第2章 導(dǎo)數(shù)、微分及應(yīng)用 前言

第二章導(dǎo)數(shù)、微分及應(yīng)用目錄導(dǎo)數(shù)的概念微分及應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算微分中值定理洛必達(dá)法則最優(yōu)化問(wèn)題【知識(shí)目標(biāo)】

理解概念：導(dǎo)數(shù)、微分及幾何意義，中值定理，洛必達(dá)法則，極值與最值、漸近線，凹凸性與拐點(diǎn)等；

掌握題型：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分、求曲線的切線與法線方程、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值與最值，中值定理證明不等式和根的存在性、洛必達(dá)法則求極限、求函數(shù)的水平和鉛直漸近線、畫出函數(shù)的圖像等。【能力目標(biāo)】

通過(guò)導(dǎo)數(shù)與微分及中值定理的學(xué)習(xí)，體會(huì)數(shù)學(xué)概念與理論的形成過(guò)程，培養(yǎng)創(chuàng)新思維能力、邏輯推理能力及綜合分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力，培養(yǎng)孜孜以求的探究精神和精益求精的工匠品質(zhì)。教學(xué)目標(biāo)文藝復(fù)興時(shí)期和十七世紀(jì)前期，由于科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，涌現(xiàn)了一系列新的數(shù)學(xué)問(wèn)題，例如：求切線斜率、求瞬時(shí)速度、求不規(guī)則圖形的面積、求曲線長(zhǎng)等等，許多著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家、物理學(xué)家都為解決上述幾類問(wèn)題作了大量的研究工作。如法國(guó)的費(fèi)爾瑪、笛卡爾、羅伯瓦、笛沙格；英國(guó)的巴羅、瓦里士；德國(guó)的開(kāi)普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出許多很有建樹(shù)的理論，為微積分的創(chuàng)立做出了貢獻(xiàn)；十七世紀(jì)下半葉，英國(guó)科學(xué)家牛頓和德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨分別在自己的國(guó)度里獨(dú)自研究和完成了微積分的創(chuàng)立工作。至此，微積分成為了一門獨(dú)立的學(xué)科。微分學(xué)簡(jiǎn)介微積分學(xué)的創(chuàng)始人---牛頓和萊布尼茲一、牛頓與微積分1665年夏天，因?yàn)橛?guó)爆發(fā)鼠疫，劍橋大學(xué)暫時(shí)關(guān)閉。剛剛獲得學(xué)士學(xué)位、準(zhǔn)備留校任教的牛頓被迫離校到他母親的農(nóng)場(chǎng)住了一年多。這一年多被稱為“奇跡年”，牛頓對(duì)三大運(yùn)動(dòng)定律、萬(wàn)有引力定律和光學(xué)的研究都開(kāi)始于這個(gè)時(shí)期。在研究這些問(wèn)題過(guò)程中，他發(fā)現(xiàn)了他稱為“流數(shù)術(shù)”的微積分。1666年，牛頓寫下了一篇關(guān)于流數(shù)術(shù)的短文，之后又寫了幾篇有關(guān)文章。但是這些文章當(dāng)時(shí)都沒(méi)有公開(kāi)發(fā)表，只是在一些英國(guó)科學(xué)家中流傳。微積分學(xué)的創(chuàng)始人---牛頓和萊布尼茲二、萊布尼茲與微積分：首次發(fā)表有關(guān)微積分研究論文的是德國(guó)哲學(xué)家萊布尼茨。萊布尼茨在1675年已發(fā)現(xiàn)了微積分，但是也不急于發(fā)表，只是在手稿和通信中提及這些發(fā)現(xiàn)。1684年，萊布尼茨正式發(fā)表他對(duì)微分的發(fā)現(xiàn)。兩年后，他又發(fā)表了有關(guān)積分的研究。在瑞士人伯努利兄弟的大力推動(dòng)下，萊布尼茨的方法很快傳遍了歐洲。到1696年時(shí)，已有微積分的教科書出版。微積分學(xué)的創(chuàng)始人---牛頓和萊布尼茲三、微積分的創(chuàng)始人之爭(zhēng)1.起初，并沒(méi)有人來(lái)爭(zhēng)奪微積分的發(fā)現(xiàn)權(quán)。1699年，移居英國(guó)的一名瑞士人一方面為了討好英國(guó)人，另一方面由于與萊布尼茨的個(gè)人恩怨，指責(zé)萊布尼茨的微積分是剽竊自牛頓的流數(shù)術(shù)，但此人并無(wú)威望，遭到萊布尼茨的駁斥后，就沒(méi)了下文。2.1704年，牛頓在其光學(xué)著作的附錄中首次完整地發(fā)表了其流數(shù)術(shù)。當(dāng)年出現(xiàn)了一篇匿名評(píng)論，反過(guò)來(lái)指責(zé)牛頓的流數(shù)術(shù)是剽竊自萊布尼茨的微積分。于是究竟是誰(shuí)首先發(fā)現(xiàn)了微積分，就成了一個(gè)需要解決的問(wèn)題了。微積分學(xué)的創(chuàng)始人---牛頓和萊布尼茲三、微積分的創(chuàng)始人之爭(zhēng)3.

1711年，蘇格蘭科學(xué)家、英國(guó)王家學(xué)會(huì)會(huì)員約翰.凱爾在致王家學(xué)會(huì)書記的信中，指責(zé)萊布尼茨剽竊了牛頓的成果，只不過(guò)用不同的符號(hào)表示法改頭換面。4.同樣身為王家學(xué)會(huì)會(huì)員的萊布尼茨提出抗議，要求王家學(xué)會(huì)禁止凱爾的誹謗。王家學(xué)會(huì)組成一個(gè)委員會(huì)調(diào)查此事，在次年發(fā)布的調(diào)查報(bào)告中認(rèn)定牛頓首先發(fā)現(xiàn)了微積分，并譴責(zé)萊布尼茨有意隱瞞他知道牛頓的研究工作。此時(shí)牛頓是王家學(xué)會(huì)的會(huì)長(zhǎng)，雖然在公開(kāi)的場(chǎng)合假裝與這個(gè)事件無(wú)關(guān)，但是這篇調(diào)查報(bào)告其實(shí)是牛頓本人起草的。他還匿名寫了一篇攻擊萊布尼茨的長(zhǎng)篇文章。微積分學(xué)的創(chuàng)始人---牛頓和萊布尼茲三、微積分的創(chuàng)始人之爭(zhēng)5.后人通過(guò)研究萊布尼茨的手稿還發(fā)現(xiàn),萊布尼茨和牛頓是從不同的思路創(chuàng)建微積分的。牛頓是為解決運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，先有導(dǎo)數(shù)概念，后有積分概念;萊布尼茨則反過(guò)來(lái)，受其哲學(xué)思想的影響，先有積分概念，后有導(dǎo)數(shù)概念。