江蘇省揚(yáng)州市江都區(qū)大橋中學(xué)2023-2024學(xué)年數(shù)學(xué)高二上期末考試模擬試題含解析

江蘇省揚(yáng)州市江都區(qū)大橋中學(xué)2023-2024學(xué)年數(shù)學(xué)高二上期末考試模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在等差數(shù)列中，已知，則數(shù)列的前9項(xiàng)和為（）A. B.13C.45 D.1172．已知是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，，則等于（）A.2 B.4C.6 D.83．?dāng)?shù)學(xué)家歐拉在1765年發(fā)現(xiàn)，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一條直線上，這條直線稱為歐拉線．已知的頂點(diǎn)，，若其歐拉線的方程為，則頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B.C. D.4．已知關(guān)于的不等式的解集為，則不等式的解集為（）A.或 B.C.或 D.5．過雙曲線的右焦點(diǎn)F作一條漸近線的垂線，垂足為M，且FM的中點(diǎn)A在雙曲線上，則雙曲線離心率e等于（）A. B.C. D.6．若等軸雙曲線C過點(diǎn)，則雙曲線C的頂點(diǎn)到其漸近線的距離為（）A.1 B.C. D.27．已知拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合，則拋物線的準(zhǔn)線方程為（）A. B.C. D.8．已知△的頂點(diǎn)B，C在橢圓上，頂點(diǎn)A是橢圓的一個焦點(diǎn)，且橢圓的另一個焦點(diǎn)在BC邊上，則△的周長是（）A. B.C.8 D.169．設(shè)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件10．“”是“直線：與直線：平行”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件11．閱讀如圖所示程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，輸出的S的值等于（）A.2 B.6C.14 D.3012．傳說古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家用沙粒和小石子研究數(shù)，他們根據(jù)沙粒和石子所排列的形狀把數(shù)分成許多類，若：三角形數(shù)、、、、，正方形數(shù)、、、、等等.如圖所示為正五邊形數(shù)，將五邊形數(shù)按從小到大的順序排列成數(shù)列，則此數(shù)列的第4項(xiàng)為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知莖葉圖記錄了甲、乙兩組各名學(xué)生在一次英語聽力測試中的成績（單位：分）．已知甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，則的值為__________．甲組乙組14．已知數(shù)列滿足，則其通項(xiàng)公式_______15．命題“任意，”為真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.16．已知實(shí)數(shù)x，y滿足方程，則的最大值為_________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓C：(a＞b＞0)的離心率e為，點(diǎn)在橢圓上（1）求橢圓C的方程；（2）若A、B為橢圓的左右頂點(diǎn)，過點(diǎn)(1，0)的直線交橢圓于M、N兩點(diǎn)，設(shè)直線AM、BN的斜率分別為，求證為定值18．（12分）總書記指出：“我們既要綠水青山，也要金山銀山．”新能源汽車環(huán)保、節(jié)能，以電代油，減少排放，既符合我國的國情，也代表了世界汽車產(chǎn)業(yè)發(fā)展的方向．工業(yè)部表示，到2025年中國的汽車總銷量將達(dá)到3500萬輛，并希望新能源汽車至少占總銷量的五分之一．江蘇某新能源公司年初購入一批新能源汽車充電樁，每臺16200元，第一年每臺設(shè)備的維修保養(yǎng)費(fèi)用為1100元，以后每年增加400元，每臺充電樁每年可給公司收益8100元（1）每臺充電樁第幾年開始獲利？（2）每臺充電樁在第幾年時(shí)，年平均利潤最大19．（12分）森林資源是全人類共有的寶貴財(cái)富，其在改善環(huán)境，保護(hù)生態(tài)可持續(xù)發(fā)展方面發(fā)揮著重要的作用.2020年12月12日，主席在全球氣候峰會上通過視頻發(fā)表題為《繼往開來，開啟全球應(yīng)對氣候變化的新征程》的重要講話，宣布“到2030年，我國森林蓄積量將比2005年增加60億立方米”.為了實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)，某地林業(yè)管理部門著手制定本地的森林蓄積量規(guī)劃.經(jīng)統(tǒng)計(jì)，本地2020年底的森林蓄積量為120萬立方米，森林每年以25%的增長率自然生長，而為了保證森林通風(fēng)和發(fā)展經(jīng)濟(jì)的需要，每年冬天都要砍伐掉萬立方米的森林.設(shè)為自2021年開始，第年末的森林蓄積量.（1）請寫出一個遞推公式，表示二間的關(guān)系；（2）將（1）中的遞推公式表示成的形式，其中，為常數(shù)；（3）為了實(shí)現(xiàn)本地森林蓄積量到2030年底翻兩番的目標(biāo)，每年的砍伐量最大為多少萬立方米？（精確到1萬立方米）（可能用到的數(shù)據(jù)：，，）20．（12分）某班主任對全班名學(xué)生進(jìn)行了作業(yè)量多少與手機(jī)網(wǎng)游的調(diào)查，數(shù)據(jù)如下表：認(rèn)為作業(yè)多認(rèn)為作業(yè)不多總數(shù)喜歡手機(jī)網(wǎng)游不喜歡手機(jī)網(wǎng)游總數(shù)（1）若隨機(jī)地抽問這個班的一名學(xué)生，分別求事件“認(rèn)為作業(yè)不多”和事件“喜歡手機(jī)網(wǎng)游且認(rèn)為作業(yè)多”的概率；（2）若在“認(rèn)為作業(yè)多”的學(xué)生中已經(jīng)用分層抽樣的方法選取了名學(xué)生．現(xiàn)要從這名學(xué)生中任取名學(xué)生了解情況，求其中恰有名“不喜歡手機(jī)網(wǎng)游”的學(xué)生的概率21．（12分）大學(xué)生王蕾利用暑假參加社會實(shí)踐，對機(jī)械銷售公司月份至月份銷售某種機(jī)械配件的銷售量及銷售單價(jià)進(jìn)行了調(diào)查，銷售單價(jià)和銷售量之間的一組數(shù)據(jù)如表所示：月份銷售單價(jià)（元）銷售量（件）（1）根據(jù)至月份數(shù)據(jù)，求出關(guān)于的回歸直線方程；（2）若剩下的月份的數(shù)據(jù)為檢驗(yàn)數(shù)據(jù)，并規(guī)定由回歸直線方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差不超過元，則認(rèn)為所得到的回歸直線方程是理想的，試問（1）中所得到的回歸直線方程是否理想？（注：，，參考數(shù)據(jù)：，）22．（10分）人類社會正進(jìn)入數(shù)字時(shí)代，網(wǎng)絡(luò)成為了必不可少的工具，智能手機(jī)也給我們的生活帶來了許多方便.但是這些方便、時(shí)尚的手機(jī)，卻也讓你的眼睛離健康越來越遠(yuǎn).為了了解手機(jī)對視力的影響程度，某研究小組在經(jīng)常使用手機(jī)的中學(xué)生中進(jìn)行了隨機(jī)調(diào)查，并對結(jié)果進(jìn)行了換算，統(tǒng)計(jì)了中學(xué)生一個月中平均每天使用手機(jī)的時(shí)間x（小時(shí)）和視力損傷指數(shù)的數(shù)據(jù)如下表：平均每天使用手機(jī)的時(shí)間x（小時(shí)）1234567視力損傷指數(shù)y25812151923（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，求y關(guān)于x的線性回歸方程.（2）該小組研究得知：視力的下降值t與視力損傷指數(shù)y滿足函數(shù)關(guān)系式，如果小明在一個月中平均每天使用9個小時(shí)手機(jī)，根據(jù)（1）中所建立的回歸方程估計(jì)小明視力的下降值（結(jié)果保留一位小數(shù)）.參考公式及數(shù)據(jù)：，..

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)給定的條件利用等差數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算作答【詳解】在等差數(shù)列中，因，所以.故選：C2、D【解析】根據(jù)雙曲線定義寫出，兩邊平方代入焦點(diǎn)三角形的余弦定理中即可求解【詳解】雙曲線，，所以，根據(jù)雙曲線的對稱性，可假設(shè)在第一象限，設(shè)，則，所以，，在中，根據(jù)余弦定理：，即，解得：，所以故選：D3、A【解析】設(shè)，計(jì)算出重心坐標(biāo)后代入歐拉方程，再求出外心坐標(biāo)，根據(jù)外心的性質(zhì)列出關(guān)于的方程，最后聯(lián)立解方程即可.【詳解】設(shè)，由重心坐標(biāo)公式得，三角形的重心為，，代入歐拉線方程得：，整理得：①的中點(diǎn)為，，的中垂線方程為，即聯(lián)立，解得的外心為則，整理得：②聯(lián)立①②得：，或，當(dāng)，時(shí)，重合，舍去頂點(diǎn)的坐標(biāo)是故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵一是求出外心，二是根據(jù)外心的性質(zhì)列方程.4、A【解析】由一元二次不等式的解集可得且，確定a、b、c間的數(shù)量關(guān)系，再求的解集.【詳解】由題意知：且，得，從而可化為，等價(jià)于，解得或.故選：A.5、A【解析】根據(jù)題意可表示出漸近線方程，進(jìn)而可知的斜率，表示出直線方程，求出的坐標(biāo)進(jìn)而求得A點(diǎn)坐標(biāo)，代入雙曲線方程整理求得和的關(guān)系式，進(jìn)而求得離心率【詳解】：由題意設(shè)相應(yīng)的漸近線：，則根據(jù)直線的斜率為，則的方程為，聯(lián)立雙曲線漸近線方程求出，則，，則的中點(diǎn)，把中點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線方程中，即，整理得，即，求得，即離心率為，故答案為：6、A【解析】先求出雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程，再求頂點(diǎn)到其漸近線的距離.【詳解】設(shè)等軸雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以，解得，所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故上頂點(diǎn)到其一條漸近線的距離為.故選：A7、C【解析】先求出橢圓的右焦點(diǎn)，從而可求拋物線的準(zhǔn)線方程.【詳解】，橢圓右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故拋物線的準(zhǔn)線方程為，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的幾何性質(zhì)，一般地，如果拋物線的方程為，則拋物線的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，本題屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】根據(jù)橢圓定義求解【詳解】由橢圓定義得△的周長是，故選：D.9、A【解析】由三角函數(shù)的單調(diào)性直接判斷是否能推出，反過來判斷時(shí)，是否能推出.【詳解】當(dāng)時(shí)，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性知；當(dāng)時(shí)，或.綜上可知“”是“”的充分不必要條件.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查判斷充分必要條件，三角函數(shù)性質(zhì)，意在考查基本判斷方法，屬于基礎(chǔ)題型.10、C【解析】根據(jù)兩直線平行求得的值，由此確定充分、必要條件.【詳解】由于，所以，當(dāng)時(shí)，兩直線重合，不符合題意，所以.所以“”是“直線：與直線：平行”的充要條件.故選：C11、C【解析】模擬運(yùn)行程序，直到得出輸出的S的值.【詳解】運(yùn)行程序框圖，，，；，，；，，；，輸出.故選：C12、D【解析】根據(jù)前三個五邊形數(shù)可推斷出第四個五邊形數(shù).【詳解】第一個五邊形數(shù)為，第二個五邊形數(shù)為，第三個五邊形數(shù)為，故第四個五邊形數(shù)為.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)中位數(shù)、平均數(shù)的定義，結(jié)合莖葉圖進(jìn)行計(jì)算求解即可.【詳解】根據(jù)莖葉圖可知：甲組名學(xué)生在一次英語聽力測試中的成績分別；乙組名學(xué)生在一次英語聽力測試中的成績分別，因?yàn)榧捉M數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，所以有，又因?yàn)橐医M數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，所以有，所以，故答案為：14、【解析】構(gòu)造法可得，由等比數(shù)列的定義寫出的通項(xiàng)公式，進(jìn)而可得.【詳解】令，則，又，∴，故，而，∴是公比為，首項(xiàng)為，則，∴.故答案為：.15、【解析】分離常數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化求函數(shù)最值問題.【詳解】任意，恒成立恒成立，故只需，記，，易知，所以.故答案為：16、##【解析】設(shè)，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系即可求出【詳解】由于，設(shè)，所以點(diǎn)既在直線上，又在圓上，即直線與圓有交點(diǎn)，所以，，即故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）證明見解析【解析】(1)根據(jù)題意列出關(guān)于a、b、c的方程組求出a、b、c即可得橢圓方程；(2)設(shè)直線的方程為，，，，，聯(lián)立直線方程利用韋達(dá)定理即可求為定值【小問1詳解】；【小問2詳解】由橢圓方程可知，，，設(shè)直線的方程為，，，，，聯(lián)立得，∴，，則，∵，，∴，把及代入可得：﹒18、（1）公司從第3年開始獲利；（2）第9年時(shí)每臺充電樁年平均利潤最大3600元【解析】（1）判斷已知條件是等差數(shù)列，然后求解利潤的表達(dá)式，推出表達(dá)式求解n即可（2）利用基本不等式求解最大值即可【詳解】（1）每年的維修保養(yǎng)費(fèi)用是以1100為首項(xiàng)，400為公差的等差數(shù)列，設(shè)第n年時(shí)累計(jì)利潤為f（n），f（n）=8100n-[1100+1500+…+（400n+700）]-16200=8100n-n（200n+900）-16200=-200n2+7200n-16200=-200（n2-36n+81），開始獲利即f（n）＞0，∴-200（n2-36n+81）＞0，即n2-36n+81＜0，解得，所以公司從第3年開始獲利；（2）每臺充電樁年平均利潤為當(dāng)且僅當(dāng)，即n=9時(shí)，等號成立即在第9年時(shí)每臺充電樁年平均利潤最大3600元【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列與函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，是中檔題19、（1）；（2）.；（3）19萬立方米.【解析】（1）由題意得到；（2）若遞推公式寫成，則，再與遞推公式比較系數(shù)；（3）若實(shí)現(xiàn)翻兩番的目標(biāo)，則，根據(jù)遞推公式，計(jì)算的最大值.【詳解】解：（1）由題意，得，并且.①（2）將化成，②比較①②的系數(shù)，得解得所以（1）中的遞推公式可以化為.（3）因?yàn)椋?，所以，由?）可知，所以，即數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，其通項(xiàng)公式：，所以.到2030年底的森林蓄積量為該數(shù)列的第10項(xiàng)，即.由題意，森林蓄積量到2030年底要達(dá)到翻兩番的目標(biāo)，所以，即.即.解得.所以每年的砍伐量最大為19萬立方米.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：遞推公式求通項(xiàng)公式，有以下幾種方法：

型如：的數(shù)列的遞推公式，采用累加法求通項(xiàng)；

形如：的數(shù)列的遞推公式，采用累乘法求通項(xiàng)；

形如：的遞推公式，通過構(gòu)造轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，

形如：的遞推公式，兩邊同時(shí)除以，轉(zhuǎn)化為的形式求通項(xiàng)公式；

形如：，可通過取倒數(shù)轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求通項(xiàng)公式.20、（1）事件“認(rèn)為作業(yè)不多”和事件“喜歡手機(jī)網(wǎng)游且認(rèn)為作業(yè)多”的概率分別為、；（2）.【解析】（1）利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率；（2）確定所選的名學(xué)生中，“不喜歡手機(jī)網(wǎng)游”和“喜歡手機(jī)網(wǎng)游”的學(xué)生人數(shù)，加以標(biāo)記，列舉出所有的基本事件，確定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【小問1詳解】解：由題意可知，全班名學(xué)生中，“認(rèn)為作業(yè)不多”的學(xué)生人數(shù)為人，“喜歡手機(jī)網(wǎng)游且認(rèn)為作業(yè)多”的學(xué)生人數(shù)為人，因此，隨機(jī)地抽問這個班的一名學(xué)生，事件“認(rèn)為作業(yè)不多”的概率為，事件“喜歡手機(jī)網(wǎng)游且認(rèn)為作業(yè)多”的概率為.【小問2詳解】解：在“認(rèn)為作業(yè)多”的學(xué)生中已經(jīng)用分層抽樣的方法選取了名學(xué)生，這名學(xué)生中“不喜歡手機(jī)網(wǎng)游”的學(xué)生人數(shù)為，記為，名學(xué)生中“喜歡手機(jī)網(wǎng)游”的學(xué)生人數(shù)為，分別記為、、、，從這名學(xué)生中任取名學(xué)生，所有的基本事件有：、、、、、、、、、，共種，其中，事件“恰有名“不喜歡手機(jī)網(wǎng)游”的學(xué)生”包含的基本事件有：、、、，共種，故所求概率為.21、（1）（2）回歸直線方程