2022-2023學(xué)年河南省創(chuàng)新聯(lián)盟高二上學(xué)期第一次聯(lián)考(B卷)數(shù)學(xué)試題(解析版)

試卷第=page22頁，共=sectionpages44頁第Page\*MergeFormat12頁共NUMPAGES\*MergeFormat14頁2022-2023學(xué)年河南省創(chuàng)新聯(lián)盟高二上學(xué)期第一次聯(lián)考（B卷）數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】首先利用復(fù)數(shù)的除法運算化簡，再利用復(fù)數(shù)的幾何意義求復(fù)數(shù)對應(yīng)的點.【詳解】因為，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第四象限.故選：D2．已知直線l的一個方向向量為，平面的一個法向量為，則下列說法正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】B【分析】根據(jù)直線的方向向量和平面的法向量的位置關(guān)系，判斷直線與平面的位置關(guān)系，當(dāng)直線的方向向量與法向量平行時，直線與平面垂直；當(dāng)直線的方向向量與法向量垂直時，直線與平面平行或直線在平面內(nèi)【詳解】若，因為，則，故選項A錯誤，選項B正確；若，則直線l可能與平面平行，也可能在平面內(nèi)，故選項CD錯誤故選：B3．已知向量，，若，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【分析】由題意可得，求解即可.【詳解】因為，所以，解得.故選:C.4．空間內(nèi)有三點，，，則點P到直線EF的距離為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分別求出與，即可得，與，根據(jù)點P到直線EF的距離為可求解.【詳解】因為，,所以，，.所以點P到直線EF的距離為.故選:D.5．從A，B，C，D，E這五個景點中選擇兩個景點游玩，則A，B景點都沒被選中的概率是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)古典概型的概率公式，采用列舉法，可得答案.【詳解】從A，B，C，D，E這五個景點中選擇兩個游玩，不同的情況有，，，，，，，，，，共10種，其中A，B景點都沒被選中的情況有，，，共3種，故所求概率.故選：D.6．在直三棱柱中，，，M，N分別是，的中點，則（

）A．平面CMN B．平面CMNC． D．【答案】C【分析】由題意，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出直線的方向向量和平面的法向量，利用向量的位置關(guān)系，可得答案.【詳解】如圖，以C為坐標(biāo)原點，以，，的方向分別為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，.，，，，.設(shè)平面CMN的法向量，則，令，得.因為與不垂直，所以與平面CMN不平行，故A不正確；因為與不平行，所以AM與平面CMN不垂直，故B不正確；因為，所以，故C正確；因為與不平行，所以AM與不平行，故D不正確.故選：C.7．如圖，在平行六面體中，E，F(xiàn)分別在棱和上，且.記，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)，由空間向量的線性運算可得，由空間向量基本定理即可求解.【詳解】設(shè)，因為，所以，，.因為，所以.故選:B.8．若直線l的斜率，則直線l的傾斜角的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)直線的傾斜角與斜率的關(guān)系直接求解即可.【詳解】直線的斜率與傾斜角滿足，且，若，則.故選:C.9．如圖，已知四棱錐的底面是邊長為4的菱形，且，底面，若點到平面的距離為，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【分析】建立空間直角坐標(biāo)系,利用坐標(biāo)法求解即可.【詳解】設(shè)為中點，因為底面是邊長為4的菱形，且，所以,而,所以；以為坐標(biāo)原點，以，的方向分別為x，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，.設(shè)是平面的法向量，因為，，則，令，得.設(shè)點到平面的距離為，.因為，所以，得.故選：D.10．為了解某中學(xué)對新冠疫情防控知識的宣傳情況，增強學(xué)生日常防控意識，現(xiàn)從該校隨機抽取30名學(xué)生參加防控知識測試，得分（10分制）如圖所示，以下結(jié)論正確的是（

）A．這30名學(xué)生測試得分的中位數(shù)為6B．這30名學(xué)生測試得分的眾數(shù)與中位數(shù)相等C．這30名學(xué)生測試得分的平均數(shù)比中位數(shù)小D．從這30名學(xué)生的測試得分可預(yù)測該校學(xué)生對疫情防控的知識掌握不夠，建議學(xué)校加強學(xué)生疫情防控知識的學(xué)習(xí)，增強學(xué)生日常防控意識【答案】D【分析】利用中位數(shù)，眾數(shù)，平均數(shù)的計算方式可判斷各個選項.【詳解】對于A，這30名學(xué)生測試得分的中位數(shù)為，故A錯誤；對于B，這30名學(xué)生測試得分的眾數(shù)為5，故B錯誤；對于C，這30名學(xué)生測試得分的平均數(shù)為，故C錯誤；對于D，因為抽取的30名學(xué)生測試得分普遍偏低，所以預(yù)測該校學(xué)生對疫情防控的知識掌握不夠，建議學(xué)校加強學(xué)生疫情防控知識的學(xué)習(xí)，增強學(xué)生日常防控意識，故D正確．故選：D11．在數(shù)學(xué)史上，為了三角計算的簡便并且更加追求計算的精確性，曾經(jīng)出現(xiàn)過下列兩種三角函數(shù)：定義為角的正矢，記作；定義為角的余矢，記作.給出下列結(jié)論：①函數(shù)在上單調(diào)遞增；②若，則；③若，則的最小值為0；④若，則的最小值為.其中所有正確結(jié)論的序號為（

）A．①② B．③④ C．①③④ D．②③④【答案】D【分析】利用定義性函數(shù)和三角函數(shù)關(guān)系式的變換判斷各選項即可得到結(jié)論.【詳解】因為，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故①錯誤；因為，所以，故②正確；，令，則，所以，所以，故③正確；因為，所以，故④正確.故選：D.12．如圖（1），在矩形中，，為線段上一點（不是端點），沿線段將折成（如圖（2）），使得平面平面，且二面角的余弦值為，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)二面角的余弦值列方程，建立平面直角坐標(biāo)系，求得點的位置.建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得異面直線與所成角的余弦值.【詳解】過作于，因為平面平面，所以平面．過作于，連接，則即二面角的平面角，所以．在圖（1）中，直線與垂直，交于，以為原點，，的方向分別為，軸的正方向建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，，，，所以直線的方程為，直線的方程為．由，可知直線的方程為，與直線的方程聯(lián)立解得，所以．因為，所以，解得．由，得，所以，化簡得，解得，即．在圖（2）中，以為坐標(biāo)原點，以，的方向分別為，軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，．因為，，所以，，進而可得，因為，，所以，故異面直線與所成角的余弦值為．故選：D二、填空題13．已知，，在平面內(nèi)，寫出平面的一個法向量：________.【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)在平面內(nèi)，由平面的任意相交的兩個向量坐標(biāo)，分別與所設(shè)的法向量垂直，計算即可求出平面的一個法向量.【詳解】設(shè)，因為，，所以令，得.（，且）都是平面的法向量.故答案為：（答案不唯一）14．已知正方體的棱長為4，，點為的中點，則________．【答案】【分析】根據(jù)題意，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，即可求解.【詳解】如圖所示，以點為坐標(biāo)原點，以，，所在直線分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系.因為正方體的棱長為4，，點為的中點，所以，，故．故答案為：.15．已知，，三點在同一條直線上，則________.【答案】5【分析】由題意，利用斜率公式，結(jié)合共線斜率相等，可列方程，可得答案.【詳解】因為，，所以，得.故答案為：5.16．正多面體也稱柏拉圖立體，被譽為最有規(guī)律的立體結(jié)構(gòu)，是所有面都只由一種正多邊形構(gòu)成的多面體（各面都是全等的正多邊形）.數(shù)學(xué)家已經(jīng)證明世界上只存在五種柏拉圖立體，即正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體.已知一個正八面體ABCDEF的棱長都是2（如圖），P，Q分別為棱AB，AD的中點，則________.【答案】1【分析】根據(jù)給定條件，利用空間向量的一個基底表示，再利用數(shù)量積運算律計算作答.【詳解】正八面體ABCDEF中，不共面，而P，Q分別為棱AB，AD的中點，有，，則，，.故答案為：1三、解答題17．如圖，在正四面體OABC中，E，F(xiàn)，G，H分別是OA，AB，BC，OC的中點.設(shè)，，.(1)試用，，表示；(2)若正四面體OABC的棱長為6，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)及平面向量的線性運算即可求解；（2）由，及即可求解.【詳解】(1)；(2)因為，，所以.18．判斷下列直線與是否垂直：(1)的傾斜角為，經(jīng)過，兩點；(2)的斜率為，經(jīng)過，兩點；(3)的斜率為，的傾斜角為，為銳角，且.【答案】(1)(2)與不垂直(3)【分析】（1）的斜率為，根據(jù)過兩點的斜率公式可求的斜率，判斷斜率的乘積是否為即可；（2）根據(jù)過兩點的斜率公式可求的斜率，判斷斜率的乘積是否為即可；（3）根據(jù)二倍角的正切公式求出的值，判斷斜率的乘積是否為即可.【詳解】(1)因為的傾斜角為，所以的斜率為.因為經(jīng)過，兩點，所以的斜率為.因為，所以.(2)因為經(jīng)過，兩點，所以的斜率為.因為的斜率為，且，所以與不垂直.(3)記的斜率為，因為，所以，解得或.因為為銳角，所以.因為的斜率為，且，所以.19．如圖，已知圓錐的頂點為P，底面圓的直徑AB長為4，點C是圓上一點，，點D是劣弧上的一點，平面平面，且.(1)證明：平面平面POD.(2)當(dāng)三棱錐的體積為時，求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由及線面平行的判定定理可得平面PCD，根據(jù)線面平行的性質(zhì)可得.根據(jù)可得，由線面垂直的性質(zhì)可得，故根據(jù)線面垂直的判斷定理可得平面POD，從而根據(jù)面面垂直的判定定理可證明；（2）根據(jù)三棱錐的體積可求，以為坐標(biāo)原點，以，，的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面POD的一個法向量及平面PCD的一個法向量，根據(jù)即可求解.【詳解】(1)證明：因為，平面PCD，平面PCD，所以平面PCD.因為平面ABCD，且平面平面，所以.因為，所以，所以，即.因為平面ABCD，平面ABCD，所以.因為，平面POD，所以平面POD.因為平面POC，所以平面平面POD；(2)解：因為，所以.如圖，以為坐標(biāo)原點，以，，的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，.取平面POD的一個法向量.設(shè)平面PCD的法向量為，則，令，得.因為，且二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.20．三角測量法是在地面上選定一系列的點，并構(gòu)成相互連接的三角形，由已知的點觀察各方向的水平角，再測定起始邊長，以此邊長為基線，即可推算各點坐標(biāo)的一種測量方法.在實際測量中遇到高大障礙物的測量，需要跨越時的測量，無法得到平距的測量都需要用到三角測量法.如圖，為測量橫截面為直角三角形的某模型的平面圖△ABC，由于實際情況，Rt△ABC（∠ACB=）的邊和角無法測量，以下為可測量數(shù)據(jù)：①BD=2；②CD=+1；③∠BDC=；④∠BCD=.以上可測量數(shù)據(jù)中至少需要幾個可以推算出Rt△ABC的面積？請選擇一組并寫出推算過程.注：若選擇不同的組合分別作答，則按第一個作答計分.【答案】答案見解析【分析】若選擇組合一：①③④或②③④，則由正弦定理可求得，再利用三角函數(shù)恒等變換公式求出，從而可求的長，進而可求得三角形的面積，若選擇組合二：①②③，則由余弦定理求出，再利用正弦定理求得，然后求出，從而可求的長，進而可求得三角形的面積，若選擇組合三：①②④，則由正弦定理可得，得，然后求出，從而可求的長，進而可求得三角形的面積，【詳解】解：至少需要3個可測量數(shù)據(jù).選擇組合一：①③④或②③④在中，因為，所以.因為，所以，故.選擇組合二：①②③在中，因為，所以.結(jié)合正弦定理，可求得.因為，所以，故.選擇組合三：①②④在中，因為，所以.因為為鈍角，所以.因為，所以，故.21．在三棱錐中，是邊長為2的等邊三角形，，，平面平面，為線段的中點.(1)證明：.(2)在直線BC上是否存在點，使得直線AF與平面ABP所成角的正弦值為？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.【答案】(1)證明見解析(2)存在，或1【分析】(1)作于，根據(jù)勾股定理分別可求得，的值，只需證得，即可求出，即可得出為等腰三角形，從而可得.(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法即可求解.【詳解】(1)證明：作于，由平面平面ABC，且平面平面，得平面，∴.∵，，，由勾股定理得，所以，∴，，.在直角三角形中，由勾股定理可得.又.∴.(2)在平面內(nèi)，過點作，垂足為點，以為坐標(biāo)原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，∴，，，，，設(shè)，∴，.設(shè)是平面的法向量，∴，取，得，又.設(shè)直線與平面所成的角為，∴，化簡得，解得或.當(dāng)時，（在線段上）；當(dāng)時，（在線段的延長線上）∴存在點，使得直線與平面所成角的正弦值為，且或1.22．如圖，在正方體中，，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點，平面分別與，交于M，N兩點.(1)證明：.(2)求三棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】(1)由可證得∥平面，而