第15 屆中環(huán)杯決賽試題解析（三年級(jí)）

第15屆中環(huán)杯決賽試題解析（三年級(jí)）一、填空題A（本大題共8小題，每題6分，共48分）：1. 計(jì)算：2513215137.【答案】2015【解答】25132151375131051321513513312015在一場(chǎng)上海隊(duì)與北京隊(duì)的籃球比賽中，姚明得到了分，帶領(lǐng)上海隊(duì)以10勝了北京隊(duì)。上海隊(duì)與北京隊(duì)的總得分比姚明得分的5倍少10分，那么上海隊(duì)獲得 分【答案】75分【解答】根據(jù)題意，上海隊(duì)與北京隊(duì)的總得分為30510140分，而上海隊(duì)減去北京隊(duì)的得分為10分，根據(jù)和差問(wèn)題，我們有：上海隊(duì)得了14010275分一個(gè)數(shù)只包含兩種數(shù)字：3或者4，而且3或者4都至少出現(xiàn)一個(gè)。這個(gè)數(shù)既是3的數(shù)，又是4的倍數(shù)。這樣的數(shù)最小為 .【答案】3444【解答】為了使得它是4的倍數(shù)，最后兩位只能是44。如果只有兩個(gè)數(shù)字4，這個(gè)數(shù)無(wú)法成為3的倍數(shù)，所以很容易得到其最小值為3444我們有個(gè)111的小立方體，將其拼成一個(gè)333的大立方體，其中的一些小立方體的某些面被涂成了灰色，最后拼成的大立方體如下圖所示。那么，六個(gè)面都是白的小立方體最多有 個(gè)【答案】15【解答】我們可以數(shù)一下，發(fā)現(xiàn)含有灰色面的小立方體有12個(gè)，而一共有27個(gè)小立方體，所以六個(gè)面都是白色的小立方體最多有271215個(gè)如圖，一個(gè)大三角形被三條線段分成了七部分，其中四部分是三角形，另外三分是四邊形。三個(gè)四邊形的周長(zhǎng)之和為厘米，四個(gè)三角形的周長(zhǎng)之和為厘米，三角形的周長(zhǎng)為19厘米。那么厘米FEFEB D C【答案】13【解答】如果我們將三個(gè)四邊形的周長(zhǎng)之和與四個(gè)三角形的周長(zhǎng)之和相加，那么中間的線段都被加了兩次。比如下圖中的GH，它既是四邊形GFBH的一條邊、又是ABBC,CA。所以我們要求的線段之和為252019213厘米FGFGEHIB D C的站臺(tái)出發(fā)，然后到任意的站臺(tái)結(jié)束（只要經(jīng)過(guò)所有的站臺(tái)即可）。假設(shè)他必須重經(jīng)過(guò)n個(gè)站臺(tái)，則n的最小值為 .【答案】3【解答】如下圖，對(duì)所有的點(diǎn)進(jìn)行標(biāo)記，小明可以從ABCDEDFGHIHGJKL，這樣他必須重復(fù)經(jīng)過(guò)3個(gè)站臺(tái)，接下來(lái)我們證明3是最小值。顯然，D,G這兩個(gè)換乘臺(tái)肯定會(huì)被重復(fù)經(jīng)過(guò)的。如果小明不是從A開(kāi)始或者從A結(jié)束，那么B肯定會(huì)被重復(fù)經(jīng)過(guò)，這樣就至少重復(fù)經(jīng)過(guò)3個(gè)站臺(tái)了；如果小明不是從L開(kāi)始或者從L結(jié)束，那么K肯定會(huì)被重復(fù)經(jīng)過(guò)，這樣就至少重復(fù)經(jīng)過(guò)3個(gè)站臺(tái)了；如果小明從A開(kāi)始從L結(jié)束，那么H肯定會(huì)被重復(fù)經(jīng)過(guò)。所以，n3【說(shuō)明】此題要做出答案并不難，關(guān)鍵在于后面的證明，考慮到填空題，所以將其放在第6題A B C D FL GK JH I7.如果653整除ab2347，則ab.【答案】11【解答】由于||ab2347653，考慮到ab2347653ab3000，所以653|ab31000。由于653是素?cái)?shù)，并且653無(wú)法整除1000，所以653|ab3，從而推出a6，所以ab11b5會(huì)將空盤子數(shù)一下，然后拿走一個(gè)空盤子去裝食物（能多拿）盤子數(shù)量比第一個(gè)到會(huì)的人員少一個(gè)，還有4個(gè)空盤子。已知學(xué)校準(zhǔn)備的所有空盤子的數(shù)量與所有到會(huì)人員的數(shù)量之和為，則總共有 人加了這次野餐會(huì)?！敬鸢浮?006【解答】x個(gè)人參加了野餐會(huì)，空盤子總共有x第1個(gè)參會(huì)人員數(shù)到有x個(gè)空盤子；第2個(gè)參會(huì)人員數(shù)到有x個(gè)空盤子；第n個(gè)參會(huì)人員數(shù)到有2016xn個(gè)空盤子；x個(gè)參會(huì)人員數(shù)到有xx2x個(gè)空盤子；從而得到方程2x4x二、填空題B（本大題共4小題，每題8分，共32分）：D四人有一些數(shù)量互不相同的紙牌。A說(shuō)：“我比C多16張紙牌?！盉D比C多6張紙牌?！盋說(shuō)：“A比D多9張紙牌?！盌說(shuō)：“如果A再給我2張紙牌，我紙牌的數(shù)量就是C的3倍?！盌張紙牌【答案】10【解答】首先對(duì)每個(gè)人所說(shuō)的話進(jìn)行翻譯：AAC16；BDC6；CAD9；D的意思是：D23C。A和CAABDDB或C。AD如果C說(shuō)的是正確的，則AC16DCADC729BC說(shuō)的是錯(cuò)誤的。利用B的結(jié)論，我們有DC6D23C

C4D

。所以答案為10。 七個(gè)正方形拼成下圖。我們要對(duì)其中的若干個(gè)正方形進(jìn)行涂色，要求：至少涂其中的兩個(gè)正方形；相鄰正方形不能同時(shí)被涂色（形）。那么，有 種不同的涂色方法。【答案】10【解答】直接分類討論：如果我們涂最上面的那個(gè)正方形，那么它下面的兩個(gè)正方形不能被涂色，得4要簡(jiǎn)單分析一下：顯然b不能被涂色（否則b一旦被涂色了，那么acd都不能被涂色了），而且cd2種涂法（ac或者ad）。綜上所述，如果我們涂最上面的那個(gè)正方形，一共有426種涂法dabc如果我們不涂最上面的那個(gè)正方形，得到下左圖。顯然，我們不能涂eba,f以及cd都不能同時(shí)被涂色，所以此時(shí)能且只能涂?jī)蓚€(gè)正方形，一共有224種涂法。fefedabcfdac綜上所述，一共有6410種涂法在圖中的乘法算式中，不同漢字代表不同數(shù)字，相同漢字代表相同數(shù)字。在算式的格中填入適當(dāng)?shù)臄?shù)字，使得算式成立。那么杯所代表的三位數(shù)是 .66中環(huán)杯中環(huán)杯【答案】124 【解答】由于c cd,c

，所以d,e都是7~9中的數(shù)字。根據(jù)“abc6是三位數(shù)”我們很容易推出a1。由于“中環(huán)杯中環(huán)杯中環(huán)杯1001”，所以7|abc11|1001|abcd6e?？紤]到abc只是一個(gè)三位數(shù)，所以不可能同時(shí)滿足11|13|abc

，所以7,11,13中至少有一個(gè)數(shù)整除d6e。接下來(lái)分類討論：若7|d6e，結(jié)合de都是7~9中的數(shù)字，我們很容易推出只有滿足條件。由于此時(shí)都不能整除，所以整除abc，所以1113143，此時(shí)143868，滿足我們的要求。若11|d6e，結(jié)合de都是7~9中的數(shù)字，所以de611de17，我們很容易推出只有或滿足要求?？紤]到7,13都不能整除這兩個(gè)數(shù)，所以7,13整除abc，所以7132182，而6不是三位數(shù)，矛盾。若13|d6e，結(jié)合de都是7~9中的數(shù)字，我們很容易推出只有滿足條件?？紤]到7,11都不能整除這兩個(gè)數(shù)，所以7,11整除abc，所以7112154。此時(shí)154，但是題目說(shuō)了“中環(huán)杯”的三個(gè)數(shù)字互不相同，所以也不符合要求。綜上所述，最后的答案只有一個(gè)，就是“中環(huán)杯124”。a a b cd 6 e中環(huán)杯中環(huán)杯1010個(gè)數(shù)為1、2、3、4、5、6、7、8、9、11。每個(gè)數(shù)都使用一次，每條棱上的數(shù)表示其連接兩個(gè)頂點(diǎn)上的數(shù)之和。棱PQ上的數(shù)為9，則棱上的數(shù)為 .?9?9RPQ【答案】5【解答】設(shè)六條棱上的數(shù)之和為S棱、四個(gè)頂點(diǎn)上的數(shù)之和為S頂，容易發(fā)現(xiàn)S棱3S頂（三次）?？紤]到S棱S頂1234567891156，從而推出S頂14，可能的情況有：1238、1247、1256、1346，接下來(lái)開(kāi)始排除：PQ9，所以1256排除了（沒(méi)有兩個(gè)數(shù)之和為9）對(duì)于1238來(lái)說(shuō)，由于123，所以一條棱上的數(shù)應(yīng)該為3，但是某個(gè)頂點(diǎn)上的數(shù)也是3，矛盾。同樣可以將1346排除最后，剩下的只有一組選擇：1247，從而得到下圖，所以答案為5?9?9427三、動(dòng)手動(dòng)腦題（本大題共2小題，每題10分，共20分）：5方形的邊長(zhǎng)為24厘米。求：?jiǎn)蝹€(gè)長(zhǎng)方形的面積?！敬鸢浮?2【解答】假設(shè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為x、寬為y，則3x242x2y24

x8，所以長(zhǎng)方形的面積y4 為32cm2 D1、2、、1313上，開(kāi)始的時(shí)候所有牌都是牌面朝上，每次翻動(dòng)可以將一張牌翻成牌面朝下（成牌面朝下，這張牌就不能翻動(dòng)了）DA2D老師就可以翻動(dòng)寫有A92D老師就可以12的牌（12的牌還是牌面朝上的）D12DD老師有多少種不同的翻牌順序？【答案】26624【解答】首先，我們將所有含數(shù)字的牌調(diào)整一下順序，得到下圖，從而將題目轉(zhuǎn)化為：若相鄰的牌中有牌面朝上的，那么D老師就可以翻動(dòng)當(dāng)前的牌11 1 48 75 102 1312 39 6接下來(lái)我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，若兩次選牌的過(guò)程中發(fā)生跳躍，那么最后必然會(huì)導(dǎo)致至少2張牌無(wú)法翻面。如下圖所示，若第一次翻4號(hào)牌，第二次翻12號(hào)牌