第十五屆中環(huán)杯決賽試題解析（四年級）

第15屆中環(huán)杯決賽試題解析（四年級）A（8648）：1. 計算：694.616.223 .【答案】690【解答】694.616.2232334.616.2232313.816.22330690厘米的長方體積木，疊成最小的正方體，最少要積木 塊【答案】3600【解答】容易知道正方體的邊長至少為3,4,560厘米，所以需要積木6060603453600塊在5、8、15、18、25、28、、2008、2015中，有 個數(shù)的數(shù)碼之和為偶數(shù)（138的數(shù)碼之和為13812）【答案】2025,8、15,18、、2005,2008，每對里面有且僅有一個數(shù)的數(shù)碼之和為偶數(shù)，一共有20088101201對，而最后一個數(shù)的數(shù)碼之和為20158，為偶數(shù)，所以答案就是2011202如圖，在長方形ABCD中，AED與BFC都是等腰直角三角形，EFAD2。則長方形ABCD的面積為 .E FA BE FD C【答案】8EFAD2AG，整個長方形的面積是小正方形818EFA BEFGD C一個等差數(shù)列的首項為9，第8項為12，那么這個數(shù)列的前2015項中，有 是3的倍數(shù)?！敬鸢浮?88【解答】根據(jù)已知條件，容易推出這個等差數(shù)列的通項公式為aan1d3n603n20。為了使得其為3的倍數(shù)，只要使得n20為整數(shù)n 1 7 7 7即可。容易知道，當(dāng)n1、8、15、、20102010112887項滿足要求。老師將一些數(shù)填入下圖的圓圈內(nèi)（每個圓圈內(nèi)能且只能填一個數(shù)），左右兩個閉合回路的三個數(shù)之和均為30，上下兩個閉合回路的四個數(shù)之和均為40。若圓圈X內(nèi)填的數(shù)為9，則圓圈Y內(nèi)填的數(shù)為 .【答案】11

abcdXYcb80，abX30abcdXY60，我們推出cb20XYcb40XY20X9，所以Y11。如圖，一只螞蟻在網(wǎng)格上爬行，每爬一步就是指從一個點爬到其相鄰的點（由一條虛）A開始爬，不同的爬行路線有mB開始爬，不同的爬行路線有n種。則nm .AAB【答案】3AB出發(fā)，接下來都是走到形如C點的AB走到紅點有六種方法，所以nm623?！菊f明】對稱計數(shù)AACB長度。如果小明沿著拖拉機(jī)開的方向行走，從繩子的一端走到另一端，一共走了140了20步。拖拉機(jī)與小明的速度保持恒定，小明每步可以走1米。那么繩子的長度為米?！敬鸢浮?5【解答】由于第一次走了140步、第二次走了20步，所以第一次花的時間是第二次花的時間的7倍，所以這個過程中拖拉機(jī)開的路程也是7倍關(guān)系。設(shè)第一次拖拉機(jī)開了7S米，第二次拖拉機(jī)開了Sx米，得到方程組x7S140x35。S20x S15 B（4832）：一個園藝匠準(zhǔn)備種植一排共20棵樹，一共有兩種樹可供選擇：楓樹或者梧桐樹。任兩棵楓樹之間（不包括這兩棵楓樹）的樹的數(shù)量不能等于3。那么這20棵樹中，楓樹最多有 棵?！敬鸢浮?2種梧桐樹。我們用下圖進(jìn)行說明，用●表示楓樹，用表示梧桐樹，一旦第二個A必須種植梧桐樹。無論楓樹出現(xiàn)在哪個位置，總有一個位置與其對應(yīng)，只能種植梧桐樹，所以八棵連續(xù)的樹中最多只有四棵楓樹AA20棵樹中的前16棵樹里最多包含了8棵楓樹，所以楓樹總數(shù)最多8412，我們可以如下進(jìn)行種植：●●●●●●●●●●●EBCBE3CED、A、F三點在一條直線上。設(shè)DBEBE邊上高的長度為h1FECEC邊上高的長度為h2，我們有3h1h23厘米。DBE與FEC的面積之和為6平方厘米，則ABC的面積為 平方厘米。AFADB E C【答案】64BE3CEBE3BC,CE1BC。而4 4S

1BEh1CEhDBE

FEC 2 1 2 213BCh11BCh2 4 1 2 4 21BC3hh8將3h1h23

1 2BC16。所以S

1BC2116264平方厘米SSDBE

SFEC6

ABC 4 4已知一個四位數(shù)ABCD滿足：ABCDABCD是1111的倍數(shù)，則ABCD的最小值為 .【答案】1729ABCDABCD100ABCDABCDAB1CD100100，從而推出AB1CD100100mod1111，所以AB1CD1001211、2322、3433、（1）當(dāng)AB1CD1001211AB11211121112.11，所以CD100 100AB11AB11或10，但是這兩個數(shù)顯然不是1211的因數(shù)；（2）當(dāng)AB1CD1002322時，考慮到232223343，所以232218129，此B18時時D0

ABCD1729。接下來我們要證明1729ABCD1729，滿足AB1CD1001111k100AB10~16，所以AB1CD100161991003383。當(dāng)k3時，此時1111k100已經(jīng)大于3383了，所以k2。而對于k2的情況，我們前面已經(jīng)討論過了，所以不存在ABCD1729。綜上所述，本題要求的最小值就是1729。AB，每次只能向上或者向右走一格；乙要從CD，每次（沒有公共點），那么就稱這兩個人走了“中環(huán)路”（下右圖就是一條“中環(huán)路”）。那么，“中環(huán)路”一共有 種。B D B D A C A C【答案】1750AB，一共有C4種走法，同理，從CD，一共有C4種走8 88 法，所有兩人走的路徑一共有C4C48 的就是答案了。EAED與CEB（AEB與CED）。注意：如上右圖，如果沒有相交，我們不能這樣看待兩條路徑，只有產(chǎn)生相交點之后，才能這樣看待這兩條路徑。10 AED與CEB的任意兩條路徑來說，它們必然會產(chǎn)生公共AED與CEB的路徑”對應(yīng)起來了，所以相交的情況一共有C4C410 B DEA C8 8 10 綜上所述，最后的答案就是C4C4C4C44900315017508 8 10 三、動手動腦題（21020）：ABCD是一個梯形，其對角線的交點為OACE，滿足CEAO。延DBFBFDO。若BFG2015CGE的面積。A DOB CG ?F E【答案】2015ABCD是一個梯形，利用等積變換我們有SAOBSDOC。利用CEAO，我們推出SAOBSCBEBFDO，我們推出SDOCSBCF。結(jié)合SAOBSDOC，我們有SCBESBCFSCBESBCGSBCFSBCGSBFGSCGE，所以CGE的面積也2015。 AB、CDD老師給每人發(fā)了一頂帽子，并在每個人的帽子上寫了一個四位數(shù)。已知這三個四位數(shù)都是完全平方數(shù)（比如422，1001024100都是某個數(shù)的平方，這樣的數(shù)稱為完全平方數(shù)），并且這三個四位數(shù)的十位數(shù)都是0，個位數(shù)都不是0。每個小朋友只能看見別人帽子上的數(shù)。這三個小朋友非常聰明而且誠實，發(fā)生了如下的對話：AB、C帽子上數(shù)的個位數(shù)相同?！盉、CA的話，我知道自己的數(shù)是多少了?！盇B、C的話，我也知道自己的數(shù)是多少了，我的這個數(shù)的個位數(shù)是一個偶數(shù)。”AB、C帽子上的數(shù)之和?！敬鸢浮?4612【解答】假設(shè)b0af2ef2e2ff2a0f0，兩邊對0取余，從而推出20eff2amod100，也就是說20eff2的十位數(shù)部分為0。顯然20ef的十位數(shù)部分肯定為偶數(shù)，所以f2的十位數(shù)也必須為偶數(shù)，滿足條件的f1、2、3、5、7、8、9。（1）f1、2、3時，為了使20eff2的十位數(shù)部分為0，則e5，此時這三個數(shù)就是5122501、5222704、5322809；（2）f520eff2100e25，十位數(shù)部分不可能為0；f720eff2140e49，為了使得十位數(shù)為0，則e4或9，此時滿足條件的數(shù)為4722209或9729409；f820eff2160e64，為了使得十位數(shù)為0，則e4或9，此時滿足條件的數(shù)為4822304或9829604；f920eff2180e81，為了使得