PQ，∠PAF解析：（1）△PQC，90；（2）；（3）線段CQ的長(zhǎng)為2或8．【分析】（1）△ABC是等腰直角三角形，PF∥AC，得到△BPF是等腰直角三角形，證明AF＝CP，利用旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)證明AP＝PQ，∠PAF＝∠QPC，從而可得結(jié)論，（2）過(guò)P作PF∥AC，交BA的延長(zhǎng)線于F，則，再證明△AFP≌△PCQ，利用△ABC∽△FBP的性質(zhì)可得答案，（3）分情況討論：當(dāng)P在CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，證明△APC≌△QPC，利用等邊三角形的性質(zhì)可得答案，當(dāng)P在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，連接AQ，利用等邊三角形的性質(zhì)，證明△ACQ≌△PCQ，從而可得答案．【詳解】解：（1）如圖①，∵∠ABC＝90°，AB＝CB，∴△ABC是等腰直角三角形，∵PF∥AC，∴∠BPF＝∠BFP＝45°，∴△BPF是等腰直角三角形，∴BF＝BP，∴AF＝CP，由旋轉(zhuǎn)可得，AP＝PQ，∠APQ＝90°，而∠BPF＝45°，∴∠QPC＝45°﹣∠APF，又∵∠PAF＝∠PFB﹣∠APF＝45°﹣∠APF，∴∠PAF＝∠QPC，∴△APF≌△PQC，∴∠PCQ＝∠AFP＝135°，又∵∠ACB＝45°，∴∠ACQ＝90°，故答案為：△PQC，90；（2）如圖②，過(guò)P作PF∥AC，交BA的延長(zhǎng)線于F，則，又∵AB＝BC，∴AF＝CP，又∵∠FAP＝∠ABC+∠APB＝α+∠APB，∠CPQ＝∠APQ+∠APB＝α+∠APB，∴∠FAP＝∠CPQ，由旋轉(zhuǎn)可得，PA＝PQ，∴△AFP≌△PCQ，∴FP＝CQ，∵PF∥AC，∴△ABC∽△FBP，∴，∴（3）如圖，當(dāng)P在CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，∠CPQ＝∠APQ﹣∠APB＝60°﹣30°＝30°，∴∠APC＝∠QPC，又∵AP＝QP，PC＝PC，∴△APC≌△QPC，∴CQ＝AC，又∵BA＝BC，∠ABC＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝60°，∠BAP＝∠ABC﹣∠APB＝30°，∴BP＝AB＝BC＝PC＝2，∴QC＝AC＝BC＝2；如圖，當(dāng)P在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，連接AQ，由旋轉(zhuǎn)可得，AP＝QP，∠APQ＝∠ABC＝60°，∴△APQ是等邊三角形，∴AQ＝PQ，∠APQ＝60°＝∠AQP，又∵∠APB＝30°，∠ACB＝60°，∴∠CAP＝30°，∠CPQ＝90°，∴∠CAP＝∠APA，∴AC＝PC，∴△ACQ≌△PCQ，∴∠AQC＝∠PQC＝∠AQP＝30°，∴Rt△PCQ中，CQ＝2CP＝8．綜上所述，線段CQ的長(zhǎng)為2或8．【點(diǎn)睛】本題屬于相似形綜合題，主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)以及含30°角的直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形或相似三角形，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例進(jìn)行推算．14．（1）是，理由見解析；（2）或或；（3），證明見解析．【分析】（1）證明，可得，又點(diǎn)F為CD中點(diǎn),即可得出結(jié)論；（2）當(dāng)為點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的準(zhǔn)中位線．則M、N一定是中點(diǎn)，再分兩種情況討論：和，根解析：（1）是，理由見解析；（2）或或；（3），證明見解析．【分析】（1）證明，可得，又點(diǎn)F為CD中點(diǎn),即可得出結(jié)論；（2）當(dāng)為點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的準(zhǔn)中位線．則M、N一定是中點(diǎn)，再分兩種情況討論：和，根據(jù)平行線分線段成比例列方程即可求解；（3）連接，取的中點(diǎn)，連接，得兩條中位線，根據(jù)中位線定理，得平行，可找到相等角和線段，從而可得是等腰三角形，進(jìn)而可得．【詳解】解：（1）是四邊形的準(zhǔn)中位線，理由如下：∵，∴．又∵，，∴，∴，∴．又∵為中點(diǎn)，∴為四邊形的準(zhǔn)中位線．（2）當(dāng)為點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的準(zhǔn)中位線時(shí)．①如圖，當(dāng)時(shí)，則需滿足且為中點(diǎn)．∴，解得：；②如圖，當(dāng)時(shí)，則需滿足且為中點(diǎn)．∴，解得：，．綜上：當(dāng)或或時(shí)，為點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的準(zhǔn)中位線．（3）．證明如下：如圖，連接，取的中點(diǎn)，連接，．，分別是，的中點(diǎn)，∴，，∴．∵分別是，的中點(diǎn)，∴，，∴．∵，∴，∴．∴．【點(diǎn)睛】本題圍繞線段的中點(diǎn)考查了等腰三角形判定及性質(zhì)、平行線分線段成比例、三角形中位線等知識(shí)點(diǎn)，考查范圍廣，綜合性強(qiáng)．解（2）的關(guān)鍵是由準(zhǔn)中位線圖形特征得出四邊形有一組對(duì)邊平行，解（3）的關(guān)鍵是構(gòu)造出和中位線定理相關(guān)的圖形．15．（1）1；（2）或；（3）見解析；（4）以的中點(diǎn)為圓心，為半徑作，則與河邊的交點(diǎn)為所求點(diǎn)的位置，畫出示意圖見解析；簡(jiǎn)要理由見解析．【分析】（1）直接利用垂直平分線的性質(zhì)證明即可；（2）根據(jù)求解析：（1）1；（2）或；（3）見解析；（4）以的中點(diǎn)為圓心，為半徑作，則與河邊的交點(diǎn)為所求點(diǎn)的位置，畫出示意圖見解析；簡(jiǎn)要理由見解析．【分析】（1）直接利用垂直平分線的性質(zhì)證明即可；（2）根據(jù)求出的長(zhǎng)，再根據(jù)，即可求出點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）連接，根據(jù)推出，從而推出，證明，即可證明；（4）在線段上作點(diǎn)，使，在線段的延長(zhǎng)線上作點(diǎn)，使，以的中點(diǎn)為圓心，為半徑作，則與河邊的交點(diǎn)為所求點(diǎn)的位置.同（3）證明即可證明結(jié)論.【詳解】（1）∵點(diǎn)是線段垂直平分線上的一點(diǎn)，∴，∴，故答案為：1；（2）∵∴，∵，∴，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為或，故答案為：或；（3）如圖，連接，∵，，∴，∵的半徑為，∴，∴.∴，∴.∵，∴，∴.∴.（4）如圖，在線段上作點(diǎn)，使，在線段的延長(zhǎng)線上作點(diǎn)，使.以的中點(diǎn)為圓心，為半徑作，則與河邊的交點(diǎn)為所求點(diǎn)的位置.簡(jiǎn)要理由:由于水路速度為陸路速度的，且時(shí)間相等，所以水路的距離必為陸路距離的，即需，連接，同(3)可證，∵，，∴，∴，∴，同理可得，∴又∵，由此，得.【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，準(zhǔn)確的理解題意畫出圖形和作出正確的輔助線是解題的關(guān)鍵.16．（1）；（2）a2+b2=5c2，證明見解析；（3）4【分析】（1）首先證明△APB，△PMN都是等腰直角三角形，求出PA、PB、PN、PM，再利用勾股定理即可解決問(wèn)題．（2）結(jié)論a2+b2=解析：（1）；（2）a2+b2=5c2，證明見解析；（3）4【分析】（1）首先證明△APB，△PMN都是等腰直角三角形，求出PA、PB、PN、PM，再利用勾股定理即可解決問(wèn)題．（2）結(jié)論a2+b2=5c2．設(shè)MP=x，NP=y，則AP=2x，BP=2y，利用勾股定理分別求出a2、b2、c2即可解決問(wèn)題．（3）取AB中點(diǎn)H，連接FH并且延長(zhǎng)交DA的延長(zhǎng)線于P點(diǎn)，首先證明△ABF是中垂三角形，利用（2）中結(jié)論列出方程即可解決問(wèn)題．【詳解】（1）解：如圖中，∵CN=AN，CM=BM，∴MN∥AB，MN=AB=2，∵tan∠PAB=1，∴∠PAB=∠PBA=∠PNM=∠PMN=45°，

∴PN=PM=2，PB=PA=4，

∴AN=BM=，∴b=AC=2AN=4，a=BC=4，∴，故答案為：；（2）結(jié)論a2+b2=5c2．證明：如圖中，連接MN．∵AM、BN是中線，

∴MN∥AB，MN=AB，∴△MPN∽△APB，∴，設(shè)MP=x，NP=y，則AP=2x，BP=2y，

∴a2=BC2=4BM2=4(MP2+BP2)=4x2+16y2，b2=AC2=4AN2=4(PN2+AP2)=4y2+16x2，c2=AB2=AP2+BP2=4x2+4y2，∴a2+b2=20x2+20y2=5(4x2+4y2)=5c2．（3）解：如圖中，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AE∥BF，∴，在△AGE和△FGB中，，∴△AGE≌△FGB，

∴AG=FG，取AB中點(diǎn)H，連接FH并且延長(zhǎng)交DA的延長(zhǎng)線于P點(diǎn)，

同理可證△APH≌△BFH，

∴AP=BF，PE=2BF=CF，

即PE∥CF，PE=CF，

∴四邊形CEPF是平行四邊形，

∴FP∥CE，

∵BE⊥CE，

∴FP⊥BE，即FH⊥BG，

∴△ABF是中垂三角形，

由（2）可知AB2+AF2=5BF2，∵AB=3，BF=AD=，∴9+AF2=5×，∴AF=4．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了三角形中位線定理、平行四邊形的判定和性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)添加常用輔助線構(gòu)造全等三角形，學(xué)會(huì)利用新的結(jié)論解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．17．（1）BE＝DG，BE⊥DG，見解析；（2）5﹣5；（3）6或8【分析】（1）由“SAS”可證△GAD≌△EAB，可得BE＝DG，∠ADG＝∠ABE，由直角三角形的性質(zhì)可得BE⊥DG；（2）由解析：（1）BE＝DG，BE⊥DG，見解析；（2）5﹣5；（3）6或8【分析】（1）由“SAS”可證△GAD≌△EAB，可得BE＝DG，∠ADG＝∠ABE，由直角三角形的性質(zhì)可得BE⊥DG；（2）由“SAS”可證△GAD≌△EAB，可得BE＝DG，∠ADG＝∠ABE＝15°，可得∠DEB＝90°，由直角三角形的性質(zhì)可求解；（3）分兩種情況討論，通過(guò)證明△AGD∽△AEB，可得，∠DGA＝∠AEB，由勾股定理和三角形中位線定理可求解．【詳解】解：（1）BE＝DG，BE⊥DG，理由如下：如圖1：延長(zhǎng)BE交AD于N，交DG于H，∵四邊形ABCD是正方形，四邊形AEFG是正方形，∴AG＝AE，AB＝AD，∠GAE＝∠DAB＝90°，∴∠GAD＝∠EAB，∴△GAD≌△EAB（SAS），∴BE＝DG，∠ADG＝∠ABE，∵∠ABE+∠ANB＝90°，∴∠ADG+∠DNH＝90°，∴∠DHN＝90°，∴BE⊥DG；（2）如圖，當(dāng)點(diǎn)G在線段DE上時(shí)，連接BD，∵四邊形ABCD是正方形，四邊形AEFG是正方形，∴AG＝AE，AB＝AD＝10，∠GAE＝∠DAB＝90°，∠ADB＝45°＝∠ABD，BD＝AB＝10，GE＝AE，∴∠GAD＝∠EAB，∴△GAD≌△EAB（SAS），∴BE＝DG，∠ADG＝∠ABE＝15°，∴∠BDE＝45°﹣15°＝30°，∠DBE＝45°+15°＝60°，∴∠DEB＝90°，∴BE＝BD＝5＝DG，DE＝BE＝5，∴GE＝5﹣5，∴AE＝＝5﹣5，當(dāng)點(diǎn)E在線段DG上時(shí)，同理可求AE＝5﹣5，故答案為：5﹣5；（3）如圖，若點(diǎn)G在線段DE上時(shí)，∵AD＝4，AB＝4，AG＝4，AE＝4，∴DB＝＝＝8，GE＝＝＝8，∠DAB＝∠GAE＝90°，∴∠DAG＝∠BAE，又∵，∴△AGD∽△AEB，∴，∠DGA＝∠AEB，∴BE＝DG，∵∠DGA＝∠GAE+∠DEA，∠AEB＝∠DEB+∠AED，∴∠GAE＝∠DEB＝90°，∵DB2＝DE2+BE2，∴64×13＝（DG+8）2+3DG2，∴DG＝12或DG＝﹣16（舍去），∴BE＝12，∵點(diǎn)M，N分別是BD，DE的中點(diǎn)，∴MN＝BE＝6；如圖，當(dāng)點(diǎn)E在線段DG上時(shí)，同理可求：BE＝16，∵點(diǎn)M，N分別是BD，DE的中點(diǎn)，∴MN＝BE＝8，綜上所述：MN為6或8，故答案為：6或8．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，相似三角形的判定和性質(zhì)，利用分類討論思想解決問(wèn)題是本題的關(guān)鍵．18．（1）證明見解析；；（2）線段與之間的數(shù)量關(guān)系為；（3）或【分析】（1）①由、結(jié)合可得四邊形CEGF是矩形，再由即可得證；②由正方形性質(zhì)知、，據(jù)此可得、，利用平行線分線段成比例定理可得；（2解析：（1）證明見解析