專題30-銳角三角函數(shù)和解直角三角形

教學(xué)內(nèi)容一、【中考要求】1.認(rèn)識(shí)銳角三角函數(shù)，知道30°，45°，60°角的三角函數(shù)值；2.會(huì)使用計(jì)算器由已知銳角求它的三角函數(shù)值或由已知三角函數(shù)值求對(duì)應(yīng)的銳角；3.能運(yùn)用三角函數(shù)解決與直角三角形有關(guān)的簡(jiǎn)單實(shí)際問題。二、【三年中考】1．如圖，已知直角三角形ABC中，斜邊AB的長(zhǎng)為m，∠B＝40°，則直角邊BC的長(zhǎng)是()A．msin40°B．mcos40°C．mtan40°D.eq\f(m,tan40°)解析：在Rt△ABC中，cosB＝eq\f(BC,AB)，∴BC＝AB·cosB＝mcos40°.答案：B2．如圖，已知一商場(chǎng)自動(dòng)扶梯的長(zhǎng)l為10米，該自動(dòng)扶梯到達(dá)的高度h為6米，自動(dòng)扶梯與地面所成的角為θ，則tanθ的值等于()A.eq\f(3,4)B.eq\f(4,3)C.eq\f(3,5)D.eq\f(4,5)解析：tanθ＝eq\f(h,\r(l2－h(huán)2))＝eq\f(6,\r(102－62))＝eq\f(6,8)＝eq\f(3,4).答案：A3．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝Rt∠，BC＝1，AB＝2，則下列結(jié)論正確的是()A．sinA＝eq\f(\r(3),2)B．tanA＝eq\f(1,2)C．cosB＝eq\f(\r(3),2)D．tanB＝eq\r(3)解析：在Rt△ABC中，AC＝eq\r(AB2－BC2)＝eq\r(3)，利用三角函數(shù)定義D選項(xiàng)是正確的．答案：D4．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，cosA＝eq\f(3,4)，則AC的長(zhǎng)是________．解析：在Rt△ABC中，cosA＝eq\f(AC,AB)，∴AC＝ABcosA＝8×eq\f(3,4)＝6.答案：65．如圖，某河道要建造一座公路橋，要求橋面離地面高度AC為3米，引橋的坡角∠ABC為15°，則引橋的水平距離BC的長(zhǎng)是________米．(精確到0.1米)解析：如圖，過(guò)A作∠BAD＝∠B＝15°，則BD＝AD，∠ADC＝30°.在Rt△ADC中，由∠ADC＝30°得，AD＝2AC＝6，DC＝eq\r(3)AC＝3eq\r(3)，所以BC＝BD＋DC＝6＋3eq\r(3)≈11.2(米)．答案：11.26．課外活動(dòng)小組測(cè)量學(xué)校旗桿的高度．如圖，當(dāng)太陽(yáng)光線與地面成30°角時(shí)，測(cè)得旗桿AB在地面上投影BC長(zhǎng)為24米，則旗桿AB的高度約是________米．(結(jié)果保留3個(gè)有效數(shù)字，eq\r(3)≈1.732)解析：由題意可得AB＝BC·tan30°＝24×eq\f(\r(3),3)≈13.9.答案：13.97．施工隊(duì)準(zhǔn)備在一段斜坡上鋪上臺(tái)階方便通行．現(xiàn)測(cè)得斜坡上鉛垂的兩棵樹間水平距離AB＝4米，斜面距離BC＝4.25米，斜坡總長(zhǎng)DE＝85米．eq\a\vs4\al(1求坡角∠D的度數(shù)結(jié)果精確到1°；,2若這段斜坡用厚度為17cm的長(zhǎng)方體臺(tái)階來(lái)鋪，需要鋪幾級(jí)臺(tái)階？)eq\x(\a\al(參考數(shù)據(jù),cos20°≈0.94，,sin20°≈0.34，,sin18°≈0.31，,cos18°≈0.95))解：(1)cos∠D＝cos∠ABC＝eq\f(AB,BC)＝eq\f(4,4.25)≈0.94，∴∠D≈20°.(2)EF＝DEsin∠D＝85sin20°≈85×0.34＝28.9(米)，共需臺(tái)階28.9×100÷17＝170(級(jí))．三、【考點(diǎn)知識(shí)梳理】（一）銳角三角函數(shù)定義在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別為a、b、c，則sinA＝eq\f(a,c)，cosA＝eq\f(b,c)，tanA＝eq\f(a,b)，或者根據(jù)sinA＝eq\f(∠A的對(duì)邊,斜邊)，cosA＝eq\f(∠A的鄰邊,斜邊)，tanA＝eq\f(∠A的對(duì)邊,∠A的鄰邊).（二）特殊角的三角函數(shù)值溫馨提示：對(duì)于特殊角30°，45°，60°的正弦、余弦、正切值，可結(jié)合以上圖表及定義記憶。30°，45°，60°角的正弦值分母都為2，分子從小到大分別為1、、，隨著角度的增大，正弦值逐漸增大；30°，45°，60°角的余弦值，它們的分母也都是2，而分子從大到小分別為、、1，余弦值隨角度的增大而減小。（三）用計(jì)算器求一個(gè)銳角的三角函數(shù)值或由三角,函數(shù)值求銳角1．求已知銳角的三角函數(shù)值方法：將角度單位狀態(tài)設(shè)定為“度”(屏幕顯示eq\x(D))，按所求函數(shù)的書寫順序去按鍵．2．由銳角三角函數(shù)值求銳角在屏幕顯示eq\x(D)狀態(tài)下，按“shift”鍵再按相應(yīng)函數(shù)及數(shù)值．（四）解直角三角形1．解直角三角形的定義由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的過(guò)程，叫做解直角三角形．(直角三角形中，除直角外，一共有5個(gè)元素即3條邊和2個(gè)銳角，已知一個(gè)銳角和一條邊長(zhǎng)即可求出其他元素)2．直角三角形的邊角關(guān)系在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別為a、b、c.(1)三邊之間的關(guān)系：a2＋b2＝c2；(2)銳角之間的關(guān)系：∠A＋∠B＝90°；(3)邊角之間的關(guān)系：sinA＝eq\f(a,c)，cosA＝eq\f(b,c)，tanA＝eq\f(a,b)，sinB＝eq\f(b,c)，cosB＝eq\f(a,c)，tanB＝eq\f(b,a).（五）解直角三角形的應(yīng)用中的相關(guān)概念1．仰角、俯角：如圖①，在測(cè)量時(shí)，視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的叫仰角，在水平線下方的叫俯角．2．坡度(坡比)、坡角：如圖②，坡面的高度h和水平距離l的比叫坡度(或坡比)，即i＝tanα＝eq\f(h,l)，坡面與水平面的夾角α叫坡角．3．方向角：指南或指北的方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90°的水平角，叫做方向角．如圖③，OA是表示北偏東60°方向的一條射線．注意：東北方向指北偏東45°方向，東南方向指南偏東45°方向，西北方向指北偏西45°方向，西南方向指南偏西45°方向．我們一般畫圖的方位為上北下南，左西右東．（六）直角三角形的邊角關(guān)系的應(yīng)用日常生活中的很多問題可以轉(zhuǎn)化為直角三角形的問題，因此，直角三角形的邊角關(guān)系在解決實(shí)際問題中有較大的作用，在應(yīng)用時(shí)要注意以下幾個(gè)環(huán)節(jié)：(1)審題，認(rèn)真分析題意，將已知量和未知量弄清楚，找清已知條件中各量之間的關(guān)系，根據(jù)題目中的已知條件，畫出它的平面圖或截面示意圖．(2)明確題目中的一些名詞、術(shù)語(yǔ)的含義，如仰角、俯角、跨度、坡角、坡度、方位角等．(3)是直角三角形的，根據(jù)邊角關(guān)系進(jìn)行計(jì)算；若不是直角三角形，應(yīng)大膽嘗試添加輔助線，把它們分割成一些直角三角形和矩形，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為直角三角形進(jìn)行解決．(4)確定合適的邊角關(guān)系，細(xì)心推理計(jì)算．(5)在解題過(guò)程中，既要注意解有關(guān)的直角三角形，也應(yīng)注意到有關(guān)線段的增減情況．四、【中考典例精析】類型一銳角三角函數(shù)(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，AB＝7，則BC的長(zhǎng)為()A．7sin35°B.eq\f(7,cos35°)C．7cos35°D．7tan35°(2)計(jì)算：eq\r(12)＋2sin60°＝________.【點(diǎn)撥】熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義及特殊角三角函數(shù)值是正確解題的關(guān)鍵．【答案】(1)C用數(shù)形結(jié)合法或定義法，已知一個(gè)角及斜邊求鄰邊時(shí)用這個(gè)角的余弦值．(2)3eq\r(3)原式＝2eq\r(3)＋2×eq\f(\r(3),2)＝2eq\r(3)＋eq\r(3)＝3eq\r(3).類型二解直角三角形如圖，在△ABC中，∠B＝45°，cos∠C＝eq\f(3,5)，AC＝5a，則△ABC的面積用含a的式子表示是________．【點(diǎn)撥】解直角三角形的關(guān)鍵在于靈活地選擇正確的關(guān)系式，選擇的標(biāo)準(zhǔn)是關(guān)系式中既包括已知量又包括未知量．【解答】過(guò)A作AD⊥BC于點(diǎn)D.在Rt△ADC中，cos∠C＝eq\f(CD,AC)∵eq\f(3,5)＝eq\f(CD,5a)，∴CD＝3a.AD＝eq\r(AC2－CD2)＝eq\r(5a2－3a2)＝4a.在Rt△ABD中，∠B＝45°.∴AD＝BD＝4a，∴BC＝7a.∴S△ABC＝eq\f(1,2)BC·AD＝eq\f(1,2)×7a×4a＝14a2.方法總結(jié)：在解直角三角形中，正確選擇關(guān)系式是關(guān)鍵：（1）若求邊：一般用未知邊比已知邊，去尋找已知角的某一個(gè)三角函數(shù)；（2）若求角：一般用已知邊比已知邊，去尋找已知角的某一個(gè)三角函數(shù)；（3）求某些未知量的途徑往往不唯一。選擇關(guān)系式常遵循以下原則：一是盡量選擇可以直接應(yīng)用原始數(shù)據(jù)的關(guān)系式；二是設(shè)法選擇便于計(jì)算的關(guān)系式，若能用乘法計(jì)算就避免除法計(jì)算。類型三解直角三角形的應(yīng)用如圖，某天然氣公司的主輸氣管道從A市的東偏北30°方向直線延伸，測(cè)繪員在A處測(cè)得要安裝天然氣的M小區(qū)在A市東偏北60°方向上，測(cè)繪員沿主輸氣管道步行2000米到達(dá)C處，測(cè)得小區(qū)M處位于C的北偏西60°方向上，請(qǐng)你在主輸氣管道上尋找支管道連結(jié)點(diǎn)N，使到該小區(qū)鋪設(shè)的管道最短，并求AN的長(zhǎng)．【點(diǎn)撥】把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，注意兩個(gè)轉(zhuǎn)化：一是把實(shí)際問題的圖形轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)圖形，畫出正確的平面或截面示意圖；二是將已知條件轉(zhuǎn)化為示意圖中的邊角關(guān)系．如果所轉(zhuǎn)化的示意圖不是直角三角形，可以添加輔助線構(gòu)造直角三角形．【解答】過(guò)點(diǎn)M作MN⊥AC，此時(shí)MN最短，點(diǎn)N即為所求的支管道連結(jié)點(diǎn)．由題意，在Rt△MAN中，∠MAN＝60°－30°＝30°，則MN＝AN·tan30°＝eq\f(\r(3),3)AN.在Rt△MNC中，∠MCN＝60°，則MN＝NC·tan60°＝eq\r(3)NC＝eq\r(3)(2000－AN)．∴eq\f(\r(3),3)AN＝eq\r(3)(2000－AN)，∴AN＝1500(米)．方法總結(jié)：運(yùn)用直角三角形的邊角關(guān)系解決問題時(shí)，為使計(jì)算簡(jiǎn)便、結(jié)果準(zhǔn)確，應(yīng)遵循兩條原則：一是盡量使用題目中給出的原始數(shù)據(jù)；二是盡量避免除法運(yùn)算。在解決實(shí)際問題時(shí)，首先弄清題意，正確畫出示意圖，由此將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為直角三角形問題，進(jìn)而運(yùn)用三角形的知識(shí)加以解決。五、【易錯(cuò)題探究】在一個(gè)陽(yáng)光明媚、清風(fēng)徐徐的周末，小明和小強(qiáng)一起到郊外放風(fēng)箏．他們把風(fēng)箏放飛后，將兩個(gè)風(fēng)箏的引線一端都固定在地面上的C處(如圖)．現(xiàn)已知風(fēng)箏A的引線(線段AC)長(zhǎng)20m，風(fēng)箏B的引線(線段BC)長(zhǎng)24m，在C處測(cè)得風(fēng)箏A的仰角為60°，風(fēng)箏B的仰角為45°.(1)試通過(guò)計(jì)算，比較風(fēng)箏A與風(fēng)箏B誰(shuí)離地面更高？(2)求風(fēng)箏A與風(fēng)箏B的水平距離．(結(jié)果精確到0.01m；參考數(shù)據(jù)：sin45°≈0.707，cos45°≈0.707，tan45°＝1，sin60°≈0.866，cos60°＝0.5，tan60°≈1.732)【解析】(1)分別過(guò)A、B作地面的垂線，垂足分別為D、E.在Rt△ADC中，∵AC＝20，∠ACD＝60°，∴AD＝20×sin60°＝10eq\r(3)≈17.32(m)．在Rt△BEC中，∵BC＝24，∠BCE＝45°，∴BE＝24×sin45°＝12eq\r(2)≈16.97(m)∵17.32>16.97，∴風(fēng)箏A比風(fēng)箏B離地面更高．(2)在Rt△ADC中，∵AC＝20，∠ACD＝60°，∴DC＝20×cos60°＝10(m)．在Rt△BEC中，∵BC＝24，∠BCE＝45°，∴EC＝BE≈16.97(m)∴EC－DC≈16.97－10＝6.97(m)即風(fēng)箏A與風(fēng)箏B的水平距離約為6.97m.【易錯(cuò)警示】由于審題不仔細(xì)，圖形分析有誤沒有正確理解相關(guān)術(shù)語(yǔ)造成錯(cuò)誤，如標(biāo)高、仰角、俯角、坡度等術(shù)語(yǔ)．六、【課堂基礎(chǔ)檢測(cè)】1．某人想沿著梯子爬上高4米的房頂，梯子的傾斜角(梯子與地面的夾角)不能大于60°，否則就有危險(xiǎn)，那么梯子的長(zhǎng)至少為()A．8米B．8eq\r(3)米C.eq\f(8\r(3),3)米D.eq\f(4\r(3),3)米答案：C2．如圖，在平地上種植樹木時(shí)，要求株距(相鄰兩棵樹間的水平距離)為4m．如果在坡度為0.75的山坡上種樹，也要求株距為4m，那么相鄰兩樹間的坡面距離為()A．5mB．6mC．7mD．8m答案：A3．為了緩解臺(tái)州市區(qū)內(nèi)一些主要路段交通擁擠的現(xiàn)狀，交警隊(duì)在一些主要路口設(shè)立了交通路況顯示牌(如圖)．已知立桿AB高度是3m，從側(cè)面D點(diǎn)測(cè)得顯示牌頂端C點(diǎn)和底端B點(diǎn)的仰角分別是60°和45°，求路況顯示牌BC的高度．解：在Rt△ADB中，∠BDA＝45°，AB＝3，∴DA＝3在Rt△ADC中，∠CDA＝60°，∴tan60°＝eq\f(CA,AD)，∴CA＝3eq\r(3).∴BC＝CA－BA＝3eq\r(3)－3(米)．答：路況顯示牌BC的高度是(3eq\r(3)－3)米．4．如圖，華慶號(hào)船位于航海圖上平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)A(10,2)處時(shí)，點(diǎn)C、海島B的位置在y軸上，且∠CBA＝30°，∠CAB＝60°.(1)求這時(shí)船A與海島B之間的距離；(2)若海島B周圍16海里內(nèi)有暗礁，華慶號(hào)船繼續(xù)沿AC向C航行有無(wú)觸礁危險(xiǎn)？請(qǐng)說(shuō)明理由．解：(1)∵∠CBA＝30°，∠CAB＝60°，∴∠ACB＝90°.在Rt△ACB中，∵cos60°＝eq\f(AC,AB)，∴AB＝20.(2)在Rt△ACB中，tan60°＝eq\f(BC,AC)，∴BC＝10eq\r(3).∵BC＝10eq\r(3)＝eq\r(300)>eq\r(256)＝16(或BC≈17>16)，∴無(wú)觸礁危險(xiǎn)．七、【課后達(dá)標(biāo)練習(xí)】一、選擇題1．在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝eq\f(4,5)，則tanB＝()A.eq\f(4,3)B.eq\f(3,4)C.eq\f(3,5)D.eq\f(4,5)解析：數(shù)形結(jié)合法、定義法、賦值法，如圖，∴tanB＝eq\f(3,4).答案：B2．在正方形網(wǎng)格中，△ABC的位置如圖所示，則cos∠B的值為()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(3),2)D.eq\f(\r(3),3)解析：確定包含∠B的直角三角形，∴AB＝4eq\r(2)，∴cos∠B＝eq\f(4,4\r(2))＝eq\f(\r(2),2)或確定∠B＝45°再求．答案：B3．在等腰三角形ABC中，∠C＝90°，則sinA等于()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(3),2)D．1解析：在等腰△ABC中，∠A＝45°，∴sinA＝eq\f(\r(2),2).答案：B4．已知銳角A滿足關(guān)系式2sin2A－7sinA＋3＝0，則sinA的值為()A.eq\f(1,2)B．3C.eq\f(1,2)或3D．4解析：∵2sin2A－7sinA＋3＝0，∴sinA＝3或eq\f(1,2)，而sinA<1，∴sinA＝eq\f(1,2).答案：A5．在正方形網(wǎng)格中，∠AOB如圖放置，則cos∠AOB的值為()A.eq\f(\r(5),5)B.eq\f(2\r(5),5)C.eq\f(1,2)D．2解析：觀察圖形，cos∠AOB＝eq\f(1,\r(5))＝eq\f(\r(5),5).答案：A6．河堤橫斷面如圖所示，堤高BC＝5米，迎水坡AB的坡比是1∶eq\r(3)(坡比是坡面的鉛直高度BC與水平寬度AC之比)，則AC的長(zhǎng)是()A．5eq\r(3)米B．10米C．15米D．10eq\r(3)解析：由題意得tan∠BAC＝eq\f(1,\r(3))＝eq\f(BC,AC)＝eq\f(5,AC)，∴AC＝5eq\r(3)米．答案：A7．如圖，小雅家(圖中點(diǎn)O處)門前有一條東西走向的公路，經(jīng)測(cè)得有一水塔(圖中A處)位于她家北偏東60°500m處，那么水塔所在的位置到公路的距離AB是()A．250mB．250eq\r(3)mC.eq\f(500,3)eq\r(3)mD．250eq\r(2)m解析：在Rt△AOB中，∠AOB＝30°，OA＝500m，∴sin∠AOB＝eq\f(AB,OA)，∴AB＝250m.答案：A8．如圖，小穎利用有一個(gè)銳角是30°的三角板測(cè)量一棵樹的高度，已知她與樹之間的水平距離BE為5m，AB為1.5m(即小穎的眼睛距地面的距離)，那么這棵樹高是()A．(eq\f(5\r(3),3)＋eq\f(3,2))mB．(5eq\r(3)＋eq\f(3,2))mC.eq\f(5\r(3),3)mD．4m解析：這棵樹高為：1.5＋5tan30°＝(eq\f(3,2)＋eq\f(5\r(3),3))m.答案：A二、填空題9．如圖，已知在Rt△ABC中，斜邊BC上高AD＝4，cosB＝eq\f(4,5)，則AC＝________.解析：在Rt△ABC中，AD⊥BC，∴∠B＝∠DAC.∴在Rt△ADC中，cos∠DAC＝eq\f(AD,AC)，∴AC＝eq\f(AD,cosB)＝4×eq\f(5,4)＝5.答案：510．如圖，從點(diǎn)C測(cè)得樹的頂端的仰角為33°，BC＝20米．則樹高AB≈________米．(用計(jì)算器計(jì)算，結(jié)果精確到0.1米)解析：AB＝BC·tan33°＝20×tan33°≈13.0.答案：13.0三、解答題11．計(jì)算：6tan30°＋(3.6－π)0－eq\r(12)＋(eq\f(1,2))－1.解：原式＝6×eq\f(\r(3),3)＋1－2eq\r(3)＋2＝2eq\r(3)＋1－2eq\r(3)＋2＝3.12．建于明洪武七年(1374年)，高度33米的光岳樓是目前我國(guó)現(xiàn)存的最高大、最古老的樓閣之一(如圖①)．喜愛數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)的小偉，在30米高的光岳樓頂樓P處，利用自制測(cè)角儀測(cè)得正南方向一商店A點(diǎn)的俯角為60°，又測(cè)得其正前方的海源閣賓館B點(diǎn)的俯角為30°(如圖②)．求商店與海源閣賓館之間的距離．(結(jié)果保留根號(hào))解：在Rt△POA中，PO＝30，∠OPA＝90°－60°＝30°，∴tan∠OPA＝eq