第2章簡單事件的概率（8個考點梳理典型例題核心素養(yǎng)提升中考熱點聚焦）九年級數(shù)學講義（浙教版）

第2章簡單事件的概率（8個考點梳理+典型例題+核心素養(yǎng)提升+中考熱點聚焦）【知識導圖】【知識清單】考點1.事件類型的判斷【例1】．下列事件是隨機事件的是（

）A．拋出的籃球會下落 B．沒有水分，種子發(fā)芽C．購買一張彩票會中獎 D．自然狀態(tài)下，水會往低處流【答案】C【詳解】解：A．拋出的籃球會下落，是必然事件；B．沒有水分，種子發(fā)芽，是不可能事件；C．購買一張彩票會中獎，可能中獎也可能不中獎，是隨機事件；D．自然狀態(tài)下，水會往低處流，是必然事件；【例2】下列事件中，屬于必然事件的是（

）A．隨時打開電視機，正在播新聞B．優(yōu)秀射擊運動員射擊一次，命中靶心C．拋擲一枚質地均勻的骰子，出現(xiàn)4點朝上D．長度分別是3cm，5cm，6cm的三根木條首尾相接，組成一個三角形【答案】D詳解：A．是隨機事件，故A不符合題意；

B．是隨機事件，故B不符合題意；

C．是隨機事件，故C不符合題意；

D．是必然事件，故D符合題意．【變式】拋擲兩枚分別標有1，2，3，4的四面體骰子，寫出這個實驗中的一個隨機事件是__________；寫出這個實驗中的一個必然事件是_______．【答案】一枚骰子4朝上，一枚骰子3朝上任意兩個骰子面朝上的數(shù)字和不小于2【詳解】解：隨機事件：如一枚骰子4朝上，一枚骰子3朝上；（答案不唯一）必然事件：如任意兩個骰子面朝上的數(shù)字和不小于2．故答案為一枚骰子4朝上，一枚骰子3朝上；任意兩個骰子面朝上的數(shù)字和不小于2．考點2.利用概率判斷游戲的公平性【例2】（2022秋?西湖區(qū)校級月考）小亮和小芳都想?yún)⒓訉W校社團組織的暑假實踐活動，但只有一個名額，小亮提議用如下的辦法決定誰去參加活動：將一個材質均勻的轉盤9等分，分別標上1至9九個號碼，隨意轉動轉盤，若轉到4的倍數(shù)，小亮去參加活動；轉到3的倍數(shù)，小芳去參加活動；轉到其它號碼則重新轉動轉盤，（1）轉盤轉到4的倍數(shù)的概率是多少？（2）你認為這個游戲公平嗎？請說明理由．【解答】解：（1）∵共有1，2，3，4，5，6，7，8，9這9種等可能的結果，其中4的倍數(shù)有2個，∴P（轉到4的倍數(shù)）＝；（2）游戲不公平，∴小亮去參加活動的概率為，小芳去參加活動的概率為：＝，∵≠，∴游戲不公平．【變式】（2023春?鄞州區(qū)校級月考）如圖是計算機“掃雷”游戲的畫面，在9×9個小方格的雷區(qū)中，隨機地埋藏著20顆地雷，每個小方格最多能埋藏1顆地雷．（1）如圖1，小南先踩中一個小方格，顯示數(shù)字2，它表示圍著數(shù)字2的8個方塊中埋藏著2顆地雷（包含數(shù)字2的黑框區(qū)域記為A）．接著，小語選擇了右下角的一個方格，出現(xiàn)了數(shù)字1（包含數(shù)字1的黑框區(qū)域記為B，A與B外圍區(qū)域記為C）．二人約定：在C區(qū)域內(nèi)的小方格中任選一個小方格，踩中雷則小南勝，否則小語勝，試問這個游戲公平嗎？請通過計算說明．（2）如圖2，在D，E，F(xiàn)三個黑框區(qū)域中共藏有10顆地雷（空白區(qū)域無地雷），則選擇D，E，F(xiàn)三個區(qū)域踩到雷的概率分別是．【解答】解：（1）這個游戲不公平，理由如下：∵在C區(qū)域的（9×9﹣9﹣4）＝68（個）方塊中隨機埋藏著（20﹣2﹣1）＝17（顆）地雷，C區(qū)域中有（68﹣17）＝51（個）方塊中沒有地雷，∴小南勝的概率為＝，小語勝的概率為＝，∵＜，∴這個游戲不公平；（2）∵圍著數(shù)字2的8個方塊中埋藏著2顆地雷，空白區(qū)域無地雷，∴D區(qū)域中有2個地雷，∴選擇D區(qū)域踩到雷的概率為1；∵圍著數(shù)字2的8個方塊中埋藏著2顆地雷，空白區(qū)域無地雷，∴E區(qū)域中有2個地雷，∴選擇E區(qū)域踩到雷的概率為；∵在D，E，F(xiàn)三個黑框區(qū)域中共藏有10顆地雷（空白區(qū)域無地雷），∴F區(qū)域中有：10﹣2﹣2＝6（顆）地雷，∴選擇F區(qū)域踩到雷的概率為＝；故答案為：1，，．考點3.用公式法求概率【例3】（2023春?樂清市月考）一枚質地均勻的骰子六面分別標有1到6的一個自然數(shù)，任意投擲一次，向上一面的數(shù)字是偶數(shù)的概率為（）A． B． C． D．【解答】解：一枚質地均勻的骰子六面分別標有1到6的一個自然數(shù)，任意投擲一次共有6種等可能結果，其中向上一面的數(shù)字是偶數(shù)的有3種結果，所以向上一面的數(shù)字是偶數(shù)的概率為＝，故選：B．【變式】（2023?杭州）一個僅裝有球的不透明布袋里只有6個紅球和n個白球（僅有顏色不同）．若從中任意摸出一個球是紅球的概率為，則n＝．【解答】解：根據(jù)題意，＝，解得n＝9，經(jīng)檢驗n＝9是方程的解．∴n＝9．故答案為：9．考點4.用列表法求概率【例4】取四張完全相同的卡片，分別寫上A、B、C、D四個標號，然后背面朝上放置，攪勻后每個同學從中隨機抽取一張，記下標號后放回．（1）班長在四種卡片中隨機抽到標號為C的概率為．（2）平平和安安兩位同學抽到的卡片不同的概率是多少？用樹狀圖或列表的方法表示．【答案】（1）；（2），見解析【詳解】解：（1）∵共有四張圖片，分別寫著A、B、C、D四個標號，∴班長在四種卡片中隨機抽到標號為C的概率為；故答案為：；（2）列表如下：平平安安ABCDA（A，A）（B，A）（C，A）（D，A）B（A，B）（B，B）（C，B）（D，B）C（A，C）（B，C）（C，C）（D，C）D（A，D）（B，D）（C，D）（D，D）一共有16種等可能情況，其中抽到的卡片不同的有12種，則平平和安安兩位同學抽到的卡片不同的概率是．考點5.用畫樹狀圖法求概率【例5】小宏和小倩拋硬幣游戲，規(guī)定：將一枚硬幣連拋三次，若三次國徽都朝上則小宏勝，若三次中只有一次國徽朝上則小倩勝，你認為這種游戲公平嗎（）A．公平 B．小倩勝的可能大 C．小宏勝的可能大 D．以上答案都錯【答案】B【詳解】根據(jù)題意，畫出樹狀圖：由圖可知，所有等可能情況總數(shù)為8，三次國徽都朝上的情況數(shù)為1，只有一次國徽朝上的情況數(shù)為2，則：P小宏=，P小倩=，故該游戲不公平，小倩獲勝的概率更大，【變式】中國古代在數(shù)學方面的成就輝煌，《周髀算經(jīng)》《九章算術》《海島算經(jīng)》《孫子算經(jīng)》等都是我國古代數(shù)學的重要文獻．某數(shù)學興趣小組準備采用抽簽的方式確定學習內(nèi)容，將書目制成編號為A，B，C，D的4張卡片（如圖所示，卡片除編號和書目外，其余完全相同），現(xiàn)將這4張卡片背面朝上，洗勻放好：(1)若從4張卡片中隨機抽取一張，抽到《九章算術》的概率為______；(2)若從4張卡片中隨機抽取兩張，請用列表法或畫樹狀圖法求抽到《周髀算經(jīng)》和《孫子算經(jīng)》的概率．【答案】(1)(2)圖見解析；【詳解】（1）解：從4張卡片中隨機抽取一張，抽到《九章算術》的概率為，故答案為：．（2）解：畫樹狀圖如下：共有12種等可能的結果，抽到《周髀算經(jīng)》和《孫子算經(jīng)》的結果有2種，∴抽到《周髀算經(jīng)》和《孫子算經(jīng)》的概率為：．考點6.用頻率估算法求概率【例6】（2022秋?桐廬縣期中）為了解某地區(qū)九年級男生的身高情況，隨機抽取了該地區(qū)200名九年級男生，他們的身高x（cm）統(tǒng)計如下：組別（cm）x＜160160≤x＜170170≤x＜180x≥180人數(shù)10mn42根據(jù)以上結果，抽查該地區(qū)一名九年級男生，估計他的身高不低于180cm的概率是（）A． B． C． D．與m，n的取值有關【解答】解：樣本中身高不低于180cm的頻率＝＝，所以估計抽查該地區(qū)一名九年級男生的身高不低于180cm的概率是．故選：B．【變式】（2022秋?杭州期末）對一批襯衣進行抽檢，統(tǒng)計合格襯衣的件數(shù)，得到合格襯衣的頻數(shù)表如下：抽取件數(shù)（件）501002005008001000合格頻數(shù)4795188480763949合格頻率（1）估計任抽一件襯衣是合格品的概率（結果精確到）．（2）估計出售2000件襯衣，其中次品大約有幾件．【解答】解：（1）由表可知，估計任抽一件襯衣是合格品的概率為；（2）次品的件數(shù)約為2000×（1﹣）＝100（件）．考點7.利用概率解與代數(shù)綜合問題【例7】設a,b是兩個任意獨立的一位正整數(shù),則點（a,b）在拋物線y=ax2bx上方的概率是()A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：∵a、b是兩個任意獨立的一位正整數(shù)，∴a，b取1～9，∴代入x=a時，y=a3ba，∵點（a，b）在拋物線y=ax2bx的上方，∴by=ba3+ba＞0，當a=1時，b1+b＞0，∴b＞，有9個數(shù)，b=1，2，3，4，5，6，7，8，9，當a=2時，b8+2b＞0，∴b＞，有7個數(shù)，b=3，4，5，6，7，8，9，當a=3時，b27+3b＞0，∴b＞，有3個數(shù)，b=7，8，9，當a=4時，b64+4b＞0，∴b＞，有0個數(shù)，b在此以上無解，∴共有19個，而總的可能性為9×9=81，∴點（a，b）在拋物線y=ax2bx的上方的概率是；【變式】從﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4這9個數(shù)中任意選一個數(shù)作為m的值，使關于x的分式方程：＝3的解是負數(shù)，且使關于x的函數(shù)y＝圖象在每個象限y隨x的增大而增大的概率為_____．【答案】【詳解】解：＝3，解得，x＝﹣3﹣m，∵方程的解是負數(shù)，∴，解得：m＞﹣3，且m≠﹣2，∵關于x的函數(shù)圖象在每個象限y隨x的增大而增大，∴m﹣3＜0，∴m＜3，∴﹣3＜m＜3，且m≠﹣2，∴m＝﹣1或0或1或2，有4種可能，故概率為，考點8.利用概率解與幾何綜合問題【例8】（2022秋·遼寧阜新·九年級阜新實驗中學?？计谥校┤鐖D，在矩形紙片上做隨機扎針試驗，過對角線的交點，則針頭扎在陰影區(qū)域內(nèi)的概率為．【答案】【詳解】解：∵矩形紙片，對角線交于點O，∴，，∴，∵，∴，∴圖中陰影部分面積∴針頭扎在陰影區(qū)域內(nèi)的概率為；【變式】（2023·山東濟南·統(tǒng)考二模）如圖，一塊飛鏢游戲板由四個全等的直角三角形和一個正方形構成，若，，游戲板隨機投擲一枚飛鏢（飛鏢每次都落在游戲板上），擊中陰影部分的概率是．【答案】【詳解】解：∵正方形面積為，其中陰影部分面積為，∴擊中陰影部分的概率是，【核心素養(yǎng)提升】1數(shù)形結合思想【例9】．（2022秋·安徽·九年級校聯(lián)考開學考試）如圖是由16個邊長為1的小正方形組成的圖形，已經(jīng)有3個小正方形被涂色，在涂色一個小正方形，使它和已知陰影部分組成一個軸對稱圖形的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：如圖所示：在剩余的13個小正方形中，有4種涂法能使它和已知陰影部分組成軸對稱圖形，概率為：，【變式】小明在操場上做游戲，他發(fā)現(xiàn)地上有一個不規(guī)則的封閉圖形ABC．為了知道它的面積，小明在封閉圖形內(nèi)劃出了一個半徑為1米的圓，在不遠處向圈內(nèi)擲石子，且記錄如下：依此估計此封閉圖形ABC的面積是_____m2．【答案】3π．詳解：由表中數(shù)據(jù)可得：當投擲石子50次時，；當投擲石子150次時，；當投擲石子300次時，；∴石子落在陰影部分的概率大約是落在⊙O內(nèi)(包括和⊙O上)的概率的2倍，∴S陰影=2S⊙O，又∵S⊙O=,∴S陰影=，∴此封閉圖形ABC的面積是：m2.2數(shù)學建模——構建方程模型解決頻率估計概率的問題【例10】．（2023?溫州模擬）一個密閉不透明的口袋中有質地均勻、大小相同的白球若干個，在不允許將球倒出來的情況下，為估計白球的個數(shù)，小華往口袋中放入10個紅球（紅球與白球除顏色不同外，其它都一樣），將口袋中的球攪拌均勻，從中隨機摸出一個球，記下它的顏色后再放回口袋中，不斷重復這一過程，共摸了100次球，發(fā)現(xiàn)有63次摸到紅球．估計這個口袋中白球的個數(shù)約為個．【解答】解：設袋子中白球有x個，根據(jù)題意，得：＝，解得x≈6，經(jīng)檢驗x＝6是分式方程的解，所以袋子中白球的個數(shù)約為6個，故答案為：6．【中考熱點聚焦】熱點1.概率公式的應用1．（2023?紹興）在一個不透明的袋子里裝有2個紅球和5個白球，它們除顏色外都相同，從中任意摸出1個球，則摸出的球為紅球的概率是（）A． B． C． D．【分析】由一個不透明的布袋里裝有7個球，其中2個紅球，5個白球，它們除顏色外其余都相同，直接利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：從中任意摸出1個球，則摸到紅球的概率是：＝，故選：C．【點評】此題考查了概率的求法：如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種可能，那么事件A的概率P（A）＝．2．（2023?麗水）某校準備組織紅色研學活動，需要從梅歧、王村口、住龍、小順四個紅色教育基地中任選一個前往研學，選中梅歧紅色教育基地的概率是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)概率公式直接計算即可．【解答】解：∵紅色教育基地有4個，∴選中梅歧紅色教育基地的概率是．故選：B．【點評】本題考查了概率公式，隨機事件A的概率P（A）＝事件A可能出現(xiàn)的結果數(shù)除以所有可能出現(xiàn)的結果數(shù)．3．（2023?衢州）衢州飛往成都每天有2趟航班．小趙和小黃同一天從衢州飛往成都，如果他們可以選擇其中任一航班，則他們選擇同一航班的概率等于．【分析】根據(jù)概率公式即可得到結論．【解答】解：如圖所示，選擇航班從衢州飛往成都共有4種情況：（A，A）（A，B）（B，A）（B，B），其中選擇同一航班從衢州市飛往成都市的有兩種情況：（A，A），（B，B）．∴P（選擇同一航班從N市飛往S市）＝．故答案為：．【點評】本題考查了概率公式，熟練掌握概率公式是解題的關鍵．4．（2023?浙江）現(xiàn)有三張正面印有2023年杭州亞運會吉祥物琮琮、宸宸和蓮蓮的不透明卡片，卡片除正面圖案不同外，其余均相同．將三張卡片正面向下洗勻，從中隨機抽取一張卡片，則抽出的卡片圖案是琮琮的概率是．【分析】直接根據(jù)概率公式求解即可．【解答】解：從這三張卡片中隨機挑選一張，是“琮琮”的概率是，故答案為：．【點評】本題考查了概率公式，熟練掌握概率公式是解題的關鍵．5．（2023?杭州）一個僅裝有球的不透明布袋里只有6個紅球和n個白球（僅有顏色不同）．若從中任意摸出一個球是紅球的概率為，則n＝．【分析】根據(jù)紅球的概率公式，列出方程求解即可．【解答】解：根據(jù)題意，＝，解得n＝9，經(jīng)檢驗n＝9是方程的解．∴n＝9．故答案為：9．【點評】本題考查概率公式，根據(jù)公式列出方程求解則可．用到的知識點為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．熱點2.用頻率估計概率6．（2023?恩施州）縣林業(yè)部門考察銀杏樹苗在一定條件下移植的成活率，所統(tǒng)計的銀杏樹苗移植成活的相關數(shù)據(jù)如下表所示：移植的棵數(shù)a1003006001000700015000成活的棵數(shù)b84279505847633713581成活的頻率根據(jù)表中的信息，估計銀杏樹苗在一定條件下移植成活的概率為（精確到）（）A． B． C． D．【分析】用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率．【解答】解：由表格數(shù)據(jù)可得，隨著樣本數(shù)量不斷增加，這種樹苗移植成活的頻率穩(wěn)定在左右，故估計銀杏樹苗在一定條件下移植成活的概率為．故選：C．【點評】此題主要考查了利用頻率估計概率，大量反復試驗下頻率穩(wěn)定值即概率．7．（2023?鞍山）在一個不透明的口袋中裝有紅球和白球共12個，這些球除顏色外都相同，將口袋中的球攪勻后，從中隨機摸出1個球，記下它的顏色后再放回口袋中，不斷重復這一過程，共摸球200次，發(fā)現(xiàn)有50次摸到紅球，則口袋中紅球約有個．【分析】利用頻率估計隨機摸出1個球是紅球的概率為，根據(jù)概率公式即可求出答案．【解答】解：由題意可得，口袋中紅球的個數(shù)約為：12×＝3（個）．故答案為：3．【點評】本題考查利用頻率估計概率，解答本題的關鍵是明確題意，計算出相應的紅球個數(shù)．8．（2023?蘭州）某學習小組做拋擲一枚瓶蓋的實驗，整理的實驗數(shù)據(jù)如表：累計拋擲次數(shù)501002