專題20 橢圓 分層訓(xùn)練 （解析版）

答案第=page22頁，共=sectionpages33頁專題20橢圓【練基礎(chǔ)】單選題1．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考模擬預(yù)測）設(shè)、為橢圓的兩個焦點，M為C上一點．若為等腰三角形，則的內(nèi)切圓半徑為（

）A．或 B．或C．或 D．或【答案】D【分析】討論M點的位置，結(jié)合橢圓的幾何性質(zhì)求出的面積，利用（r為三角形內(nèi)切圓半徑，l為三角形周長），即可求得答案.【詳解】由題意知橢圓，則其長半軸，短半軸，焦距，當(dāng)M點位于橢圓的短軸端點時，不妨設(shè)為A點，此時的面積為，設(shè)內(nèi)切圓半徑為r,則,即；(三角形內(nèi)切圓半徑公式的推導(dǎo)：)當(dāng)M點不在橢圓短軸端點時，根據(jù)橢圓的對稱性，不妨假設(shè)在第一象限內(nèi)，此時,此時，由為等腰三角形，可知,則，的面積為，則,即，綜合可得的內(nèi)切圓半徑為或，故選：D2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓：的右焦點和上頂點分別為，且焦距等于4，的延長線交橢圓于點，，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意得出直線的方程，聯(lián)立方程組，利用韋達定理求出點的橫坐標，再結(jié)合即可求出的值，進而求出橢圓的離心率.【詳解】由題意可知：，，則直線的方程為：，設(shè)，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，整理化簡可得：，則，又因為，所以，則有，解得：，所以，又，所以橢圓的離心率為，故選：.3．（2023·全國·深圳中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知一個離心率為，長軸長為4的橢圓，其兩個焦點為，，在橢圓上存在一個點P，使得，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為r，則r的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】在中，利用余弦定理求得，再由求解.【詳解】解：因為橢圓的離心率為，長軸長為4，所以，在中，由余弦定理得：，，解得，所以，，解得，故選：D4．（2022·四川雅安·統(tǒng)考一模）已知橢圓C：的左焦點為，直線與C交于點M，N.若，，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由橢圓的對稱性可知：四邊形為平行四邊形，結(jié)合橢圓的定義并在中利用余弦定理求出關(guān)于的值，進而可求出離心率.【詳解】設(shè)橢圓C的右焦點為，如圖，連接，因為為的中點，所以四邊形為平行四邊形，所以，，由橢圓的定義可得：，又因為，所以，又因為，所以，在中，由余弦定理可得：，也即，因為，所以，所以橢圓的離心率，故選：.5．（2023·黑龍江·黑龍江實驗中學(xué)?？家荒＃┮阎獧E圓C：的左、右焦點分別為(-c，0)，(c，0)，若橢圓C上存在一點M使得的內(nèi)切圓半徑為，則橢圓C的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用的面積相等，得到，得到，消去b，整理化簡求出離心率的取值范圍.【詳解】的面積為.因為的內(nèi)切圓半徑為，所以的面積可表示為.所以，所以.因為，所以.兩邊平方得：，而，所以，整理得：,因為離心率，所以，解得：.故選：A.6．（2023·云南昆明·昆明一中?？寄M預(yù)測）畫法幾何創(chuàng)始人蒙日發(fā)現(xiàn)：橢圓上兩條互相垂直的切線的交點必在一個與橢圓同心的圓上，且圓半徑的平方等于長半軸?短半軸的平方和，此圓被命名為該橢圓的蒙日圓.若橢圓的蒙日圓為，則該橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題可得，然后利用離心率公式即得.【詳解】由題可得，∴，即橢圓為，∴.故選：A.7．（2023秋·廣東廣州·高三廣州市第七中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點分別為，，上頂點為，直線與的另一個交點為．若，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由求出B點坐標，代入橢圓方程，可求得離心率.【詳解】左、右焦點分別為，，上頂點為，∴，設(shè)，則，由，根據(jù)勾股定理，有，即解得，即，由，，，，三點共線，∴，代入橢圓方程，有，化簡得，所以橢圓離心率為.故選：B8．（2022·湖南永州·統(tǒng)考一模）已知橢圓分別為其左?右焦點，過作直線軸交橢圓于兩點，將橢圓所在的平面沿軸折成一個銳二面角，設(shè)其大小為，翻折后兩點的對應(yīng)點分別為，記.若，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出，且，在中分別使用余弦定理得到，利用題干條件化簡得到，求出，從而求出離心率.【詳解】將代入中，解得：，所以，且，則在中分別由余弦定理得，，所以又由得：，所以，即，所以，即離心率為.故選：A.二、多選題9．（2023·福建福州·統(tǒng)考二模）已知曲線（

）A．若，則C是橢圓B．若，則C是雙曲線C．當(dāng)C是橢圓時，若越大，則C越接近于圓D．當(dāng)C是雙曲線時，若越小，則C的張口越大【答案】BD【分析】對于AC，舉反例即可判斷；對于B，判斷的符號即可；對于D，由曲線是雙曲線，可得，整理成標準方程，得到對應(yīng)的，即可判斷.【詳解】對于A，滿足，代入曲線中，得，即，表示以為圓心，半徑為2的圓，故A錯誤；對于B，當(dāng)時，，所以，故C是雙曲線，故B正確；對于C，當(dāng)時，方程為，為焦點在軸上，長軸長為4，短軸長為，焦距為的橢圓，離心率為，當(dāng)時，方程為，為焦點在軸上，長軸長為，短軸長為，焦距為的橢圓，離心率為，所以當(dāng)和時，兩個橢圓一樣圓，故C錯誤；對于D，當(dāng)曲線為雙曲線時，，整理成，則，當(dāng)越小，則越大，因為頂點不變，此時焦點離頂點越遠，圖象的張口就越大，故D正確.故選：BD.10．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知,分別為橢圓的左、右焦點,過的直線與C交于A,B兩點,若,,則（

）A．B．橢圓C的離心率為C．若橢圓C的短軸長為2,則橢圓C的方程為D．直線的斜率的絕對值為【答案】AC【分析】設(shè)出,根據(jù)等式關(guān)系,分別求出,再根橢圓定義即可得,將中各個邊長用表示,可發(fā)現(xiàn)是直角三角形,根據(jù)直角三角形中正切值的計算公式即可判斷選項A正誤;根據(jù),在中,由勾股定理即可得離心率,判斷選項B正誤;根據(jù)離心率及短軸長為2,即可得選項C正誤;直線的斜率即為,根據(jù)離心率可找到,在中,由余弦定理可得,進而可得,從而判斷選項D正誤.【詳解】解:由題知,,不妨設(shè),則,即,由橢圓的定義可知:,所以,因為,即,解得,所以,顯然,所以是以為直角的直角三角形,所以,故選項A正確;因為且,所以在中,由勾股定理知:,解得,故離心率,故選項B錯誤;由于,因為,可得,故橢圓方程為:,故選項C正確;根據(jù)對頂角相等可知等于直線的傾斜角,由于,,所以,在中,所以由余弦定理可得:,所以,所以選項D錯誤.故選:AC11．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知橢圓的左、右焦點分別為，點在橢圓上且在軸上方，若的中點在以原點為圓心，為半徑的圓上，則（

）A．點在第一象限 B．的面積為C．的斜率為 D．直線和圓相切【答案】BCD【分析】對于A，設(shè)橢圓的上頂點為，，即可解決；對于B，求得為等腰三角形即可解決；對于C，由，即可解決；對于D，過作于，求得即可解決；【詳解】由題知，橢圓，焦點在軸上，，所以，，所以，所以，故B正確；因為的中點為，所以，過作于，，故D正確；因為，所以為中點，，故C正確；設(shè)橢圓的上頂點為，，所以點在第二象限，故A錯誤；故選：BCD12．（2023·全國·唐山市第十一中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知為橢圓的左、右焦點,為平面上一點,若,則（

）A．當(dāng)為上一點時,的面積為9B．當(dāng)為上一點時,的值可以為C．當(dāng)滿足條件的點均在內(nèi)部時,則的離心率小于D．當(dāng)點在的外部時,在上必存在點,使得【答案】ACD【分析】設(shè),根據(jù)橢圓定義得,根據(jù)得,兩式聯(lián)立可得,根據(jù)直角三角形的面積公式即可得選項A的正誤;將以上結(jié)論代入中可求得與矛盾,由于,所以點在以為直徑的圓上,半徑為,若點均在內(nèi)部,只需,解出離心率范圍即可,若點在外部,只需,此時該圓與橢圓一定有交點,在交點處滿足,可得選項D正誤.【詳解】解:由題知,所以,因為為上一點,且,所以為直角三角形,設(shè),在中,由勾股定理可得①,由橢圓定義可知:②,②式的平方減①式可得:,所以,故選項A正確;若,因為,所以,解得(舍),故不存在,即選項B錯誤;因為,則點在以為直徑的圓上,所以該圓的圓心為原點,半徑為,若均在內(nèi)部時,則只需即可,即,即,化簡可得,解得,故選項C正確;由于點在以為直徑的圓上,且半徑,當(dāng)在的外部時有,所以該圓與橢圓一定有交點,記交點為,則該點既在圓上又在橢圓上,所以有成立,故選項D正確.故選:ACD三、填空題13．（2023·寧夏銀川·校聯(lián)考一模）橢圓：的左，右焦點分別為，，上頂點為，離心率為，直線將分成面積相等的兩部分，則的取值范圍是_________.【答案】【分析】根據(jù)已知條件求得，根據(jù)直線與軸的交點的位置進行分類討論，由此列不等式來求得的取值范圍.【詳解】依題意，，解得，所以橢圓的方程為，由于，，所以是等腰直角三角形，所以，直線的方程為，直線的方程為，設(shè)直線與的交點為，與軸的交點為，①當(dāng)與重合時，，則，所以，解得.②當(dāng)在之間時，，所以，由解得，，由令，得，所以，所以，整理得，由解得.③當(dāng)在左側(cè)，則，，設(shè)直線與的交點為，由解得，因為，所以，，所以，所以，所以.綜上所述，的取值范圍是.故答案為：【點睛】求解橢圓的方程，關(guān)鍵點是根據(jù)已知條件求得，是個未知數(shù)，需要個條件，其中一個條件是，另外的兩個條件由題目給出，如本題中的點坐標以及離心率，通過解方程組可求得，進而求得橢圓的方程.14．（2023·安徽·統(tǒng)考一模）已知直線與橢圓交于兩點，線段中點在直線上，且線段的垂直平分線交軸于點，則橢圓的離心率是__________.【答案】【分析】利用點差法證明二級結(jié)論，再結(jié)合，則兩式相比可得，即，代入即可求出離心率.【詳解】設(shè)，其中，顯然點在橢圓內(nèi)，記坐標原點為，直線的斜率分別為，易知三條直線斜率均存在，又，兩式相減整理可得，即，又，所以兩式相比可得，即，代入，整理可得，所以離心率.故答案為：.15．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測）為橢圓上一點，曲線與坐標軸的交點為，，，，若，則到軸的距離為__________.【答案】【分析】首先表示出，，，的坐標，依題意可得，即可得到為橢圓上一點，聯(lián)立兩橢圓方程，求出，即可得解.【詳解】解：不妨設(shè)，，，，則，為橢圓的焦點，所以，又，所以，且，所以在以、為焦點的橢圓上，且，所以，所以為橢圓上一點，由，解得，則，故到軸的距離為.故答案為：16．（2023·陜西西安·統(tǒng)考一模）在生活中，可以利用如下圖工具繪制橢圓，已知O是滑桿上的一個定點，D可以在滑桿上自由移動，線段，點E滿足，則點E所形成的橢圓的離心率為____________．【答案】##【分析】根據(jù)給定條件，建立直角坐標系，結(jié)合幾何關(guān)系求出橢圓方程即可求解作答.【詳解】由，得，以點O為原點，直線OD為x軸建立平面直角坐標系，如圖，過E作于C，交OA的延長線于P，過A作于B，有軸，而，即，則點B是的中點，且有，因此，即，設(shè)，有，于是，整理得點E的軌跡方程為，該橢圓長半軸長，短半軸長，所以點E所形成的橢圓的離心率.故答案為：【點睛】思路點睛：求解軌跡方程問題，設(shè)出動點坐標，根據(jù)條件求列出方程，再化簡整理求解，還應(yīng)特別注意：補上在軌跡上而坐標不是方程解的點，剔出不在軌跡上而坐標是方程解的點.四、解答題17．（2023·內(nèi)蒙古呼和浩特·統(tǒng)考一模）已知橢圓的一個焦點為，且橢圓經(jīng)過點．(1)求橢圓的標準方程；(2)設(shè)A、B是x軸上的兩個動點，且，直線AM、BM分別交橢圓于點P、Q（均不同于M），證明：直線PQ的斜率為定值．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）將代入橢圓的方程，化簡求值即可.（2）聯(lián)立直線PQ和橢圓的方程，然后將轉(zhuǎn)化為，化簡即可得到直線PQ的斜率為定值.【詳解】（1））由已知，得①，設(shè)橢圓方程，代入點得②，聯(lián)立①②，解得，，所以橢圓方程為．（2）由題可知直線PQ斜率存在，設(shè)直線PQ的方程為．設(shè)點，，聯(lián)立得，，滿足時，有，，由可得，即，即，化簡得，代入韋達定理，可得，又點不在直線PQ上，因此，所以，即，故直線PQ的斜率為定值．18．（2023·河南·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知橢圓的右焦點，點在橢圓上．(1)求橢圓的標準方程；(2)過點的直線與橢圓交于，兩點．若，，求的最小值（是坐標原點）．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)橢圓定義求出，再由焦點得，即可得解；（2）設(shè)出點的坐標，利用向量得坐標間關(guān)系，代入點差法所得等式，可求出，即是直線上動點，再由點到直線距離求最小值即可.【詳解】（1）由題意，橢圓的焦點為，，由橢圓定義知所以所以橢圓的標準方程為（2）由題意知，設(shè)由，，得且又，都在橢圓上，所以兩式作差，得把代入式，得又由，得所以所以到直線的距離經(jīng)檢驗，此時垂足在橢圓內(nèi)部.所以的最小值為.【提能力】一、單選題19．（2022·四川遂寧·四川省遂寧市第二中學(xué)校?？寄M預(yù)測）已知拋物線C1：與橢圓C2：共焦點，C1與C2在第一象限內(nèi)交于P點，橢圓的左右焦點分別為，且，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)得到，然后將點代入拋物線方程得到，根據(jù)共焦點得到，最后聯(lián)立求離心率即可.【詳解】結(jié)合拋物線及橢圓的定義可得在拋物線上，故，且，∴.故選：B.20．（2022秋·河北保定·高三河北省唐縣第一中學(xué)校聯(lián)考期中）若，橢圓C：與橢圓D：的離心率分別為，，則（

）A．的最小值為 B．的最小值為C．的最大值為 D．的最大值為【答案】D【分析】根據(jù)，求得兩個橢圓的離心率，然后利用基本不等式求解.【詳解】解：因為，所以，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故的最大值為，無最小值．故選：D21．（2022·河北·模擬預(yù)測）設(shè)?分別是橢圓的左?右焦點，為橢圓上的一點，若的最大值為，則橢圓的離心率的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】結(jié)合橢圓的定義和均值不等式得到當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，進而根據(jù)可得，從而結(jié)合離心率的范圍即可求出結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意可知，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以，即，所以，即，故選：A．22．（2022·全國·清華附中朝陽學(xué)校?？寄M預(yù)測）已知橢圓和雙曲線有相同的焦點、，它們的離心率分別為、，點為它們的一個交點，且，則的范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】設(shè)橢圓的長半軸長為，雙曲線的實半軸長，焦距．結(jié)合橢圓與雙曲線的定義,得，,在中,根據(jù)余弦定理可得到，，與的關(guān)系式，進而可得，設(shè)則有，所以，構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的值域即可.【詳解】解：設(shè)橢圓的長半軸長為，雙曲線的實半軸長，焦距，點為第一象限交點．則，，解得，，如圖：在中,根據(jù)余弦定理可得：，整理得，即，設(shè)則有，，所以，即有，所以，所以===，設(shè),則,令，得，所以在上恒成立,所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)趨于時，趨于，當(dāng)趨于1時，趨于2，所以，即：.故選：C.23．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓，直線與橢圓C交于A，B兩點，O為原點，若三角形AOB是等腰直角三角形，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】將代入C中，求得AB坐標，利用三角形AOB是等腰直角三角形，求得a，b的關(guān)系，從而求得離心率.【詳解】將代入C中，得，，由題意得，即，．故選：D.24．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的右焦點為，點是橢圓上三個不同的點，則“成等差數(shù)列”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】利用焦半徑公式結(jié)合充分條件、必要條件的定義可得正確的選項.【詳解】由題設(shè)有，故，而，故，同理，，若成等差數(shù)列，則，故，若，則即，故成等差數(shù)列，故“成等差數(shù)列”是“”的充要條件，故選：C25．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓及圓O：，如圖，過點與橢圓相切的直線l交圓O于點A，若，則橢圓離心率的為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由條件列出的齊次方程，由此可求橢圓離心率的值.【詳解】由題意得是等邊三角形，則直線的傾斜角為，其斜率為，故直線的方程為，代入橢圓方程整理得，其判別式，化簡可得，則，又，所以，故選：A.26．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點分別為、，經(jīng)過的直線交橢圓于，，的內(nèi)切圓的圓心為，若，則該橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】對變形得到，進而得到以，結(jié)合橢圓定義可求出，，，由余弦定理求解關(guān)系式，求出離心率.【詳解】因為，所以，如圖，在上取一點M，使得，連接，則，則點I為AM上靠近點M的三等分點，所以，所以，設(shè)，則，由橢圓定義可知：，即，所以，所以，，故點A與上頂點重合，在中，由余弦定理得：，在中，，解得：，所以橢圓離心率為.故選：A【點睛】對于求解圓錐曲線離心率問題，要結(jié)合題目中的條件，直接求出離心率或求出的齊次方程，解出離心率，本題的難點在于如何將進行轉(zhuǎn)化，需要作出輔助線，結(jié)合內(nèi)心的性質(zhì)得到三角形三邊關(guān)系，求出離心率.二、多選題27．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的焦點分別為，，焦距為2c，過的直線與橢圓C交于A，B兩點.，，若的周長為20，則經(jīng)過點的直線（

）A．與橢圓C可能相交 B．與橢圓C可能相切C．與橢圓C可能相離 D．與橢圓C不可能相切【答案】AB【分析】利用給定條件，結(jié)合橢圓定義求出橢圓方程，再判斷點與橢圓的位置關(guān)系作答.【詳解】由橢圓的定義知，，設(shè)，則，則，，而，即有，解得，又的周長為20，則有，解得，，因為，即，解得，則，橢圓C的方程為，顯然，即點在橢圓上，所以經(jīng)過點的直線與橢圓C相交或相切.故選：AB28．（2023春·重慶萬州·高三重慶市萬州第二高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）第24屆冬季奧林匹克運動會圓滿結(jié)束.根據(jù)規(guī)劃，國家體育場（鳥巢）成為北京冬奧會開、閉幕式的場館.國家體育場“鳥巢”的鋼結(jié)構(gòu)鳥瞰圖如圖所示，內(nèi)外兩圈的鋼骨架是離心率相同的橢圓，若橢圓：和橢圓：的離心率相同，且.則下列正確的是（

）A．B．C．如果兩個橢圓，分別是同一個矩形（此矩形的兩組對邊分別與兩坐標軸平行）的內(nèi)切橢圓（即矩形的四條邊與橢圓均有且僅有一個交點）和外接橢圓，則D．由外層橢圓的左頂點向內(nèi)層橢圓分別作兩條切線（與橢圓有且僅有一個交點的直線叫橢圓的切線）與交于兩點，的右頂點為，若直線與的斜率之積為，則橢圓的離心率為.【答案】BCD【分析】由離心率相同及已知得到、，即可判斷A、B；由在橢圓上得到，進而判斷C；根據(jù)對稱性確定的坐標，結(jié)合斜率兩點式得判斷D.【詳解】A：由且，則，即，故錯誤；B：由，得，則，所以，故正確；C：滿足橢圓方程，又，則，所以，，故正確；D：由對稱性知：、關(guān)于軸對稱，，，，，，，則，，故正確.故選：BCD.29．（2022·全國·高三專題練習(xí)）橢圓:的左、右焦點分別為，點在橢圓上，點在以為圓心，的長軸長為直徑的圓上，則下列說法正確的是（

）A．橢圓的離心率為B．的最大值為C．過點的直線與橢圓只有一個公共點，此時直線方程為D．的最小值為【答案】BD【分析】利用橢圓標準方程直接求離心率即可判斷A；根據(jù)橢圓定義以及基本不等式即可判斷B；直接考慮直線斜率不存在的情況即可判斷C；利用橢圓的定義將轉(zhuǎn)化成，進而根據(jù)幾何關(guān)系求其最值即可判斷D.【詳解】對于選項，由橢圓的方程知，所以離心率，故選項不正確；對于選項B，由橢圓的定義可得，所以，即當(dāng)且僅當(dāng)時，的最大值為，故選項B正確；對于選項C，當(dāng)直線的斜率不存在時，所求直線為，滿足條件，故選項C錯誤；對于選項D，圓：，所以，故選項D正確；故選：BD.30．（2022·山東臨沂·統(tǒng)考二模）如圖，已知橢圓，，分別為左、右頂點，，分別為上、下頂點，，分別為左、右焦點，點P在橢圓C上，則下列條件中能使C的離心率為的是（

）A．B．C．軸，且D．四邊形的內(nèi)切圓過焦點，【答案】ABD【分析】由橢圓方程依次寫出頂點及焦點坐標，A選項直接計算即可判斷；B選項由即可判斷；C選項由即可判斷；D選項由即可判斷.【詳解】由題意知：，設(shè)橢圓離心率為，對于A，，即，同除整理得，解得，又，故，A正確；對于B，，即，即，即，由上知，B正確；對于C，軸，由，解得，故，，即，即，解得，則，故離心率，C錯誤；對于D，易得內(nèi)切圓半徑為斜邊上的高，即，若內(nèi)切圓過焦點，，則，整理得，同除得，解得，又，則，故，D正確.故選：ABD.三、填空題(共0分)31．（2023·上?！そy(tǒng)考模擬預(yù)測）已知橢圓與雙曲線有公共的焦點，為右焦點，為坐標原點，雙曲線的一條漸近線交橢圓于點，且點在第一象限，若，則橢圓的離心率等于_________.【答案】【分析】（1）聯(lián)立直線方程和，求得點的坐標，然后將點代入橢圓方程，化簡整理，即可求得本題答案.【詳解】設(shè)橢圓的右焦點為，依題意可得，雙曲線的一條漸近線為，因為，所以，由，解得，即，又點在橢圓上，所以，即，即，即，即，即，即，即，即，即，解得或（舍去），所以橢圓方程為，則，所以橢圓的離心率.故答案為：32．（2023·湖北·宜昌市一中校聯(lián)考模擬預(yù)測）設(shè)橢圓的離心率，C的左右焦點分別為，點A在橢圓C上滿足．的角平分線交橢圓于另一點B，交y軸于點D．已知，則_______．【答案】【分析】根據(jù)題意，作圖，計算得，，再設(shè)角平分線交x軸于，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，得到，進而得到直線的方程，再得到點，利用，得到點，然后利用點差法，通過計算化簡，可得答案.【詳解】由點A在橢圓C上，且，設(shè)點，且，，則，同理，設(shè)角平分線交x軸于，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可知，，，解得，，得．可得直線．進而可得，由，可得，設(shè)中點為M，則．，點差法的結(jié)論，證明如下：設(shè)，，，為中點，故，兩式作差得，，又由，，可整理得，，最后化簡得，，進而得到，，得．因為，所以，聯(lián)立，解得，所以，故，解得．故答案為：．33．（2023·江蘇南京·校考一模）已知橢圓的兩個焦點為和，直線l過點，點關(guān)于l的對稱點A在C上，且，則C的方程為__________．【答案】【分析】根據(jù)向量的線性運算和數(shù)量積的性質(zhì)化簡，由條件結(jié)合橢圓的定義可求，由求，可得橢圓方程.【詳解】因為A與關(guān)于直線l對稱，所以直線l為的垂直平分線，又，所以，由橢圓的定義可得，設(shè)直線l與交于點M，則M為的中點，且，所以，解得或1（舍去），所以，，則C的方程為：．故答案為：．34．（2023春·湖南岳陽·高三湖南省岳陽縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知橢圓的右焦點為，過坐標原點的直線與橢圓交于A，B兩點.在中，，且滿足，則橢圓的離心率的取值范圍為______.【答案】.【分析】引入橢圓的另一個焦點，根據(jù)橢圓的對稱性，將轉(zhuǎn)化為焦點三角形的面積問題進行處理即可.【詳解】取橢圓的左焦點，連接，根據(jù)橢圓的對稱性：，于是四邊形為平行四邊形，由，故，記，根據(jù)橢圓定義，，在中，根據(jù)余弦定理：，即，對兩邊平方，，故，顯然，根據(jù)三角形的面積公式：，由，即，不等式兩邊同時除以，整理得到，結(jié)合橢圓離心率范圍解得；另一方面，由余弦定理結(jié)合基本不等式：，解得.于是，.故答案為：四、解答題(共0分)35．（2023·河南焦作·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知是橢圓的右焦點，且在橢圓上，垂直于軸.(1)求橢圓的方程.(2)過點的直線交橢圓于（異于點）兩點，為直線上一點.設(shè)直線的斜率分別為，若，證明：點的橫坐標為定值.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)點的坐標以及垂直于軸，可得，再將點的坐標代入橢圓方程在結(jié)合橢圓的關(guān)系解出，即可得出橢圓的方程；（2）設(shè)，根據(jù)已知設(shè)出直線的方程為，則設(shè)點的坐標為，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，根據(jù)韋達定理得出與，根據(jù)斜率的兩點公式得出，再根據(jù)直線的方程消去式子中的與，再結(jié)合韋達定理結(jié)果即可得出，再結(jié)合已知與斜率的兩點公式即可解出，即證明.【詳解】（1）由垂直于軸，可得.將點代入，可得，又，解得，所以橢圓的方程為；（2）證明：由（1）知，，則橢圓的右焦點坐標為.設(shè)直線的方程為，點的坐標為.設(shè)，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立得：，恒成立，由韋達定理知，，又，，所以.因為，則，所以，解得，即點的橫坐標為定值.36．（2023·陜西商洛·統(tǒng)考一模）已知分別是橢圓的左?右焦點，Q是橢圓E的右頂點，，且橢圓E的離心率為.(1)求橢圓E的方程.(2)過的直線交橢圓E于A，B兩點，在x軸上是否存在一定點P，使得，為正實數(shù).如果存在，求出點P的坐標；如果不存在，說明理由.【答案】(1)(2)存在，點【分析】（1）設(shè)橢圓E的半焦距為c，寫出點坐標，根據(jù)條件計算的值，結(jié)合求出，可寫出橢圓方程；（2）由條件可知是的