最速降線是連接兩一段旋輪線

最速降線是連接兩一段旋輪線

“最速降線”是一個(gè)非常著名的歷史問題。正如提到的那樣，咸豐在1630年提出了這個(gè)問題。在重力的作用下，一個(gè)點(diǎn)的質(zhì)量在另一個(gè)點(diǎn)處，從點(diǎn)1，直到不垂直于其垂直下的另一個(gè)點(diǎn)，忽視了摩擦。我問哪種曲線越短，時(shí)間就越短。正如赫爾沙夫霍洛夫再次提出這個(gè)問題并收集了它。第二年，牛頓和萊布尼茨給出了正確的答案。“速度曲線是連接兩點(diǎn)和兩點(diǎn)的一條螺旋線。學(xué)生對(duì)“最速降線”問題很感興趣,可以通過如圖1所示的物理演示實(shí)驗(yàn)裝置演示,斜著的兩條軌道,起點(diǎn)和終點(diǎn)相同,在起點(diǎn)處分別放置兩個(gè)完全相同的小球,同時(shí)釋放小球,讓學(xué)生預(yù)測哪個(gè)小球先到達(dá)終點(diǎn).很多學(xué)生認(rèn)為是同時(shí)到達(dá),因?yàn)樗麄冋J(rèn)為直線軌道雖然路程短但小球運(yùn)動(dòng)速度相對(duì)要慢,而彎曲軌道路程雖然長,但小球運(yùn)動(dòng)速度快,所以兩個(gè)小球會(huì)同時(shí)到達(dá)終點(diǎn);也有一部分人認(rèn)為應(yīng)該是直線軌道上的小球先到達(dá),但是實(shí)驗(yàn)表明:沿曲線軌道(路程長)的小球先到達(dá)終點(diǎn).如何解釋實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象?如果再有其他的軌道,究竟那條路徑用時(shí)最短?這個(gè)看似簡單的問題,卻不能讓學(xué)生一下子找到答案,所以這個(gè)實(shí)驗(yàn)引起很多學(xué)生濃厚的興趣,學(xué)生給出的研究結(jié)果也是五花八門,但是正確的解釋卻鳳毛麟角.關(guān)于這個(gè)問題牛頓等人已經(jīng)給出正確答案,但是這是一個(gè)比較復(fù)雜的推導(dǎo)過程.本文借助Matlab對(duì)“最速降線”進(jìn)行分析并得出一些結(jié)論,可以直觀地讓學(xué)生理解最速降線問題.Matlab是目前廣泛應(yīng)用工程技術(shù)的計(jì)算語言之一,它的語法規(guī)則比Basic和Fortran及C語言更簡單,編程特點(diǎn)更貼近人的思維方式,所以非常易學(xué)易懂,Matlab具有強(qiáng)大的運(yùn)算功能和作圖功能.本文通過Matlab編程研究了最速降線的一些問題,編程過程體現(xiàn)微積分的過程,說明最速降線的問題形象直觀.而且還能更直觀地比較出不同軌道之間的關(guān)系.1確定夯實(shí)線的軌跡牛頓等人給出“最速降線”的正確答案是:連接起點(diǎn)和終點(diǎn)的旋輪線上的一段.什么是旋輪線呢?旋輪線就是做無滑滾動(dòng)的輪子邊緣一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡,如圖2所示,半徑為R的圓周,沿一條直線作純滾動(dòng),取直線為x軸,豎直向下為y軸,考慮圓周的邊緣的P點(diǎn),其起始時(shí)刻在所標(biāo)原點(diǎn)O,θ為輪子轉(zhuǎn)過的角度,其軌跡方程為x=R(θ-sinθ)y=R(1-cosθ)x=R(θ?sinθ)y=R(1?cosθ)2軌道小段式及其特征起點(diǎn)與終點(diǎn)的選取:為了討論問題方便,x沿水平方向,y軸豎直朝下,做一個(gè)圓心在(0.2,0),半徑為0.2圓弧,選圓弧上的(0,0)作為質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的起始位置A點(diǎn),選圓弧上的(0.3?√0.03)(0.3?0.03????√)作為質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的終點(diǎn)B點(diǎn).這樣A、B可視為重力場中的兩點(diǎn),B點(diǎn)位置較低且不在A點(diǎn)的正下方.不同形狀的軌道選比較常見的直線、圓弧、拋物線和旋輪線形狀的軌道.通過Matlab編程求解質(zhì)點(diǎn)沿軌道的運(yùn)動(dòng):根據(jù)微積分的思路把有限大的過程看成是由許多微小過程組成的,如圖3所示:把彎曲的軌道分成很多小段,每一小段可以視為直線段,每一小段的Δx=0.000001m,軌跡長為Δs=√(Δx)2+(Δy)2=√0.0000012+(Δy)2Δs=(Δx)2+(Δy)2????????????√=0.0000012+(Δy)2???????????????√,不同的軌道Δy不同,質(zhì)點(diǎn)在任意小過程中的速率視為勻速為v=√2gy=√20yv=2gy???√=20y???√,每一小過程所用時(shí)間Δt=Δsv,整個(gè)過程所用的時(shí)間就是對(duì)所有的Δt求和.對(duì)旋輪線軌跡,按旋轉(zhuǎn)角平分,每轉(zhuǎn)過0.00001弧度為一小過程,算出每一小過程的Δx和Δy,從而可以求出每小段的Δs、Δt.3重力場軌道線的速度、速度和軌道通過速度的變化伽利略認(rèn)為圓形軌道是最速降線,但是通過A、B兩點(diǎn)的圓形軌道也有很多條,到底哪個(gè)圓形軌道用時(shí)最短,現(xiàn)在我們通過Matlab編程來尋找答案.把上面我們選定A、B兩點(diǎn)的圓形軌道作為一條,它是曲率最大的圓形軌道,過兩點(diǎn)的曲率再大的圓弧就不滿足質(zhì)點(diǎn)可以沿軌道運(yùn)動(dòng)的條件:y1(x)=√0.04-(x-0.2)2——(圓心為(0,0.2),半徑為0.2m的圓周).利用幾何關(guān)系找到過A、B兩點(diǎn)的曲率半徑為0.3m的一段圓弧作為曲率較小的圓形軌道y2(x)=√0.09-(x-0.2724745)2-0.1255295——(圓心為(0.2724745?-0.1255295))y3(x)=√0.030.3x(它是兩點(diǎn)之間的曲率最小的極限軌道).Matlab編程運(yùn)行結(jié)果1:顯示了軌道曲線如圖4所示,重力場中起點(diǎn)和終點(diǎn)相同的三條曲率不同的圓形軌道.它們軌道長度不同,y1(x)的軌道長度最長為0.4189m;曲率較小的y2(x)軌道長度為0.3693m;直線軌道y3(x)的長度最短為0.3464m.程序運(yùn)行結(jié)果2:得出的速度與x坐標(biāo)的關(guān)系曲線如圖5所示,雖然曲率較大的軌跡路程要長,但是由于在重力場中質(zhì)點(diǎn)沿軌道運(yùn)動(dòng)只有重力做功,重力勢能轉(zhuǎn)化成動(dòng)能,所以在任何x坐標(biāo)處曲率較大的軌跡的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速率要大些.要討論哪條曲線軌道用時(shí)最短,不但要看路程的長短,還要考慮運(yùn)動(dòng)速率的大小對(duì)運(yùn)動(dòng)的影響.圖5表明在整個(gè)過程中曲率最大的這條軌道質(zhì)點(diǎn)速度總是最大,相反直線軌道的速度總是最小.程序運(yùn)行結(jié)果3:圖6為質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到達(dá)水平x坐標(biāo)位置與其所用時(shí)間的關(guān)系,曲率較大的軌道在初始階段在水平方向的位移比其他軌道要小,但是前面的運(yùn)行結(jié)果表明初始階段曲率較大的軌道速率增加的快,所以在后面的階段它在水平方向的位移先超過直線軌道,再超過曲率較大的軌道,最終曲率較大的軌道先到達(dá)終點(diǎn).曲率最大的y1(x)軌道所需時(shí)間最短為t1=0.3098s;曲率較小的y2(x)軌道所需時(shí)間為t2=0.3102s;曲率為零的直線y3(x)軌道所需的時(shí)間最長t3=0.3717s.結(jié)論:如果A、B之間的軌跡為圓周上的一段,在滿足質(zhì)點(diǎn)可以沿軌道運(yùn)動(dòng)的前提下,我們發(fā)現(xiàn)質(zhì)點(diǎn)沿曲率越大的軌跡運(yùn)動(dòng),所需時(shí)間越短,相反質(zhì)點(diǎn)沿曲率越小的軌跡運(yùn)動(dòng)所需時(shí)間越長.討論:伽利略指出圓形軌道是“最速降線”,在比較圓弧軌道與直線軌道的關(guān)系時(shí)是正確的,即圓弧軌道比直線軌道用時(shí)間要短.4開口較大的表面線過A、B兩點(diǎn)的拋物線軌道很多,為了選出用時(shí)最短的拋物線軌道,我們選了過A、B兩點(diǎn)三個(gè)開口不同的拋物線軌道.如圖7所示,y4(x)=-7(x-0.19125)2+0.256——開口較小的拋物線y5=-1.9245(x-0.3)2+0.17320508——開口較大的拋物線y6=-1.1547(x-0.4)2+0.18475——開口更大的拋物線基于Matlab的運(yùn)行結(jié)果:(1)三條軌道的形狀如圖7所示.(2)三條軌道的長度,s4=0.4766m,s5=0.3573m,s6=0.3503m,開口較小的y4(x)軌道最長,開口最大的y6(x)的軌道長度最短.(3)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到達(dá)水平x坐標(biāo)位置與其所用時(shí)間的關(guān)系如圖8所示,質(zhì)點(diǎn)沿三軌道運(yùn)動(dòng)所用時(shí)間:t4=0.3384s,t5=0.3230s,t6=0.3348s,結(jié)果表明當(dāng)拋物線的中線過終點(diǎn)B時(shí),這個(gè)拋物線軌道用時(shí)最短.所以我們用這條曲線與其他形狀的軌道比較.5軌道運(yùn)動(dòng)情況1)y1(x)=√0.04-(x-0.2)2——(圓心為(0,0.2),半徑為0.2m的圓周)y3(x)=√0.030.3x——過A、B兩點(diǎn)的直線方程y5=-1.9245(x-0.3)2+0.17320508——用時(shí)最短的拋物線{x6=0.08715(θ-sinθ)y6=0.08715(1-cosθ)——過A、B兩點(diǎn)的旋輪線方程程序運(yùn)行結(jié)果:各軌道形狀如圖9所示,各軌道時(shí)間與x關(guān)系如圖10所示.各軌道的路程:s1=0.4189m;s3=0.3464m;s5=0.3573m;s6=0.3762m質(zhì)點(diǎn)沿各軌道運(yùn)動(dòng)所需時(shí)間:t1=0.3098s;t3=0.3717s;t5=0.3230s;t6=0.3081s運(yùn)行結(jié)果表明:(1)質(zhì)點(diǎn)沿旋輪線軌道運(yùn)動(dòng)所需時(shí)間最短,次之是圓形軌道,拋物線軌道第三,而沿路程最短的直線軌道所需時(shí)間最長.(2)結(jié)果也表明質(zhì)點(diǎn)沿圓形軌道運(yùn)動(dòng)所用時(shí)間與旋輪線的差別很小,難怪伽利略曾給出圓形軌道用時(shí)最短的結(jié)論.2)改變終點(diǎn)B位置到(0.373205,0.1),重新模擬出通過新的終點(diǎn)的不同形狀的軌道y1(x)=√0.04-(x-0.2)2——(圓心為(0,0.2),半徑為0.2m的圓周)y7(x)=0.10.373205x——過A、B兩點(diǎn)的直線方程y8=-0.717968(x-0.373205)2+0.1——用時(shí)最短的拋物線{x9=0.07155(θ-sinθ)y9=0.07155(1-cosθ)——過A、B兩點(diǎn)的旋輪線方程程序運(yùn)行結(jié)果:各軌道形狀如圖11所示,各軌道時(shí)間與x關(guān)系如圖12所示.各軌道的路程:s1=0.5236m;s7=0.3864m;s8=0.3904m;s9=0.4429m質(zhì)點(diǎn)沿各軌