5.4 線性映射與其矩陣

線性映射的矩陣◆分別取定定義域和值域的基，則線性映射與矩陣有著一

一對應的關系§4

線性映射及其矩陣張線性映射的定義

◆

若干例子線

性

映

射

的

確

定◆取定定義域的一組基，則線性映射由基向量的象確定16:57礎——-*-——-*-——-*-定

義

4

.

1

設V=K?和V'=KM

都是數(shù)

域K

上的向量空間.:V—→V'是一個映射.如果Q

保

持

線

性

運

算

：(i)d(a+β)=&(x)+&(β),Va,β∈V;(ii)

(ka)=ka(a),Va∈V,k∈K.則稱.α是一個線性映射.特別地，如果V=V',

則稱

是一個線性變換；如

果V'=K,

則稱

α是

一

個

線

性函數(shù)

.線

性

映

射

的

定

義16:57

2礎例

子

4

.

1

:

線

性

函

數(shù)設

a,b,c∈R

是給

定的實

數(shù).

定

義7=xei+ye2+ze

→ax+by+cz則6是一個V—→R的線性映射(函數(shù)).驗證：

設r=xiei+yie2+zie3,i=1,2,

則6(r1+r2)=a(×1+x?)+b(y?+yz)+c(z?+zz)=(ax1+by?+cz?)+(axz+byz+czz)=6(r1)+8(F2)6(kri)=a(kx?)+b(ky?)+c(kz?)=k(ax?+by?+cz?)=k6(π)其

中k∈R,因此%是一個線性映射(函數(shù)).16:57V—→R36:礎3實際上，是幾何空間R3到y(tǒng)Oz

平面L(e2,e3)的射影變換

。設V'=V=R3,[O;ei,e2,e3]了=xe+ye+Zc則是一個線性映射.是V

上的直角標架.定義-一

Vyez+ze3例

子

4

.

2

:

射

影

變

換—-*-——--16:57

4礎例

子

4

.

3

:

平

面

上

的

旋

轉

變

換-

血

-

—

—

-

*

-

—

—

-

*

-

—

—-*-——-*-——-*-—--平面R2上的點P(x,y)繞原點O逆時針旋轉α得P'(x',y'),則有x'=xcosa-ysin

ay'=x

sina+ycosa寫成映射的形式：16:57

5礎溫零

映

射

：

0:V-→V',

對任

意

α∈

V,0(x)=0單位映射(變換):

8:

V—→V,對任意α∈V,6(a)=α.純

量

變

換

：

%:V-→V,對任意

α

∈

V,%(α)=ka,

其中

k∈K

為

常

數(shù)

.假設鏡面為直線y=x,則點P(x,y)

的像為(點P與它的像關于直線y=x

對稱)例

子

4

.

4

平

面

上

的

鏡

像

變

換

等——-*-——-*-——-*-——-*-——-*-—16:57

6礎(1)

(0)=0,&(-α)=-

(a).(2)設x1,...,αs∈V

及k1,...,ks∈K

有.d(k?

α1+··+ksQs)=k1d(x?)+··+ksQ(as).說

明

：

在等

式(0)

=

0中

,

第一

個“O”在V

中，第二個“0”在V'中.■———

—-*-——-*-——-*-——-*-—命題4.1

設α是向量空間V到向量空間V'的線性映射，則礎線

性

映

射

的

基

本

性

質16:57

7例

4

.

6

:

設是R到R的線性

映

射

.

設(

1)=2

,求

α

的

表

達

式

.解

：設x∈R,有

(x)=d(x1)=xx(1)=2x.例4

.7

.設是R

到R3

的線性映射

.

設x(1)=(2,3,4)T,

求α的表達式.觀察：設是R

到RM

的線性映射，則只要知道(1)的象，就可以得到α的表達式。解

：設x∈R,

有(x)=(x·1)=x.x(1)=x(2,3,4)T.線性映射的確定：例子-*-——-*-——-*-——-*----16:57

8混題礎其中e?=(1,0)T,∈z=(0,1)T.求

α的表達式.解

：設x=(X?

,xz)T∈R2,有

X=X?∈1+X?∈2,所以.(X)=X1Q(∈1)+X2.(∈2)=x?(2,3,4)1+xz(2,2,3)T=(2x1+2x2,3x?+2x?,4x?+3xz)T.為了確定×,我們需要線性映射在一組基向量∈1和∈z上的象。-——-*-——-*-——-*-——-*-例4

.8

.設×是R2到R3的線性映射.設Q(e?)=(2,3,4)T,A(∈2)=(2,2,3)T,線性映射的確定：例子(2)

16:57

9礎則線性映射由(n1),...,a(nn)∈V'確定.proof命題4

.

3

.設dimV=n,

任取的n

個向量β1,...,βn

∈V',存在唯一的線性映射.4:V—→V',使得x(ni)=βj,

j=1,...,n,其中η1,..,nn

是向量空間V

的一組基.proof16:57

10■—

—

-—-*-——-*-——-*-——-*-——-*----*-命題4.2.線性映射：V—→V

'由它在基向量上的象唯一確定：

設η1,...,nn

∈V

是V的一組基，線

性

映

射

的

確

定

：

理

論

結

果礎混當V'=V時，線性變換的集合L(V,V)簡記為L(V).在V中取定了一組基η1,...,nn后，

以下兩個集合之間存在

——對應關系：L(V,V')→{V

'中n

個有序向量β1,...,βn}設

(ni)=βi,i=1,2,·,n.在V'中取定一組基,則V'中的向量都可以用這組βj=×(nj)=a1jn1+…+amjnm,

j=1,2,…,n,16:57

11-——-*-——-*-——-*-——-*-把從向量空間V

到

V'的所有線性映射的集合記為

L(V,V')≌{4:V—→V'|×是線性映射}線性映射的矩陣：

分析

基線性表示.特別地，設礎_———一A(ni)=βi,i=1,2,…,n.βi=x(ni)=aiin1+……+aminm,j=1,2,

…,n,向量組β1,...,βn可以表示成列向量組：L(V,V')

→Mm,n(K)L(V)

→Mn(K)

以這n個有序向量作為列向量組可以得到一個m×n

矩陣在V和V'中各取定了一組基后，

線

性

映

射

的

矩

陣

A

=dina2nOlmna12O22am2Oina2ndmnO1lO21aml·

·●

·●·

·11O21am1

●

·,●16:57●●測12寫

出

8

的

矩

陣

.解：取向量空間R中的數(shù)1為基.由定義有6(ei)=a·1,G(e2)=b·1,G(e3)=c·1.因此6的矩陣為一個行矩陣(即為行向量):C=(a,b,c).16:57—-*-——-*-—

——-——例.設V=R3,V′=R,ei,e2,e3

R

是給定的實數(shù).定義6:VF=xei+ye2+ze線

性

映

射

的

矩

陣

：

例

題是V的一組基，

a,b,c∈ Rax+by+cz礎題13D

V求在基ei,e2,e3下的矩陣.9(ei)=0ei+0e2+0e3(e2)=0ei+lez+0e3(e3)=0ei+0e2+le3プ=xei+ye2+ze-

—-—-*-——-*-——-*-——設V'=V=R3,[O;ei,e2,e3]所以在基ei,e2,e3

下的矩陣為線

性

映

射

的

矩

陣

：

例

題—

→

V一→

yez+ze3是V

上的直角標架.定義16:57礎14xei+ye2+ze

ye2+ze基n?=ei+e2,nz=e2+e3,n?

=ei+e3.容易得到，ei=}(η?-ηz+n?),e2=}(η?+nz-n?),e3=}(-η?+nz+n2).9(n1)

2

因此，當基為η1,ηz,n3

時，的

矩

陣

為線

性映

射的

矩陣：

例

題16:57

15(nz)(n3)3

=n2,礎題sHANIDUUIVERSIIY3設∈1,∈2,∈3是R3

的自然基

.設線性變換Q∈L(R3)

在基向量上的象為

.A(∈1)=

3∈1(∈2)

=

-∈1+2∈2寫出@的表達

式及在

自然A(∈3)

=

2∈1-∈2+∈3

基

下

的

矩

陣

.解：對

α=(x,y,z)T∈R3,

有d(a)

=x&(∈1)+yQ(∈2)+Zd(∈3)=(3x-y+2z)∈1+(2y-z)∈2+z∈3

=(3x-y+2z,2y-z,z)T

矩陣為即4

的對應

關

系

為(x,y,z)

→(3x-y+2z,2y-z,z)T.

例

題

4

.

1

016:57

16礎題

純

量

變

換

的

矩

陣

純量變換

為V

上

的線性

變

換：對

應

關

系

為%(a)=ka,其中k∈K.

特別地，如果k

=1,則稱該純量變換為恒同變換.

求恒同變換和純量變換的矩陣.當

k

=

1

時

，

矩

陣En

=

diag(1,1,·…·,1)稱

為

單

位

矩

陣

.解：取V

中的一組基η1,...,∩n,對角矩陣Kn稱為標量矩陣.16:57