福建省2020年中考數(shù)學復習專題二：實際應用題

專題二實際應用題類型一幾何類最值問題(2018·福建B卷)空地上有一段長為a米的舊墻MN，某人利用舊墻和木欄圍成一個矩形菜園ABCD，已知木欄總長為100米．(1)已知a＝20，矩形菜園的一邊靠墻，另三邊一共用了100米木欄，且圍成的矩形菜園面積為450平方米，如圖1.求所利用舊墻AD的長；(2)已知0＜a＜50，且空地足夠大，如圖2.請你合理利用舊墻及所給木欄設計一個方案，使得所圍成的矩形菜園ABCD的面積最大，并求面積的最大值．【分析】(1)按題意設出AD的長，表示出AB的長進而構成方程求解即可；(2)根據(jù)舊墻長度a和AD長度表示矩形菜園長和寬，注意分類討論S與菜園邊長之間的數(shù)量關系．【自主解答】

1．為了節(jié)省材料，某水產養(yǎng)殖戶利用水庫的岸堤(岸堤足夠長)為一邊，用總長為80米的圍網(wǎng)在水庫中圍成了如圖所示的①②③三塊矩形區(qū)域，而且這三塊矩形區(qū)域的面積相等．設BC的長度為x米，矩形區(qū)域ABCD的面積為y平方米．(1)求證：AE＝2BE；(2)求y與x之間的函數(shù)關系式，并寫出自變量x的取值范圍；(3)x為何值時，y有最大值？最大值是多少？2．國際慢城，閑靜高淳，景區(qū)內有一塊矩形油菜花田地(數(shù)據(jù)如圖示，單位：m)，現(xiàn)在其中修建一條觀花道(陰影所示)，供游人賞花．設改造后剩余油菜花地所占面積為ym2.(1)求y與x的函數(shù)解析式；(2)若改造后觀花道的面積為13m2，求x的值；(3)若要求eq\f(1,2)≤x≤1，求改造后剩余油菜花地所占面積的最大值．類型二費用、利潤最值問題(2018·陜西)經過一年多的精準幫扶，小明家的網(wǎng)絡商店(簡稱網(wǎng)店)將紅棗、小米等優(yōu)質土特產迅速銷往全國．小明家網(wǎng)店中紅棗和小米這兩種商品的相關信息如下表：商品紅棗小米規(guī)格1kg/袋2kg/袋成本(元/袋)4038售價(元/袋)6054根據(jù)上表提供的信息，解答下列問題：(1)已知今年前五個月，小明家網(wǎng)店銷售上表中規(guī)格的紅棗和小米共3000kg，獲得利潤4.2萬元，求這前五個月小明家網(wǎng)店銷售這種規(guī)格的紅棗多少袋；(2)根據(jù)之前的銷售情況，估計今年6月到10月這后五個月，小明家網(wǎng)店還能銷售上表中規(guī)格的紅棗和小米共2000kg，其中，這種規(guī)格的紅棗的銷售量不低于600kg.假設這后五個月，銷售這種規(guī)格的紅棗為xkg，銷售這種規(guī)格的紅棗和小米獲得的總利潤為y元，求出y與x之間的函數(shù)關系式，并求出這后五個月，小明家網(wǎng)店銷售這種規(guī)格的紅棗和小米至少獲得總利潤多少元．【分析】(1)分別算出紅棗和小米的利潤，由利潤共4.2萬元列方程得解；(2)列出總利潤y與紅棗的重量x之間的函數(shù)關系式，再根據(jù)函數(shù)性質求最值即可．【自主解答】

3．(2019·三明質檢)某百貨商店服裝柜在銷售中發(fā)現(xiàn)，某品牌童裝平均每天可售出20件，每件利潤40元，經市場調查發(fā)現(xiàn)，在進貨價不變的情況下，若每件童裝降價1元，日銷售量將增加2件．(1)若想要這種童裝銷售利潤平均每天達到1200元，同時又能讓顧客得到更多的實惠，每件童裝應降價多少元？(2)當每件童裝降價多少元時，這種童裝一天的銷售利潤最多？最多利潤是多少？4．(2019·福建模擬)某商店銷售10件A商品和5件B商品的利潤為1750元，銷售5件A商品和10件B商品的利潤為2000元．(1)求A商品和B商品每件的銷售利潤；(2)若該商店計劃一次購進A，B商品共100件，其中B商品的進貨量不超過A商品進貨量的2倍，求該商店購進A，B商品各多少件時，全部商品銷售完，總利潤最大？

5．某銷售商準備采購一批絲綢，經調查，用10000元采購A型絲綢的件數(shù)與用8000元采購B型絲綢的件數(shù)相等，一件A型絲綢進價比一件B型絲綢進價多100元．(1)求一件A型、B型絲綢的進價分別為多少元？(2)若銷售商購進A型、B型絲綢共50件，其中A型的件數(shù)不大于B型的件數(shù)，且不少于16件，設購進A型絲綢m件．①求m的取值范圍；②已知A型的售價是800元/件，銷售成本為2n元/件；B型的售價為600元/件，銷售成本為n元/件．如果50≤n≤150，求銷售這批絲綢的最大利潤w(元)與n(元/件)的函數(shù)關系式(每件銷售利潤＝售價－進價－銷售成本)．6．(2018·隨州)為迎接“世界華人炎帝故里尋根節(jié)”，某工廠接到一批紀念品生產訂單，按要求在15天內完成，約定這批紀念品的出廠價為每件20元，設第x天(1≤x≤15，且x為整數(shù))每件產品的成本是p元，p與x之間符合一次函數(shù)關系，部分數(shù)據(jù)如下表：天數(shù)(x)13610每件成本p(元)7.58.51012任務完成后，統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)工人李師傅第x天生產的產品件數(shù)y(件)與x(天)滿足如下關系：y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋20（1≤x＜10，且x為整數(shù)），,40（10≤x≤15，且x為整數(shù)）.))設李師傅第x天創(chuàng)造的產品利潤為W元．(1)直接寫出p與x，W與x之間的函數(shù)關系式，并注明自變量x的取值范圍；(2)求李師傅第幾天創(chuàng)造的利潤最大？最大利潤是多少元？(3)任務完成后，統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)平均每個工人每天創(chuàng)造的利潤為299元．工廠制定如下獎勵制度：如果一個工人某天創(chuàng)造的利潤超過該平均值，則該工人當天可獲得20元獎金．請計算李師傅共可獲得多少元獎金？類型三方案問題某學校積極響應懷化市“三城同創(chuàng)”的號召，綠化校園，計劃購進A，B兩種樹苗，共21棵．已知A種樹苗每棵90元，B種樹苗每棵70元．設購買A種樹苗x棵，購買兩種樹苗所需費用為y元．(1)求y與x的函數(shù)解析式，其中0≤x≤21；(2)若購買B種樹苗的數(shù)量少于A種樹苗的數(shù)量，請給出一種費用最省的方案，并求出該方案所需費用．【分析】(1)根據(jù)購買兩種樹苗所需費用＝A種樹苗費用＋B種樹苗費用，即可解答；(2)根據(jù)購買B種樹苗的數(shù)量少于A種樹苗的數(shù)量，列出不等式，確定x的取值范圍，再根據(jù)(1)得出的y與x之間的函數(shù)關系式，利用一次函數(shù)的增減性結合自變量的取值范圍，即可得出費用最省的方案．【自主解答】7．(2019·雞西)為慶祝中華人民共和國七十周年華誕，某校舉行書畫大賽，準備購買甲、乙兩種文具，獎勵在活動中表現(xiàn)優(yōu)秀的師生，已知購買2個甲種文具、1個乙種文具共需花費35元；購買1個甲種文具、3個乙種文具共需花費30元．(1)求購買1個甲種文具、1個乙種文具各需多少元？(2)若學校計劃購買這兩種文具共120個，投入資金不少于955元又不多于1000元，設購買甲種文具x個，求有多少種購買方案？(3)設學校投入資金W元，在(2)的條件下，哪種購買方案需要的資金最少？最少資金是多少元？

8．某學校為改善辦學條件，計劃采購A，B兩種型號的空調，已知采購3臺A型空調和2臺B型空調，需費用39000元；4臺A型空調比5臺B型空調的費用多6000元．(1)求A型空調和B型空調每臺各需多少元；(2)若學校計劃采購A，B兩種型號空調共30臺，且A型空調的臺數(shù)不少于10臺，兩種型號空調的采購總費用不超過217000元，該校共有哪幾種采購方案？(3)在(2)的條件下，采用哪一種采購方案可使總費用最低，最低費用是多少元？類型四函數(shù)圖象型小玲和弟弟小東分別從家和圖書館同時出發(fā)，沿同一條路相向而行．小玲開始跑步中途改為步行，到達圖書館恰好用30min.小東騎自行車以300m/min的速度直接回家，兩人離家的路程y(m)與各自離開出發(fā)地的時間x(min)之間的函數(shù)圖象如圖所示．(1)家與圖書館之間的路程為m，小玲步行的速度為m/min；(2)求小東離家的路程y關于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量的取值范圍；(3)求兩人相遇的時間．【分析】(1)根據(jù)圖象得到路程與速度數(shù)據(jù)；(2)根據(jù)方程思想列出小東離家路程y與時間x之間的函數(shù)關系式；(3)相遇其實質是求交點坐標．【自主解答】9．(2019·福州模擬)某商廈試銷一種成本為50元/件的商品，規(guī)定試銷時的銷售單價不低于成本，又不高于80元/件，試銷中銷售量y(件)與銷售單價x(元/件)的關系可近似地看成一次函數(shù)(如圖)．(1)求y與x的關系式；(2)設商廈獲得的毛利潤(毛利潤＝銷售額－成本)為S(元)，則銷售單價定為多少時，該商廈獲利最大，最大利潤是多少？此時的銷售量是多少件？10．(2019·莆田模擬)甲、乙兩人相約周末登花果山，甲、乙兩人距地面的高度y(米)與登山時間x(分)之間的函數(shù)圖象如圖所示，根據(jù)圖象所提供的信息解答下列問題：(1)甲登山上升的速度是每分鐘米，乙在A地時距地面的高度b為米；(2)若乙提速后，乙的登山上升速度是甲登山上升速度的3倍，請求出乙登山全程中，距地面的高度y(米)與登山時間x(分)之間的函數(shù)關系式；(3)登山多長時間時，甲、乙兩人距地面的高度差為70米？11．某市制米廠接到加工大米任務，要求5天內加工完220噸大米，制米廠安排甲、乙兩車間共同完成加工任務，乙車間加工中途停工一段時間維修設備，然后改變加工效率繼續(xù)加工，直到與甲車間同時完成加工任務為止．設甲、乙兩車間各自加工大米數(shù)量y(噸)與甲車間加工時間x(天)之間的關系如圖1所示；未加工大米w(噸)與甲加工時間x(天)之間的關系如圖2所示，請結合圖象回答下列問題：(1)甲車間每天加工大米噸，a＝；(2)求乙車間維修設備后，乙車間加工大米數(shù)量y(噸)與x(天)之間函數(shù)關系式；(3)若55噸大米恰好裝滿一節(jié)車廂，那么加工多長時間裝滿第一節(jié)車廂？再加工多長時間恰好裝滿第二節(jié)車廂？12．某種蔬菜的銷售單價y1與銷售月份x之間的關系如圖1所示，成本y2與銷售月份x之間的關系如圖2所示(圖1的圖象是線段，圖2的圖象是拋物線)．(1)已知6月份這種蔬菜的成本最低，此時出售每千克的收益是多少元？(收益＝售價－成本)(2)哪個月出售這種蔬菜，每千克的收益最大？簡單說明理由；(3)已知市場部銷售該種蔬菜4，5兩個月的總收益為22萬元，且5月份的銷售量比4月份的銷售量多2萬千克，求4，5兩個月的銷售量分別是多少萬千克？參考答案類型一【例1】(1)設AD＝x米，則AB＝eq\f(100－x,2)米．依題意得eq\f(x（100－x）,2)＝450，解得x1＝10，x2＝90.∵a＝20，x≤a，∴x2＝90不合題意，舍去，∴所利用舊墻AD的長為10米．(2)設AD＝x米，矩形ABCD的面積為S平方米．(ⅰ)如果按圖1方案圍成矩形菜園，依題意得S＝eq\f(x（100－x）,2)＝－eq\f(1,2)(x2－100x)＝－eq\f(1,2)(x－50)2＋1250，0＜x≤a.∵0＜a＜50，∴x≤a＜50時，S隨x的增大而增大，∴當x＝a時，S最大＝50a－eq\f(1,2)a2.(ⅱ)如果按圖2方案圍成矩形菜園，依題意得S＝eq\f(x（100＋a－2x）,2)＝－[x－(25＋eq\f(a,4))]2＋(25＋eq\f(a,4))2，a≤x＜50＋eq\f(a,2).當a＜25＋eq\f(a,4)＜50＋eq\f(a,2)，即0＜a＜eq\f(100,3)時，則x＝25＋eq\f(a,4)時，S最大＝(25＋eq\f(a,4))2＝eq\f(10000＋200a＋a2,16).當25＋eq\f(a,4)≤a，即eq\f(100,3)≤a＜50時，S隨x的增大而減小，∴當x＝a時，S最大＝eq\f(a（100＋a－2a）,2)＝50a－eq\f(1,2)a2.綜合(ⅰ)(ⅱ)，當0＜a＜eq\f(100,3)時，eq\f(10000＋200a＋a2,16)－(50a－eq\f(1,2)a2)＝eq\f(9a2－600a＋10000,16)＝eq\f(（3a－100）2,16)＞0，即eq\f(10000＋200a＋a2,16)＞50a－eq\f(1,2)a2，此時按圖2方案圍成的矩形菜園面積最大，最大面積為eq\f(10000＋200a＋a2,16)平方米；當eq\f(100,3)≤a＜50時，兩種方案圍成的矩形菜園面積的最大值相等．綜上所述，當0＜a＜eq\f(100,3)時，圍成長和寬均為(25＋eq\f(a,4))米的矩形菜園面積最大，最大面積為eq\f(10000＋200a＋a2,16)平方米；當eq\f(100,3)≤a＜50時，圍成長為a米，寬為(50－eq\f(a,2))米的矩形菜園面積最大，最大面積為(50a－eq\f(1,2)a2)平方米．跟蹤訓練1．(1)證明：∵三塊矩形區(qū)域的面積相等，∴矩形AEFD面積是矩形BCFE面積的2倍．又∵EF是公共邊，∴AE＝2BE.(2)解：設BE＝a，則AE＝2a，∴8a＋2x＝80，∴a＝eq\f(80－2x,8)，AB＝3a，∴y＝3a·x＝3×eq\f(80－2x,8)·x＝－eq\f(3,4)x2＋30x.∵a＝－eq\f(x,4)＋10＞0，∴x＜40，∴0＜x＜40.(3)解：∵y＝－eq\f(3,4)x2＋30x＝－eq\f(3,4)(x－20)2＋300(0<x<40)，且二次項系數(shù)為－eq\f(3,4)<0，∴當x＝20時，y有最大值，最大值為300平方米．2．解：(1)由題意可得y＝(8－x)(6－x)＝x2－14x＋48(0＜x＜6)．(2)由題意可得y＝48－13＝35，則x2－14x＋48＝35，即(x－1)(x－13)＝0，解得x1＝1，x2＝13.經檢驗，x＝13不合題意，舍去，∴x的值為1.(3)y＝x2－14x＋48＝(x－7)2－1.當eq\f(1,2)≤x≤1時，y隨x的增大而減小，故當x＝eq\f(1,2)時，y最大，此時y＝eq\f(165,4)m2.類型二【例2】(1)設這前五個月小明家網(wǎng)店銷售這種規(guī)格的紅棗m袋，則銷售這種規(guī)格的小米eq\f(3000－m,2)袋．根據(jù)題意得(60－40)m＋(54－38)×eq\f(3000－m,2)＝42000，解得m＝1500，∴這前五個月小明家網(wǎng)店銷售這種規(guī)格的紅棗1500袋．(2)y＝(60－40)x＋(54－38)×eq\f(2000－x,2)＝12x＋16000.∵12>0，∴y的值隨x值的增大而增大．∵x≥600，∴當x＝600時，y＝12×600＋16000＝23200，∴這后五個月，小明家網(wǎng)店銷售這種規(guī)格的紅棗和小米至少獲得總利潤23200元．跟蹤訓練3．解：(1)設每件童裝降價x元，則(40－x)(2x＋20)＝1200.解得x1＝20，x2＝10.為使顧客得到更多實惠，∴x＝20.答：每件童裝應降價20元．(2)設每件童裝降價x元時，每天盈利為y元，則y＝(40－x)(2x＋20)＝－2x2＋60x＋800＝－2(x－15)2＋1250.∵－2<0，∴當x＝15時，y有最大值1250元．答：當每件童裝降價15元時，這種童裝一天的銷售利潤最多，最多利潤是1250元．4．解：(1)設每件A商品的銷售利潤為x元，每件B商品的銷售利潤為y元．根據(jù)題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(10x＋5y＝1750，,5x＋10y＝2000，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝100，,y＝150.))答：每件A商品的銷售利潤為100元，每件B商品的銷售利潤為150元．(2)設購進A商品m件，銷售總利潤為n元，則購進B商品(100－m)件．根據(jù)題意得n＝100m＋150(100－m)＝－50m＋15000.∵B商品的進貨量不超過A商品進貨量的2倍，∴100－m≤2m，解得m≥33eq\f(1,3).∵n＝－50m＋15000，∴n隨m的增大而減?。適為正整數(shù)，∴當m＝34時，n取最大值，此時100－m＝66.答：該商店購進A商品34件，B商品66件時，全部商品銷售完，總利潤最大．5．解：(1)設一件A型絲綢的進價為x元，則一件B型絲綢的進價為(x－100)元．根據(jù)題意得eq\f(10000,x)＝eq\f(8000,x－100)，解得x＝500.經檢驗，x＝500是原方程的解，∴一件B型絲綢的進價為400元．答：一件A型、B型絲綢的進價分別為500元、400元．(2)①由題意得m≤50－m，解得m≤25，則m的取值范圍是16≤m≤25.②w＝(800－500－2n)m＋(600－400－n)(50－m)＝(100－n)m＋10000－50n.當50≤n＜100時，100－n＞0，w隨m的增大而增大，故當m＝25時，w最大＝12500－75n.當n＝100時，w最大＝5000.當100＜n≤150時，100－n＜0，w隨m的增大而減小，故當m＝16時，w最大＝11600－66n.綜上所述，w最大＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(12500－75n，（50≤n＜100）,5000，（n＝100）,11600－66n.（100＜n≤150）))6．解：(1)p＝0.5x＋7(1≤x≤15，且x為整數(shù))．W＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2＋16x＋260（1≤x＜10，且x為整數(shù)），,－20x＋520（10≤x≤15，且x為整數(shù)）.))(2)當1≤x＜10時，W＝－x2＋16x＋260＝－(x－8)2＋324，∴當x＝8時，W最大＝324(元)．當10≤x≤15時，W＝－20x＋520，∴當x＝10時，W最大＝320(元)．∵324＞320，∴李師傅第8天創(chuàng)造的利潤最大，最大利潤為324元．(3)當1≤x＜10時，令W＝－x2＋16x＋260＝299，解得x1＝3，x2＝13.當W＞299時，3＜x＜13.∵1≤x＜10，∴3＜x＜10.當10≤x≤15時，令W＝－20x＋520＞299，解得x＜11.05.又∵10≤x≤15，∴10≤x≤11.由上可得李師傅獲得獎金的天數(shù)是第4天到第11天，李師傅共獲得獎金為20×(11－3)＝160(元)．答：李師傅共可獲得160元的獎金．類型三【例3】(1)根據(jù)題意得y＝90x＋70(21－x)＝20x＋1470，∴y與x的函數(shù)解析式為y＝20x＋1470.(2)∵購買B種樹苗的數(shù)量少于A種樹苗的數(shù)量，∴21－x＜x，解得x＞10.5.又∵y＝20x＋1470，∴y隨x的增大而增大，且x取整數(shù)，∴當x＝11時，y有最小值，最小值為1690.答：使費用最省的方案是購買B種樹苗10棵，A種樹苗11棵，所需費用為1690元．跟蹤訓練7．解：(1)設購買1個甲種文具a元，1個乙種文具b元．由題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a＋b＝35，,a＋3b＝30，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝15，,b＝5.))答：購買1個甲種文具15元，1個乙種文具5元．(2)根據(jù)題意得955≤15x＋5(120－x)≤1000，解得35.5≤x≤40.∵x是整數(shù)，∴x＝36，37，38，39，40，∴有5種購買方案．(3)W＝15x＋5(120－x)＝10x＋600.∵10>0，∴W隨x的增大而增大．當x＝36時，W最?。?0×36＋600＝960(元)，∴120－36＝84.答：購買甲種文具36個，乙種文具84個時，需要的資金最少，最少資金是960元．8．解：(1)設A型空調和B型空調每臺各需x元，y元．由題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋2y＝39000，,4x－5y＝6000，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝9000，,y＝6000.))答：A型空調每臺需9000元，B型空調每臺需6000元．(2)設采購A型空調a臺，則購買B型空調(30－a)臺．由題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a≥10，,9000a＋6000（30－a）≤217000，))解得10≤a≤12eq\f(1,3).∵a為整數(shù)，∴a＝10，11，12，共有三種采購方案．方案一：采購A型空調10臺，B型空調20臺，方案二：采購A型空調11臺，B型空調19臺，方案三：采購A型空調12臺，B型空調18臺．(3)設總費用為w元，則w＝9000a＋6000(30－a)＝3000a＋180000(10≤a≤12eq\f(1,3)，且a為整數(shù))，∴w隨a的增大而增大，∴當a＝10時，w取得最小值，此時w＝210000.答：采購A型空調10臺，B型空調20臺可使總費用最低，最低費用是210000元．類型四【例4】(1)4000100提示：結合題意和圖象可知，線段CD為小東路程與時間函數(shù)圖象，折線O－A－B為小玲離家路程與時間圖象，則家與圖書館之間路程為4000m，小玲步行速度為2000÷20＝100(m/s)．(2)∵小東從離家4000m處以300m/min的速度返回家，則y＝4000－300x(0≤x≤eq\f(40,3))．(3)由圖象可知，兩人相遇是在小玲改變速度之前，∴4000－300x＝200x，解得x＝8.答：兩人出發(fā)后8min相遇．跟蹤訓練9．解：(1)設y＝kx＋b，將(60，40)，(70，30)代入得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(60k＋b＝40，,70k＋b＝30，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－1，,b＝100，))∴y＝－x＋100.(2)S＝(－x＋100)(x－50)＝－x2＋150x－5000.∵a＝－1，b＝150，c＝－5000，∴當x＝－eq\f(b,2a)＝75時，S最大值＝eq\f(4ac－b2,4a)＝eq\f(4×（－1）×（－5000）－1502,4×（－1）)＝eq\f(20000－22500,－4)＝625.當x＝75時，y＝－75＋100＝25，∴當銷售價是75元時，最大利潤是625元，此時銷量為25件．10．解：(1)1030提示：甲登山上升的速度是(300－100)÷20＝10(米/分鐘)，b＝15÷1×2＝30(米)．(2)當0≤x＜2時，y＝15x；當x≥2時，y＝30＋10×3(x－2)＝30x－30.當y＝30x－30＝300時，x＝11，∴乙登山全程中，距地面的高度y(米)與登山時間x(分)之間的函數(shù)關系式為y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(15x（0≤x<2），,30x－30（2≤x≤11）.))(3)甲登山全程中，距地面的高度y(米)與登山時間x(分)之間的函數(shù)關系式為y＝10x＋100(0≤x≤20)．當10x＋100－